§8.1 状态变量与状态方程 信号与线性系统分析(4版)电子教案
《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
信号与系统(精编版)第8章 系统的状态变量分析
第8章 系统的状态变量分析
6
8.1.2 由电路引出系统的状态方程与输出方程
先从一个具体电路(系统)的例子看方程的列写。图8.1-2(a) 为二阶电路(系统)，图中is(t)为激励源(输入)，u(t)、iC(t)为两 个响应(输出)。从系统的观点看，该电路属于单输入两个输 出的系统，如图8.1-2(b)所示。
可将状态方程与输出方程分别写为更简洁的矢量矩阵形式，
即
(8.1-14)
(8.1-15)
第8章 系统的状态变量分析
19
式中
第8章 系统的状态变量分析
20
分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量
和输出矢量。其中上标T表示转置运算。
第8章 系统的状态变量分析
21
2. 离散系统的动态方程
图8.1-4是n阶离散系统的示意框图，它同样有p个输入， q个输出。对于离散系统，有关状态、状态变量的概念与连续 系统类似，因为离散信号定义的特殊性，致使状态变量、输
选择了uC、iL作为状态变量列写了状态方程式(8.1-8)， 我们亦可选择iC、uL作为该电路的状态变量列写出另外形式 旳状态方程。事实上，对于二阶系统，如果它的状态变量用
x1，x2来表示，则这组变量的各种线性组合
(8.1-18a)
(8.1-18b)
第8章 系统的状态变量分析
26
(3) 状态空间与状态轨迹概念。 为了使读者能够形象直观地接受状态轨迹概念，我们 对图8.1-2(a)电路简化配置参数：令RL=RC=0，L=0.5 H， C=0.5 F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1 A，解得状态变量
入、输出都是序列，状态方程表现为状态变量的一阶前向差
分方程组；输出方程更是与连续系统的输出方程形式上类似，
信号与系统分析第八章 系统的状态变量分析
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
信号与线性系统分析(第四版)
信号与线性系统分析（第四版）：探索信号处理的数学基石一、信号与线性系统的基本概念在信息技术飞速发展的今天，信号与线性系统分析已成为电子工程、通信工程等领域不可或缺的基础知识。
本版书籍旨在为您提供一个清晰、系统的学习路径，帮助您深入理解信号处理的理论与实践。
1. 信号的定义与分类（1）确定性信号与随机信号：确定性信号在任意时刻都有明确的函数值，而随机信号则具有不确定性。
（2）周期信号与非周期信号：周期信号在时间轴上呈周期性重复，而非周期信号则不具备这一特性。
（3）能量信号与功率信号：能量信号在有限时间内具有有限的能量，而功率信号则具有有限的功率。
2. 线性系统的特性（1）叠加原理：多个输入信号经过线性系统处理后，其输出信号等于各输入信号单独处理后的输出信号之和。
（2）齐次性原理：输入信号经过线性系统放大或缩小后，输出信号也会相应地放大或缩小。
二、线性时不变系统描述1. 冲激响应与卷积积分冲激响应是描述LTI系统特性的重要工具。
通过冲激响应，我们可以利用卷积积分求出系统对任意输入信号的响应。
2. 系统函数与频率响应系统函数是LTI系统在频域的描述方式，它揭示了系统对不同频率信号的响应特性。
频率响应则是对系统函数在特定频率下的直观展示。
3. 状态空间描述状态空间描述是一种更为全面的LTI系统描述方法，它将系统的内部状态与输入、输出联系起来，为分析和设计复杂系统提供了有力工具。
三、信号的傅里叶分析1. 傅里叶级数傅里叶级数将周期信号分解为一系列正弦波和余弦波，揭示了周期信号在频域的组成。
2. 傅里叶变换傅里叶变换将时间域的非周期信号转换为频域信号，为信号处理提供了强大的分析工具。
四、拉普拉斯变换与z变换的应用1. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换将时间域的信号转换到复频域，它是分析线性时不变系统在复频域特性的关键工具。
在本版书籍中，我们将探讨：（1）拉普拉斯变换的基本性质和收敛域。
（2）利用拉普拉斯变换求解微分方程和积分方程。
信号与系统第八章系统的状态变量分析
X(s)
H(s)
Y(s)
看出简单的方框图，变成流图形式是用一有始有终的 线段表示。起始点标为X(s),终点标为Y(s).
