初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习

三角函数专项复习

锐角三角函数知识点总结

1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：

3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性：

当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，

7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法)

A

90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A

对边

邻边

A

C

8、应用举例：

(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角

铅垂线

水平线

视线

视线

俯角

(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即

h

i

l

=。坡度一般写成1:m的形式，如1:5

i=等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan

h

i

l

α

==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。

4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东45°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西45°（西南方向），北偏西45°（西北方向）。

类型一：直角三角形求值

例1．已知Rt△ABC中，,

12

,

4

3

tan

,

90=

=

︒

=

∠BC

A

C求AC、AB和cos B．

例2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，⋅

=

∠

4

3

sin AOC

求：AB及OC的长．

例3.已知A

∠是锐角，

17

8

sin=

A，求A

cos，A

tan的值

:

i h l

=

h

l

α

对应训练：

1．在Rt△ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB

=5，则tan A 的值为

A

．

55 B ．255 C ．12

D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5

3

，那么tan A 的值等于（ ）.

A ．35

B . 45

C . 34

D . 43

类型二. 利用角度转化求值：

例1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．

DE ∶AE ＝1∶2．

求：sin B 、cos B 、tan B ．

例2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，

和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC 的值为（ ）

A ．12

B ．3

C ．35

D ．4

5

对应训练:

3.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为

3

2

，2AC =，则sin B 的值是（ ）

A ．

23 B ．32 C ．34 D ．43

4. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )

D C B A O

y

x

第8题图

Ａ．

3

4

Ｂ．

4

3

Ｃ．

3

5

Ｄ．

4

5

A D

E

C

B

F

类型三. 化斜三角形为直角三角形

例1 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．

例2．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．

求：sin∠ABC的值．

对应训练

1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sin B．

3. △ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是

3 cm23 cm2

3 cm2 cm2

类型四：利用网格构造直角三角形

例1 如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）

A．

1

2

B．

5

5

C．

10

10

D．

25

5