t6-近独立粒子的最概然分布
热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布

al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布:麦克斯韦-玻耳兹曼分布(M.B) 拉氏乘子由下式确定:
不是独立变量
al 0
需满足条件:
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
,建立辅助函数:
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分:
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时,应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论,因为
al ln ln l l
l
l
1
(经典极限条件或 所有的l 非简并性条件)
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l
l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N
第六章近独立粒子的最概然分布

近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系:热力学是热运动的宏观理论,以实验总结的定律触发,经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系,宏观过程进行的方向和限度,从而结实热现象的有关规律。
而统计物理是热运动的微观理论,基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成,宏观性质是大量微观粒子的集体表现,宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。
热力学验证统计物理,而统计物理揭示了热力学的本质。
μ空间:设粒子的自由度为r 。
经典力学中,粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。
粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数:1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间,称为μ空间。
粒子运动状态的经典描述和量子描述:① 一维谐振子在经典力学中,任一时刻,粒子的位置由它的位移x 确定,与之共轭的动量为p mx ∙=,它的能量是其动量和势能之和:222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中,圆频率为ω的线性谐振子,能量的可能值为:n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中,用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置: x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中,转子的能量是:2M 2Iε= 其中,2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中,在三维空间中运动,在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定,与之共轭的动量为:x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能:222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中,设粒子处在边长为的立方容器内,粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数,三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度:在体积V 内,动量大小在p 到p+dp 的范围内,自由粒子可能状态数为234V p dp h π,根据公式,算出,在体积V 内,在到的能量范围内,自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数,称为态密度。
近独立粒子的最概然分布

空间:2维
px2
2m
0 x L
px
当粒子以一定的动量 px 在容器
中运动时,粒子运动状态代表 点在µ空间的轨道是平行于x轴 的一条直线。
空间的体积元:d dxdpx
MUSIC
2.三维自由运动粒子
r 3 x, y, z px, py , pz
px mx py my pz mz
(角动量=转动惯量X角速度)L=Iω
p , p 是转子角动量的两个分量
1 m(r2 2 r2 sin2 2)
2
I mr2
21I(p2
1 sin2
p2)
转子的总角动量: L r p 守恒(无外力)
选 Z 平行 L
=2,p
0
p2 L2
1 2m
px2
p
2 y
pz2
空间:6维
3个2维的子空间
空间的体积元:d dxdydzdpxdpydpz
MUSIC
(二)线性谐振子 质量m F Ax (谐振子受力方程)
F Ax mx
x A x 0 ( A)
m
m
r=1 x px 二维空间
对单粒子: 量子数的数目=粒子的自由度 数
MUSIC
二、举例
(一)线性谐振子
,
n
(n 1)
2
n 0,1,2……
n(振动量子数):运动状态和能量的量子数.
1个量子数(n)
自由度
0
1 2
r=1
0——零点效应
能级间隔: =n+1 n (常数)
《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲

《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲习题6.1试证明,在体积V内,在;到「d;的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为:D(;)d ;:^2^2m ;场;h证明:三维粒子局域于宏观体积下运动,其能量值和动量值是准连续的。
在六维相空间,相体积兀d.二dxdydzdp x dp y dp z内的微观量子态为:d dxdydzdp x dp y dp zh3「h3体积V =L3内,动量在范围 P x ~ P x dP x,P y ~ P y dP y,P z ~ P z dP z的自由粒子量子态数。
dxdydzdp x dp y dp z Vdp x dp y dp z VP2sin ^dPd^d :对积分,可得体积V = L3内自由粒子动量大小在P~ P dP范围的量子态2二二VP2 sinrdPd 闭,VP2dP'二h30 0 h3由;哙进行变量代换:PS/,dP5)l2;“代入上式可得:在体积V内,在;到;d;的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为:2兀V “3;1;D(;)d 32m 2;2d ;h其中D(J为在;到「d;的能量范围内单位能量间隔的量子态数,称为量子态密度证毕习题6.2试证明,对子一维自由粒子,在长度L内,在;到「d;的能量范围内,量子态数为:2L C m证明:一维粒子局域于宏观长度 L 内运动,其能量值和动量值是准连续 的。
在二维相空间,相体积兀 d 二dxdp x 内的微观量子态为:d . dxdp x在长度x 二L 内,动量在范围P x ~巳• dP x 的自由粒子量子态数。
dxdp xLdp x对P x 在范围-P -dP ~ -P 及P ~ P dP 积分,可得在长度X = L 内,自由粒子 动量大小在P ~ P dP 范围的量子态习题6.3试证明,对于二维自由粒子,在面积L 2内,在;到「d ;的能量范围内,量子态数为证明:二维粒子局域于宏观面积 L 2内运动,其能量值和动量值是准连续 的。
第六章:近独立粒子的最概然分布 热力学统计物理汪志诚