4、流图中的名词
结点：表示系统中变量或信号的点。 线段（支路）：两个结点之间的定向线段，表示信 号传输的路径。 箭头：表示信号的传输方向；
转移函数： 两个结点之间的增益称为转移函数，标 注在箭头附近。
三状态方程引入??t??????t????1111lldrdtddlll0ietit????????????????????????????????????????????????????????????状态方程?在状态空间分析方法中将状态方程以矢量和矩阵形式表示
第八章 系统的 状态变量分析
本章的主要内容
有二种方法。第一种方法：把所有输入支路增益除以 -G H （1+G2H2）
1 2
1 G2 H 2
X
H1 H 2 1 G2 H 2
1
X2 X3
-G3
X5 X4 H4 -G 4
1
H3
Y
另一种方法是把输出支路增益除以（1+G2H2）。
这两种方法等同。
H1 H 2
-G1 H 2 -G3
1
X2
X5 X4 H4 -G 4
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 )
1
X
Y
G4H 4 1+G3 H 3
并联环路增益相加。
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 ) -G1 H 2 H 3 H 4 G4 H 4 (1 G2 H 2 ) (1 G2 H 2 )(1 G3 H 3 )
信号与系统教案第8章参考幻灯片
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
第8-6页
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信号与系统 电子教案
第八章 系统状态变量分析03.10.2020
8.1 状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2 状态方程的建立
一、电路状态方程的列写
二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 离散系统状态方程的建立 8.4 连续系统状态方程的解 8.5 离散系统状态方程的解
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第8-1页
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信号与系统 电子教案
03.10.2020
第八章 系统状态变量分析
前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。
三个内部变量和激励求
u(t)R2iL2(t)uS2(t)
iC(t)iL1(t)iL2(t)
出：
一组代数方程
第8-4页
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信号与系统 电子教案 状态与状态变量的定义
8.1 状态变量与状态方程 03.10.2020
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。
第8章 系统的状态变量分析
1 1 RC x x 1 2 L
第8-10页
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1 1 C x1 RC x2 0 0
0 f1 1 f2 L
则g1 (t0 ), g2 (t0 )也可作为系统在t0时刻的状态。
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信号与系统 电子教案
8.1
系统的状态空间描述
（2） 状态变量：
表示状态随时间变化的一组变量称状态变量。
设t0时刻的初始状态为：x1 (t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ).
x1 (k ) , x2 (k ) , , xn (k ) 。
状态矢量：由状态变量构成的列矢量X(k) 称状态矢量。
x1 ( k ) x (k ) X (k ) 2 xn ( k )
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信号与系统 电子教案
令
uC x1 , iL x2
duc diL x1 , x2 dt dt
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信号与系统 电子教案
8.1
系统的状态空间描述
1 1 1 x1 RC x1 C x2 RC f1 x 1 x 1 f 2 1 2 L L
状态空间：状态矢量X(t) 所在的空间称状态空间。
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8.1
系统的状态空间描述
电子教案-信号与系统第四版(含习题解答)-信号与系统电子教案
第7章 离散系统的时域分析 7.1 离散信号与离散系统 7.2 卷积和 Z变换的主要性质 8.3 系统的Z域分析 8.4 系统函数H(Z)与稳定性 8.5 数字滤波器的概念
