基本不等式的实际应用
基本不等式应用
基本不等式应用
基本不等式是一种数学结构，可以用来描述数量之间的关系。
它可以用来考量给定数据和参数之间的约束，并且可以用来确定在特定情况下可以取得何种结果。
在几何图形、统计技术、分析算法和其他范畴中，基本不等式可以带来一定的帮助、提升效率，并且为用户提供更精准的结果。
首先，基本不等式可以用于解决几何图形中的问题。
在几何图形上，基本不等式可以用来确定形状、约束大小和尺寸、判断相邻多边形边界等。
例如，可以使用三角不等式去确定诸如三角形的边界，以便分析三角形的面积、周长、外接圆半径等参数。
此外，基本不等式还可以应用于其他几何图形的解决方案，比如椭圆形、抛物线等，以更全面进行分析与计算。
其次，基本不等式可以用于统计技术上的应用，例如运用贝叶斯不等式实现数据的识别、比较、求和等操作。
它可以在统计分析中确定两个数量之间是否存在关系，以及应用于无限统计分布上，比如高斯分布等，以判断哪种概率分布适合哪种应用场景。
最后，基本不等式还可以应用于分析算法和函数优化领域。
例如，可以利用三角不等式去优化函数，以求解最优值，增强几何分析的效率。
此外，还可以使用拉格朗日不等式去筛选出特定约束之下的最优分析结果。
总而言之，基本不等式在许多数学应用中得到广泛应用，它可以更好地辅助分析、统计、优化算法、提升数据处理能力等多
种领域。
它不仅可以提升数学模型的准确性，而且可以实现更深入精准的结果。
以上的例子仅概述了基本不等式的基本应用，未来它在工程和科学领域的应用也将引起更多人的关注。
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识看似抽象遥远，但实际上却无处不在，尤其是基本不等式，它能帮助我们解决许多实际问题，让我们做出更明智的决策。
基本不等式，通常表述为对于任意两个正实数 a 和 b，有算术平均数大于等于几何平均数，即（a ＋ b) ／2 ≥ √（ab) 。
这个看似简单的公式，却蕴含着丰富的应用价值。
先来说说购物中的应用。
假设我们在商场看到同一款式的 T 恤有两种包装，一种是单件装，售价为x 元；另一种是三件装，售价为y 元。
如果我们打算购买 n 件 T 恤，怎样购买更划算呢？这时候基本不等式就能派上用场。
假设单件购买 m 件，三件装购买 k 套（k 为整数），使得 m ＋ 3k＝ n 。
那么总花费 C ＝ mx ＋ ky 。
我们希望总花费最小，考虑到均值不等式，C ／ n ＝（mx ＋ ky)／ n ＝（m ／ n)x ＋（k ／ n)y 。
为了使 C ／ n 最小，我们需要找到合适的 m 和 k 。
通过分析和计算，可以发现当（m ／ n) ＝（k ／ 3n) 时，C ／ n 可能取得最小值。
再比如，在安排工作任务时，基本不等式也能发挥作用。
假设一项工作总量为 A ，有甲、乙两人合作完成。
甲单独完成这项工作需要 a 小时，乙单独完成需要 b 小时。
那么两人合作完成这项工作所需的时间 t ＝ A ／（A ／ a ＋ A ／b) ，化简可得 t ＝ ab ／（a ＋ b) 。
根据基本不等式，t ＝ ab ／（a ＋b) ≤ （a ＋ b) ／ 4 。
这意味着，在分配工作任务时，要考虑到两人的工作效率，合理安排，以达到最快完成工作的目的。
在投资理财方面，基本不等式同样能提供一些思路。
假设我们有一笔资金 P ，可以选择两种投资方式，一种年利率为 r₁，另一种年利率为 r₂。
为了在一定时间内获得最大的收益，我们需要合理分配资金。
设投入第一种投资方式的资金为 x ，投入第二种的为 P x 。
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用
基本不等式是初中数学中重要的不等式之一，它的实际应用非常广泛。
在生活中，我们经常会遇到需要比较大小的情况，比如购物打折、交通工具的选择等等。
而基本不等式就是帮助我们进行大小比较的数学工具。
在物品打折中，我们会看到“打X折”或“打X%折”，这时我们就需要通过基本不等式来比较打折前和打折后的价格大小。
比如说，某物原价为100元，打7折后价格为70元，打8折后价格为80元，我们可以使用基本不等式7/10<8/10来说明第二种打折方式更优惠。
在选择交通工具时，我们也需要比较不同交通工具的速度和费用大小。
比如说，某旅游景点离我们住处10公里，我们可以选择步行、自行车、公交车和出租车四种交通方式。
我们需要通过基本不等式来比较它们的速度和费用大小，从而选择最优的交通方式。
除此之外，基本不等式还可以应用于代数式的简化、三角函数的证明等数学领域。
在学习数学时，我们应该充分理解和掌握基本不等式的定义和运用，以便更好地应用于实际问题中。
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基本不等式及应用
基本不等式及应用的实际应用情况背景介绍基本不等式是数学中常见的一类不等式，它们可以帮助我们描述和解决各种实际问题，从而在许多领域中发挥着重要作用。
基本不等式包括线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式等。
在实际应用中，我们经常需要根据给定的条件和目标，通过建立和求解基本不等式来得到满足特定条件的解集。
应用过程下面将分别介绍线性不等式、二次函数不等式和绝对值不等式的应用过程及效果。
1. 线性不等式线性不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的一次方程组，其中a、b为已知系数，x为未知数。
线性不等式在实际应用中广泛存在，例如：a. 生产问题假设某工厂生产两种产品A和B，并且单位时间内生产A产品所需的材料成本为10元，生产B产品所需的材料成本为20元。
如果工厂每天最多能使用500元购买原材料，而单位时间内生产A产品利润为5元，生产B产品利润为8元。
我们需要确定每种产品的最大生产量，以最大化利润。
设A产品的生产量为x，B产品的生产量为y。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：10x + 20y ≤ 500 （材料成本限制）5x + 8y ≥ 0 （利润要求）通过求解这个线性不等式组，我们可以得到A和B产品的最大生产量，从而实现最大化利润。
b. 资金问题假设某人有两个银行账户A和B，在一段时间内账户A每天存款增加10元，账户B 每天存款增加15元。
如果初始时两个账户的余额分别为1000元和2000元，并且他希望在一定时间后至少有6000元的总余额。
我们需要确定这个时间段内至少需要存款多少天。
设经过x天后，账户A和B的余额分别为a和b。
根据题目中的条件，我们可以列出以下不等式：a = 1000 + 10xb = 2000 + 15x a + b ≥ 6000通过求解这个线性不等式组，我们可以得到至少需要存款多少天才能达到目标总余额。