新课:§6.1 粒子运动状态的经典描述
1-d线性谐振子 自由度: 1 相空间维数:2 位置:x
动量:p mx
p2 1 m 2 x 2 能量: 2m 2
半长轴
a 2m
能量椭圆:
p2 x2 1 2 2m m 2
能量曲面包围的相体积:
( ) ab 2
例二、线性谐振子
自由度: 1 空间维数:2
位置:x
动量:p mx
p2 1 2 2 m x 能量: 2m 2
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
p
x
新课:§6.1 粒子运动状态的经典描述小结
例三、转子 自由度:2
空间维数:4
z
, 位置:
p r 2 动量: p r 2 sin 2
新课:§6.1 粒子运动状态的经典描述
能量ε包围的相体积:
0 x L px
2 px px 2m 2m
V , 0
2 px
dxdpx dx
0
L
2 m
2 m
dpx 2 2m L
2m
新课:§6.1 粒子运动状态的经典描述
无外力矩时,转子的总角动 量守恒量
M rp r M 2 p mr p 0 z // M 选 则 2
1 1 1 1 2 2 2 ( p p ) ( p ) 2 2 2I sin 2 I sin
(2)三维自由粒子: 分解 自由度:r 3, r 6 位置:x y z 投影
动量:p x mx p y my
三个2-d子相空间
热力学与统计物理教案:第六章 近独立粒子的最概然分布

为随机事件 A 出现可能性的客观量度,称为事件 A 发生的概率 PA :
lim PA
N
NA N
PA 0 , A 不可能发生; PA 1, A 肯定发生
显然 0 PA 1 。事实上,试验的次数不可能无限多,但是,只要试验次数足够多,我们就可
以用 NA 来表示事件发生的概率。如掷一质量均匀的硬币,若只掷少数几次,正面向上和背 N
统计物理中讨论的系统是由大量微观粒子组成的,大约有1023 数量级。描述大量粒子组
成的系统的宏观性质的物理量称为宏观量,描述单个粒子性质的物理量称为微观量。 粒子(指微观粒子)的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动
规律,对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学规律,对粒子运动状态 的描述称为量子描述。当然,从本质上讲,微观粒子遵从量子力学规律,不过在一定极限条 件下,经典理论还是有意义的。 粒子运动状态的经典描述
相体积。 统计物理中的几个例子
(1)自由粒子
当自由粒子在三维空间中运动时,其自由度 3 ,所以相空间是 6 维的,粒子在任一时刻 的位置由坐标 x, y, z 确定,共轭的动量分别为 px mx , py my , pz mz ,
相空间坐标分别为 x, y, z, px , py , pz 。
微观粒子服从量子力学规律。
波粒二象性: 粒子 波
, p k
, p 粒子量,
,
k
波量
普朗克常量 h 1.0551034 J S , 2
量纲: T E L P M
海森堡不确定关系 qp ~ h
经典:粒子沿轨道运动。
量子:无轨道, x, p 不能同时确定。
量子态——量子力学中微观粒子的运动状态。 量子态数的计算,量子态的描述
第章--近独立粒子的最概然分布PPT课件

.
3
二. 几个例子 1. 自由粒子 自由度:r=3
μ空间维数:6
广义坐标:q1 x, q2 y, q3 z
广义动量: p1 px mx, p2 py my, p3 pz mz,
动能:
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
相迹:以一维为例
px
(6.1.3)
.
x
4
Lx
2. 一维线性谐振子 one dimension linear harmonic oscillator
(6.2.4)
能级非简并
What about 3D?
3. 转子
Degenerate !
量子理论要求角动量平方和角动量z分量是量子化的
M 2 l(l 1)2 ,
l 0,1,2
M z m,
m l,l 1,,l 1,l
自由度为2,等于量子数个数:l, m
转子能量:
E M 2 l(l 1)2
2I
质量: m
电荷: e
自旋角动量量子数:1/2
自旋磁矩:
自旋角动量:S
e
Sm
沿z方向加外磁场B,角动量S在z方向上有两个独立分量
Sz ms
自旋磁矩和势能为
z
e m
ms
e 2m
B
ms
1 2
E
eB m
ms
e 2m
B
描述自旋状态只要一个量子数 ms .
12
2. 线性谐振子
n
(n
1 ), 2
n 0,1,2
代表点的轨道是如下椭圆:
p2 2m
x2 2
1
.
m2
5
第六章近独立粒子的最概然分布

