2020年中国高中数学奥林匹克试题与解答 精品

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2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

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2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版一、给定锐角三角形PBC ,PC PB ≠.设A ,D 分不是边PB ,PC 上的点,连接AC ,BD ,相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分不为E ,F ,线段BC ,AD 的中点分不为M ,N .〔1〕假设A ,B ,C ,D 四点共圆,求证:EM FN EN FM ⋅=⋅;〔2〕假设 EM FN EN FM ⋅=⋅,是否一定有A ,B ,C ,D 四点共圆?证明你的结论.解〔1〕设Q ,R 分不是OB ,OC 的中点,连接EQ ,MQ ,FR ,MR ,那么11,22EQ OB RM MQ OC RF ====,又OQMR 是平行四边形,因此OQM ORM ∠=∠,由题设A ,B ,C ,D 四点共圆,因此ABD ACD ∠=∠,因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠,因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠, 故 EQM MRF ∆≅∆, 因此 EM =FM , 同理可得 EN =FN , 因此 EM FN EN FM ⋅=⋅.〔2〕答案是否定的.当AD ∥BC 时,由于B C ∠≠∠,因此A ,B ,C ,D 四点不共圆,但现在仍旧有EM FN EN FM ⋅=⋅,证明如下:如图2所示,设S ,Q 分不是OA ,OB 的中点,连接ES ,EQ ,MQ ,NS ,那么11,22NS OD EQ OB ==,CB因此NS ODEQ OB=.①又11,22ES OA MQ OC==,因此ES OAMQ OC=.②而AD∥BC,因此OA ODOC OB=,③由①,②,③得NS ES EQ MQ=.因为2NSE NSA ASE AOD AOE∠=∠+∠=∠+∠,()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB∠=∠+∠=∠+∠+︒-∠(180)2AOE EOB AOD AOE=∠+︒-∠=∠+∠,即NSE EQM∠=∠,因此NSE∆~EQM∆,故EN SE OAEM QM OC==〔由②〕.同理可得,FN OAFM OC=,因此EN FN EM FM=,从而EM FN EN FM⋅=⋅.CB二、求所有的素数对〔p ,q 〕,使得q p pq 55+.解:假设pq |2,不妨设2=p ,那么q q 55|22+,故255|+q q .由Fermat 小定理, 55|-q q ,得30|q ,即5,3,2=q .易验证素数对)2,2(不合要求,)3,2(,)5,2(合乎要求.假设pq 为奇数且pq |5,不妨设5=p ,那么q q 55|55+,故6255|1+-q q . 当5=q 时素数对)5,5(合乎要求,当5≠q 时,由Fermat 小定理有15|1--q q ,故626|q .由于q 为奇素数,而626的奇素因子只有313,因此313=q .经检验素数对)313,5(合乎要求.假设q p ,都不等于2和5,那么有1155|--+q p pq ,故)(m od 05511p q p ≡+--. ①由Fermat 小定理,得 )(m od 151p p ≡- , ② 故由①,②得)(m od 151p q -≡-. ③设)12(21-=-r p k ,)12(21-=-s q l , 其中s r l k ,,,为正整数. 假设l k ≤,那么由②,③易知)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)12(21)12(2p r r q s r s p s lkl kl -≡-≡==≡=----------,这与2≠p 矛盾!因此l k >.同理有l k <,矛盾!即现在不存在合乎要求的),(q p . 综上所述,所有满足题目要求的素数对),(q p 为)3,2(,)2,3(,)5,2(,)2,5(,)5,5(,)313,5(及)5,313(.三、设m ,n 是给定的整数,n m <<4,1221+n A A A 是一个正2n +1边形,{}1221,,,+=n A A A P .求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数.解 先证一个引理:顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角,且有两个锐角时,这两个锐角必相邻.事实上,设那个凸m 边形为m P P P 21,只考虑至少有一个锐角的情形,现在不妨设221π<∠P P P m ,那么)13(2122-≤≤>∠-=∠m j P P P P P P m m j ππ,更有)13(211-≤≤>∠+-m j P P P j j j π.而321P P P ∠+11P P P m m -∠>π,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理. 由引理知,假设凸m 边形中恰有两个内角是锐角,那么它们对应的顶点相邻. 在凸m 边形中,设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐角.设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边〔n r ≤≤1〕,如此的),(j i 在r 固定时恰有12+n 对.〔1〕 假设凸m 边形的其余2-m 个顶点全在劣弧j i A A 上,而j i A A 劣弧上有1-r 个P 中的点,现在那个2-m 顶点的取法数为21--m r C .〔2〕 假设凸m 边形的其余2-m 个顶点全在优弧j i A A 上,取i A ,j A 的对径点i B ,j B ,由于凸m 边形在顶点i A ,j A 处的内角为锐角,因此,其余的2-m 个顶点全在劣弧j i B B 上,而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点,现在那个2-m 顶点的取法数为2-m r C .因此,满足题设的凸m 边形的个数为))()()(12()12()()12(11111111121211221∑∑∑∑∑==--+---=-=--=----+-+=⎪⎭⎫⎝⎛++=++nr nr m rm r m r m r n r m r n r m r nr m rm r C C C C n C C n CCn))(12(111--+++=m nm n C C n .四、给定整数3≥n ,实数n a a a ,,,21 满足 1m in 1=-≤<≤j i nj i a a .求∑=nk k a 13的最小值.解 不妨设n a a a <<< 21,那么对n k ≤≤1,有k n a a a a k k n k n k 2111-+≥-≥++-+-,因此()∑∑=-+=+=nk kn knk ka a a13131321()()()∑=-+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=n k k n k kn k k n k a a a a a a 121211414321 ()∑∑==-+-+≥+≥n k nk kn k k n a a 13131218181. 当n 为奇数时,222113313)1(412221-=⋅⋅=-+∑∑-==n i k n n i nk . 当n 为偶数时,32113)12(221∑∑==-=-+n i nk i kn⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==21313)2(2ni n j i j)2(4122-=n n . 因此,当n 为奇数时,2213)1(321-≥∑=n a nk k,当n 为偶数时,)2(3212213-≥∑=n n a nk k ,等号均在n i n i a i ,,2,1,21=+-=时成立. 因此,∑=nk k a 13的最小值为22)1(321-n 〔n 为奇数〕,或者)2(32122-n n 〔n 为偶数〕.五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色.咨询:对如何样的n ,存在一种染色方式,使得关于这n 种颜色中的任何3种不同颜色,都能找到一个三角形,其顶点为多边形P 的顶点,且它的3条边分不被染为这3种颜色? 解 当n 3≥为奇数时,存在合乎要求的染法;当n 4≥为偶数时,不存在所述的染法。