2. 二次函数不等式二次函数不等式是形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的二次方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创实用版4篇）目录（篇1）I.问题的提出II.基本不等式的应用方法III.实际问题中的应用IV.结论正文（篇1）随着数学在各个领域的广泛应用，基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题中发挥着越来越重要的作用。
本文旨在探讨基本不等式在解决实际问题中的应用方法。
首先，我们需要明确基本不等式的概念。
基本不等式是指两个或多个数相加或相乘，它们的和或积不超过另外两个数之和或积的等式。
基本不等式在解决实际问题中具有广泛的应用，如工程设计、财务管理、物流规划等领域。
其次，在解决实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的基本不等式。
例如，在物流规划中，我们可以使用基本不等式来计算运输成本；在财务管理中，我们可以使用基本不等式来计算投资回报率；在工程设计中，我们可以使用基本不等式来计算结构强度等。
最后，通过具体实例，我们可以看到基本不等式在解决实际问题中的有效性。
例如，在物流规划中，我们可以使用基本不等式来计算运输成本，从而优化物流方案；在财务管理中，我们可以使用基本不等式来计算投资回报率，从而做出更明智的投资决策；在工程设计中，我们可以使用基本不等式来计算结构强度，从而确保工程的安全性。
总之，基本不等式作为一种有效的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。
目录（篇2）1.引言2.基本不等式的概念和性质3.应用基本不等式解决实际问题的方法4.结论正文（篇2）随着数学在各个领域的广泛应用，基本不等式作为一种重要的数学工具，在解决实际问题中起到了关键作用。
基本不等式是数学中的一种重要不等式，它可以用来解决各种实际问题，包括但不限于最大值、最小值、平均值等问题。
基本不等式是指“和的平方等于各加和的平方和”，即“a+b≥2√ab”。
它具有以下基本性质：一、乘法分配律；二、乘法结合律；三、二次方差恒等式。
这些性质使得基本不等式在解决实际问题中具有广泛的应用。
在解决实际问题时，我们需要将问题转化为基本不等式可以解决的问题。
高考数学：基本不等式在实际问题中的应用
试卷第1页，总7页 高考数学：基本不等式在实际生活中的应用典例1．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为： 250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+-()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P ∈--.∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．（2）设平均处理成本为 90050y Q x x x==+-5010≥=， 当且仅当900x x =时等号成立，由0x >得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．点评：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润(1010)P x y =+-，化简后它是关于x 的二次函数，利用二次函数的知识求出P 的取值范围，如果P 有非负的取值，就能说明可能获利，如果P 没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是P 中最大值的绝对值.（2）每吨平均成本等于y x，由题意90050y x x x =+-，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的x 值. 变式题1．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化。
基本不等式实际应用题
• 基本不等式的概念和性质 • 基本不等式的应用场景 • 基本不等式的解题技巧 • 基本不等式的实际应用案例 • 基本不等式的扩展和深化
01
基本不等式的概念和性质
基本不等式的定义
定义
基本不等式是数学中常用的一个不等 式，它表示两个正数的平均数总是大 于或等于它们的几何平均数。
总结词：代数变换技巧是基本不等式 解题中的重要技巧之一，通过代数运 算对项进行变换，可以简化计算过程， 提高解题效率。
放缩法技巧
放缩法技巧是指通过放缩不等式的两边，使不等式更易于解 决。例如，在利用基本不等式求最值时，可以通过放缩法技 巧将问题转化为更容易求解的形式。
总结词：放缩法技巧是基本不等式解题中的重要技巧之一， 通过放缩不等式的两边，可以将问题转化为更容易求解的形 式，提高解题效率。
构造函数技巧
构造函数技巧是指根据题目的特点，构造一个函数来解决问题。例如，在利用基本不等式求最值时，可以通过构造函数技巧 将问题转化为求函数的最值问题。
总结词：构造函数技巧是基本不等式解题中的重要技巧之一，通过构造函数可以将问题转化为求函数的最值问题，简化计算 过程，提高解题效率。
04
基本不等式的实际应用案例
VS
详细描述
在资源有限的条件下，如何合理分配资源 以达到最优效果是资源分配问题的核心。 基本不等式可以用来解决这类问题，例如 在农业生产、资金分配等方面，通过优化 资源配置，可以提高整体效益。
最短路径问题
总结词
在交通、通信和工程领域，最短路径问题至关重要，基本不等式为寻找最短路径提供了 理论支持。
极值问题
在极值问题中，基本不等式可以用来确定函数的极值点，以及极值的大小。
优化问题的求解
【例题讲解】基本不等式的实际应用例完整版课件
解得
因此，当每间禽舍的长宽分别设计为6m和4m时 ，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小，总长最 小为48m.ຫໍສະໝຸດ 谢谢观看Thanks
基本不等式的实际应用
例1 （1）现有可围36m长的钢筋网的 材料，当每间禽舍的长、宽各设计为 多长时，可使每间禽舍面积最大？
（1）问题可转化为：长方形的邻边之和 为定值，边长多大时邻边之积（面积） 最大的问题.
（1）设每间禽舍的长、宽分别为x m、y m,则
4x+6y=36，即2x+3y=18
设 S=xy（0<x<9，0<y<6）
由基本不等式，得 18 2x 3y 2 2x 3y 2 6S
即
18 2 6 S
所以
S 13.5
当且仅当2x=3y时，不等式中的等号成立，此时
解得
因此，当每间禽舍的长宽分别设计为4.5m和3m 时，可使每间禽舍面积最大，最大面积为13.5m2
基本不等式的实际应用
例1 （2）若使每间禽舍面积为24m2 ，则每间禽舍的长、宽各设计为多长 时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长 最小？
（1）问题可转化为：长方形的邻边之积 （面积）为定值，边长多大时邻边之和 最小的问题.