它可表述为:
n 对一种随机现象做 次独立试验,每次试验只计指定的事件发生与否. 已知在每次试验时发生指定事件的概率为 p ,求在 n 次试验中有 μ 次
发生指定事件的概率。
2009-4-16
12
物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
个基本事件之和,则发生事件 A 的概率为
p ( A) = nA
N
这种说法叫做概率的古典定义。
2009-4-16
7
物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
例:在容器中有 N 个理想气体分子,设想把容器划分为等容积的两部分,
n 求有且仅有 个分子出现在左边的概率.
解: p(r, B) = 2 × 3 = 6 5 5 25
1. 5 独立试验序列问题
“独立试验序列问题”是一种有普遍意义的问题的模型。 下面通过一个例子,说明和谓“独立试验序列问题”。
2009-4-16
11
物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
验中,第
i
种结果出现
ni
次。 比值 ni n
反映了这一结果
出现的机会或可能性
若在实验观测的次数增大时, ni n
趋于稳定: 值 pi
物理与电子工程系
热力学·统计物理
Thermodynamics and Statistical Physics
lim ni n→∞ n
→
pi
pi 就叫做第 i 种结果出现的概率。概率也叫或然率或几率。 是否能由上式得 ni = npi ?
第六章近独立粒子的最概然分布

S=klnW 并且称k 为玻尔兹曼常数。
§6.1 粒子运动状态的经典描述
1.粒子的运动状态
粒子:指组成宏观物质系统的基本单元。
例如:气体中的分子; 金属中的离子和电子; 辐射场中的光子。
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
pz2 )
等能面:px2 py2 pz2 2m
等能面是动量空间半径为 2m 的球面。
相空间体积(能量小于或等于ε):
dxdydz dpxdpydpz
4 V (2m )3/2
3
③线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力 f = -kx 作用下,将在原点附近作圆频率 ω= ������/������ 的简谐振动,称为线性谐振子。
玻
在麦氏速度分布律的基础上,第一次考虑
尔 兹
了重力对分子运动的影响,建立了更全面的玻
曼
尔兹曼分布律,建立了玻尔兹曼熵公式。
dN
n0
(
m
2kT
3
)2
e
(
K
P
)
/
kT dv
x
dv
y dv
z
dxdydz
1877 年玻尔兹曼进一步研究了热力学第二定律的统计解释,
玻尔兹曼写道:“(热力学)第二定律是关于几率的定律,”在
气体中双原子分子的振动,晶体中的原子或离子在平衡位置附 近的振动均可看作是简谐运动。
自由度:1 μ空间维数:2
广义坐标 : q x,
广义动量: p px mx
能量: p2 1 m2x2
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)

第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述: 1、粒子运动状态的经典描述:①、相空间、自由度;广义坐标、广义动量;粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系: 对于经典系统,由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差,假设0h p q =∆∆,这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示,而必须用一个体积元表示,该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆,以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量,则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述:①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示;薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数(不考虑自旋,考虑自旋时应乘为自旋量子数,S S 12+)②、微观体积下,微观粒子的运动状态由波函数确定或由r (r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度)个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下,量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动,能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ,一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间,相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性(相同的质量、电荷、自旋等)的同类粒子组成。
近独立粒子的最概然分布

