北京四中高一数学期中2020-2021
精品解析：北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题(原卷版)
2020-2021学年度第一学期期中高三年级数学学科数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 已知全集U =R ，集合{}21x A x =<，{}20B x x =-<，则()U A B =（ ） A. {|2}x x > B. {}02x x ≤< C. {|02}x x <≤D. {|2}x x ≤ 2. 下列命题中的假命题．．．是（ ）A. ,sin x R x ∃∈=B. ,ln x R x ∃∈=C. 2,0∈≥∀x R xD. ,20x x R ∀∈> 3. 已知向量(5,)a m =，(2,2)b =-，若a b -与b 共线，则实数m =（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 5-4. 已知()f x 是R 上的奇函数，当0x >时,()12log f x x =,则()0f x >的解集是（ ）A. ()1,0-B. ()0,1C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()()1,00,1- 5. 将函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ） A. sin 26x B. 2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭C. cos2xD. cos2x - 6. 若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立是A. 222a b ab +>B. a b +≥C. 11a b +> D. 2b a a b+≥ 7. 已知三角形ABC ，那么“AB AC AB AC +>-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足12()10lg 110xf x -=⨯⨯. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dm，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.105倍 B. 108倍 C. 1010倍 D. 1012倍9. 函数ππ2sin,,22y x x x⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为A. B.C.D.10. 已知函数 给出下列三个结论：① 当2=-a 时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③ 若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-恰有3个零点1x ,2x ,3x ，且1231x x x =-. 其中，所有正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数2y x =-_________. 12. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5α=. 则cos α=_________，tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________. 13. 已知非零向量a ，b 满足||||a a b =-，则12a b -与b 的夹角等于_________. 14. 圆2220+-+=x y ax 与直线l 相切于点(3,1)A ，则圆的半径为_________，直线l 的方程为_________. 15. 关于x 的方程()()g x t t R =∈的实根个数记为()f t .若()ln g x x =，则()f t =_________；若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a R ∈，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是_________. 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16. 在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （1）求b ，c 的值；（2）求sin （B –C ）的值．17. 已知函数()3f x x x =-，()23g x x =-. (1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()f x 在[]0,2上最大值；(3)求证：存在唯一的0x ，使得()()00f x g x =.18. 已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+.(I)求f (0)值；(II)从①121,2ωω==；②121,1ωω==这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在[,]26ππ-上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.19. 已知：函数()sin cos =-f x x x x .（1）求()f π'；（2）求证：当(0,)2x π∈时，31()3f x x <； （3）若()cos f x kx x x >-对(0,)2x π∈恒成立，求实数k 的最大值.20. 已知O 为平面直角坐标系的原点，过点M （﹣2，0）的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点． （Ⅰ）若12OP OQ ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若△OMP 与△OPQ 的面积相等，求直线l 的斜率．21. 对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}． (Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +的最小值； (Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =？。
2020-2021学年北京四中高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2020-2021学年北京四中高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集为U ，集合{1,2,3,4,5}A =，{3,2}B =-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{3,2}-C ．{2}D ．{2,3}-【答案】C【分析】根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集，再根据集合交集运算即可. 【详解】解：根据韦恩图得阴影部分表示集合A 与B 的交集， 所以{}{1,2,3,4,5}{3,2}2AB =-=.故选：C. 2．不等式021x x ≤-+的解集是 （ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-，C ．(1)[2)-∞-+∞，，D ．(12]-， 【答案】D【分析】将“不等式21x x -+≤0”转化为“不等式组()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩”，由一元二次不等式的解法求解．【详解】依题意，不等式化为()()12010x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩，解得﹣1＜x≤2，故选D ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，关键是将分式不等式转化为二次不等式来求解 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ）A ．y ＝x 2﹣2xB ．y ＝|x |C ．y ＝2x +1D ．y =【答案】D【分析】求出每一个选项的函数的单调减区间即得解.【详解】A. y ＝x 2﹣2x ,函数的减区间为(,1)-∞，所以选项A 不符； B. y ＝|x |，函数的减区间为(,0)-∞，所以选项B 不符； C.y ＝2x +1,函数是增函数，没有减区间，所以选项C 不符；D. y =0，+∞），所以选项D 符合. 故选D【点睛】本题主要考查函数的单调区间的判定方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．已知函数()351f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】C【分析】计算出各端点的函数值，利用零点存在性定理即可判断. 【详解】()351f x x x =-+，()32252130f ∴-=-+⨯+=>，()31151150f -=-+⨯+=>，()010f => ()31151130f =-⨯+=-<，()32252110f =-⨯+=-<，根据零点存在性定理可得一定包含()f x 零点的区间是()0,1. 故选：C.5．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（ ） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-【答案】A【分析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>.【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A6．已知12,x x 是方程2710x x -+=的两根，则2212x x +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【分析】由韦达定理的127x x +=，121=x x ，再根据()2221212122x x x x x x +=+-即可求出. 【详解】12,x x 是方程2710x x -+=的两根，127x x ∴+=，121=x x ，()2221212122725x x x x x x +=+-=-=故选：D.7．设,a b ∈R ，且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A ．1ab> B ．11a b< C ．||||a b >D ．33a b >【答案】D【分析】取特殊值判断ABC ，由幂函数3y x =的单调性判断D. 【详解】当1,1a b ==-时，11ab =-<，11a b>，||||a b = 因为幂函数3y x =在R 当单调递增，a b >，所以33a b > 故选：D8．“2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：当2a =，则()f x x a=-在[2,)+∞上为增函数，故充分性成立；当函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数，则，故必要性不成立.【解析】充分必要性．9．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示，则杯子的形状是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A 满足． 故选A ．10．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y ＝x 2＋1，值域为{1,3}的同族函数有 ( )． A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】试题分析：由得，由得，∴函数的定义域可以是{02}，{02}，{022，共3个．． 【解析】函数的定义域和值域．11．已知非零实数,,a b c 满足：a b c >>，下列不等式中一定成立的有（ ） ①ab bc >； ②22ac bc ≥； ③a b a bc c+->.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【分析】由不等式的性质结合作差法逐个判断即可得解. 【详解】对于①，若a c >，0b <，则ab bc <，故①错误； 对于②，由()2220ac bc c a b -=-≥可得22ac bc ≥，故②正确；对于③，因为2a b a b b c c c +--=，若20b c <，则a b a bc c+-<，故③错误. 故选：B.12．已知a 、b R ∈，则“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】将代数式322a a b a ab a b +--++因式分解，找出使得3220a a b a ab a b +--++=成立的等价条件，进而可得出结论.【详解】()()()()()322221a a b a ab a b a a b a a b a b a b a a +--++=+-+++=+-+， 对任意的a R ∈，22131024a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以，32200a a b a ab a b a b +--++=⇔+=.因此，“0a b +=”是“3220a a b a ab a b +--++=”的充要条件. 故选：C.13．已知{},;min ,,.a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设()f x {}2min 6,246x x x =-+-++，则函数()f x 的最大值是（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【分析】画出函数图像求得解析式，再求最大值即可 【详解】根据题目的定义得，{}2()min 6,246f x x x x =-+-++2226,6246246,6246x x x x x x x x x ⎧-+-+≤-++=⎨-++-+>-++⎩，化简得，()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，可根据该分段函数做出图像，显然在左边的交点处取得最大值，此时，0x =，得(0)6f =即为所求； 故选：C【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义得到()256,0,2()5246,,0(,)2x x f x x x x ⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎪-++∈-∞⋃+∞⎪⎩，进而作出图像求解，属于基础题二、双空题14．