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目录
第1章 基础概念 1.1 历史的回顾 1.2 应用领域 1.3 信号的概念 1.4 基本信号和信号处理 1.5 系统的概念 1.6 线性时不变系统
第2章 连续系统的时域分析
2.1 系统的微分方程及其响应 2.2 阶跃信号与阶跃响应 2.3 冲激信号与冲激响应 2.4 卷积及其应用 2.5 二阶系统的分析
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
（高职高专辅助教学媒体）
燕庆明 主编
高等教育出版社 高等教育电子音像出版社
2007年
前言
“信号与系统”课程是高职高专院校电子信息类各专业的必修课，是“电 路分析”课程后的又一门重要的主干课程。为了帮助教师组织教学，提高教 学效率，我们以教材《信号与系统》（第4版）（燕庆明主编，高等教育出版 社，2007.12）为蓝本，编制了信号与系统电子教案、全书习题解答、 MATLAB仿真和实验指导。参与本教案制作的有燕庆明、鲁纯熙和顾斌杰。
本教案采用PowerPoint制作，应用方便、灵活。其中共设置8章（可讲授 60学时左右）。各校教师可根据实际需要增减有关内容。使用中有何建议可 与我们联系。不当之处，请批评指正。
Tel： (0510)88392227 作者 2007.9
使用说明
运行环境：Office 2000以上。 请安装Office工具中的公式编辑器。 按钮使用： 下列按钮在单击时可超链接到相应幻灯片。
信号与线性系统分析(第四版)
信号与线性系统分析(第四版)信号与线性系统分析是电子信息领域的重要课程，对于理解现代通信系统、控制系统以及信号处理技术具有重要意义。
本教材是信号与线性系统分析的第四版，根据最新的学科发展和技术进步进行了全面修订，以适应现代电子信息工程教育的需求。
在第四版中，我们对信号与线性系统分析的基本概念、基本理论、基本方法进行了系统的阐述。
同时，为了提高读者的实践能力，本教材还增加了大量的实例和习题，帮助读者更好地掌握信号与线性系统分析的理论和方法。
1. 信号与系统概述：介绍信号与系统的基本概念，包括连续时间信号、离散时间信号、线性时不变系统、线性时变系统等。
2. 信号分析：讲解信号的时域分析、频域分析、变换域分析等基本方法，包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换等。
3. 系统分析：阐述线性时不变系统的基本性质，包括系统的稳定性、系统的频率响应、系统的零状态响应、系统的零输入响应等。
4. 信号处理：介绍基本的信号处理技术，包括滤波、调制、解调、采样、量化、编码等。
5. 应用实例：通过实际的应用实例，展示信号与线性系统分析在通信系统、控制系统、信号处理等领域的应用。
信号与线性系统分析(第四版)信号与线性系统分析是电子信息领域的重要课程，对于理解现代通信系统、控制系统以及信号处理技术具有重要意义。
本教材是信号与线性系统分析的第四版，根据最新的学科发展和技术进步进行了全面修订，以适应现代电子信息工程教育的需求。
在第四版中，我们对信号与线性系统分析的基本概念、基本理论、基本方法进行了系统的阐述。
同时，为了提高读者的实践能力，本教材还增加了大量的实例和习题，帮助读者更好地掌握信号与线性系统分析的理论和方法。
1. 信号与系统概述：介绍信号与系统的基本概念，包括连续时间信号、离散时间信号、线性时不变系统、线性时变系统等。
2. 信号分析：讲解信号的时域分析、频域分析、变换域分析等基本方法，包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换等。
电子教案《信号与系统》(第四版_燕庆明)(含习题解答)8.4
例 y(n) 0.6y(n 1) 0.16y(n 2) f (n) 2 f (n 1)
( 1 ) 求系统函数H( z )； ( 2 ) 求单位响应h( n )。
解 取方程的Z变换
(1 0.6z1 0.16z2)Y (z) (1 2z1)F(z)
则
H (z)
Y (z) F(z)
z2
z2 2z 0.6z 0.16
信号与系统 8.4-4
图2
信号与系统 8.4-5
结论：
单位圆上的实极点，h(n)对应为阶跃序列； 单位圆内的实极点，h(n)对应为指数衰减序列； 单位圆内的共轭极点，h(n)对应为衰减振荡序列； 单位圆上的共轭极点，h(n)对应为正弦振荡序列； 单位圆外的极点，h(n)对应为增长序列。
三、系统的稳定性
8.4 系统函数H(z)与稳定性
一、系统函数H(z)
信号与系统 8.4-1
f(n)
h(n)
y(n)=h(n)*f(n)
F(z)
H(z)
Y(z)=H(z)F(z)
H (z)
Y (z) F(z)
零态响应的Z变换 激励信号的Z变换
H( z )是Z域分析的纽带，反映系统本身的属性， 与系统的起始状态无关。
信号与系统 8.4-2
信号与系统 8.4-6
稳定：
充要条件为 h(n) ，即H(z)的所有极点位于单位圆内。 n0
临界稳定：
H(z)的一阶极点位于单位圆上，单位圆外无极点。
不稳定：
H(z)有极点位于单位圆外，或单位圆上有重极点。
➢ 阅读与思考：阅读书例8-14和例8-15。
end
(z
z(z 2) 0.2)(z
0.8)
故
信号与线性系统分析(第四版)--吴大正课件.