浙江省宁波市2020年12月高中数学竞赛 PDF版含解析

浙江省宁波市2020年12月高中数学竞赛 PDF版含解析
5. A,B,C
解析:由 S2 S3 a3 0 ,所以 A 正确; 由 S4 S3 a4 0 ,所以 B 正确; 由 a1 a2 a3 0 S3 0 ,所以 C 正确; S4 = a1 + 3a3 0 ,所以 D 不正确
6. B,D
由 sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2 sin2 A = cos2 B + cos2 C sin2 (B + C) = cos2 B + cos2 C
2020 年宁波市高中数学竞赛试题 第4页(共 4 页)
2020 年宁波市高中数学竞赛试题答案
一、选择题Ⅰ(本题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.每小题列出的四个选项
中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.)
1.C
分析:由 (a
+
b)2
+
(a
− b)2
=
2
2a
+
2
2b
可得.
2020 年宁波市高中数学竞赛试题
2020 年 12 月 13 日 9:00-11:00
注意: 报考 A 组的考生作答 A 卷(所有试题),报考 B 组的考生作答 B 卷(前 17 题).
请考生按规定用笔,将试题的答案涂、写在答题纸上.
一、选择题Ⅰ(本题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分.每小题列出的四个选项 中只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分.)
16.已知正项等比数列an 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a3 = 4 , a2a4 = 3S3 − 5 .
(Ⅰ)求an 的通项公式;
(Ⅱ)设命题 p :存在正整数 m, n (其中 m n )及k {−1, 0,1}, k = 1, 2, , n ,使得