设全集U =R ，集合{|2},A x x =<集合{|1}B x x =<，则集合UA___________，集合()UA B =___________.【答案】[)2,+∞ ()[),12,-∞+∞【分析】利用集合的交集和并集进行求解即可【详解】{|2},A x x =<}{2UA x x =≥[)2,=+∞；{|1}B x x =<，()U A B =()[),12,-∞+∞；故答案为：①[)2,+∞；②()[),12,-∞+∞15．函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值是_____，此时x =_____. 【答案】3 2【分析】由题知10x ->，又由()1111f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解． 【详解】∵1x >， ∴10x ->，由基本不等式可得()12111131f x x x =-+++=-≥=， 当且仅当111x x -=-即2x =时，函数取得最小值3． 故答案为：①3；②2．【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力．16．若函数()2f x x x a =-+为偶函数，则实数a =________，函数()f x 的单调递增区间是___________. 【答案】0 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由偶函数的定义得出x a x a +=-，等式两边平方可求得实数a 的值，求出函数()f x 在()0,∞+上的增区间和减区间，利用偶函数的基本性质可得出函数()f x 的单调递增区间.【详解】函数()2f x x x a =-+的定义域为R ，且该函数为偶函数，则()()f x f x -=，即()22x x a x x a ---+=-+，所以，x a x a -=+， 等式x a x a -=+两边平方可得222222x ax a x ax a -+=++， 可知0ax =对任意的x ∈R 恒成立，所以，0a =，则()2f x x x =-.当0x >时，()2f x x x =-，则函数()f x 在()0,∞+上的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 由于函数()f x 为偶函数，因此，函数()f x 的单调递增区间为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：0；1,02⎛⎫-⎪⎝⎭、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质.三、填空题 17．命题“11,1x x∀<>”的否定是___________. 【答案】11,1x x∃<≤ 【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可； 【详解】解：命题“11,1x x∀<>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“11,1x x∃<≤” 故答案为：11,1x x∃<≤18．某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______. 【答案】12【分析】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【详解】设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15)x -人，只喜爱乒乓球的有(10)x -人，由此可得(15)(10)1638x x x -+-++=，解得3x =， 所以1512x -=， 即所求人数为12人，故答案为：12．19．能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.【答案】1,2,3---【解析】试题分析：()123,1233->->--+-=->-，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．20．某学校运动会上，6名选手参加100米决赛.观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1､2､6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4､5､6道的选手都不可能得第一名.比赛后发现并没有并列名次，且甲､乙､丙､丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___________. 【答案】丁【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对 故答案为：丁【点睛】关键点睛：解题关键在于根据题意，进行合情推理即可，属于基础题 21．已知关于x 的不等式32ax a x+≤在区间0,上有解，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()[),03,-∞+∞【分析】由题意可得，当0x >时，2230ax ax -+能成立，分类讨论a 的范围，利用二次函数的性质，求得实数a 的取值范围． 【详解】关于x 的不等式32ax a x+在区间(0,)+∞上有解， 即当0x >时，不等式32ax a x+能成立，即2230ax ax -+能成立． 当0a =时，不等式不成立，故0a ≠．当0a >时，则1x =时，函数223y ax ax =-+的最小值为2124304a a a a-=-，求得3a ．当0a <时，二次函数223y ax ax =-+的图象开口向下，满足条件． 综上可得，实数a 的范围为3a 或0a <， 故答案为：()[),03,-∞+∞【点睛】易错点睛：解答本题时要注意审题，本题不是恒成立问题，而是能成立问题，所以等价于当0x >时，不等式2230ax ax -+能成立．即函数2()23f x ax ax =-+的最小值大于零，而不是最大值大于零.四、解答题22．已知0a >，记关于x 的不等式()()10-+<x a x 的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q .（1）若3a =，求集合P ； （2）若Q P ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）{}13x x -<<；（2）(2)，+∞. 【分析】（1）直接解不等式得解；（2）先化简集合,P Q ,再根据Q P ⊆，得到关于a 的不等式得解. 【详解】（1）由()()310x x -+<，得{}13P x x =-<<； （2）{}{}1102Q x x x x =-≤=≤≤. 由0a >，得{}1P x x a =-<<， 又Q P ⊆， 所以2a >，即a 的取值范围是(2)，+∞. 23．已知定义在R 上的奇函数21()x mf x x =++,m ∈R . （1）求m ；（2）用定义证明：()f x 在区间[)1,+∞上单调递减； （3）若实数a 满足()22225f a a ++<，求a 的取值范围. 【答案】（1）0m =；（2）证明见解析；（3）()(),20,-∞-+∞.【分析】（1）由()f x 是定义在R 上的奇函数，得到(0)0f =，即可求解； （2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）结合()f x 在[)1,+∞单调递减，转化为2222a a ++>，即可求解实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =，解得0m =. （2）任取12,[1,)x x ∈+∞且12x x <， 则12221212121122121222222212()(1)()()(),(1)111111()()()(1)x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x +-+-++++--==+-=+ 因211x x >>，故221221121,0,10,10x x x x x x >->+>+>，从而21()()0f x f x -<，即21()()f x f x <，所以函数()f x 在[)1,+∞单调递减.（3）由()2222111a a a ++=++≥，又由2(2)5f =， 因为()22225f a a ++<，结合()f x 在[)1,+∞单调递减，可得2222a a ++>， 即220a a +>，解得2a <-或0a >，即实数a 的取值范围()(),20,-∞-+∞.【点睛】含有“f ”的不等式的解法：1、首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式；2、根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式（组），此时要注意()g x 和()h x 的取值应再外层函数的定义域内；3、结合不等式（组）的解法，求得不等式（组）的解集，即可得到结论.24．二次函数()f x 满足(0)1f =，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，函数()f x 的图像总在一次函数2y x m =+图像的上方，试确定实数m 的取值范围.条件①：()()12f x f x x +-=；条件②：不等式()4<+f x x 的解集为()1,3-.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）2()1f x x x =-+；（2）1m <-.【分析】（1）选择①：设出二次函数的解析式，根据条件①，结合待定系数法求出()f x 的解析式；选择②：根据一元二次不等式与二次函数的关系求出()f x 的解析式；（2）由题意可知231x x m -+>，构造函数2()31g x x x =-+，由min ()g x m >得出m的范围.【详解】解（1）由f (0)=1，可设f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0).选择①，则有()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x +-=++++-++=++= 由题意，得22,0,a a b =⎧⎨+=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩故2()1f x x x =-+ 选择②，则()4<+f x x 可化为2(1)30ax b x +--<.由题，方程2(1)3=0ax b x +--的两实根分别为1-和3 所以1132b a --=-+=即21a b +=，及3133a-=-⨯=-即1a =，所以1b =-. 故2()1f x x x =-+（2）由题意，得212x x x m -+>+，即231x x m -+>，对[1,1]x ∈-恒成立.令2()31g x x x =-+，则问题可转化为min ()g x m >又因为g (x )在[1,1]-上递减，所以min ()(1)1g x g ==-，故1m <-【点睛】对于问题（2），在解决不等式的恒成立问题时，可以构造函数，将不等式问题转化为最值问题进行处理.25．区间[],αβ的长度定义为βα-.函数()22()1f x a x ax =+-，其中0a >，区间{}|()0I x f x =≤.（1）求I 的长度；（2）求I 的长度的最大值.【答案】（1）21a a+；（2）12. 【分析】（1）解出()0f x ≤，即可利用区间长度定义求出；（2）利用基本不等式可求出.【详解】解：（1）令2()(1)0f x x a x a ⎡⎤=+-=⎣⎦，解得：10x =，2201a x a=>+， 则{}2|()001a x f x x x a ⎧⎫≤=≤≤⎨⎬+⎩⎭ ，20,1a I a ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦， 则I 的长度为22011a a a a -=++； （2）0a >，I ∴的长度211112a a a a =≤=++，当且仅当1a =时等号成立. ∴当1a =时，I 的长度的最大值为12. 26．若函数()f x 的定义域为D ，集合M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()f x 为M 上的t -增长函数.（1）已知函数()g x x =，函数()2h x x =，判断()g x 和()h x 是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由； （2）已知函数()f x x =，且()f x 是区间[4,2]--上的n -增长函数，求正整数n 的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：(如果两问都做，按（i ）得分计入总分) （i ）如果对任意正有理数q ，()f x 都是R 上的q -增长函数，判断()f x 是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；（ii ）如果()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x x =是，()2h x x =不是，理由见解析；（2）9；（3）（i ）不是，理由见解析；（ii ）()1,1-.【分析】（1）()g x x =用新定义证明，()2h x x =举反例否定. （2）由新定义得出x 的一次不等式恒成立问题求解.（3）(i)构造反例,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩说明；(ii)由分段函数逐一讨论即可. 【详解】解：（1）()g x x =是；因为[]1,0x ∀∈-，()3330222g x g x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()2h x x =不是，反例：当1x =-时，()31111=1224h h h ⎛⎫⎛⎫-+==<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由题意得，x n x +>对[4,2]x ∈--恒成立等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4,2]x ∈--恒成立因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>， 解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9.（3）（i ）不是构造,()1,R x x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩，则对任意正有理数q ， 若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=；若R x Q ∈，则R x q Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=.因此()f x 是R 上的q -增长函数，但()f x 不是增函数.（ii ）由题意知2222222,(),2,x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩已知任意x ∈R ，(4)()f x f x +≥，因为()f x 在22[,]a a -上递减，所以,4x x +不能同时在区间22[,]a a -上，因此2224()2a a a >--=注意到()f x 在2[2,0]a -上非负，在2[0,2]a 上非正若22244a a <≤，当22x a =-时，24[0,2]x a +∈，此时(4)()f x f x +≤，矛盾因此244a >，即(1,1)a ∈-.当244a >时，下证()f x 为R 上的4-增长函数：①当24x a +≤-，(4)()f x f x +>显然成立②当224a x a -<+<时，2243x a a <-<-，此时2(4)(4)f x x a +=-+>-，22()2f x x a a =+<-，(4)()f x f x +>③当24x a +≥时，22(4)422()f x x a x a f x +=+->+≥因此()f x 为R 上的4-增长函数综上，为使得()f x 为R 上的4-增长函数a 的取值范围是()1,1-.【点睛】此题是新定义题，属于难题；肯定命题时根据所给定义证明，否定结论要举出相应反例，方可获证.。
