t6-近独立粒子的最概然分布

2 2 2 2 2 2 p 2 p x + p y + p z 2π 2 h 2 nx + n y + nz εn = = = ⋅ 2m 2m m L3
nx , n y , nz
2 2 2 能量值决定于： n x + n y + n z
基态能级为非简并，激发态为6度简并。 比如对于：
2π 2 h 2 ε= , m
D(p)表示单位动量大小间隔范围内的量子态数，称为动量空间的态密度。
p2 对非相对论性的自由粒子，有： ε = 2m
dε =
2p dp 2m
体积V内，能量大小在ε到ε + dε， 自由粒子的量子态数为:
& & & & y = r sin θ cos ϕ + r cos θ sin ϕθ + r sin θ cos ϕϕ
& & & z = r cos θ − r sin θθ
1 & & ε = m(r 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θϕ 2 ) 2
& 考虑质点和原点的距离保持不变r = 0 ，于是：
转子的能量: 量子理论要求:
M 2 = l (l + 1)h 2 l = 0,1,2,L
M2 ε= 2I
固定l，角动量在空间任意方向上（比如说 z 轴）的投影:
M z = mh;
m = −l ,−l + 1,L, l 称为磁量子数
l (l + 1)h 2 εl = 2I
转子的运动状态由l和m两个量子数表征。 基态非简并，激发态简并，简并度：2l + 1 转子的运动状态即量子态用球谐函数 Ylm (θ , ϕ ) 描写，它由l和m两个量子 数表征，l称为角动量量子数，一般为非负整数。
一、自旋
电子(质子、中子等)具有内禀角动量（自旋）和内禀磁矩,关系为： 内禀角动量（自旋）和内禀磁矩 内禀角动量
µ =−
r e r S m
自旋角动量在空间任意方向上的投影（比如说 z 轴）只能取两个值:
1 S z = m S h = ± h; 2
mS = ± 1 称为自旋 （磁） 量子数 2
在外磁场中的势能为
四、自由粒子
一维自由粒子： 考虑处于长度为 L 的一维容器中自由粒子。采用周期性边界条件，其 德布罗意波长λ 满足： L = nx λ , nx = 0,1,2,L
又：k x = 2π
λ
,
∴kx =
2π nx , nx = 0,±1,±2, L L
px =
代入德布罗意关系式 p x = hk x , 得：
dn x dn y dn z =
Vdp x dp y dp z h3
右边表示在µ空间中以h3为单位的相格的个数，左边表示量子态的数目。 一个相格h3 内只有一个量子态
进一步说明：
微观粒子的运动必须遵守不确定性关系，不可能同时具有确定的动量和 坐标，所以量子态不能用µ空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义 µ 动量描述量子态，那么一个状态必然对应于µ空间中的一个体积元（相格）， 而不是一个点，这个体积元称为量子相格。 自由度为1的粒子，相格大小为普朗克常数：∆q∆p ≈ h 如果自由度为r，相格大小为：
1 2 2 ( p x + p y + p z2 ) 2m
& dA A≡ dt
ε=
能量球面半径：
r = 2mε
以一维自由粒子为例，以 x, p为直角坐标，构成二维的 µ x 空间，设一维容器的长度为 L ，粒子的一个运动状态 ( x, p x ) 可以 用 µ 空间在一定范围内的一点代表:
px
• ( x, p x )
dnx = L dp x 2πh
同理 ， 在 p y 到 p y + dp y的范围内，可能的 p y的数目为 :
dn y =
L dp y 2πh
在 p z 到 p z + dp z的范围内，可能的 p z 的数目为 :
dnz = L dp z 2πh
由于自由粒子的量子态由动量的三个分量p x、p y、p （或者三个量子数n x、n y、n z） z 表征，因此容器V = L3内，动量在p x 到p x + dp x，p y 到p y + dp y，p z 到p z + dp z的范围内， 自由粒子的量子态数为:
1 & & ε = m(r 2θ 2 + r 2 sin 2 θϕ 2 ) 2
自由度：2 μ空间维数：4
广义坐标：
q1 = θ (0 ~ π ), q2 = ϕ (0 ~ 2π )
广义动量：
& p1 = pθ = mr θ
2
如何出来的？
& p2 = pϕ = mr 2 sin 2 θ ϕ
能量：
1 1 M2 2 ε = ( pθ2 + 2 pϕ ) = ; 2I sin θ 2I
如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。
二.粒子的运动状态的经典描述
设粒子的自由度数r（能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目），粒 子在任一时刻的力学运动状态（或者微观运动状态）由2r个广义坐标和广义 动量确定：
x
3. 转子
考虑质量为m的质点被具有固定长度的轻杆 轻杆系于原点O时所作的运动。 轻杆 质点在直角坐标下的能量：
z
ε=
θ
o
A
1 & & & m( x 2 + y 2 + z 2 ) 2
坐标用球坐标表示:
ϕ
x
y
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cosθ
& & & & x = r sin θ cos ϕ + r cos θ cos ϕθ − r sin θ sin ϕϕ
z
v M
θ = π 2 ⇒ pθ = 0
2 pϕ 1 1 2 ε = ( pθ2 + 2 pϕ ) = 2I 2I sin θ
z方向的角动量：
O
r
& & Lz = xp y − ypx = m( xy − yx) & & = mr 2 cos 2 ϕϕ + sin 2 ϕϕ & = mr 2ϕ = pϕ
2 2 n x + n y + n z2 = 1
有六个量子态与之对应，
(1,0,0)
(−1,0,0)
(0,1,0)
(0,−1,0)
(0,0,1)
(0,0,−1)
考虑粒子在宏观大小的容器V = L3内运动，显然，p x与nx 是一一对应的， 且相邻两个nx 相差为1，因此在p x到px + dpx的范围内，可能的px的数目为:
微观粒子的运动不是轨道运动 微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标,经典描述失效 在量子力学中，微观粒子的运动状态是用波函数来描述的，微观粒子的 运动状态称为量子态。量子态往往可以由一组量子数来表征。这组量子数的 数目等于粒子的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,分立的能量称为能级。 如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。 一个能级的量子态数称为该能级的简并度。 如果一个能级只有量子态，该能级称为非简并的。 普朗克常数的量纲： [时间]·[能量]=[长度]·[动量]=[角动量] 具有这样量纲的一个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本 的作用量子。这个作用量子常作为判别采用经典描述或量子描述的判据。
Vdp x dp y dp z L 3 dn x dn y dn z = ( ) dp x dp y dp z = 2πh h3
进一步理解这个式子，我们在µ空间中引入相格的概念。 首先，注意到 L3 dp x dp y dp z = Vdp x dp y dp z 是µ空间中的一个体积元； 其次，普朗克常数h的量纲： [h]=[时间]·[能量]=[长度]·[动量] [h]3=[长度]3·[动量]3 h3是µ空间中的一个体积，称之为一个相格。
由此得到能量 :
2πh nx L
ε = εn
x
2 p x 2π 2 h 2 2 = = nx ; nx = 0,±1,±2,L 2 2m L
基态能级为非简并，激发态为二度简并。
三维自由粒子 考虑处于长度为L的三维容器中自由粒子的运动状态。 假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动，仿照一维粒子的情 形，该粒子在三个方向动量的可能值为： 2πh px = nx L 2πh nx , n y , nz = 0,±1,±2,L py = ny L 2πh pz = nz L 量子数：3个 能量的可能值为
μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点 称为粒子运动状态的代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应 地在μ空间中移动，描画出一条轨迹。
三.例子
1.三维自由粒子 1.三维自由粒子
自由度：3；μ空间维数：6
广义坐标：q1 = x q2 = y q3 = z
能量：
& 广义动量：p1 = p x = mx & p 2 = p y = my & p3 = p z = mz
第六章
近独立粒子的最概然分布
基本内容： 基本内容：粒子运动状态的描述 热力学系统的微观状态的描述 等概率原理 三种分布
§6-1 粒子运动状态的经典描述
一.粒子的运动状态
粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。 例：气体中的分子 金属中的离子和电子 辐射场中的光子
粒子的运动状态是指它的力学运动 运动状态。 运动
dn x dn y dn z =
Vdp x dp y dp z h3
Vp 2 sin θ = dpdθdϕ 3 h
π
对 θ : 0 → π , ϕ : 0 → 2π 积分 ：∫0
∫
2π
0
sin θdθdϕ = 4π
体积V内，动量大小在p到p + dp， 自由粒子的量子态数为:
4πV 2 p dp ≡ D( p )dp 3 h
∂L & pθ ≡ = mr 2θ & ∂θ ∂L & pϕ ≡ = mr 2 sin 2 θ ϕ & ∂ϕ
由于轻杆没有质量，故 OA之间为中心力，因此 O对A没有力矩，转子的总 v v v 角动量 M = r × p 是一个守恒量，其大小 和方向都不随时间改变 （注意和量子 力学中的角动量守恒进 行对比）。适当选择坐 标，可以使得角动量方 向在 z轴 方向，因此 A在x − y平面内：
I = mr 2转动惯量
广义动量的形式和转子的拉格朗日量有关。 能量的形式和转子的对称性有关。
转子的拉格朗日量：
r 1 2 2 2 & & & L = T − V = m( x + y + z ) − V ( r ) 2 1 & & = m(r 2θ 2 + r 2 sin 2 θ ϕ 2 ) − V (r ) 2
∆q1 L ∆q r ∆p1 L ∆p r ≈ h r
对动量采用球坐标：
wk.baidu.compz
θ
o
py
p x = p sin θ cos ϕ p y = p sin θ sin ϕ p z = p cos θ
ϕ
px
dp x dp y dp z = p 2 sin θdpdθdϕ
体积V内，动量大小在p 到p + dp， 方向在θ到θ + dθ， ϕ到ϕ + dϕ的范围内， 自由粒子的量子态数为:
r r e eh U = − µ ⋅ B = − µ z B z = m S hB = ± B m 2m
二、线性谐振子 圆频率为ω 的线性谐振子的能量可能值为
1 ε n = hω (n + ); 2 n = 0,1,2, L
所有能级等间距，均为 hω ,每一个能级都是非简并的，即简并度为1。
三、转子
L
O
x
2.线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力 f = − Ax 作用下,将在原点附近作圆频率 ω = A m 的简谐振动，称为线性谐振子。 自由度： 1 μ空间维数：2
广义坐标：q = x;
p2 1 ε= + mω 2 x 2 2m 2
& 广义动量：p = mx
能量：
p
能量椭圆
p2 x2 + =1 2ε 2mε mω 2
2 L2 M ε= z = 2I 2I
[
]
A
v p
§6-2
粒子运动状态的量子描述
微观粒子普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性） 德布罗意关系(1924年)：
ε = hω ;
p = hk
不确定性关系（1925年）
∆q∆p ≈ h
其中
h = h 2π = 6.626 ×10−34 J ⋅ s
都称为普朗克常数。
广义坐标：q1 , q2 , q3 , L qr 广义动量：p1 , p2 , p3 , L pr
粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数：
ε＝ε（q1 , q2 ,L qr；p1 , p2 ,L pr）
如果有外场，粒子的能量还是外场的函数。
μ空间
由2r个广义坐标和广义动量张成的2r维直角坐标空间：
μ空间：（q1 , q2 , L qr；p1 , p2 ,L pr）