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。

2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,5分为一个档次,不要再增加其他中间档次。

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每小题均给出A ,B ,C ,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。

1.使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是( ) A .63- B .3 C .63+ D .62.空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值( )A .只有一个B .有二个C .有四个D .有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列,则第2020个数是( )A .43273767575+++ B .43272767575+++ C .43274707171+++ D .43273707171+++二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。

7.将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a .8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数,若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立,则a 的取值范围是 。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分,共36分)1.(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492.设a ,b ∈R ,ab ≠0,那么直线ax -y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是yxO Ox yO xyyx O A.B. C.D.3.过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线,若此直线与抛物线交于A 、B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ,则线段PF 的长等于(A ) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 34.若x ∈[-5π12 ,-π3 ],则y=tan(x +2π3 )-tan(x +π6 )+cos(x +π6 )的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253二.填空题(每小题9分,共54分)7.不等式|x |3-2x 2-4|x |+3<0的解集是 .8.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△PF 1F 2的面积等于 .9.已知A={x |x 2-4x +3<0,x ∈R },B={x |21-x +a ≤0,x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R}若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是 .10.已知a ,b ,c ,d 均为正整数,且log a b=32,log c d=54,若a -c=9,则b -d= .11.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 .12. 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.-a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1,2,…,n -1),a n =1},T n 是M n 中元素的个数,S n 是M n 中所有元素的和,则lim n →∞S nT n= .五、(本题满分20分)15.一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ,且OA=a ,折叠纸片,使圆周上某一点A '刚好与点A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当A '取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、(本题50分)过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线,切点为A 、B ,所作割线交圆于C 、D 两点,C 在P 、D 之间.在弦CD 上取一点Q ,使∠DAQ=∠PBC . 求证:∠DBQ=∠PAC .二、(本题50分)设三角形的三边长分别是正整数l ,m ,n .且l >m >n >0.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104,其中{x }=x -[x ],而[x ]表示不超过x 的最大整数.求这种三角形周长的最小值.三、(本题50分)由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形,其中n=q 2+q +1,l ≥12q (q +1)2+1,q ≥2,q ∈N .已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q +2条连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形).2020年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025,462=2116.在1至2025之间有完全平方数45个,而2026至2115之间没有完全平方数.故1至2025中共有新数列中的2025-45=1980项.