北京四中高一数学上学期期中考试试卷
北京四中高一上学期期中考试试卷数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分考试时间：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1. 如果A ＝{}1->x x ，那么正确的结论是A ． 0⊆A B. {0}∈A C. {0}⊂≠ A D. φ∈A 2. 函数f （x ）＝22-x ，则f （21）＝ A. 0 B. －2 C. 22 D. －22 3. 设全集I ＝{}33<<-∈x Z x ，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A （C I B ）等于A. {1}B. {1，2}C. {2} D{0，1，2}4. 与函数y ＝10)1lg(-x 的定义域相同的函数是A. y ＝x －1B. y ＝1-xC. y ＝11-x D. y ＝1-x 5. 若函数f （x ）＝3x ＋3x -与g （x ）＝3x －3x -的定义域均为Ｒ，则A. f （x ）与g （x ）均为偶函数B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C. f （x ）与g （x ）均为奇函数D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数6. 设a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝521，则A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7. 设函数y ＝x 3与y ＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是 A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）8. 已知函数f （x ）是Ｒ上的偶函数，当x ≥0时1)(-=x x f ，则f （x ）<0的解集是A. （－1，0）B. （0，1）C. （－1，1）D. ()()∞+-∞-，，119. 某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A. 不亏不盈B. 盈利37.2元C. 盈利14元D. 亏损14元10. 设函数f （x ）在()∞+∞-，上是减函数，则A. f （a ）>f （2a ）B. f （a 2）<f （a ）C. f （a 2＋a ）<f （a ）D. f （a 2＋1）<f （a ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11. log 64＋ log 69－832＝____.12. 已知函数y ＝f （x ）为奇函数，若f （3）－f （2）＝1，则f （－2）－f （－3）＝____。
北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题(含答案)
2024北京四中高一（上）期中数 学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.2. 函数的定义域是A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 如果，那么下列不等式中正确的是A ． BC ． D．5. 下列函数中，在区间上为减函数的是A ． B. C. D. 6. 函数的图像关于A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．点对称 7. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数在区间内的零点个数是A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 下列函数中，满足的是A ．B ．C ．D ．10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是{0,1,2,3}A ={1,3,5,7}B =A B ={1,2,3}{3}{1,3}{0,1,2,3,5,7}()f x =[2,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,2)(1,)-∞-+∞ [2,)-+∞R x ∀∈3210x x -+≤R x ∃∉3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+≥R x ∀∈3210x x -+>0b a >>2ab b -<<22a b <11a b <()0,+∞22y x x =-y =31x y x +=+21y x =+()|1||1|f x x x =+--(1,0)0a b >>0c >a b a c b c >++31()2f x x x=--(0,)+∞(2)2()f x f x =2()(2)f x x =+()1f x x =+4()f x x=()f x x x =-()f x ()g x R x ∀∈()()0f x g x ⋅>A ．是一次函数，是二次函数B ．在上递增，在上递减C ．，都是奇函数D ．是奇函数，是偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若，则实数x 的值为 .12. 不等式的解集为，则 ， .13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．14. 函数，则的减区间为 ，的值域是 .15. 已知函数.①当时，在定义域内单调递减；②当时，一定有；③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；以上结论中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共3小题，共35分16. （12分）设集合，，. （I ）求；（II ）求；（III ）若，求实数k 的取值范围.17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：（I ）求的值；（II ）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：()f x ()g x ()f x R ()g x R ()f x ()g x ()f x ()g x {21,3,5}x x ∈-210ax bx +-≥1(,1][,)4-∞-+∞U a =b =()f x R 0x >2()3f x x x =-((1))f f =231, 02()2, 20x x f x x x x +≤≤⎧=⎨+-≤<⎩()f x ()f x 2()(,4)2R x a f x a a x +=∈≠--1a =()f x 4a <-(3)(4)(1)f f f <<k ()y f x x k =-+4a <-k 2()1y f x kx =-+4a >-{||1|2}A x x =->4{|0}23x B x x +=≤-{|2121}C x k x k =-<<+()U A B ðA B C A B ⊆ 2118,08264,824at t y t t b t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩y t ,a b①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？18. （12分）已知函数.（I ）判断在上的单调性，并用定义证明；（II ）若是偶函数，求的值.卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 已知集合，，，则A ．B ．C ．D ．2. 当时，恒成立，则的最大值为 A ．6 B ．10C ．12D ．133. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为A ．14 B ．15 C ．16 D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4. ________.5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分7. （10分）已知函数.（I ）求方程组的解集；（II ）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；（III ）若在上具有单调性，求实数a 的取值范围.1()(2)f x x x =-)(x f (1,2)()()g x f x a =+a {1,1}A =-{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈{|,,}C z z x y x A y A ==-∈∈B C =B CÞB C =∅I B C A =U 2x >142x a x +≥-a A M m A A X M m =-01A 2A 3A n A *N 123120nA A A A X X X X ++++= n 13213410.125()25627--+---=()f x 2x =()()()01f a f f <<a 2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩12a =()f x (0)f ()f x ()(2)1f x x x =-+()20y f x x y =⎧⎨-=⎩()f x ()f x (,1)a a +8. （10分）如果正整数集的子集满足：①；②，，使得，则称为集.（I ）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（II ）当时，对于集，设，求证：；（III ）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.{}*12,,,(,2)N n A a a a n n =∈≥ 121n a a a =<<< ()2k a A k n ∀∈≤≤(),1i j a a A i j n ∃∈≤≤≤k i j a a a =+A ψ{}1,3,5A ={}1,2,3,6B =ψ5n =ψ{}12345,,,,A a a a a a =15S a a =++ 521a S +≤7n ≥36n a =ψA参考答案I 卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号12345678910答案C B B D C A A B DB 二、填空题（每题5分，共25分）11. 1或5 12. 4，3 13. 214. ， 15. ②③注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）16. 由题意，，，(I) ；(II) ；(III) 显然，，解得，因此的取值范围是.17. (I) ，解得(II) ①是. .②时，，解得；时，，解得；,所以可以连续施工的最长时间为12小时.18. (I)在上单调递减.124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，178⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()13A =-∞-+∞ ，，A R ð[]1,3=34,2B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭31,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ð()3,3,2A B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2121,k k C -<+≠∅3212132k k +≤-≥或124k k ≤≥或k [)124⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，8118206264648206a b +=⎧⎨⨯-⨯+=⎩11590a b =⎧⎨=⎩711118195150⨯+=>08t ≤≤11118150t +≤32011t ≤≤824t ≤≤2264590150t t -+≤1022t ≤≤3222101211-=>)(x f ()1,2定义域为，任取且，所以在上单调递减.(II)，是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，此时，定义域，，符合题意，所以.II 卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1. A2. C3. C二、填空题（每题5分，共15分）4. 5. 6. ，注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）7. ，(I) ，()()()00,22-∞+∞ ，，()12,1,2x x ∈12x x <()()()()1211221122f x f x x x x x -=---()()()22221112122222x x x x x x x x ---=--()()()()211212122220x x x x x x x x -+-=-->)(x f ()1,2()()1(2)g x x a x a =++-()g x ()(2)0a a -+-=1a =()()11(1)g x x x =+-()()()11,11-∞--+∞ ，，()()()()111(1)1(1)g x g x x x x x -===-+--+-1a =15-()(),04,-∞+∞ 14⎡⎣()()()()()21,121,1x x x f x x x x -+≥-⎧⎪=⎨---<-⎪⎩()2()0202y f x x f x x y y x =-=⎧⎧⇔⎨⎨-==⎩⎩当，，，解得或当， ，即，解得或（舍）；综上，方程组的解集是.(II)（作图过程略）(III) 在递增，在递减，所以或或，因此实数a 的取值范围是.8. (I) 注意到：，因此数集不是集.注意到：，因此数集是集.(II) 由于集合是集，即对任意的，存在，使得成立。