如果存在外场, ε还是描述外场参量的函数.
在分析力学中,一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能
量函数写成H函数,
即
ε = H( qi、pi ) (i = 1、2、…r)
运动方程为
qi
H pi
pi
H pi
(i = 1、2、…r)
第七章 近独立粒子的最概然分布
当某一初使时刻 t0 给定了qi、pi 的初值qi0、pi0 之后,由 正则运动方程可确定在任何相继时刻t, qi、pi 的数值,因而这 个力学系统的运动状态就完全确定了。所以一组qi、pi 数值把
动量 p mx 能量 p2
p
2m
相空间 2r 维
能量为的粒子的相迹十一条直线。
x
第七章 近独立粒子的最概然分布
(2)三维空间中运动 自由度 r=3 坐标 x, y, z 动量
能量
相空间 2r 维=6维
2、线性谐振子 质量为m的粒子在弹性力 f= -kx作用下,将在原点附近作
简谐振动,称为线性谐振子.振动的圆频率为=(k/m)1/2.取决
微观量 对应
微观状态
我们先看看如何描述粒子的运动状态!!
第七章 近独立粒子的最概然分布
运动状态是指粒子的力学运动状态. 根据它遵从的是经典的还是量子的力学运动规律,分为经典 描述和量子描述.
经典力学情形
量子力学情形
注:原则上说微观粒子是遵从量子力学的运动规律的.经典 理论在一定的极限条件下仍具有意义.
由测不准关系可知,坐标和动量不能同时取确定的值,所 以量子态不能用相空间的一点来描述,而应用一个体积元, 称为相格,相格的大小为ΔqΔp≈h .
自由度为r 的粒子,相格大小为:
第七章 近独立粒子的最概然分布
热统练习题

陕西师范大学热统练习题绪论1. 热运动是指构成物质的大量分子的无规则运动,它包括分子的无规则平动、无规则的_____和无规则的______。
2.热现象的本质是热运动,它是指构成物质的大量分子的____________运动。
3.晶体中离子是有序排列的,晶体中粒子的热运动主要表现为粒子的_________。
4.研究热现象规律的理论有两种,它们分别是______________和_______________。
5.研究热现象的方法有两种,它们分别称为____________方法和______________方法。
答案(1-5):1. 转动,振动2. 无规则3. 无规则热振动4. 热力学,统计物理学5. 热力学方法,统计物理方法第一章热力学的基本规律1.1 填空题6.根据系统与外界的相互作用的不同,可将系统分为孤立系、_______系和_________系。
7.孤立系统的_______________性质不随____________变化的状态称为热力学平衡态。
8.描述平衡态的状态参量有四类,它们是力学参量、几何参量、_________和__________。
9.热力学中将四类参量和_________的关系称为物体方程。
10.描述平衡态性质的四类参量和温度的函数关系被称为____________________。
11.准静态过程是指过程进行的_____________,使得过程的每一步都可被看作是平衡态。
12.可逆过程要求:系统和外界的状态都要能够________________。
13.根据可逆过程的定义,无摩擦的准静态过程是______________过程。
14.自然界中一切与热现象有关的实际宏观过程都是________过程;无摩擦的准静态过程是_______过程。
15.循环过程分为正循环和逆循环,前者对应于_______机,后者对应于________机。
16.卡诺循环是由两个__________过程和两个__________过程所组成。
量子力学03近独立粒子的最概然分布特点分析

pz 到 pz dpz 间的自由粒子的量子态数:
L dnx dpx 2 L dny dpy 2 L dnz dpz 2
在 V L3 内,符合上式的量子态数:
L dnx dn y dnz dpx dp y dpz 2 L3 dpx dp y dpz /
粒子不可分辨,每一个个体量子态最多只能 容纳一个粒子。 al 个粒子占据能级 l 上的个 l 量子态,相当于从 l 个量子态中挑出 al 个来为粒 子所占据,有种可能的方式
332h????微观粒子的运动必须遵守测不准关系不可能同时具有确定的动量和坐标所以量子态不能用??空间的一点来描述如果硬要沿用坐标和动量来描述量子态那么一个状态必然对应于??空间中的一个体积元而不是一个点这个体积元称为量子相格
第三章 近独立粒子的最概然 分布
§3.1 粒子运动状态的经典描述
1. 粒子的状态描述
粒子是指组成物质系统的基本单元。 粒子的状态是指它的力学运动状态。
如果粒子遵从经典力学的运动规律,对粒子运动状 态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律,对粒子运动状 态的描述称为量子描述。
一、自由粒子
自由度: 3
坐标: q1 x q2 y q3 z
能量:
动量: p1 p x mx p2 p y my p3 pz mz
1. 玻耳兹曼系统
粒子可以分辨,若对粒子加以编号,则 al 个 粒子占据能级 l 上的 l 个量子态时,是彼此独立、 互不关联的。分布相应的系统的微观状态数为:
分布相应的系统的微观状态数为:
al l
第六章 近独立粒子及其最概然分布

