§8.1 状态变量与状态方程 信号与线性系统分析(4版)电子教案

xnan1x1an2x2 ann xnbn1f1bn2f2 bnpfp
y1c11 x1c12 x2 c1nxnd11f1d12f2 d1pfp
y2c21 x1c22 x2 c2nxnd21f1d22f2 d2pfp
yqcq1x1cq2x2 cqn xndq1f1dq2f2 dqpfp
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以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。
R1 iL1 L1
aa iL2 L2
R2
iC
us1
uC
u
us2
这时可列出方程
CduC dt
iL2
iL1
0
R1iL1L1ddiL t1uCuS10
d uC dt
1 C
iL1
1 C
iL2
d iL1 dt
1 L1
uC
R1 L1
iL1
1 L1
u
S
1
L2dd iL t2R2iL2uS2uC0
di d
L
t
2
1 L2
uC
R2 L2
iL 2
1 L2
u
S
2
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在初始时刻的值称为初始状态。
对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。
矩阵形式
状态方程 x (t) A (t) x B (t)f
输出方程 y(t)C(t)xD(t)f
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵
对离散系统，类似有
状态方程 x (k 1 ) A (k)x B (k)f 输出方程 y(k)C(k)xD(k)f
状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
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动态方程的一般形式
状态变量分析又称状态空间方法(state space approach)或
状态空间理论，是由R. E. Kalman(卡尔曼)于1960’s提出的
现代控制理论的三个代表性成就：卡尔曼滤波理论、 (贝
尔曼R. Bellman)动态规划、极大值原理(庞特里亚金L.S.
Pontryagin)。
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内部法——状态变量法
本章将介绍的内部法—状态变量法是用n个状态变 量的一阶微分或差分方程组(状态方程)来描述系统。 优点有： (1)提供系统的内部特性以便研究。 (2)便于分析多输入多输出系统； (3)一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于 时变系统和非线性系统。
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§8.1 状态变量与状态方程
一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
第八章 系统的状态变量分析 (state variable analysis)
前面几章的分析方法称为外部法，它强调用系统的
输入、输出之间的关系来描述系统的特性。
其特点：
(1)适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统， 将增加复杂性；
(2)只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内 部情况一无所知，也无法控制。
说明： (1)系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的 线性组合； (2)状态变量应线性独立；
(3)状态变量的选择并不是唯一的 。
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二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： (1)第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； (2)第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系 统输出。
f1(t)
y1(t)
n阶多输入-多输出LTI 连续系统，如图 。
其状态方程和输出方程为
f2(t) ┇
fp(t)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
{xi(t0)}
y2(t) ┇
yq(t)
x1a1x 11a12 x2 a1nxnb11f1b12f2 b1pfp
x2a21 x1a22 x2 a2nxnb21f1b22f2 b2pfp
状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。
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