北京四中2020—2021学年度第一学期高一年级期中考试数学学科答案
2020~2021学年度第一学期期中高一数学参考答案Ⅰ卷[)2,+∞（答案不唯一） 三、解答题16. 解：（I ）由()()310x x -+<，得{}13P x x =-<<． （II ）{}{}1102Q x x x x =-≤=≤≤．由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ⊆，所以2a >，即a 的取值范围是(2)+∞，．17. 解答：（1）根据(0)0f =得0m =； （2）证明：任取211x x >≥，有12221212121122121222222212()(1)()()(),(1)111111()()()(1)x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x +-+-++++--==+-=+ 因211x x >>，故221221121,0,10,10x x x x x x >->+>+>，从而21()()0f x f x -<， 21()()f x f x <. 故()f x 在(1,)+∞单调递减. （3）因()2222111a a a ++=++≥ . 又2(2)5f =，结合()f x 在(1,)+∞单调递减，从而()()2,22220,,a a a ∈-∞-+∞++>.18. 解 (1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)。
选择①，则有f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ， 由题意，得⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.选择②，则()4f x x <+可化为2(1)30ax b x +--<。
由题，方程2(1)3=0ax b x +--的两实根分别为-1和3， 所以1132b a --=-+=即21a b +=，及3133a-=-⨯=-即1a =，所以1b =-. 故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1>m ，对x ∈[－1,1]恒成立． 令g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min >m ，又因为g (x )在[－1,1]上递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m <－1.Ⅱ卷题号12 3 45 6[)3,+∞7. 解：(1)令2()(1)0f x x a x a ⎡⎤=+-=⎣⎦，解得：10x =，2201a x a =>+，20,1a I a ⎡⎤∴=⎢⎥+⎣⎦， (2)I ∴的长度()211112a g a a a a ==≤=++ ，当且仅当1a =时等号成立. ∴当1a =时，()max 12g a =．8. 解：（Ⅰ）()g x x =是；因为[]1,0x ∀∈-，()3330222g x g x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()2h x x =不是，反例：当1x =-时，()31111=1224h h h ⎛⎫⎛⎫-+==<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .（Ⅱ）由题意得，x n x +>对[4,2]x ∈--恒成立等价于2222x nx n x ++>，即220nx n +>对[4,2]x ∈--恒成立因为0n >，所以22nx n +是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需280n n -+>， 解得8n >，所以满足题意的最小正整数n 为9. （Ⅲ）（ⅰ）不是构造,()1,Rx x Q f x x x Q ∈⎧=⎨-∈⎩，则对任意正有理数q ， 若x Q ∈，则x q Q +∈，因此()()f x q x q x f x +=+>=； 若R x Q ∈，则R x q Q +∈，因此()11()f x q x q x f x +=+->-=. 因此()f x 是R 上的q -增长函数，但()f x 不是增函数.（ⅱ）由题意知2222222,(),2,x a x a f x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩ 已知任意x R ∈，(4)()f x f x +≥，因为()f x 在22[,]a a -上递减，所以,4x x +不能同时在区间22[,]a a -上， 因此2224()2a a a >--=注意到()f x 在2[2,0]a -上非负，在2[0,2]a 上非正若22244a a <≤，当22x a =-时，24[0,2]x a +∈，此时(4)()f x f x +≤，矛盾 因此244a >，即(1,1)a ∈-.当244a >时，下证()f x 为R 上的4-增长函数： ①当24x a +≤-，(4)()f x f x +>显然成立②当224a x a -<+<时，2243x a a <-<-，此时2(4)(4)f x x a +=-+>-，22()2f x x a a =+<-，(4)()f x f x +>③当24x a +≥时，22(4)422()f x x a x a f x +=+->+≥ 因此()f x 为R 上的4-增长函数综上，为使得()f x 为R 上的4-增长函数a 的取值范围是()1,1-.。
北京四中高一数学期中测试卷
北京四中高一数学期中测试卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）卷（I）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．集合{1，2，3}的真子集的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．82．函数的定义域为（）A．B． C．D．3．函数，则（）A． B． C． D．4．设全集，若，，则（）A．B．C．D．5．下列函数中的值域是的是（）A．B．C．D．6．下列函数中，在区间上为增函数的是（）A．B．C．D．7．函数的图象关于（）A．轴对称 B．直线对称C．坐标原点对称 D．直线对称8．（）A．12 B． C． D．9．函数的图象是下列图象中的（）10．设且，则（）A．B．C． D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．若、、，则的大小关系是____________。
12．若函数满足，则____________。
13．已知：集合，，若，则____________。
14．函数的定义域是___________，单调减区间是__________。
三．解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）15．已知：函数的定义域为，集合，（1）求：集合；（2）求：。
16．某厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为9.5万件、18万件、25.5万件。
如果该厂每月生产此种产品的产量与月份之间满足二次函数关系：，（1）求：此二次函数的解析式；（2）求：哪个月份的产量最大，最大产量是多少？17．已知：函数，（1）求：函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性并说明理由；（3）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明。
卷（Ⅱ）一．选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分1．函数中，若，则（）A． B． C． D．2．如果函数是奇函数，那么（）A．B．C．D．3．设、为两个非空实数集，定义集合.若, ,则中元素的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9二．填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分4．= 。
北京四中2020-2021高一上学期期中考试
北京四中2020-2021高一上学期期中考试一．选择题1.已知全集U ，集合{1,2,3,4,5},{3,2}A B ==-，则图中阴影部分表示的集合为A．{3} B.{3,2}- C.{2} D.{2,3}-2.不等式201x x -≤+的解集是A．(,1)(1,2]-∞-⋃- B.[1,2]- C.(,1)[2,)-∞-⋃+∞ D.(1,2]-3.下列函数中，在区间(0,)+∞上为减函数的是A．22y x x =- B.||y x = C.21y x =+ D.y =4.已知函数2()51f x x x =-+，则下列区间中一定包含()f x 零点的区间是A．(2,1)-- B.(1,0)- C.(0,1) D.(1,2)5.若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递增，则A．(1)(2)(3)f f f ->> B.(3)(1)(2)f f f >->C.(2)(1)(3)f f f >-> D.(3)(2)(1)f f f >>-6.已知12,x x 是方程220x -+=的两根，则2212x x +=A．2 B.3 C.4 D.57.已知,,a b R ∈且,a b >则下列结论中正确的是A．1a b > B.11a b< C.||||a b > D.33a b >8.“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间上[2,)+∞为增函数”的A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.向某容器中匀速注水时容器水面高度h 随时间t 变化的函数()t f h =的图像如右图所示，则容器的形状可以是A B C D10.若一系列函数的解析式相同、值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.函数解析式为()12+=x x f ，值域为{}3,1的同族函数有A.1个B.2个C.3个D.4个二．填空题11.设全集R U =，集合{}2|<=x x A ，集合{}1|<=x x B ，则集合=A C U ____________集合()B A C U ⋃=____________.12.命题“1<∀x ，11>x”的否定是_____________.13.某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为__________.14.函数()()111>-+=x x x x f 的最小值是________，此时=x ________.15.能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若c b a >>，则c b a >+”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为____________.三．解答题16.已知0>a ，记关于x 的不等式()()01<+-x a x 的解集为P ，不等式11≤-x 的解集为Q .（1）若3=a ，求集合P ；（2）若P Q ⊆，求a 的取值范围.17.（本小题9分）已知定义在R 上的奇函数()21x m f x x +=+，m R ∈。
2021-2021学年高一下学期期中考试数学试卷
北京四中2021-2021学年度第二学期期中考试高一数学满分150分，考试时间120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 若b a >>0，则下列不等式中成立的是（ ）A.b a 11> B. ab a 11>- C. ||||b a > D. 22b a > 2. ABC Δ中，若C B A sin cos sin 2=⋅，则ABC Δ的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形3. 已知{}n a 是等差数列，421=+a a ，2887=+a a ，则该数列的前10项和=10S （ ） A. 64 B. 100 C. 110 D. 1204. 若A 是正数b a ,的等差中项，正数G 是b a ,的等比中项，则以下结论最准确的是（ ）A. AG ab >B. AG ab ≤C. AG ab >D. AG ab <5. ABC Δ中，若3=AB ，1=AC ，30=∠B ，则ABC Δ的面积为（ ）A.23 B. 43 C. 23或3 D. 23或43 6. 数列{}n a 中，若11=a ，nnn a a a 211+=+，则这个数列的第10项10a =（ ）A. 19B. 21C.191 D. 211 7. 若R y x ∈,，且32=+y x ，则yx42+的最小值是（ ）A. 32B. 23C. 24D. 6 8. 若非负实数y x ,满足⎩⎨⎧≤-+≤-+07230832y x y x ，则y x +的最大值是（ ）A. 2B.37 C. 38D. 3 9. ABC Δ中，S 表示ABC Δ的面积，若C c A b B a sin cos cos =+，)(41222a cb S -+=，则=∠B （ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 9010. 等差数列{}n a 中，若90121064=+++a a a a ，则141031a a -=（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. ABC Δ中，若边6=b ，边2=c ，角 120=B ，则角=C 。
北京市第四中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
16．已知集合M＝{0，1，2，3}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝_____．
17．不等式 的解集为_____________
18．已知x＞y＞z，x+y+z＝0，则①xz＜yz②xy＞yz③xy＞xz④x|y|＞z|y|四个式子中正确的是_____．（只填写序号）
所以A∩B＝{3}.