p
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目 录 退 出
6.2
粒子运动状态的量子描述
一、微观粒子的波粒二象性与测不准关系
微观粒子普遍地具有粒子和波动的二象性,一方面是客观存在的单个实 体,另一方面在适当的条件下显示干涉、衍射等波动的现象。 德布罗意波: 德布罗意,薛定谔
能量为、动量为p的自由粒子 对应 圆频率为、波矢为k的单色平面波
德布罗意关系: p k
适用于一切微观粒子。
h ; 其中h和都称为普朗克常量: h 6.626 10 34 J . S 2π 1.055 10 34 J . S
普朗克常数是物理中的基本常数, 它的量纲是[时间]· [能量]=[长度]· [动量]=[角动量]
结论:确定了系统的r个广义坐标和r个广义动量,就确定了体系的运动状态。
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6.1 二、 空间
粒子运动状态的经典描述
把遵从经典力学规律的粒子看作是具有r个自由度的力学体系时,近独 立粒子的运动状态由粒子r个广义坐标和r个广义动量确定----构成一个 2r维抽象空间,称为空间,也称为粒子相空间。 μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态,这个点称为 代表点(或相点)。当粒子运动状态随时间改变时,代表点相应地在μ空 间中移动,描画出一条轨迹,称为相轨迹。 ①、相点是一个粒子运动状态,而不是粒子,粒子只能在真实空间运动。 ②、任何粒子总可以找到与其对应的空间,不同自由度的粒子不能用同一 空间描述状态。 ③、若粒子受 i E 的限制,粒子状态只能在能量曲面内,称为相体积。 H H ,q ④、 空间中相轨道不相交,因为在物理问题中 P 是单 q p 值函数。
热力学与统计物理课后习题答案第六章完整版

