大一高数复习资料

第一章复习x.1 函数的极限及其连续性 概念：省略注意事项1． 无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如，x x x f y sin )(==是无界变量，但不是无穷大量。

因为取22ππ+==n x x n 时，22)(ππ+=n x f n ，当n 充分大时，)(n x f 可以大于一预先给定的正数M ；取πn x x n 2==时，0)(=n x f 2． 记住常用的等价形式 当0→x 时，,~arctan ,~tan ,~arcsin ,~sin x x x x x x x xx x x x x e x x x αα~1)1(,21~cos 1,~1,~)1ln(2-+--+例1 当0→x 时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小 （1）2x 。

（2）x cos 1-。

（3）x x tan sin - （4）)1ln(2x +。

（）解：因为222~)1ln(,21~cos 1x x x x +-，所以选择C 练习 xxe x x cos ln cos lim 20-→解 )]1(cos 1ln[cos 11limcos ln cos lim 2200-+-+-=-→→x x e x x e x x x x 31cos cos 1lim 1cos lim)]1(cos 1ln[cos 1lim )]1(cos 1ln[1lim 020002-=--+-=-+-+-+-=→→→→x xx x x xx e x x x x x3． 若函数的表达式中包含有b a +（或b a +），则在运算前通常要在分子分母乘以其共轭根式b a -（或b a -），反之亦然，然后再做有关分析运算 例2 求)1sin(lim 2π+∞→n n 。

解 ])1sin[(lim )1sin(lim 22πππn n n n n n +-+=+∞→∞→nn n n n n n n ++-=-+-=∞→∞→1sin)1(lim )1sin()1(lim 22ππ当∞→n 时，)(,01~1sin22∞→→++++n nn nn ππ又 1|)1(|=-n，故0)1sin(lim 2=+∞→πn n练习 求])1(2121[lim -+++-+++∞→n n n解 原式＝22)1()1(221lim 2)1(2)1(lim =-++⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+∞→∞→n n n n n n n n n n n 4． e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 该极限的特点：⎩⎨⎧∞与幂互为倒数后的变量（包括符号））括号中（型未定式121)1(解题方法（1） 若极限呈∞1型，但第二个特点不具备，则通常凑指数幂使（2）成立 （2） 凡是∞1型未定式，其结果：底必定是e ，幂可这样确定： 设0)(lim =x u ，∞=)(lim x v ，则)()(lim )]()[(lim ))(1ln()(lim ))(1ln()()(lim ))(1lim (x u x v x u x v x u x v x u x v x v e e e e x u ±±±±====±这是因为 )(~))(1ln(x u x u ±±。

例3 求xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1sin 1cos lim 。

解 原式＝2222sin 1lim 1sin 1cos lim xx xx x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→因为122sinlim 22sinlim ==⋅∞→∞→xx xx x x ，所以原极限＝e 。

练习 求xnxxxx n ee e 120lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++→ 。

解 原式＝xnxx x x n n e e e 1201lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++++→ ，因为21)21(11lim 1lim 1lim 1)1()1()1(lim 11lim 02002020+=+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-=-++-+-=⋅-+++→→→→→n n nx e x e x e n x e e e n x n n e e e nxx x x x x nx x x x nx x x x 5． 几个常用的极限1)0(lim =>∞→ααn n特别地 1lim=∞→nn n2arctan lim 2arctan lim ππ-==-∞→+∞→x x x xπ==-∞→+∞→x arc x arc x x cot lim 0cot lim ∞==+∞→-∞→x x x x e e lim 0lim1lim 0=+→x x xx.2 单调有界原理 单调有界数列必有极限此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列}{n x 单调有界；（2）设}{n x 的极限存在，记为l x n n =∞→lim 代入给定的n x 的表达式中，则该式变为l 的代数方程，解之即得该数列的极限。

例4 已知数列}{n a ： ,11,,11,1111121--++=++==n n n a aa a a a a ，求n n a ∞→lim 。

解 用数学归纳法可证得}{n a 单调增加：2311,11121=++==a a a a ，显然21a a <。

假设k k a a <-1成立，于是0)1)(1(111111111<++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-----+k k kk k kk k k k a a a a a a a a a a即 1+<k k a a 成立。