故选：B
【点睛】
本题主要考查交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．D
【分析】
由题得 ，解不等式即得解.
【详解】
由题得 ，
解之得 且 ，
所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}.
故选：D
【点睛】
本题主要考查求具体函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．C
8．函数f（x）＝x3﹣2x﹣3一定存在零点的区间是（ ）
A．（2，+∞）B．（1，2）C．（0，1）D．（﹣1，0）
9．下列函数中，满足f（2x）＝2f（x）的是（ ）
A．f（x）＝（x+2）2B．f（x）＝x+1
C． D．f（x）＝x﹣|x|
10．函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A． ， ，
（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；
（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；
（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
北京市2020-2021学年高一数学下学期期中试题(含解析)
8.由等边三角形组成的网格如图所示，多边形
是某几何体的表面展开图，对于
该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表
示），下列结论中正确的是
（）
A. 平面
B. 平面 平面
C. 平面
平面
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，得到该几何体表示一个正八面体,此时 GHIJ 分别与 CDEF 重合，利用正八面体的性
17.已知四棱锥
的底面 是菱形.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
求证：
；
（Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分 4 分，第（2）问满分 5 分）
① 分别是
上的点，若
,
，求 的值.
②若
，
，
，判断△ 是否为等腰三角形？并说
明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由四边形 是菱形，所以
【详解】在 中，因为
，由正弦定理得 ，
又由余弦定理得
，
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6
又因为
，所以 .
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，其中解答中熟练应用正弦 定理的边角互化和合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于 基础题.
11.已知正方形 的边长为 1，将
的体积为：
，则
和 都为定值，所以四棱锥
的体积恒为定值；
②中，连接 和 ，当
时，利用三垂线定理可得
,又由
，所
以
，利用线面垂直的判定定理，即可得到
平面 ，所以是正确的；
2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)
2020-2021北京市北京四中高一数学上期中模拟试题(带答案)一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()log a x xf x x =（01a <<）的图象大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤5．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 6．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð7．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,332 8．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞9．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（）A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--10．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．()1,3 D ．()2,311．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b 12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b << B ．b a c << C ．a b c << D ．b c a <<二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.14．给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =；（2）函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥； （4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.15．1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.17．已知偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则(2)0f x ->的解集为___ ___ 18．设，则________19．用max{,,}a b c 表示,,a b c 三个数中的最大值，设{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->，则()f x 的最小值为_______. 20．已知函数(12)(1)()4(1)xa x f x a x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________三、解答题 21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足124Q b =+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？22．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围． 23．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-.（1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.24．已知函数()1ln 1x f x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x t y -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）：（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大.26．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是min km ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：lg 20.30=， 1.23 3.74=， 1.43 4.66=）（1）若02x =，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少min km ？ （2）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（3）若雄鸟的飞行速度为2.5min km ，雌鸟的飞行速度为1.5min km ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43x f x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．A解析：A【解析】【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定.【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D又因为2x = 时()0f x >，排除B故选：A【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．C解析：C【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．4．D解析：D【解析】【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增， 所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D.【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.5．B解析：B【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算6．C解析：C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S).故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．7．B解析：B【解析】【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为()a f x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．D解析：D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.9．D解析：D【解析】【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减， 因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--，故选D.本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 12．B解析：B【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数，∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．14．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确 解析：（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确.【详解】解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20x y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确.故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.15．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））.【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200【解析】【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数.【详解】设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000,当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200.