热力学与统计物理课后习题答案第六章HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】第六章 近独立粒子的最概然分布试根据式()证明:在体积V 内,在ε到d ε+ε的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为解: 式()给出,在体积3V L =内,在x p 到d ,x x y p p p +到d ,y y x p p p +到d x x p p +的动量范围内,自由粒子可能的量子态数为3d d d .x y z Vp p p h(1) 用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量,并对动量方向积分,可得在体积V 内,动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的量子态数为234πd .V p p h (2) 上式可以理解为将μ空间体积元24d Vp p π(体积V ,动量球壳24πd p p )除以相格大小3h 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为 因此将上式代入式(2),即得在体积V 内,在ε到d εε+的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为()132232π()d 2d .VD m hεεεε= (3)试证明,对于一维自由粒子,在长度L 内,在ε到d εε+的能量范围内,量子态数为解: 根据式(),一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为在长度L 内,动量大小在p 到d p p +范围内(注意动量可以有正负两个可能的方向)的量子态数为2d .Lp h(1) 将能量动量关系 代入,即得()122d d .2L m D h εεεε⎛⎫=⎪⎝⎭(2) 试证明,对于二维的自由粒子,在面积2L 内,在ε到d εε+的能量范围内,量子态数为解: 根据式(),二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为21d d d d .x y x y p p h (1) 用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量,,p θ与,x y p p 的关系为 用极坐标描述时,二维动量空间的体积元为在面积2L 内,动量大小在p 到d p p +范围内,动量方向在θ到d θθ+范围内,二维自由粒子可能的状态数为22d d .L p p h θ(2) 对d θ积分,从0积分到2π,有可得在面积2L 内,动量大小在p 到d p p +范围内(动量方向任意),二维自由粒子可能的状态数为222πd .L p p h (3) 将能量动量关系 代入,即有()222πd d .L D m hεεε= (4)在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系为 试求在体积V 内,在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:式()已给出在体积V 内,动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d .V p p hπ (1) 将极端相对论粒子的能量动量关系代入,可得在体积V 内,在ε到d εε+的能量范围内,极端相对论粒子的量子态数为()()234πd d .VD ch εεεε=(2) 设系统含有两种粒子,其粒子数分别为N 和N '. 粒子间的相互作用很弱,可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨,处在一个个体量子态的粒子数不受限制. 试证明,在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为 和其中l ε和l ε'是两种粒子的能级,l ω和l ω'是能级的简并度.解: 当系统含有两种粒子,其粒子数分别为N 和N ',总能量为E ,体积为V 时,两种粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足条件,,lll l l lllllaN a N a a Eεε''==''+=∑∑∑∑ (1)才有可能实现.在粒子可以分辨,且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下,两种粒子分别处在分布{}l a 和{}l a '时各自的微观状态数为!,!!.!l l a l ll la l ll lN Ωa N Ωa ωω'='''='∏∏∏∏ (2)系统的微观状态数()0Ω为()0.ΩΩΩ'=⋅ (3)平衡状态下系统的最概然分布是在满足式(1)的条件下使()0Ω或()0In Ω为极大的分布. 利用斯特令公式,由式(3)可得为求使()0ln Ω为极大的分布,令l a 和l a '各有l a δ和l a δ'的变化,()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化. 使()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}l a '必使 即但这些δl a 和δl a '不完全是独立的,它们必须满足条件用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去,得 根据拉氏乘子法原理,每个δl a 和δl a '的系数都等于零,所以得 即.l l l l l l a e a eαβεαβεωω--''--=''= (4)拉氏乘子,αα'和β由条件(1)确定. 式(4)表明,两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布. 两个分布的α和α'可以不同,但有共同的β. 原因在于我们开始就假设两种粒子的粒子数,N N '和能量E 具有确定值,这意味着在相互作用中两种粒子可以交换能量,但不会相互转化. 从上述结果还可以看出,由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时,两个子系统有相同的β.同上题,如果粒子是玻色子或费米子,结果如何?解: 当系统含有N 个玻色子,N '个费米子,总能量为E ,体积为V 时,粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足条件l l l l lla a E εε''+=∑∑ (1)才有可能实现.玻色子处在分布{}l a ,费米子处在分布{}l a '时,其微观状态数分别为 系统的微观状态数()0Ω为()0.ΩΩΩ'=⋅ (3)平衡状态下系统的最概然分布是在满足式(1)条件下使()0Ω或()0ln Ω为极大的分布. 将式(2)和式(3)取对数,利用斯特令公式可得 令各l a 和l a '有δl a 和δl a '的变化,()0ln Ω将因而有()0δln Ω的变化,使用权()0ln Ω为极大的分布{}l a 和{}l a '必使即但这此致δl a 和δl a '不完全是独立的,它们必须满足条件 用拉氏乘子,αα'和β分别乘这三个式子并从()0δln Ω中减去,得 根据拉氏乘子法原理,每个δl a 和δl a '的系数都等于零,所以得 即,1.1ll ll ll a ea e αβεαβεωω--''--=-''=+ (4) 拉氏乘子,αα'和β由条件(1)确定. 式(4)表明,两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布,其中α和α'不同,但β相等.。
近独立粒子的最概然分布热力学统计物理