（1）设每间禽舍的长、宽分别为x m、y m，则
xy=24
设 l=4x+6y（0<x<24，0<y<24）
由基本不等式，得 l 4x+6 y 2 4x 6 y 4 6xy
即
l 48
当且仅当4x=6y时，不等式中的等号成立，此时
基本不等式的实际应用
例1 动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢 筋网围成．(接头处不计) （1）现有可围36m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每 间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为24m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间 禽舍的钢筋网总长最小？
§2.2 第2课时 基本不等式在实际问题中的应用
第2课时 基本不等式在实际问题中的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题． 导语同学们，我们说数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m 2，现地上部分要建在矩形ABCD 上，已知两框架与矩形ABCD 空白的宽度为10 m ，两框架之间的中缝空白宽度为5 m ，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD ，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！一、基本不等式在生活中的应用问题 利用基本不等式求最大(小)值时，应注意哪些问题？提示 一正：x ，y 都得是正数；二定：积定和最小，和定积最大；三相等：检验等号成立的条件是否满足实际需要．例1 (教材46页例3改编)小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16m 2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度． 解 设矩形围栏相邻两条边长分别为x m ，y m ，围栏的长度为2(x ＋y )m. 方法一 由已知xy ＝16， 由x ＋y2≥xy ，可知x ＋y ≥2xy ＝8， 所以2(x ＋y )≥16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二 由已知xy ＝16，可知y ＝16x ，所以2(x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋16x ≥2×2x ·16x＝16. 当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m 的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m.延伸探究 如果小明的爸爸只有12 m 长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解 由已知得2(x ＋y )＝12，故x ＋y ＝6，面积为xy ， 由xy ≤x ＋y 2＝62＝3，或xy ＝x (6－x )≤x ＋6－x2＝3，可得xy ≤9，当且仅当x ＝y ＝3时，等号成立．因此，当游乐园为边长为3的正方形时，面积最大，最大面积为9 m 2. 反思感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量，并理解变量的实际意义； (2)构造定值，利用基本不等式求最值； (3)检验，检验等号成立的条件是否满足题意； (4)结论．跟踪训练1 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，求该容器的最低总造价． 解 设该长方体容器底面的长和宽分别为a m ，b m ，成本为y 元， 由于长方体容器的容积为4 m 3，高为1 m ，所以底面面积S ＝ab ＝4，y ＝20S ＋10[2(a ＋b )]＝20(a ＋b )＋80， 由基本不等式可得y ＝20(a ＋b )＋80≥20×2ab ＋80＝160(元)， 当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立， 因此，该容器的最低总造价为160元． 二、基本不等式在几何中的应用例2 如图所示，设矩形ABCD (AB >BC )的周长为24，把它沿AC 翻折，翻折后AB ′交DC 于点P ，设AB ＝x .(1)用x 表示DP ，并求出x 的取值范围； (2)求△ADP 面积的最大值及此时x 的值． 解 (1)矩形ABCD (AB >BC )的周长为24， ∵AB ＝x ，∴AD ＝242－x ＝12－x ，在△APC 中，∠P AC ＝∠PCA ，所以AP ＝PC ，从而得DP ＝PB ′，∴AP ＝AB ′－PB ′＝AB －DP ＝x －DP ，在Rt △ADP 中，由勾股定理得(12－x )2＋DP 2＝(x －DP )2，∵AB >BC ＝AD ，得x >12－x ， ∴6<x <12，∴DP ＝12－72x (6<x <12)．(2)在Rt △ADP 中，S △ADP ＝12AD ·DP ＝12(12－x )⎝⎛⎭⎫12－72x ＝108－⎝⎛⎭⎫6x ＋432x (6<x <12)． ∵6<x <12，∴6x ＋432x ≥2·6x ·432x ＝722，当且仅当6x ＝432x ，即x ＝62时取等号．∴S △ADP ＝108－⎝⎛⎭⎫6x ＋432x ≤108－722，∴当x ＝62时，△ADP 的面积取最大值108－72 2. 反思感悟 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪训练2 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建为一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝4米，AD ＝3米，当BM ＝________时，矩形花坛AMPN 的面积最小．答案 4解析 设BM ＝x (x >0)，则由DC ∥AM 得ND ND ＋3＝44＋x，解得ND ＝12x ，∴矩形AMPN 的面积为S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3＋12x ＝24＋3x ＋48x ≥24＋23x ×48x＝48，当且仅当3x＝48x，即x ＝4时等号成立．1．知识清单：(1)基本不等式在生活中的应用． (2)基本不等式在几何中的应用． 2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围．1．用一段长为8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为( ) A ．9 cm 2B ．16 cm 2C ．4 cm 2D ．5 cm 2答案 C解析 设矩形模型的长和宽分别为x ，y ，则x >0，y >0， 由题意可得2(x ＋y )＝8， 所以x ＋y ＝4，所以矩形菜园的面积S ＝xy ≤(x ＋y )24＝424＝4，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形菜园的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油，则下列说法正确的是( ) A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样 D ．无法确定答案 B解析 任取其中两次加油，假设第一次的油价为m 元/升，第二次的油价为n 元/升． 第一种方案的均价为30m ＋30n 60＝m ＋n2≥mn ；第二种方案的均价为400200m ＋200n ＝2mnm ＋n≤mn .所以无论油价如何变化，第二种都更划算．3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x (a ，b ，x 均大于零)，则( ) A ．x ＝a ＋b 2 B ．x ≤a ＋b 2 C ．x >a ＋b 2 D ．