【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．【解析】【分析】通过判断函数的奇偶性增减性就可以解不等式【详解】根据题意可知令则转化为由于偶函数在上为增函数则即即或即或【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性增减性）解不等式意在考查学生的转化能 解析：{|40}x x x ><或【解析】 【分析】通过判断函数的奇偶性，增减性就可以解不等式. 【详解】根据题意可知(2)0f =，令2x t -=，则转化为()(2)f t f >，由于偶函数()f x 在()0,∞+上为增函数，则()(2)f t f >，即2t>，即22x -<-或22x ->，即0x <或4x >.【点睛】本题主要考查利用函数的性质（奇偶性，增减性）解不等式，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力.18．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．19．0【解析】【分析】将中三个函数的图像均画出来再分析取最大值的函数图像从而求得最小值【详解】分别画出的图象取它们中的最大部分得出的图象如图所示故最小值为0故答案为0【点睛】本题主要考查数形结合的思想与解析：0 【解析】 【分析】将{}2()max ln ,1,4(0)f x x x x x x =--->中三个函数的图像均画出来,再分析取最大值的函数图像,从而求得最小值.【详解】分别画出ln y x =-,1y x =-,24y x x =-的图象,取它们中的最大部分,得出()f x 的图象如图所示,故最小值为0.故答案为0 【点睛】本题主要考查数形结合的思想与常见函数的图像等,需要注意的是在画图过程中需要求解函数之间的交点坐标从而画出准确的图像,属于中等题型.20．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.三、解答题21．（1）()1364f x x =-+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元 【解析】 【分析】() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲城市投资72万元时公司的总收益；()()12364f x x =-+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为求函数2,6143y t t ∈=-++最值，即可得出结论．【详解】()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，所以()()11616023644f x x x =+-+=-+， 依题意得3016030x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得30130x ≤≤，故()1364f x x =-+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，所以总收益()136664f x x =-+=． ()()12364f x x =-+，30130x ≤≤令t =t ∈．2,6143y t t ∈=-++当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． 【点睛】本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．22．（1）(,6][6,+)∞∞--U ；（2）3(,)4∞-． 【解析】 【分析】（1）首先求函数的对称轴22a x -=-，令242a --≥或 222a --≤-，求实数a 的取值范围；（2）不等式等价于21x x m ++>恒成立，令()21g x x x =++，转化为()min g x m >，[]1,1x ∈-恒成立，求m 的取值范围. 【详解】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，242a -∴-≥或 222a --≤-， 解得6a ≤-或6a ≥．∴实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞U ；（2）当5a =，[]1,1x ∈-时，()24f x m x >+-恒成立，即21x x m ++>恒成立， 令()21g x x x =++，()min g x m >恒成立，函数()g x 的对称轴[]11,12x =-∈-，∴()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即34m >， m ∴的范围为3(,)4-∞．【点睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型. 23．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <. 考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题． 24．（1）[1,0]- ;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合A ，再由集合的包含关系，可得a 的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得()f x 的定义域，计算()f x -与()f x 比较，即可得到所求结论． 试题解析：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以()1,1A =-， 因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,0-（2）函数()f x 的定义域()1,1A =-，定义域关于原点对称()()()1ln 1x f x x ---=+- ()1111ln ln ln 111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭而1ln32f ⎛⎫=⎪⎝⎭，11ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数.25．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象 26．（1）1.70/min km ；（2）466；（3）9 【解析】试题分析：（1）直接代入求值即可，其中要注意对数的运算；（2）还是代入求值即可；（3）代入后得两个方程，此时我们不需要解出1x 、2x ，只要求出它们的比值即可，所以由对数的运算性质，让两式相减，就可求得129x x =． 试题解析：（1）将02x =，8100x =代入函数式可得：31log 81lg 22lg 220.30 1.702v =-=-=-= 故此时候鸟飞行速度为1.70/min km ． （2）将05x =，0v =代入函数式可得：310log lg 52100x =-即3log 2lg52(1lg 2)20.70 1.40100x ==⋅-=⨯= 1.43 4.66100x∴==于是466x =． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，依题意可得：13023012.5log lg 2100{11.5log lg 2100x x x x =-=-两式相减可得：13211log 2x x =，于是129x x =． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．考点：1．函数代入求值；2．解方程；3．对数运算．。
2020年北京四中高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共13 小题，共 65.0 分）1.某校老年、中年和青年教师的人数如表所示．采纳分层抽样的方法检查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有32 人，则该样本的老年教师人数为（）类型人数老年教师90中年教师180青年教师160共计430A. 9B. 10C. 18D. 302. 整体由编号为 01，02， 29，30 的 30 个个体构成，利用下边的随机数表选用 4 个个体．7806 6572 0802 6314 2947 1821 98003204 9234 4935 3623 4869 6938 7481选用方法是从随机数表第1行的第 5 列和第 6 列数字开始，从左往右挨次选用两个数字，则选出的第 4 个个体的编号为（）A. 02B. 14C. 18D. 293. 10 名工人生产某一部件，生产的件数分别是10， 12， 14， 14，15， 15，16， 17，17，17，设其均匀数为a，中位数为 b，众数为 c，则（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. c＞a＞bD. c＞b＞a4. 扔掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本领件空间是Ω={1，2， 3， 4， 5， 6} ．设事件 A={1 ， 3} ，B={3 ， 5， 6} ， C={2 ， 4，6} ，则以下结论中正确的选项是（）A.A， C 为对峙事件B.A， B 为对峙事件C.A，C 为互斥事件，但不是对峙事件D.A， B 为互斥事件，但不是对峙事件5. 方程x+|y-1| 0表示的曲线是（）＝A. B.C. D.A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形7. 以下图是 1，2 两组各 7 名同学体重（单位：千克）数据的茎叶图．设1，2 两组数据的均匀数挨次为和，标准差挨次为s1 2）和 s ，那么（（注：标准差 s= ，此中为 x1， x2，， x n 的均匀数）A.C. ＜， s1＜ s2 B.＜，s1＞s2 ＞， s1＞ s2D.＞，s1＜s28. 会合 A={2 ， 3} ， B={1 ， 2， 3} ，从 A， B 中各取随意一个数，则这两数之和等于 4的概率是（）A. B. C. D.9. 在平面直角坐标系中，ABC的极点B，C坐标为（-2 0 2 0），中线AD △，），（，的长度是3，则极点 A 的轨迹方程是（）A. x2+y2=3B. x2+y2=4C. x2+y2=9（y≠0）D. x2+y2=9（x≠0）10. 在△ABC 中， a=2， c= ，sinB+sin A（ sinC-cosC） =0，则∠C=（）A. B. C. D.11.ABC中，a2 2 2）在△≤b +c -bc，则∠A 的取值范围是（A. B. C. D.12. 五人并排站成一排，假如一定相邻且在的右侧，则不一样的排法有（）A.60种B. 48 种C. 36种D. 24 种13.袋中装有 5 个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色，现从袋中随机抽取 3 个小球．设每个小球被抽到的时机均等，则抽到白球或黑球的概率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7 小题，共35.0 分）14.利用计算机产生 0～ 1 之间的均匀随机数 a，则事件“ 3a-1＞ 0”发生的概率为______ ．15.一组数据的方差是 4，将这组数据中的每个数据都乘以 5，所获取的新数据的方差是______．16.给出以下结论：（ 1）方程=l 表示一条直线；（ 2）到 x 轴的距离为 2 的点的轨迹方程为y=2；222217.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30°的方向上，行驶 600m 后抵达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度 CD ＝ _________m．18.某高三毕业班有 40 人，同学之间两两相互给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 ______条毕业留言．（用数字作答）19. 四个编号分别为l 2 3，4的小球，放入编号分别为l 2 3 4的四个盒子中，，，，，，每个盒子只放一个球，则有且只有一个小球和盒子的编号同样的概率是______ ．20. 