显然21<<n a ，从而数列}{n a 有极限，不妨设A a n n =∞→lim 。

由于1111--++=n n n a a a ，两遍去极限得：AA A ++=11，即012=--A A ，即得出251±=A 。

根据包号性的推论可知A 非负，所以251lim +=∞→n n a 。

X.3 n 项和的极限 求解方法:(1)利用特殊和式求和；（2）利用夹逼定理求极限（n 个项按递增或递减排列）；例5 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅++⋅+⋅∞→)1(1321211lim n n n解 原式1111lim 1113121211lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→n n n n n 例6 求)12111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 。

解 因为11211122222+≤++++++≤+n n nn n n n n n ，而11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ，由夹逼准则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⋅+⋅∞→)1(1321211lim n n n ＝1 X.4 n 项积的极限（1）分子、分母同乘以一个因子，使之出现连锁反应； （2） 把通项拆开，使各项相乘过程中中间项相消； （3） 夹逼定理（4）利用对数恒等式化为n 项和形式。

例7 当1||<x 时，求)1()1)(1)(1(lim 242nx x x x n ++++∞→解 原式＝xx x x x x nn -++++-∞→1)1()1)(1)(1)(1(lim242＝xx x x x nn -+++-∞→1)1()1)(1)(1(lim 2422 ＝ =-++-∞→xx x x nn 1)1()1)(1(lim244＝xx x x x x n nnn n -=--=-+-+∞→∞→1111lim 1)1)(1(lim 1222练习 当0≠x 时，求nn xx x 2cos4cos 2cos lim ∞→解 原极限＝nn nn n n xx x x x 2sin 22cos 4cos 2cos 2sin 2lim⋅∞→＝x xx x x x x xx x x xxx x x nn n nn n nnn n n n nn n n n n sin 22sin lim2sin2sin lim2sin 2)2sin 2cos 2(4cos 2cos 2lim 2sin 2)2sin 2cos 2(4cos 2cos 2lim1121=⋅===⋅=⋅=∞→∞→---∞→-∞→例8 求⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n 。

解 因为kk k k k k k k 11)1)(1(1122+⋅-=+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=∞→n n n n n 1134322321lim21121lim=+⋅=∞→n n n X.5 有关闭区间上连续函数的命题的证明证明方法有两种1． 直接法 其程序是先利用最值定理，再利用介值定理例1 设)(x f 在],[b a 上连续，且b d c a <<<，证明：在),(b a 内至少存在一个ξ使得)()()()(ξf q p d qf c pf +=+，其中q p ,为任意正常数证 因为)(x f 在],[b a 上连续所以)(x f 在],[b a 上有最大值M 与最小值m由于],[,b a d c ∈，且0.>q p ，于是有qMd qf qm pMc pf pm ≤≤≤≤)()(从而M q p d qf c pf m q p )()()()(+≤+≤+即M qp d qf c pf m ≤++≤)()(。

由介值定理，在],[b a 上至少存在一个ξ，使得)()()(ξf qp d qf c pf =++2． 间接法（己辅助函数法） 其程序是先作辅助函数)(x F ，验证)(x F 满足玲芝定理条件，然后由零值定理得出命题的证明。

辅助函数)(x F 的作法：（1）把结论中的ξ（或0x ）该写成x ；（2）移项，使等式右边为零，令左边的式子为)(x F ，此即为所求的辅助函数 例2 设)(x f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =，证明：在],0[a 上至少存在一个ξ，使得)()(a f f +=ξξ。

证 令)()()(x f a x f x F -+=显然，)(x F 在],0[a 上连续，注意到)2()0(a f f =， 故 )()0()()2()(),0()()0(a f f a f a f a F f a f F -=-=-=当0)0()(=-f a f 时，可取ξ为a 或0，而当0)0()(≠-f a f 时，有0)]0()([)()0(2<--=⋅f a f a F F由零值定理可知存在一个ξ),0(a ∈，使得0)(=ξF ，即)()(a f f +=ξξX.6 极限的求法1． 约简分式的方法求极限s r q p x x sr q p x ,,,(11lim //1--→都是正整数） 2． 有理化分子和分母 求极限)11(lim 22+--+++∞→x x x x x3． 利用自然数求和 求极限⎪⎭⎫⎝⎛-++++∞→14135115131lim 2n n4． 利用基本极限1sin lim0=→xxx求极限xxx x x cos 13cos 2cos cos 1lim 0-⋅⋅-→5． 利用基本极限e xx xx xx =+=+∞→→)11(lim )1(lim 1求极限xx x 2tan 4)(tan lim π→6． 利用单调有界数列必有极限 求数列层根号n n x 111++=的极限习题课一例1 试用极限的“N -ε”定义证明：21321lim 22=++∞→n n n n 。