还缺2020-1980=23项.由2025+23=2048.知选C .3.过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线,若此直线与抛物线交于A 、B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ,则线段PF 的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0,0),弦AB 所在直线方程为y=3x ,弦的中点在y=p k =43上,即AB 中点为(43,43),中垂线方程为y=-33(x -43)+43,令y=0,得点P 的坐标为163.∴ PF=163.选A .4.若x ∈[-5π12 ,-π3],则y=tan(x +2π3)-tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253【答案】C【解析】令x +π6=u ,则x +2π3=u +π2,当x ∈[-5π12,-π3]时,u ∈[-π4,-π6],y=-(cot u +tan u )+cos u=-2sin2u +cos u .在u ∈[-π4,-π6]时,sin2u 与cos u 都单调递增,从而y 单调递增.于是u=-π6时,y 取得最大值1163,故选C .二.填空题(每小题9分,共54分)7.不等式|x |3-2x 2-4|x |+3<0的解集是 .【答案】(-3,-5-12)∪(5-12,3). 【解析】即|x |3-2|x |2-4|x |+3<0,⇒(|x |-3)(|x |-5-12)(|x |+5+12)<0.⇒|x |<-5+12,或5-12<|x |<3. ∴ 解为(-3,-5-12)∪(5-12,3).9.已知A={x |x 2-4x +3<0,x ∈R },B={x |21-x +a ≤0,x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R}若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是 .【答案】-4≤a ≤-1.【解析】A=(1,3);又,a ≤-21-x∈(-1,-14),当x ∈(1,3)时,a ≥x 2+52x-7∈(5-7,-4).∴ -4≤a ≤-1.10.已知a ,b ,c ,d 均为正整数,且log a b=32,log c d=54,若a -c=9,则b -d= .【答案】93【解析】a 3=b 2,c 5=d 4,设a=x 2,b=x 3;c=y 4,d=y 5,x 2-y 4=9.(x +y 2)(x -y 2)=9.∴ x +y 2=9,x -y 2=1,x=5,y 2=4.b -d=53-25=125-32=93.11.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 .【答案】2+48【解析】如图,ABCD 是下层四个球的球心,EFGH 是上层的四个球心.每个球心与其相切的球的球心距离=2.EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形.是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得.设E 的射影为N ,则MN=2-1.EM=3,故EN 2=3-(2-1)2=22.∴ EN=48.所求圆柱的高=2+48.12. 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.-a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1,2,…,n -1),a n =1},N MHGFEDCBAT n 是M n 中元素的个数,S n 是M n 中所有元素的和,则lim n →∞S nT n= .【答案】118【解析】由于a 1,a 2,…,a n -1中的每一个都可以取0与1两个数,T n =2n -1.在每一位(从第一位到第n -1位)小数上,数字0与1各出现2n -2次.第n 位则1出现2n -1次.∴ S n =2n -2⨯0.11…1+2n -2⨯10-n.∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118.四、(本题满分20分)14.设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ,Z 1=12+b i ,Z 2=1+c i(其中a ,b ,c 都是实数)对应的不共线的三点.证明:曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.【解析】曲线方程为:Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c s in 4t )∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t .(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1-x )2+2b (1-x )x +cx 2即 y=(a -2b +c )x 2+2(b -a )x +a (0≤x ≤1). ①若a -2b +c=0,则Z 0、Z 1、Z 2三点共线,与已知矛盾,故a -2b +c ≠0.于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线.AB 中点M :14+12(a +b )i ,BC 中点N :34+12(b +c )i .与AC 平行的中位线经过M (14,12(a +b ))及N (34,12(b +c ))两点,其方程为4(a -c )x +4y -3a -2b +c=0.(14≤x ≤34). ②令 4(a -2b +c )x 2+8(b -a )x +4a=4(c -a )x +3a +2b -c .即4(a -2b +c )x 2+4(2b -a -c )x +a -2b +c=0.由a -2b +c 0,得4x 2+4x +1=0, 此方程在[14,34]内有惟一解: x=12.以x=12代入②得, y=14(a +2b +c ).∴ 所求公共点坐标为(12,14(a +2b +c )).