在△ABC 中，已知 a≠b，．则内角 C=______，式子的取值范围是 ______．三、解答题（本大题共 5 小题，共 50.0 分）21.ABC中，内角A B C所对的边分别为a b c A=60° c= a 在△，，，，，已知∠，．（Ⅰ）求 sinC 的值；（Ⅱ）当 a=7 时，求△ABC 的面积．22. 将一颗骰子先后扔掷 2 次，察看向上的点数，事件 A 8 B ：：“两数之和为”，事件“两数之和是 3 的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”．（Ⅰ）写出该试验的基本领件空间Ω，并求事件 A 发生的概率；（Ⅱ）求事件 B 发生的概率；（Ⅲ）事件 A 与事件 C 起码有一个发生的概率．23.从某校高一年级随机抽取 n 名学生，获取了他们日均匀睡眠时间（单位：小时）的数1 [5，6） 22 [6，7）3 [7，8） a4 [8，9） b5 [9，10）（I）求 n 的值；（Ⅱ）若 a=10，补全表中数据，并绘制频次散布直方图；（Ⅲ）假定同一组中的每个数据可用该组区间的中点值取代．若上述数据的均匀值为，求 a，b 的值，并由此预计该校高一学生的日均匀睡眠时间许多于8 小时的概率．ABC中，内角A B C所对的边分别为a b c，b= a，c=2．24. 在△，，，，（Ⅰ）若 A= ，求 C 的大小；（Ⅱ）求△ABC 面积的最大值．25.曲线 C 是平面内到点 F （ 0，1）和直线 l ：y=4 的距离之和等于 5 的点 P 的轨迹．（Ⅰ）试判断点 M（ 1， 2）， N（ 4， 4）能否在曲线 C 上，并说明原因；（Ⅱ）求曲线 C 的方程，并画出其图形；（Ⅲ）给定点 A（ 0，a），若在曲线 C 上恰有三对不一样的点，知足每一对点对于点A 对称，务实数 a 的取值范围．答案和分析1.【答案】C【分析】解：在抽取的样本中，青年教师有32 人，而抽样的的比率为= ，该样本的老年教师人数为x，则有= ，∴x=18，应选： C．由题意分层抽样的定义和方法，求出则该样本的老年教师人数．此题主要考察分层抽样的定义和方法，属于基础题．2.【答案】D【分析】解：从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始，从左往右挨次选用两个数字，出的前 4 个个体的编号分别为：08， 02， 14， 29．则选出的第 4 个个体的编号为29．应选： D．利用随机数表法直接求解．此题考察样本编号的求法，考察随机数表法等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【分析】解：数据 10， 12， 14， 14，15， 15， 16， 17， 17， 17中，均匀数为 a= ×（ 10+12+14+14+15+15+16+17+17+17 ），中位数为b=15 ，众数为 c=17，所以 c＞ b＞ a．应选： D．由题意计算这组数据的均匀数、中位数和众数．此题考察了求数据的均匀数、中位数和众数的问题，是基础题．4.【答案】C【分析】解：∵扔掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本领件空间是Ω={1，2， 3， 4，5，6} ．事件 A={1 ， 3} ， B={3 ，5， 6} ，C={2 ， 4， 6} ，当掷出的点数 3 时， A， B 同时发生，故 A，B 不是互斥事件，故A，B 也不是对峙事件；即B，D 错误；A， C 不行能同时发生，故A，C 为互斥事件，但 A∪B={1 ， 2， 3，4， 6}≠Ω，故 A，C 不是对峙事件，故 A错误，C正确，应选： C此题考察的知识点是互斥事件与对峙事件，娴熟掌握并正确理解对峙事件和互斥事件的观点是解答的重点．5.【答案】B【分析】【剖析】此题考察了曲线与方程，训练了绝对值的去法，考察了函数图象的作法，是中档题．分 y≥1和 y＜ 1 去绝对值后画出函数图象，则答案可求．【解答】解：由方程x+|y-1|=0 ，得．∴方程 x+|y-1|=0 表示的曲线是：应选： B．6.【答案】A【分析】解：在△ABC 中，∵＜cosC，∴sinA＜sinBcosC，∴sin（B+C）＜ sinBcosC，睁开化为： cosBsinC＜ 0，∵B， C∈（ 0，π）．∴cosB＜ 0，B 为钝角．∴△ABC 为钝角三角形．应选： A．由＜ cosC，利用正弦定理可得sinA＜ sinBcosC，即 sin（ B+C）＜ sinBcosC，睁开化简即可判断出结论．此题考察了正弦定理、三角形内角和定理、和差公式、引诱公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．7.【答案】A【分析】解：由茎叶图，得第 1 组的 7 名同学的体重分别为53 56 57 58 61 70 72，∴第 1组的7 名同学体重的均匀数为：= （ 53+56+57+58+61+70+72 ） =61kg所以，第12 2 2 2 2 组的 7 名同学体重的方差为： s = （[ 53-61）+（ 56-61）+ +（ 72-61 ）]=43.00 kg ，同理，第 2 组的7 名同学体重的均匀数为：= （ 54+56+58+60+61+72+73 ）=62kg2 2 2 2 2∴＜且 s1＜ s2应选： A．将题中的茎叶图复原，联合均匀数、方差计算公式，分别算出第 1 组 7 位同学和第 2 组7位同学的均匀数和方差，再将所得结果加以比较，即得此题的答案此题给出茎叶图，要我们求出数据的均匀数和方差，侧重考察了茎叶图的认识、样本特点数的计算等知识，属于基础题．8.【答案】C【分析】【剖析】此题考察古典概型及其概率公式，属于基础题．总的方法种数为6，由列举法可得切合条件的有 2 种，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从 A， B 中各取随意一个数共有:(2,1),(2,2), （2,3），（ 3,1），（ 3,2），（ 3,3）六种方法，而两数之和为 4 的有：（ 2， 2），（ 3，1）两种方法，故所求的概率为：= ．应选 C．9.【答案】C【分析】解：设 A 的坐标：（x， y），由题意可得B，C 的中点坐标为：（ 0，0），y≠0，再由圆的定义可得：x2+y2=9，（ y≠0）；应选： C．由题意求出中点的坐标，依据两点间的距离求出 A 的轨迹构成，注意三角形中A， B，C不可以共线．考察轨迹方程的求法，注意条件的应用， A 是三角形的极点，属于基础题也是易错题．10.【答案】B【分析】解：△ABC 中，∵已知 sinB+sinA?（ sinC-cosC） =0 ，又 sinB =sin（ A+C） =sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sin A（ sinC-cosC） =0，∴sinAcosC+cosAsinC+sin AsinC-sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0．∵sinC≠0，∴cosA=-sin A，∴tanA=-1 ．∵0＜ A＜π，∴A=，由正弦定理可得=，∴sinC=，∵a=2， c=，∴sinC=．∵a＞ c，∴C= ．应选： B．11.【答案】C【分析】解：∵a2≤b2+c2-bc，∴bc≤b2+c2-a2，，∴，且 0＜ A＜π，∴，∴∠A 的取值范围是．应选： C．依据 a2≤b2+c2-bc 即可得出，从而依据余弦定理得出，从而可得出∠A的取值范围．此题考察了不等式的性质，余弦定理，余弦函数的图象，考察了计算能力，属于基础题．12.【答案】D【分析】【剖析】此题考察摆列的运用，注意剖析相邻问题时，要用捆绑法．依据题意， A、 B 一定相邻且 B 在 A 的右侧，视A、B 为一个元素，且只有一种排法；将 A、B 与其余 3 个元素，共 4 个元素摆列，由乘法计数原理可得答案．【解答】解：依据题意， A、 B 一定相邻且 B 在 A 的右侧，视 A、 B 为一个元素，且只有一种排法；将 A、B 与其余 3 个元素，共 4 个元素摆列，即A44=24 ，则切合条件的排法有1×24=24 种；应选 D．13.【答案】D【分析】解：从口袋中 5 个小球中随机摸出 3 个小球，共有C5 3=10 种选法，则既没有黑球也没有白球只有 1 种，∴每个小球被抽到的时机均等，则抽到白球或黑球的概率为1- = ，应选： D．从口袋中 5 个小球中随机摸出 3 个小球，共有10 种选法，则既没有黑球也没有白球只有 1 种，依据互斥事件的概率公式计算即可．此题考察了古典概型的概率计算公式和组合数的计算公式，属于基础题14.【答案】【分析】解： 3a-1＞0 即 a＞，则事件“ 3a-1＞ 0”发生的概率为P= = ．此题考察的知识点是几何概型的意义，重点是要找出（0，1）上产生随机数 a 所对应图形的长度，及事件“ 3a-1＞ 0”对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解．几何概型的概率估量公式中的“几何胸怀”，能够为线段长度、面积、体积等，并且这个“几何胸怀”只与“大小”相关，而与形状和地点没关．15.【答案】100【分析】解：一组数据的方差是 4，将这组数据中的每个数据都乘以 5，所获取的新数据的方差是 52×4=100．故答案为： 100．依据方差的定义与性质，计算即可．此题考察了方差的定义与性质的应用问题，是基础题．16.【答案】（3）【分析】解：（ 1）. =1， x≠2化为 y=x-2，所以表示一条直线去掉一个点（2， 0），错误；（ 2）到 x 轴的距离为 2 的点的轨迹方程为y=±2，错误；（ 3）方程（ x2-1）2+（ y2-4）2=0 可得：，解得x=±1，y=±2，表示四个点（±1，±2），正确；故答案为：（3）．（ 1） . =1，x≠2化为 y=x-2，所以表示一条直线去掉一个点（2， 0）；（ 2）到 x 轴的距离为 2 的点的轨迹方程为y=±2，即可判断出正误；（ 3）方程（ x2-1）2+（ y2-4）2=0 可得：，解出即可判断出正误．此题考察了简略逻辑的判断方法、直线与曲线的方程、不等式的性质，考察了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】100【分析】解：设此山高h（ m），则 BC=h，在△ABC 中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°， AB=600．依据正弦定理得=，解得 h=100（m）故答案为： 100．设此山高 h（ m），在△BCD 中，利用仰角的正切表示出 BC，从而在△ABC 中利用正弦定理求得 h．此题主要考察认识三角形的实质应用．重点是结构三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再经过正弦、余弦定理或其余基天性质成立条件之间的联系，列方程或列式求解．18.【答案】1560【分析】解：某高三毕业班有40 人，同学之间两两相互给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了=40×39=1560 条．故答案为： 1560．经过题意，列出摆列关系式，求解即可．此题考察摆列数个数的应用，注意正确理解题意是解题的重点．19.【答案】【分析】解：四个编号分别为l ，2， 3， 4 的小球，放入编号分别为l， 2， 3，4 的四个盒子中，每个盒子只放一个球，基本领件总数n==24 ，有且只有一个小球和盒子的编号同样包括的基本领件个数m==8，则有且只有一个小球和盒子的编号同样的概率p=．故答案为：．基本领件总数n==24 ，有且只有一个小球和盒子的编号同样包括的基本领件个数m==8，由此能求出有且只有一个小球和盒子的编号同样的概率．此题考察概率的求法，考察古典概率等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．20.【答案】[1+，2）【分析】解：△ABC 中，∵，依据正弦定理和余弦定理，∴=．∴a2+b2 =c2，即△ABC 为直角三角形，．===．∵△ABC 中，，∴，∴，，，∴．即．故答案为：．此题运用正余弦定理及两角和两角差公式，经过角化边化简计算即可．此题考察三角形的正余弦定理，内角和为π，两角和与差公式，要修业生有角化边的转变思想，属于中档题．21.【答案】解：（I）在△ABC中，因为∠A=60°，c= a，所以由正弦定理=可得sinC==．（II ）因为 a=7，所以 c= ×7=3 ．由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA 得，解得 b=8 或 b=-5 （舍）．