离散周期信号举例2
例 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k)
解 （1）sin(3πk/4) 和cos(0.5πk)的数字角频率分别为 β1 = 3π/4 rad， β2 = 0.5π rad 由于2π/ β1 = 8/3， 2π/ β2 = 4为有理数，故它们的周期 分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故f1(k) 为周期序列，其周期为 N1和N2的最小公倍数8。 （2）sin(2k) 的数字角频率为 β1 = 2 rad；由于2π/ β1 = π为无理数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列 。
如：ε(t)是功率信号； tε(t)、 e t为非功率非能量信号;
δ(t)是无定义的非功率非能量信号。
第 25 页
5．一维信号和多维信号
一维信号： 只由一个自变量描述的信号，如语音信号。
多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。 还有其他分类，如：
实信号与复信号 左边信号与右边信号 因果信号和反因果信号
③ S t ) 0 a ,t ( n π ， n 1 , 2 , 3
④ sitd n tπ, sitd n tπ
⑤
0t
2
limSat)(0
t
t
⑥ sit)n sπ c itn ( π t
t
第 31 页
§1.3 信号的基本运算
两信号的相加和相乘 信号的时间变化
➢ 平移 ➢ 反转 ➢ 尺度变换 信号的微分和积分
第7页
通信系统 为传送消息而装设的全套技术设备
信信
信信
信
信信
信号与线性系统分析第四版教学设计
信号与线性系统分析第四版教学设计一、课程教学目标本课程旨在掌握信号与线性系统的基本概念与方法，能够分析连续时间信号与离散时间信号在线性时不变系统中的变换特性，深入理解信号与系统的本质，培养学生的科学研究能力与工程应用能力。
二、课程教学内容本课程的主要教学内容包括以下部分：1.信号与系统概述2.连续时间信号及其时域分析3.连续时间系统及其时域分析4.离散时间信号及其时域分析5.离散时间系统及其时域分析6.拉普拉斯变换及其应用7.离散时间傅里叶变换及其应用8.稳定性分析9.系统函数与频率响应分析10.FIR滤波器及其设计11.IIR滤波器及其设计三、教学方法本课程采用讲授、问题答疑、案例分析、实验教学、课堂讨论等多种教学方法，注重理论与实践相结合，培养学生的工程实践能力。
具体教学方法如下：1.讲授：通过讲解教材内容，向学生传授知识技能，帮助学生理解信号与系统的基本概念与方法。
2.问题答疑：解答学生在学习中遇到的问题，帮助学生深入理解课程内容与方法。
3.案例分析：结合实际工程案例，帮助学生应用所学知识，解决实际问题。
4.实验教学：通过实验操作，使学生深入理解信号与系统的基本特性，培养学生实验设计能力与数据处理能力。
5.课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，引导学生积极参与课堂交互，提高学生的学习效果。
四、教学任务1.掌握连续时间信号的基本概念、分类及时域分析方法。
2.掌握连续时间线性时不变系统的基本概念、分类及时域分析方法。
3.掌握离散时间信号的基本概念、分类及时域分析方法。
4.掌握离散时间线性时不变系统的基本概念、分类及时域分析方法。
5.掌握拉普拉斯变换及其应用。
6.掌握离散时间傅里叶变换及其应用。
7.能够分析系统的稳定性，并应用频率响应分析方法进行系统设计与优化。
8.掌握FIR滤波器设计方法。
9.掌握IIR滤波器设计方法。
五、教学资源1.教师备课资料：比如教材、课件、案例等2.实验室资源：比如计算机、示波器、信号发生器等3.在线教育资源：比如MOOC、教育类网站等六、考核方式1.课堂出勤与课堂表现占10%。
信号与系统第八章(1) 状态方程
{x(k0)}
y1(k) y2(k)
yq(k)
它的p个输入为 它的q个输出为
f1(k), f2(k), , f p (k)
y1(k), y2 (k), , yq (k)
将系统的n个状态变量记为 x1(k), x2 (k), , xn (k)
则其状态方程和输出方程可写为
x(k 1) Ax(k) Bf (k) y(k) Cx(k) Df (k)
上式简记为 y(t) Cx(t) Df (t)
d1p f1(t)
d2
p
f
2
(t
)
dqp
f
p
(
t
)
式中
c11
C
c21
cq1
y(t) [ y1(t) y2(t) yp (t)]T 输出矢量
c12 c22 cq2
y2 (t
)
c21
yq
(
t
)
cq1
c12 c22 cq2
c1n x1(t ) d11
c22
x2(
t
)
d 21
cqn
xn
(t
)
dq1
d12 d22 dq2
R5
L5
x3
C1
l2 a
C2 b L6 i6
Q
＋ ＋x1－
＋ ＋x2－
us －
l1
C3
u3 －
R4
is
图 8.2-2
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前面几章的分析方法称为外部法，它强调用系统的