加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、(本题50分)过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线,切点为A 、B ,所作割线交圆于C 、D 两点,C 在P 、D 之间.在弦CD 上取一点Q ,使∠DAQ=∠PBC . 求证:∠DBQ=∠PAC .分析:由∠PBC=∠CDB ,若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ,则∆BDQ ∽∆DAQ .反之,若∆BDQ ∽∆DAQ .则本题成立.而要证∆BDQ ∽∆DAQ ,只要证BD AD =DQAQ即可.二、(本题50分)设三角形的三边长分别是正整数l ,m ,n .且l >m >n >0.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104,其中{x }=x -[x ],而[x ]表示不超过x 的最大整数.求这种三角形周长的最小值.【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时,⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104.即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n .∴ 3n (3l -n -1)≡0 (mod 104).(l -n >0)但 (3n ,104)=1,故必有3l -n ≡1(mod 104);同理3m -n ≡1(mod 104).下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x .∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000.故x |4000.用4000的约数试验:∵ x=1,2,时3x ≡∕1(mod 10),而34≡1(mod 10),∴ x 必须是4的倍数;∵ x=4,8,12,16时3x ≡∕1(mod 102),而320≡1(mod 102),∴ x 必须是20的倍数;∵ x=20,40,60,80时3x ≡∕1(mod 103),而3100≡1(mod 103),∴ x 必须是100的倍数;∵ x=100,200,300,400时3x ≡∕1(mod 104),而3500≡1(mod 104).即,使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500,从而l -n 、m -n 都是500的倍数, 设l -n=500k ,m -n=500h ,(k ,h ∈N*,k >h ).由m +n >l ,即n +500h +n >n +500k ,⇒n >500(k -h )≥500,故n ≥501.取n=501,m=1001,l=1501,即为满足题意的最小三个值. ∴ 所求周长的最小值=3003.三、(本题50分)由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形,其中n=q 2+q +1,l ≥12q (q +1)2+1,q ≥2,q ∈N .已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q +2条连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形).现设任一点连的线数≤n -2.且设b 0=q +2≤n -2.且设图中没有四边形.于是当i ≠j 时,B i 与B j 没有公共的点对,即|B i ∩B j |≤1(0≤i ,j ≤n -1).记B 0-=V \B 0,则由|B i ∩B 0|≤1,得|B i ∩B 0-|≥b i -1(i =1,2,…,n -1),且当1≤i ,j ≤n -1且i ≠j 时,B i ∩B 0-与B j ∩B 0-无公共点对.从而B 0-中点对个数≥i =1n -1∑(B i ∩B 0-中点对个数).即C 2 n -b 0≥i =1n -1∑C 2 |B i ∩B 0-|≥i =1n -1∑C 2 b i -1=12i =1n -1∑ (b 2i -3b i +2)≥12[1n -1(i =1n -1∑b i )2-3i =1n -1∑b i +2(n -1)](由平均不等式)=12[1n -1(2l -b 0)2-3(2l -b 0)+2(n -1)]=12(n -1)[(2l -b 0)2-3(n -1)(2l -b 0)+2(n -1)2]=12(n -1)(2l -b 0-n +1)(2l -b 0-2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2=(n -1)(q +1)+2)≥12(n -1)[(n -1)(q +1)+2-b 0-n +1][(n -1)(q +1)+2-b 0-2n +2]=12(n -1)[(n -1)q +2-b 0][(n -1)(q -1)+2-b 0].(两边同乘以2(n -1)即 (n -1)(n -b 0)(n -b 0-1)≥(nq -q +2-b 0)(nq -q -n +3-b 0).(n -1≥q (q +1)代入) 得 q (q +1)(n -b 0)(n -b 0-1)≥(nq -q +2-b 0)(nq -q -n +3-b 0).(各取一部分因数比较) ①但(nq -q -n +3-b 0)-q (n -b 0-1)=(q -1)b 0-n +3(b 0≥q +2)≥(q -1)(q +2)-n +3=q 2+q +1-n =0.②(nq -q +2-b 0)-(q +1)(n -b 0)=qb 0-q -n +2≥q (q +1)-n +2=1>0. ③由假设,不存在处在不同行的2个红点对,使此四点两两同列,所以,有(由于去掉了q +2列,故还余q 2-1列,不同的列对数为C 2 q 2-1)i =1n -1∑C 2 m i ≤C 2 q 2-1. 所以q 2·q (q -1)+q (q -1)(q -2)≤(q 2-1)(q 2-2).⇒ q (q -1)(q 2+q -2)≤(q -1)(q +1)(q 2-2)⇒q 3+q 2-2q ≤q 3+q 2-2q -2.矛盾.故证.。