一般地;设粒子的自由度为 r ; 其力学运动状态由粒子的 r 个广义坐标 q1 q2 …qr 和相应的 r 个广义动量 p1 p2 … pr 共 2r 个量的值确定 粒子能量ε:
ε=ε q1 q2 …qr ;p1 p2 …pr
总之;微观粒子运动状态的经典描述是采用粒子的坐标 和动量共同描述的方法
n(n1 2), n0,1 ,2,...(6.2.3)
本征函数为厄米多项式
二 转子
经典转子的能量 r L 2 , 2I
轨道角动量的本征值 L 2 l ( l 1 )2 ,l 0 , 1 ,2 ,. . . ( 6 . 2 . 4 )
本征函数为球谐函数;勒让德多项式
对于给定的l;角动量在Z轴的投影Lz只能取分立值
4状态的分立性
量子力学中;微观粒子的运动状态称为量子态 它由一组量 子数来表征;其数目等于粒子的自由度数
状态所对应的力学量如能量 等不连续——状态量子化
电子轨道——电子出现概率最大的地方
5 全同性原理
全同粒子不可分辨;任意交换一对粒子不改变系统状态
18
二 量子描述例子
一 线性谐振子 能量的本征值为
pzpzdpz 范围内的量子态数为
dn xdn ydznh V3dx pdypdzp
32
利用不确定关系解释
dn xdn ydznh V3dx pdypdzp
qi pi h q 1 q 2 q r p 1 p 2 p r h r
相格:表示粒子的一个状态在 空间中占有的体积
则上式可理解为:相体积Vdpxdpydpz内具有的量子态数 为相体积Vdpxdpydpz比上相格
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[
]
A
v p
§6-2
粒子运动状态的量子描述
微观粒子普遍具有波粒二象性(粒子性与波动性) 德布罗意关系(1924年):
ε = hω ;
p = hk
不确定性关系(1925年)
∆q∆p ≈ h
其中
h = h 2π = 6.626 ×10−34 J ⋅ s
都称为普朗克常数。
dnx = L dp x 2πh
同理 , 在 p y 到 p y + dp y的范围内,可能的 p y的数目为 :
dn y =
L dp y 2πh
在 p z 到 p z + dp z的范围内,可能的 p z 的数目为 :
dnz = L dp z 2πh
由于自由粒子的量子态由动量的三个分量p x、p y、p (或者三个量子数n x、n y、n z) z 表征,因此容器V = L3内,动量在p x 到p x + dp x,p y 到p y + dp y,p z 到p z + dp z的范围内, 自由粒子的量子态数为:
1 2 2 ( p x + p y + p z2 ) 2m
& dA A≡ dt
ε=
能量球面半径:
r = 2mε
以一维自由粒子为例,以 x, p为直角坐标,构成二维的 µ x 空间,设一维容器的长度为 L ,粒子的一个运动状态 ( x, p x ) 可以 用 µ 空间在一定范围内的一点代表:
px
• ( x, p x )
z
v M
θ = π 2 ⇒ pθ = 0
2 pϕ 1 1 2 ε = ( pθ2 + 2 pϕ ) = 2I 2I sin θ
z方向的角动量:
O
r
& & Lz = xp y − ypx = m( xy − yx) & & = mr 2 cos 2 ϕϕ + sin 2 ϕϕ & = mr 2ϕ = pϕ
广义坐标:q1 , q2 , q3 , L qr 广义动量:p1 , p2 , p3 , L pr
粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数:
ε=ε(q1 , q2 ,L qr;p1 , p2 ,L pr)
如果有外场,粒子的能量还是外场的函数。
μ空间
由2r个广义坐标和广义动量张成的2r维直角坐标空间:
μ空间:(q1 , q2 , L qr;p1 , p2 ,L pr)
dn x dn y dn z =
Vdp x dp y dp z h3
右边表示在µ空间中以h3为单位的相格的个数,左边表示量子态的数目。 一个相格h3 内只有一个量子态
进一步说明:
微观粒子的运动必须遵守不确定性关系,不可能同时具有确定的动量和 坐标,所以量子态不能用µ空间的一点来描述,如果硬要沿用广义坐标和广义 µ 动量描述量子态,那么一个状态必然对应于µ空间中的一个体积元(相格), 而不是一个点,这个体积元称为量子相格。 自由度为1的粒子,相格大小为普朗克常数:∆q∆p ≈ h 如果自由度为r,相格大小为:
四、自由粒子
一维自由粒子: 考虑处于长度为 L 的一维容器中自由粒子。采用周期性边界条件,其 德布罗意波长λ 满足: L = nx λ , nx = 0,1,2,L
又:k x = 2π
λ
,
∴kx =
2π nx , nx = 0,±1,±2, L L
px =
代入德布罗意关系式 p x = hk x , 得:
I = mr 2转动惯量
广义动量的形式和转子的拉格朗日量有关。 能量的形式和转子的对称性有关。
转子的拉格朗日量:
r 1 2 2 2 & & & L = T − V = m( x + y + z ) − V ( r ) 2 1 & & = m(r 2θ 2 + r 2 sin 2 θ ϕ 2 ) − V (r ) 2
一、自旋
电子(质子、中子等)具有内禀角动量(自旋)和内禀磁矩,关系为: 内禀角动量(自旋)和内禀磁矩 内禀角动量
µ =−