x ≥a ＋b2答案 B解析 由题意得，A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2， 则(1＋a )(1＋b )＝(1＋x )2， 因为(1＋a )(1＋b )≤⎝⎛⎭⎫1＋a ＋1＋b 22，所以1＋x ≤2＋a ＋b 2＝1＋a ＋b2，所以x ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时取等号．4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，矩形花园面积的最大值为________．答案400解析由题意设矩形花园的长为x>0，宽为y>0，矩形花园的面积为xy，根据题意作图如下，因为花园是矩形，则△ADE与△ABC相似，所以AFAG＝DEBC，又因为AG＝BC＝40，所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40，由基本不等式x＋y≥2xy，得xy≤400，当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400.课时对点练1.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“()”的几何解释()A．如果a>b>0，那么a>bB．如果a>b>0，那么a2>b2C．对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立D．对任意正实数a和b，有a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立答案 C解析可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2)，则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.2．汽车上坡时的速度为a ，原路返回时的速度为b ，且0＜a ＜b ，则汽车全程的平均速度比a ，b 的平均值( ) A ．大 B ．小 C ．相等 D ．不能确定答案 B解析 令单程为s ，则上坡时间为t 1＝s a ，下坡时间为t 2＝s b ，平均速度为2s t 1＋t 2＝2s s a ＋s b ＝21a ＋1b<ab <a ＋b 2.3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．故C 既够用，浪费也最少．4.如图所示，矩形ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD 所需要篱笆的( )A ．最小长度为8B ．最小长度为4 2C ．最大长度为8D ．最大长度为4 2 答案 B解析 设BC ＝a ，CD ＝b ， 因为矩形的面积为4，所以ab ＝4， 所以围成矩形ABCD 所需要的篱笆长度为 2a ＋b ＝2a ＋4a≥22a ·4a＝42， 当且仅当2a ＝4a，即a ＝2时，等号成立．5．气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为(4n ＋46)(n ∈N *)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止，一共使用了( ) A ．300天 B ．400天 C ．600天 D ．800天 答案 B解析 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为320 000＋(50＋4n ＋46)n2n ＝320 000n ＋2n＋48，当且仅当320 000n＝2n 时，取得最小值，此时n ＝400.6．(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y (万元)与运营年数x 的关系为y ＝－x 2＋12x －25，则下列判断正确的是( )A ．车辆运营年数越多，收入越高B ．车辆在第6年时，总收入最高C ．车辆在前5年的平均收入最高D ．车辆每年都能盈利 答案 BC解析 由题意，y ＝－x 2＋12x －25，是开口向下的二次函数，故A 错误；对称轴x ＝6，故B 正确；y x ＝－x ＋12－25x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋12≤－225＋12＝2，当且仅当x ＝5时，等号成立，故C 正确；当x ＝1时，y ＝－14，故D 错误．7．矩形的长为a ，宽为b ，且面积为64，则矩形周长的最小值为________． 答案 32解析 由题意，矩形中长为a ，宽为b ，且面积为64，即ab ＝64， 所以矩形的周长为2a ＋2b ＝2a ＋128a ≥22×128＝32，当且仅当a ＝8时，等号成立，即矩形周长的最小值为32.8．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________m. 答案 160解析 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m ，由题意可得水池总造价y ＝150×4 8003＋120×⎝⎛⎭⎫2×3x ＋2×3×4 8003x ＝240 000＋720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x (x >0)， 则y ＝720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ＋240 000≥720×2x ·1 600x＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297600，当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时，y 有最小值297 600，此时另一边的长度为4 8003x＝40(m)，因此，要使水池总造价最低，则水池的底面周长为160 m.9．经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：y ＝900vv 2＋5v ＋1 000(v >0)．在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y最大？解 y ＝900vv 2＋5v ＋1 000＝900v ＋1 000v ＋5，∵v ＋1 000v ≥2v ·1 000v ＝2010，∴y ＝900v ＋1 000v ＋5≤9002010＋5＝180410＋1，当且仅当v ＝1 000v ，即v ＝1010时等号成立．∴当汽车的平均速度v ＝1010千米/小时时车流量y 最大．10．根据交通法规，某路段限制车辆最高时速不得超过100千米/小时，现有一辆运货卡车在该路段上以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)由题意，y ＝2⎝⎛⎭⎫2＋x 2360·130x ＋14·130x ＝2 340x ＋13x18(0<x ≤100)． (2)因为y ＝2 340x ＋13x18≥22 340x ·13x18＝2610，当且仅当x ＝1810时，等号成立， 又0<1810<100，所以当x ＝1810千米/小时时，这次行车的总费用最低，为2610元．11.无字证明是指只用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于其不证自明的特性，这种证明方式被认为比严格的数学证明更为优雅与条理，请写出该图验证的不等式( )A ．a 2＋b 2≥a ＋bB ．4ab ≥a 2＋b 2C ．a ＋b ≥2abD ．a 2＋b 2≥2ab答案 D解析 从图形可以看出正方形的面积比8个直角三角形的面积和要大，当中心小正方形缩为一个点时，两个面积相等；因此(a ＋b )2≥8×12ab ＝4ab ，所以a 2＋b 2≥2ab .12．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足a ＝6，b ＋c ＝8，则此三角形面积的最大值为( ) A ．37 B ．8 C ．47 D ．9 3 答案 A解析 由题意p ＝7，S ＝7(7－a )(7－b )(7－c )＝7(7－b )(7－c )≤7·7－b ＋7－c2＝37，当且仅当7－b ＝7－c ，即b ＝c ＝4时，等号成立， 此三角形面积的最大值为37.13．