输入、输出之间的关系来描述系统的特性。
其特点：
(1)适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统， 将增加复杂性；
(2)只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内 部情况一无所知，也无法控制。
以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。
R1 iL1 L1
aa iL2 L2
R2
iC
us1
uC
u
us2
这时可列出方程
CduC dt
iL2
iL1
0
R1iL1L1ddiL t1uCuS10
d uC dt
1 C
iL1
1 C
iL2
d iL1 dt
说明： (1)系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的 线性组合； (2)状态变量应线性独立；
(3)状态变量的选择并不是唯一的 。
▲
■
第6页
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： (1)第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； (2)第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系 统输出。
1 L1
uC
R1 L1
iL1
1 L1
u
S
1
L2dd iL t2R2iL2uS2uC0
di d
L
t
2
1 L2
uC
Hale Waihona Puke R2 L2iL 2
1 L2
u
S
2
▲
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第3页
▲
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第4页
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在初始时刻的值称为初始状态。
对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。
状态变量分析又称状态空间方法(state space approach)或
状态空间理论，是由R. E. Kalman(卡尔曼)于1960’s提出的
现代控制理论的三个代表性成就：卡尔曼滤波理论、 (贝
尔曼R. Bellman)动态规划、极大值原理(庞特里亚金L.S.
Pontryagin)。
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内部法——状态变量法
矩阵形式
状态方程 x (t) A (t) x B (t)f
输出方程 y(t)C(t)xD(t)f
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵
对离散系统，类似有
状态方程 x (k 1 ) A (k)x B (k)f 输出方程 y(k)C(k)xD(k)f
状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。
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f1(t)
y1(t)
n阶多输入-多输出LTI 连续系统，如图 。
其状态方程和输出方程为
f2(t) ┇
fp(t)
{xi(t0)}
y2(t) ┇
yq(t)
x1a1x 11a12 x2 a1nxnb11f1b12f2 b1pfp
x2a21 x1a22 x2 a2nxnb21f1b22f2 b2pfp
xnan1x1an2x2 ann xnbn1f1bn2f2 bnpfp
y1c11 x1c12 x2 c1nxnd11f1d12f2 d1pfp
y2c21 x1c22 x2 c2nxnd21f1d22f2 d2pfp
yqcq1x1cq2x2 cqn xndq1f1dq2f2 dqpfp
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本章将介绍的内部法—状态变量法是用n个状态变 量的一阶微分或差分方程组(状态方程)来描述系统。 优点有： (1)提供系统的内部特性以便研究。 (2)便于分析多输入多输出系统； (3)一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于 时变系统和非线性系统。
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§8.1 状态变量与状态方程
一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。
状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
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动态方程的一般形式