r e r S m
自旋角动量在空间任意方向上的投影(比如说 z 轴)只能取两个值:
1 S z = m S h = ± h; 2
mS = ± 1 称为自旋 (磁) 量子数 2
在外磁场中的势能为
2 2 n x + n y + n z2 = 1
有六个量子态与之对应,
(1,0,0)
(−1,0,0)
(0,1,0)
(0,−1,0)
(0,0,1)
(0,0,−1)
考虑粒子在宏观大小的容器V = L3内运动,显然,p x与nx 是一一对应的, 且相邻两个nx 相差为1,因此在p x到px + dpx的范围内,可能的px的数目为:
Байду номын сангаас
dn x dn y dn z =
Vdp x dp y dp z h3
Vp 2 sin θ = dpdθdϕ 3 h
π
对 θ : 0 → π , ϕ : 0 → 2π 积分 :∫0
∫
2π
0
sin θdθdϕ = 4π
体积V内,动量大小在p到p + dp, 自由粒子的量子态数为:
4πV 2 p dp ≡ D( p )dp 3 h
第六章
近独立粒子的最概然分布
基本内容: 基本内容:粒子运动状态的描述 热力学系统的微观状态的描述 等概率原理 三种分布
§6-1 粒子运动状态的经典描述
一.粒子的运动状态
粒子:指组成宏观物质系统的基本单元。 例:气体中的分子 金属中的离子和电子 辐射场中的光子
粒子的运动状态是指它的力学运动 运动状态。 运动
Vdp x dp y dp z L 3 dn x dn y dn z = ( ) dp x dp y dp z = 2πh h3
进一步理解这个式子,我们在µ空间中引入相格的概念。 首先,注意到 L3 dp x dp y dp z = Vdp x dp y dp z 是µ空间中的一个体积元; 其次,普朗克常数h的量纲: [h]=[时间]·[能量]=[长度]·[动量] [h]3=[长度]3·[动量]3 h3是µ空间中的一个体积,称之为一个相格。
2 2 2 2 2 2 p 2 p x + p y + p z 2π 2 h 2 nx + n y + nz εn = = = ⋅ 2m 2m m L3
nx , n y , nz
2 2 2 能量值决定于: n x + n y + n z
基态能级为非简并,激发态为6度简并。 比如对于:
2π 2 h 2 ε= , m
微观粒子的运动不是轨道运动 微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标,经典描述失效 在量子力学中,微观粒子的运动状态是用波函数来描述的,微观粒子的 运动状态称为量子态。量子态往往可以由一组量子数来表征。这组量子数的 数目等于粒子的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,分立的能量称为能级。 如果一个能级的量子态不止一个,该能级就称为简并的。 一个能级的量子态数称为该能级的简并度。 如果一个能级只有量子态,该能级称为非简并的。 普朗克常数的量纲: [时间]·[能量]=[长度]·[动量]=[角动量] 具有这样量纲的一个物理量通常称为作用量,因而普朗克常数也称为基本 的作用量子。这个作用量子常作为判别采用经典描述或量子描述的判据。
如果粒子遵从经典力学的运动规律,对粒子运动状态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律,对粒子运动状态的描述称为量子描述。
二.粒子的运动状态的经典描述
设粒子的自由度数r(能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目),粒 子在任一时刻的力学运动状态(或者微观运动状态)由2r个广义坐标和广义 动量确定:
L
O
x
2.线性谐振子
质量为m的粒子在弹性力 f = − Ax 作用下,将在原点附近作圆频率 ω = A m 的简谐振动,称为线性谐振子。 自由度: 1 μ空间维数:2
广义坐标:q = x;
p2 1 ε= + mω 2 x 2 2m 2
& 广义动量:p = mx
能量:
p
能量椭圆
p2 x2 + =1 2ε 2mε mω 2
D(p)表示单位动量大小间隔范围内的量子态数,称为动量空间的态密度。
p2 对非相对论性的自由粒子,有: ε = 2m
dε =
2p dp 2m
体积V内,能量大小在ε到ε + dε, 自由粒子的量子态数为:
μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态,这个点 称为粒子运动状态的代表点。当粒子运动状态随时间改变时,代表点相应 地在μ空间中移动,描画出一条轨迹。
三.例子
1.三维自由粒子 1.三维自由粒子
自由度:3;μ空间维数:6
广义坐标:q1 = x q2 = y q3 = z
能量:
& 广义动量:p1 = p x = mx & p 2 = p y = my & p3 = p z = mz
1 & & ε = m(r 2θ 2 + r 2 sin 2 θϕ 2 ) 2
自由度:2 μ空间维数:4
广义坐标:
q1 = θ (0 ~ π ), q2 = ϕ (0 ~ 2π )
广义动量:
& p1 = pθ = mr θ
2
如何出来的?
& p2 = pϕ = mr 2 sin 2 θ ϕ
能量:
1 1 M2 2 ε = ( pθ2 + 2 pϕ ) = ; 2I sin θ 2I