某商场对商品进行两次提价，现提出四种提价方案，提价幅度较大的一种是( ) A ．先提价p %，后提价q % B ．先提价q %，后提价p % C ．分两次提价p ＋q2%D ．分两次提价p 2＋q 22%(以上p ≠q ) 答案 D解析 由题意可知，A ，B 选项的两次提价均为 (1＋p %)(1＋q %)；C 选项的提价为⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2，D 选项的提价为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2， 又∵p ＋q2<p 2＋q 22，∴(1＋p %)(1＋q %)<⎝⎛⎭⎫1＋p ＋q 2%2<⎝⎛⎭⎪⎫1＋p 2＋q 22%2， ∴提价最多的为D 选项．14．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km 处． 答案 5解析 设仓库到车站距离为x ，每月土地费用为y 1，每月货物的运输费用为y 2， 由题意可设y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1＝20x ，y 2＝0.8x ，费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥2×4＝8， 当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5 km 处两项费用之和最小．15．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是( ) A ．大于10 g B ．大于等于10 g C ．小于10 g D ．小于等于10 g答案 A解析 由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a (a >0)，右臂长为b (b >0)，则a ≠b ， 再设先称得黄金为x g ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ， ∴x ＝5a b ，y ＝5b a，∴x ＋y ＝5a b ＋5b a＝5⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥5×2a b ·ba＝10， 当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10，因此，顾客购得的黄金大于10 g.16．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(10－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．(1)求每套丛书利润y 与售价x 的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x >010－0.1x >0，∴0<x <100， y ＝x －⎝⎛⎭⎫20＋1010－0.1x ＝x －100100－x－20(0<x <100)， 当x ＝80时，y ＝80－100100－80－20＝55(元)， 此时销量为10－0.1×80＝2(万套)，总利润为2×55＝110(万元)．(2)y ＝x －100100－x－20， ∵0<x <100，∴100－x >0，∴y ＝－⎣⎡⎦⎤100100－x ＋(100－x )＋80 ≤－2100100－x·(100－x )＋80＝60， 当且仅当100100－x ＝100－x ，即x ＝90元时，每套利润最大为60元．。
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用基本不等式是数学中的重要概念，它在现实生活中也有着广泛的应用。
基本不等式的形式是：对于任意正实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有以下不等式成立：(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)...(an^2+bn^2)≥(a1a2...an+b1b2...bn)^2这个不等式在实际应用中有很多用途，以下是其中几个：1.统计学中的方差方差是描述数据离散程度的一种指标。
当我们求解方差时，需要使用基本不等式。
具体而言，我们可以将数据样本的平均值表示为a，数据样本的每个值表示为xi，那么方差就可以表示为：Var(X)=1/n[(x1-a)^2+(x2-a)^2+...+(xn-a)^2]将Var(X)拆开后，我们可以得到一个和式，利用基本不等式，就可以得到求解方差的公式。
2.概率论中的协方差协方差是描述两个随机变量关系的指标。
当我们求解协方差时，也需要使用基本不等式。
具体而言，我们可以将两个随机变量表示为X和Y，它们的期望值分别为a和b，那么协方差就可以表示为：Cov(X,Y)=E[(X-a)(Y-b)]将Cov(X,Y)拆开后，我们可以得到一个和式，利用基本不等式，就可以得到求解协方差的公式。
3.物理学中的能量守恒定律能量守恒定律是物理学中的基本定律之一。
利用基本不等式，我们可以证明能量守恒定律的正确性。
具体而言，我们可以将能量表示为E，动能表示为K，势能表示为U，假设在一个系统中，动能的总和为K1，势能的总和为U1，动能的总和为K2，势能的总和为U2，那么根据基本不等式，我们可以得到以下结论：(K1+K2+U1+U2)^2≥(K1+U1)^2+(K2+U2)^2这个结论说明，系统中的能量总和不会增加或减少，总能量守恒。
这就是能量守恒定律的本质。
基本不等式应用案例设计
基本不等式应用案例设计1.引言基本不等式是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将针对基本不等式的应用进行案例设计，通过实际问题的解决，展示基本不等式在实际中的作用和应用。
2.案例一：商品打折假设某商场在年终促销期间，对所有商品进行打折销售。
打折方式为买多少件商品享受多少折扣，折扣率一次递减。
现有一位顾客希望购买尽量多的商品，但是预算有限。
设计一个方案，计算这位顾客能够购买的最多商品数量。
2.1 分析设商品原价为p元，折扣率依次为d1、d2.dn。
顾客预算为b 元，求解不等式pd1^(x-1) + pd2^(x-2) +。
+ pdn^(x-n) ≤ b，其中x 为商品数量，d1、d2.dn为给定的折扣率。
2.2 解答通过二分法逐步逼近x，求解不等式。
首先确定可行区间[l。
r]，其中l为1，r为顾客预算b最多可以购买商品数量。
然后取m = (l+ r) / 2，求解等式左边的值。
如果等式左边的值小于等于预算b，则更新l = m，否则更新r = m。
重复这个过程，直到可行区间收敛到一个确定的值。
最后得到的l就是顾客可以购买的最多商品数量。
3.案例二：优化生产方案某工厂生产两种产品A和B，生产这两种产品需要消耗两种原材料P和Q。
产品A每个单位利润为x元，产品B每个单位利润为y元。
已知每天生产的产品总利润不能超过w元。
设计一个方案，确定每天生产的产品A和B数量，使得总利润最大化。
3.1 分析设产品A和B分别生产的数量为a和b，消耗的原材料P和Q数量分别为p和q。
根据题意可得不等式ax + by ≤ w。
进一步，考虑生产资源有限，存在约束条件p*a + q*b ≤ r（r为原材料可用数量），通过求解不等式组，得到最大化总利润的生产方案。
3.2 解答对于上述问题，可以采用线性规划的方法进行求解。
通过列出目标函数和约束条件，使用单纯形法求解线性规划问题。
对于每个约束条件，等式左侧的值要小于等于右侧的值。
通过求解线性规划问题，得到最优的生产方案，即每天生产的产品A和B的数量。
基本不等式使用的4个情形及注意事项
基本不等式使用的4个情形及注意事项1.数字和不等号的交换：基本不等式可以用来推导和证明数字和不等号的交换。
比如，当a>b时，可以使用基本不等式证明b<a。
这种情形是最基本的不等式应用，也是其他情形的基础。
2.加法和不等式的交换：基本不等式可以用来推导和证明加法和不等式的交换。
比如，当a>b且c>d时，可以使用基本不等式证明a+c>b+d。
这种情形常用于对多个不等式进行综合和推导的场景。