所以△ABC 的面积 S= bcsinA= ×8×3× =6．所以△ABC 的面积 6．【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得=可得sinC= ?sinA，将题中的条件可得其值；（Ⅱ）由题意可得 c 的值，再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA 得即题中的条件可得 b 边，代入面积公式S= bcsinA 可得面积．此题考察正弦定理及余弦定理的应用和面积公式，属于中档题．22.【答案】解：（I）将一颗骰子先后扔掷 2 次，察看向上的点数，Ω={（ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1，4），（ 1， 5），（ 1，6），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5），（ 2，6），（3， 1），（ 3， 2），（ 3， 3），（ 3， 4），（ 3， 5），（ 3， 6），（4， 1），（ 4， 2），（ 4， 3），（ 4， 4），（ 4， 5），（ 4， 6），（5， 1），（ 5， 2），（ 5， 3），（ 5， 4），（ 5， 5），（ 5， 6），（6， 1），（ 6， 2），（ 6， 3），（ 6， 4），（ 6， 5），（ 6，6） } ，共有 36 个基本领件，事件 A：“两数之和为 8”，事件 A 包括的基本领件有：（2， 6），（ 3， 5），（ 4， 4），（ 5， 3），（ 6， 2），共 5 个基本领件，∴事件 A 发生的概率为P（ A） =．（ II ）事件 B：“两数之和是 3 的倍数”，事件 B 包括的基本领件有12 个，分别为：（1，2），（ 1，5），（ 2，1），（ 2， 4），（ 3，3），（ 3，6），（ 4，2），（ 4，5），（5， 1），（ 5， 4），（ 6， 3），（ 6， 6），∴事件 B 发生的概率P（ B） = = ．（ III ）事件 A 与事件 C 起码有一个发生包括的基本领件有11 个，分别为：（2，2），（ 2，4），（ 2，6），（ 3， 5），（ 4，2），（ 4，4），（ 4，6），（ 5，3），（6， 2），（ 6， 4），（ 6， 6），∴事件 A 与事件 C 起码有一个发生的概率为P（ A∪C） =．【分析】（ I）将一颗骰子先后扔掷 2 次，察看向上的点数，利用列举法能求出Ω，再求失事件 A“两数之和为 8 包括的基本领件有 5，由此能求失事件 A 发生的概率．（ II ）求失事件 B 发生的概率．（III ）利用列举法求失事件 A 与事件 C 起码有一个发生包括的基本领件个数，由此能求失事件 A 与事件 C 起码有一个发生的概率．此题考察概率的求法，考察列举法等基础知识，考察运算求解能力，是基础题．23.【答案】解：（I）∵小组[5，6）内的频数是2，对应的频次是，∴样本容量为n=；（1分）（II ）小组 [6， 7）内的频数为 50×0.20=10，小组 [7 ， 8）内的频次为=0.20 ，小组 [8 ， 9）内的频数为50-2-10-10-8=20 ，频次为，小组 [9， 10）内的频数为50×0.16=8，由此补全数据见下表（ 3 分）；组号分组频数频次1 [5 ，6） 22 [6 ，7）103 [7 ，8）104 [8 ，9）205 [9 ，10）8绘制频次散布直方图见以下图：（ 5 分）（ III ）依据题意，得，（7分）解得；（8分）设“该校高一学生的日均匀睡眠时间许多于8 小时”为事件A，则 P（A）=．（9分）【分析】（ I）依据频次 =，求出n的值；（II ）依据频次、频数与样本容量的关系，求出表中空余的数值，补全数表，并绘制（ III ）依据均匀数的定义，列出方程组，求出a、 b 的值，计算日均匀睡眠时间许多于8小时的概率．此题考察了频次散布直方图的应用问题，也考察了均匀数与概率的计算问题，是基础题目．24.【答案】解：（ I）若，则由得 sinB= sinA= ，因为 B∈（ 0，π），所以B=或B= ．因为 A+B+C=π，故 C= 或C= ，（ II ）设 BC=x，则 AC= ，依据面积公式，得，依据余弦定理，得 cos B= ，将其代入上式，得．由三角形三边关系，有解得，故当 x=2 时， S△．ABC 获得最大值2【分析】（Ⅰ ）直接利用正弦定理的应用求出结果．（Ⅱ ）利用余弦定理和三角形的面积公式的应用及不等式的应用求出结果．此题考察的知识重点：正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，三角形三边关系的应用，主要考察学生的运算能力和变换能力及思想能力，属于中档题型．25.【答案】解：（I）设点P（x，y），则 |PF|+d=5 ，即．发现点 M 的坐标（ 1， 2）不知足方程，故点 M 不在曲线 C 上，而点 N 的坐标（ 4， 4）知足方程，故点 N在曲线 C上；（II）由得，所以 x2+（ y-1）2=（ 5-|y-4|）2x2+（ y-1）2=25-10|y-4|+（ y-4）2x2=40-10| y-4|-6y=，曲线 C 如下图．（ III ）明显，过点 A 与 x 轴平行的直线与曲线 C 的两个交点对于点 A 对称，且这两个点在同一段抛物线上；当两个点在同一段抛物线时，也只有当这两点所在直线与x 轴平行，才存在对于点 A 对称的两点：当对称的两点分属两段抛物线时，不如设此中一个点为P（ x1，y1），此中 y1=，且-4≤x1≤4，则其对于点 A 的对称点为Q（ -x1， 2a-y）所以 2a-y1=-+5 即 2a=y1-+5=-+5=+5，考虑到直线PQ 不与 x 轴平行，所以 -4＜ x1＜4 且 x1≠0．所以当＜a＜4时，方程2a=+5 的解恰好有且只有两个．综上，实数 a 的取值范围为（，4）．【分析】（ I）设点 P（ x， y），利用 |PF|+d=5，即．推出结果即可．（II）由得，判断化简 x2+（ y-1）2 = ，画出图形．（ III ）明显，过点 A 与 x 轴平行的直线与曲线 C 的两个交点对于点 A 对称，且这两个点在同一段抛物线上；当两个点在同一段抛物线时，也只有当这两点所在直线与x 轴平行，才存在对于点 A 对称的两点，联合图形，推出当＜ a＜ 4 时，方程 2a= +5 的解恰好有且只有两个．获取实数 a 的取值范围．此题考察轨迹方程的求法，抛物线的性质的应用，考察发现问题解决问题的能力，数形联合的应用，是难题．。
北京市第四中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 答案和解析
北京市第四中学【最新】高一上学期期中考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果A=（-1，+∞），那么正确的结论是（ ）A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．{0}⊂≠AD ．φ A ∈2．函数f （x ）=2x ，则1()2f =（ ）A ．0B ．C ．2D ．-2 3．与函数lg(1)y x =-的定义域相同的函数是（ ）A ．1y x =-B ．|1|y x =-．C ．y = D ．y =4．若函数f （x ）＝3x ＋3－x 与g （x ）＝3x －3－x 的定义域均为R ，则（ ）A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数B ．f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数D ．f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数5．设lg0.2a =，3log 2b =，125c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 6．若指数函数(1)x y a =+在R 上是减函数，那么（ ）．A ．01a <<B ．10a -<<C ．1a =-D ．1a <-7．设函数3y x =与1()2x y =的图象的交点为0(x ，0)y ，则0x 所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 8．已知函数f （x ）是R 上的偶函数，当x≥0时f （x ）=2x -2，则f （x ）<0的解集是（ ）A ．（-1，0）B ．（0，1）C ．（-1，1）D ．（-∞，-1）（1，+∞）9．某商店卖出两套不同品牌的西服，售价均为1680元。
以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店（ ）A ．不亏不盈B ．盈利372元C ．亏损140元D ．盈利140元10．设函数()f x 在()-∞+∞，上为减函数，则（ ） A ．()()21f a f a +< B ．()()2f a f a < C ．()()2f a a f a +< D ．()()2f a f a >11．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2x ）=-2f （x ），且f （-1）=12，则f （2）的值为A ．1B ．-2C ．2D ．-1 12．设1a >且10b -<<，则函数x y a b =+的图象一定不过 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．如果x>1，a=0.5log x ，那么A ．22a a a >>B ．22a a a >>C ．22a a a >>D ．22a a a >>二、填空题14．2366log 4log 98+-=_______。
北京市第四中学20212021学年高一数学下学期期中试题
北京市第四中学20212021学年高一数学下学期期中试题试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，共计150分考试时刻：120分钟卷（Ⅰ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 某影院有40排，每排46个座位，一次新片公布会坐满了记者，会后留下了每排20号的记者进行座谈，如此的抽样方法是A. 抽签法B. 随机数表法C. 系统抽样法D. 分层抽样法 2. 下列命题中，正确命题的个数是①有三个公共点的两个平面重合 ②梯形的四个顶点在同一平面内 ③三条互相平行的直线必共面 ④四条线段顺次首尾相接，构成平面图形 A. 0 B. 1 C. 2D. 33. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.41B.8π C.21 D.4π 4. △ABC 中，若B ＝45°，22,334==c b ，则A ＝ A. 15° B. 75° C. 75°或105° D. 15°或75°5. 甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a ，乙掷出的点数记为b ，则｜a －b ｜≤1的概率为A.94 B.187 C.92 D.91 6. 若a ，b 是异面直线，则与a ，b 都平行的平面A. 不存在B. 有无穷多个C. 有且仅有一个D. 不一定存在7. △ABC 中，若∠ABC ＝4π，3,2==BC AB ，则sin ∠BAC ＝ A.1010 B.510C.10103 D.55 8. 有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是A.52 B.53 C.54 D.103 9. 某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外从事体育锤炼的时刻（单位：分钟），依照所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是［0，5），［5，10），…，［35，40］，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是10. 台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，都市B 在A 的正东40千米处，B 都市处于危险区内的时刻为A. 0.5小时B. 1小时C. 1.5小时D. 2小时二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测。