3_2020年全国高中数学联赛加试参考答案及评分标准(A卷)

3_2020年全国高中数学联赛加试参考答案及评分标准(A卷)

MQ . IB
……………30 分
从而 H , M , B, Q 四点共圆.于是有 BHQ BMQ 90 ,即 BH QH .
……………40 分
1
二.(本题满分 40 分)给定整数 n 3 .设 a1, a2, , a2n , b1, b2, , b2n 是 4n 个 非负实数,满足
a1 a2
a2n
A
Q
HI
P
M
B
C
证明:取 AC 的中点 N .由 AP 3PC ,可知 P 为 NC 的中点.易知 B, I, N 共
线, INC 90 .
由 I 为 ABC 的内心,可知 CI 经过点 Q ,且
QIB IBC ICB ABI ACQ ABI ABQ QBI ,
又 M 为 BI 的中点,所以 QM BI .进而 QM || CN .
当 n 4 时,一方面有
n
a2k 1a2k 1
k1
另一方面,若 n 为偶数,则
n
(b2k 1
k1
b2k )
S.
n
a2k 1a2k 1 (a1 a5
k1
a2n 3 )(a3 a7
a2n 1)
T2 , 4
其中第一个不等式是因为 (a1 a5
a2n 3 )(a3 a7
a2n 1) 展开后每一项
均非负,且包含 a2k 1a2k 1(1 k n) 这些项,第二个不等式利用了基本不等式.
且对任意 i 1, 2, , 2n ,有 aiai 2 bi
求 a1 a2
a2n 的最小值.
解:记 S a1 a2
a2n b1
不失一般性,设T a1 a3
当 n 3 时,因为