3. 乘法和不等式的交换：基本不等式可以用来推导和证明乘法和不等式的交换。
比如，当a > b 且 c > d 且 cd > 0时，可以使用基本不等式证明 ac > bd。
这种情形常用于对多个不等式进行综合和推导的场景。
4.推广和拓展：基本不等式还可以用来推广和拓展不等式的性质。
比如，通过变量的替换，可以将一个复杂的不等式转化为一个简单的基本不等式，然后再进行证明。
此外，还可以通过一系列推导，引出更复杂的不等式性质。
在使用基本不等式时，还需要注意以下几个事项：1.合理选取不等号：在使用基本不等式时，需要根据实际问题合理选取不等号的方向。
不等号的方向应该与实际问题中的大小关系相符。
比如，如果已知a>b，应该使用a-b>0作为基本不等式，而不是a-b<0。
2.合理选取变量的取值范围：在使用基本不等式时，需要根据实际问题合理选取变量的取值范围。
变量的取值范围应该满足问题的条件，并且能够使得基本不等式成立。
比如，如果已知a>0，应该选择a>0作为变量的取值范围。
3.根据问题的条件进行推导：在使用基本不等式时，还需要根据问题的条件进行推导。
问题的条件可以是已知的不等式、已知的数值关系等。
通过合理利用问题的条件，可以得到更加精确和准确的结论。
4.合理利用数学运算法则：在使用基本不等式时，还需要合理利用数学运算法则。
比如，可以利用加法交换律、乘法交换律、乘法分配律等数学运算法则，对不等式进行重新排列和推导。
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题
如何利用基本不等式解决日常生活中的问题在我们的日常生活中，数学知识无处不在，看似抽象的基本不等式其实也有着广泛的应用。
掌握并灵活运用基本不等式，能帮助我们解决许多实际问题，让生活变得更加高效和经济。
基本不等式，对于两个正实数 a 和 b，它们的算术平均数大于等于几何平均数，即：＼（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
先来说说购物方面的例子。
假设我们要购买一定数量的某种商品，比如苹果。
超市 A 售卖的苹果每个价格是 x 元，但是需要支付固定的运费 y 元；超市 B 售卖的苹果每个价格是 z 元，没有运费。
在考虑购买成本时，我们可以运用基本不等式来决定在哪家超市购买更划算。
设我们计划购买 n 个苹果。
在超市 A 购买的总费用为＼（C_{A} ＝ nx ＋ y\），在超市 B 购买的总费用为＼（C_{B} ＝ nz\）。
为了比较在哪家购买更经济，我们可以计算两者的平均值。
对于超市 A，平均每个苹果的费用为＼（＼frac{C_{A}｝｛n} ＝ x ＋＼frac{y}｛n}＼）。
这里，根据基本不等式，如果 x 是固定的，那么当＼（n\）足够大时，＼（＼frac{y}｛n}＼）会趋近于 0，平均费用就趋近于＼（x\）。
对于超市 B，平均每个苹果的费用始终是＼（z\）。
所以，当＼（x ＜ z\）时，在超市 A 购买更划算；当＼（x ＞ z\）时，在超市 B 购买更划算；当＼（x ＝ z\）时，则需要进一步考虑＼（y\）和＼（n\）的关系来决定。
再看一个房屋装修的例子。
假如我们要装修一间房间，需要购买地板材料和墙面涂料。
地板材料每平方米的价格是 a 元，墙面涂料每桶的价格是 b 元，每桶涂料可以涂刷 c 平方米的墙面。
房间的地面面积是 m 平方米，墙面面积是 n 平方米。
在预算有限的情况下，我们希望在满足装修需求的同时，尽可能节省费用。
设购买地板材料 x 平方米，购买涂料 y 桶。
《基本不等式》教案的应用,解决实际问题
本文将基本不等式的教学应用与实际问题的解决联系起来，旨在加深学生对基本不等式的理解与运用，进而提高他们的数学素养和问题解决能力。
一、基本不等式的教学应用基本不等式是初中数学中的重要知识点，也是进一步深入学习数学的重要基础。
在教学中，我们可以通过如下步骤进行：1.引入基本不等式我们可以通过举例来引入基本不等式，例如：已知正整数a、b、c，证明a+b+c≥3√abc。
这个式子就是基本不等式的一种形式，而证明过程中需要用到积的平均数大于等于几何平均数这个数学定理，所以一定记得先讲解这个定理的概念与证明方法。
2.提供练习题在讲完基本不等式的定义之后，我们可以提供一些练习题让学生练习，例如：已知0<x<π/2，证明sinx+(cosx)²≥1。
这个练习题要运用基本不等式的知识，运用正确的推理方法与证明过程，就会得到正确的结论。
3.引导思考在让学生完成练习题的时候，我们可以引导他们思考问题，例如：除了通过证明使用，基本不等式在哪些实际应用中发挥了重要作用呢？这个问题就是本文接下来要具体解答的内容。
二、基本不等式在实际问题中的应用基本不等式在实际问题中的应用非常广泛，不仅在数学领域，也在物理、化学等自然科学领域有广泛应用。
以下是一些常见的例子：1.证明机械工程中的稳定性问题机械系统的稳定性是工程设计中的重要问题，而它与基本不等式也有很大的联系。
例如，在压力在机械系统中进行传递的时候，我们需要证明传递的压力不超过系统的极限承受力，而这个证明过程就可以用到基本不等式。
2.常用物理公式的推导在物理领域，我们常用到一些公式，例如能量守恒定律、牛顿第二定律、高斯定理等。
这些公式的推导与基本不等式也有密切联系，例如在高斯定理的证明过程中，我们需要用到伯努利不等式和柯西-施瓦茨不等式，而这些不等式都是基本不等式的推论。
3.经济学中的应用在经济学中，我们需要通过一些数学模型来解释和预测经济现象。
而基本不等式可以用来说明市场机制和资源配置的优化，从而提高经济效益和社会福利。
应用基本不等式解决实际问题的方法
应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。
基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。
对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。
传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。
二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。
例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。
2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。
例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。
3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。
例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。
三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。
利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。
2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。
2.2 第2课时 基本不等式的实际应用
从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式．在解题过程中，尽
b
量向模型ax＋ ≥2
x
ab(a>0，b>0，x>0)上靠拢．
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【即时练习】
已知一直角三角形的面积为200 cm2，则其两条直角边的和的最小值
为(
)
A．20 cm B．20 2 cm
C．30 cm
D．40 cm
答案：D
1
2
解析：设两直角边分别为a cm，b cm，则 ab＝200，解得ab＝400，由基本不等
(
)
A．100台
B．200台
C．300台
D．400台
答案：B
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f m
解析：由题意，
m
1
200
＝ m＋1＋ ≥2
200
m
1
200
m·
＋1＝3，当且仅
200
m
m
200
当 ＝ ，即m＝200时，等号成立，所以应购买200台，使得每台
200
m
设备的平均成本最低．故选B.
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2．为了庆祝中国青年团100周年，校团委组织了一场庆祝活动，要
p1 AM 1−x
设△AMG，△FBM的周长为p1，p2，则 ＝ ＝ ，
p2
BF
y
1−x
1−x 1−x2 2y
∵p2＝x＋y＋(1－y)＝x＋1，∴p1＝p2 ＝(1＋x)· ＝
＝ ＝2，
y
y
y
y
故△AMG的周长为定值2.
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(2)求△AMG的面积S的最大值．
1−x2
解析：由(1)问可知△FBM∽△MAG，且y＝ 2 ，
人教版基本不等式的实际应用-课件
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 4:25:46 PM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
解得x＞40或x＜－50（不合实际意义， 舍去），
这表明乙车的车速超过40km／h，超 过规定限速．
4. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理， 实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶70 元，不加收附加税时，每年大约销售100 万瓶；若政府征收附加税，每销售100元 要征税R元（叫做税率R％），则每年的 销售量将减少10R万瓶．要使每年在此项 经营中所收取的附加税不少于112万元，R 应怎样确定？
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.4.2《基本不等式 -实际应用》
审校：王伟
教学目标
• 掌握建立不等式模型解决实 际问题.
• 教学重点：
• 掌握建立不等式模型解决实 际问题
例1．一般情况下，建筑民用住宅时。民 用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地 面积，而窗户的总面积与占地面积的比值 越大，住宅的采光条件越好，同时增加相 等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条 件是变好了还是变差了？
因为b>0，m>0，所以b(b+m)>0， 又因为a<b，所以m(b－a)>0，
因此 a m a 0
bm b
即
am bm
基本不等式的实际应用
基本不等式的实际应用基本不等式是数学中一个经典的定理，它涉及到各种形式的数学问题，如求解优化问题、证明几何问题等。
本文将介绍基本不等式的实际应用。
一、求解优化问题基本不等式可以用来求解一类优化问题。
我们知道，若干个非负实数的和为定值时，它们的积最大的情况是它们的值相等，即当这些数都取到定值的平均值时积最大。
基本不等式提供了一个严格的证明。
设$a_1,a_2,\cdots,a_n$为$n$个非负实数，且$a_1+a_2+\cdots+a_n=S$，则有\begin{align*}(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2&=(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)+2(a_1a_2+a_1a_3+\cdots+a_{n-1}a_n)\\&\leq(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})^2+(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})^2\\&=(S-a_n)^2+S-nS+nS\\&=S^2,\end{align*}即$(a_1a_2\cdots a_n)\leq\left(\dfrac{S}{n}\right)^n$，当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时取等。
因此若$n$个非负实数的和为定值$nS$，则它们的积最大为$\left(\dfrac{S}{n}\right)^n$，当且仅当它们都等于定值的平均值时取到最大值。
这个结论对于优化求解问题具有指导意义。
例如，设$a,b$为两个非负实数，且$a+b=2$，则$ab\leq1$，当且仅当$a=b=1$时取到最大值。
这个结论可以用基本不等式轻松证明，进一步应用于某些数学问题的求解中。
二、证明几何问题基本不等式可以用来证明几何问题。
以平面上三角形的内心$I$为例，可以应用基本不等式证明$I$到三角形三顶点的距离之和等于半周长。
假设$I$到三角形三顶点的距离分别为$d_a,d_b,d_c$，半周长为$s=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$，其中$a,b,c$为三角形的三边长。
第2课时 基本不等式的实际应用 高一数学
已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利
用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为
y(单位:元).
(1)将总费用y用旧墙长度x表示出来;
(2)试确定x的值,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求
出最小总费用.
· =9,
当且仅当 = ,即 y=2x 时,等号成立.
故(x+y) + 的最小值为 9.
防范措施
1.在运用基本不等式时,要特别注意等号成立的条件,尤其多
次使用基本不等式时,等号成立的条件必须相同,否则会造成
错误.
2.尽量对式子进行化简、变形,利用一次基本不等式求最值.
的最大值.
+
解:(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴y=4x-2+
=-
当且仅当
- +
+3≤-2+3=1,
-
5-4x=
,即 x=1 时,上式等号成立,
-
故当 x=1 时,y 取得最大值 1.
(2)∵0<x<,∴1-2x>0,
+-
x=y= 时,取等号.
=
=
,
答案:(1)2
(2)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误
的打“×”.
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基本不等式定理的实际应用 习题课1．用一段长为lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园。
问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大值是多少？【解】依题意设矩形的两边长分别为,(2)xm l x m -，（其中2lx <）则矩形的面积为2(2)x l x m -，由均值不等式定理可知：222(2)1(2)(2)[]2228x l x x l x l x l x -+--=≤=当且仅当22x l x =-即4l x =时，矩形面积取得最大值28l 。
2．已知直角三角形的周长为l （定值），求它的面积的最大值。
【解】设直角三角形的两直角边为,a b，则l a b =++，即22≤=，当且仅当a b =时等号成立。
212S ab ∴=≤ 此时该三角形为等腰直角三角形。
故当a b =时，2max S =3．一批救灾物资随26辆汽车从某市以/vkm h 的速度直达灾区，已知两地公路长为400km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2()20v km ，那么这批物资全部运到灾区，至少需要多少时间？并指出此时汽车的速度。
【解】设两车之间的间距为2(())20v d d ≤其中，最后一辆车到达灾区所用时间为t ，则225()40025400400201016v d v t vv v ++=≥=+≥=当且仅当40080/16v v km h v==即时，min 10t h =4．南海中学为了解决教师住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为2am 的宿舍楼。
已知土地的征用费为2388元2/m ，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同，费用为455元2/m ，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元2/m 。
试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求其最少总费用（总费用为建筑费用和征地费用之和） 【解】设楼高为n 层，总费用为y ，则每层面积为2a m n ，征地面积为22.5a m n， 征地费用为2.559702388a a n n⨯=元， 建筑费用为30{445445(44530)[44530(2)]}(15400)a n n a n n+++++-⋅=++元 从而5970306000(15400)(15400)y a n a n a n n n=+++=++400)1000a a ≥= 等号当且仅当60001520n n n==即时成立，从而可知总费用的最小值为1000a 元。
5．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每12m 造价20元。
计算：（1）仓库底面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 【解】设铁栅长为xm ，一堵砖墙长为ym ，则有S xy =，依题意，可得：320040245202020x y xy xy S =+⨯+≥=160,10)0S ∴+≤≤160,100,100S S +>≤≤从而因此S 的最大允许值是1002m ，取得此最大值的条件是4090,100,x y xy ==而由此求得15x =，即铁栅的长应是15m6．某农场有毁坏的猪圈一座，留有旧墙一面长12m ，现准备在该地重建猪圈，平面图形为矩形，面积为1122m ，工程条件是：（1）修1m 旧墙的费用是造1m 新墙费用的25%；（2）拆去1m 旧墙用所得材料建1m 新墙的费用是造1m 新墙费用的50%，问施工人员如何利用旧墙最节省？【解】设旧墙保留xm ，则拆去旧墙为(12)x m -，还应另造新墙为112[2(12)]x x m x+⨯-- 设每米新墙造价为1个单位价格，则重新建猪圈的总造价为 11225%(12)50%[2(12)]1y x x x x x =⋅+-⋅++⨯--⋅＝722464x x+-66≥=，当722411.34x x m x==≈即时，最节省。
7．某种汽车，购买时费用为10万元；每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元；汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增。
问这种汽车使用多少年报废最合算（及使用多少年的年平均费用最少）？ 【解】设汽车使用年限为n 年，()f n 为使用该类汽车的年平均费用，则：110.2(1)()[100.9(0.20.40.2)][100.9]2n n f n n n n n n +=+++++=++ 10121310n n ≥++≥+=，当且仅当1010nn =即n ＝10时等号成立 即使用10年，其年平均费用最少，为3万元。
8．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米ABab2的无盖长方体沉淀箱.污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流 出.设箱体长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中杂质的 质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米，问当a ，b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)(98(22)12分)【解法一】设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝kab ，其中k ＞0为比例系数.依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小.根据题意有 4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0) 4' 即 b ＝30－a2＋a (0＜a ＜30) ①于是 y ＝k ab ＝……＝k34－(a ＋2＋64a ＋2)≥k34－2(a ＋2)64a ＋2 8' 当 a ＋2＝642＋a时取等号，y 达到最小值. 这时a ＝6，a ＝－10(舍去) 将a ＝6代入①式得 b ＝3.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 12' 【解法二】依题意，即所求的a ，b 值使ab 最大.由题设知 4b ＋2ab ＋2a ＝60(a ＞0，b ＞0) 4' 即 a ＋2b ＋ab ＝30(a ＞0，b ＞0)∵ a ＋2b ≥22ab ∴ 22ab ＋ab ≤30当且仅当a ＝2b 时上式取等号. 7' 由a ＞0，b ＞0，解得0＜ab ≤18即当a ＝2b 时，ab 取最大值，其最大值为18. 10' ∴2b 2＝18，解得b ＝3，a ＝6故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 12' 9．（本题满分12分）据市场分析,粤西某海鲜加工公司,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本y （万元）可 以看成月产量x （吨）的二次函数.当月产量为10吨时,月总成本为20万元;当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元.（Ⅰ）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数关系;（Ⅱ）已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润; （Ⅲ）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元? 解：（Ⅰ）()5.17152+-=x a y （0,≠∈a R a ）将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得101=a ()5.17151012+-=∴x y （ 2510≤≤x ） （Ⅱ）设最大利润为()x Q 则()⎪⎭⎫⎝⎛+--=-=4031016.16.12x x x y x x Q()9.12231012+--=x ()2510≤≤x 因为[]25,1023∈=x ，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.（Ⅲ）13401023401014031012=-⋅≥-+=+-=xx x x x x x x y 当且仅当xx 4010=，即[]25,1020∈=x 时上式“=”成立. 故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.10．(本小题满分12分)某厂为适应市场需求,投入98万元引进世界先进设备,并马上投入生产，第一年需各种费用12万元，从第二年开始，每年所需费用会比上一年增加4万元.而每年因引入该设备可获得年利润为50万元.请你根据以上数据,解决以下问题: (1)引进该设备多少年后,开始盈利? (2)引进该设备若干年后.有两面种处理方案:第一种:年平均利润达到最大值时，以26万元的价格卖出.第二种:盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出. 问哪种方案较为合算? 【解】(1)设引进该设备x 年后开始盈利.盈利额为y 万元.则()984024211298502-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+--=x x x x x x y , 令y>0,得173,,51105110≤≤∴∈+<<-+x N x x即引进该设备三年后开始盈利 6分(2)第一种:年平均盈利为xy ,1240982240982=+⋅-≤+--=x x x x x y, 当且仅当xx 982=,即7=x 时,年平均利润最大,共盈利11026712=+⨯万元. 第二种:盈利总额()1021022+--=x y ，当10=x 时,取得最大值102,即经过10年盈利总额最大,共计盈利1108102=+万元两种方案获利相等,但由于方案二时间长,所以采用方案一合算. 12分11．一辆出租车的营运总利润．．．y (单位：万元)与营运年数x )(*∈N x 的变化关系如下表所示，则客车的运输年数为（ ）时，该客车的年平均．．．利润最大(A) 3 (B) √ (C) (D)12．（本小题满分12分）某工厂统计资料显示，一种产品次品率p 与日产量x （件）)1000,(≤<∈x N x 之间的已知生产一件正品盈利a 元，生产一件次品损失3元. （I ）试将该厂的日盈利额y （元）表示为日生产量x （件）的函数； （II ）为获取最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 【解】由已知可得，次品率.1081xp -=（I ）a x x x a x p a x p y ])108(34[3)1(--=⋅⋅-⋅⋅-=…………………………………4分定义域为N x x ∈≤<,1000…………………………………………………………6分（II ）设.,1088,108N t t x t ∈<≤-=则,3185)144(31109]3)108(4108[a a t t a a t t t y ≤+-=---=当且仅当9612108,12,144==-==x x t tt 即此时时即时上式取等号，所以，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为96件. 13．（本小题满分12分）已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB 成等比数列，求（1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BA BC 的取值范围。