2020年国际数学奥林匹克(IMO)全部试题解答

2020年国际数学奥林匹克(IMO)全部试题解答

2020年第61届国际数学奥林匹克(IMO)全部试题解答海亮高级中学高三康榕博高二陈昶旭第一天第1题. 考虑凸四边形ABCD. 设P 是ABCD 内部一点. 且以下比例等式成立:∠PAD:∠PBA:∠DPA=1: 2 :3=∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明: ∠ADP 的内角平分线、∠PCB 的内角平分线和线段AB 的垂直平分线三线共点.证明:如图,设∠PAD=α,∠PBC=β,则∠ABP=2α,∠BAP=2β, ∠APD=3α,∠BPC=3β,取△ABP外心O, 则∠AOP=4α=π-∠ADP∴A, O, P, D共圆.∴∠ADO=∠APO=∠PAO=∠PDO∴OD平分∠PDA.同理, OC平分∠PCB.而O为△ABP外心, 显然在AB中垂线上.故∠PDA平分线, ∠PCB平分线, AB中垂线均过点O.证毕.第2题. 设实数a, b, c, d 满足a ≥b ≥c ≥d > 0, 且 a + b + c + d = 1. 证明:(234)1a b c d a b c d a b c d +++<. 证明: 由加权AM -GM 不等式, 我们有2222a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d <⋅+⋅+⋅+⋅=+++ 故只需证明22223(234)()()cyca b c d a b c d a ++++++<∑ (*)注意到332()36cyc cyc sym cyca a ab abc =++∑∑∑∑, 及32222cyca ab ad a a ++≥∑2232222222cyca b ab b bc bd b a ++++≥∑2222233333cyca cbc ac cd c a +++≥∑22234444cyc a d a b abd acd bcd d a ++++≥∑∴ (*)成立. 故原不等式成立.第3题. 有4n 枚小石子, 重量分别为1, 2, 3, . . . , 4n. 每一枚小石子都染了n 种颜色之一, 使得每种颜色的小石子恰有四枚. 证明: 我们可以把这些小石子分成两堆, 同时满足以下两个条件:• 两堆小石子有相同的总重量;• 每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.证明: 引理:将n 种颜色的点个4个两两分组, 则可取n 组使得每种颜色的点各2个.即证: n 阶4-正则图G(不一定简单)必有2-正则生成子图. n =1, G 为v 的2个自环, 成立.设0n n ≤成立, 则01n n =+时:若G 有点含两自环或有两点含4重边, 对其余部分用归纳假设,该部分取1自环或2重边即可.下设无这样的结构.若G 含三重边,设x,y 间有三条边, 且,(,)xu yv G u y v x ∈≠≠. 考虑将x,y 去掉, 并添入边uv 得到图G ’. 由归纳假设, 图G ’有2-正则生成子图, 若该图含添入的边 uv, 删去该边并加入ux, xy, yv 即可. 若不含, 加入xy, xy 即可.下设无三重边.显然G 有圈. 设最小圈为121,,...,t x x x x . 由G 无2自环,3重边知01t n <+, i x 有两边不指向12,,...t x x x . 设这两边指向,i i u v ,以下下标模t.在G 中删去点12,,...t x x x 并加入边1(1)i i i e u v i t +=≤≤得到G’. 由归纳假设, G ’有2-正则子图G 1.对1≤i ≤t, 若1i e G ∈, 则选择G 中的边11,i i i i x u x v ++, 若1i e G ∉, 则选自1i i x x +, 其余边按G 1中边选择, 则选出的边即为G 的2-正则生成子图的边集.结论成立.回到原题. 将重量为{,41}k n k +-的小石子分为一组.(12)k n ≤≤, 由引理可取n 组使每种颜色的小石子恰2个. 这2n 个分为一组, 其余分为一组, 此即满足条件的分法, 命题成立.第二天第4题. 给定整数n > 1. 在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站. 有两家缆车公司A和B, 各运营k辆缆车; 每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站). A 公司的k辆缆车的k个起点互不相同,k个终点也互不相同, 并且起点较高的缆车,它的终点也较高. B公司的缆车也满足相同的条件. 我们称两个车站被某个公司连接,如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数k, 使得一定有两个车站被两个公司同时连接.解: 由题意得, 每个缆车与1或2个缆车相连. (否则有两辆缆车起点不同, 终点相同)∴A, B各自的缆车线路图可划分为若干个链.注意到每条链长度大于等于2, 且首尾两点不能作为终点和起点, 故恰有2n k-条链.若21k n n≥-+, 则A最多由n-1条链.由抽屉原理, 其中至少有一条链上有221nnn⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥个点, 设为P. 而B仅有n-1条链, 故P上一定有两个点同时在B 的一条链上, 则这两点可被两个公司同时连接.另一方面, 2k n n=-时, 记2n个车站高度排序为21,2,...n (从低到高)令A的2n n-辆缆车为2(1)i n i i n n→+≤≤-令B的2n n-辆缆车为21(11,|)i i i n n i→+≤≤-/易见此时任两个车站不能被两个公司同时相连.2 min 1k n n∴=-+.第5题. 有一叠n > 1张卡片. 在每张卡片上写有一个正整数. 这叠卡片具有如下性质:其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n, 使得可以推出这叠卡片上的数均相等? 解: 设这n 张卡片上的数为1212,,....(...)n n x x x x x x ≤≤. 若12gcd(,,...)1n x x x d =>, 用i x d 代替i x , 不影响结果. 故不妨设12gcd(,,...)1n x x x =.由题意得, 1,2i jx x i j n +∀≤≤≤为代数整数.则2|i j i x x x +⇒模2同余. 又12gcd(,,...)1n x x x =, 故i x 全为奇数.任取一个素数p, p ≥3.记{|1,|},{|1,|}i i i i A x i n p x B x i n p x =≤≤=≤≤/ 则对,,2x y x A y B +∀∈∈不为p 的倍数. 设121(...)2k k i i i x y x x x +=, 则121|(...)2k k i i i x y p x x x +=/ ∴对1,j i j k x B ∀≤≤∈.max 2i i x B x y x ∈+∴≤. 取max ,max i i i i x A x B x x y x ∈∈==, 则max max i i i i x A x B x x ∈∈≤若1n x ≠, 取n x 的奇素因子p, 由12gcd(,,...)1n x x x =知, i ∃, 使|i p x /.取0max{|1,|}i i i i n p x =≤≤/, 由上述结论知0n i x x ≤, 则o n i x x =. 又0|,|i n p x p x /, 矛盾!1n x ∴=. 则1,1i i n x ∀≤≤=.∴对任意n ≥2, 卡片上的所有数均相等.第6题. 证明: 存在正常数c 具有如下性质:对任意整数n > 1, 以及平面上n 个点的集合S, 若S 中任意两点之间的距离不小于1,则存在一条分离S 的直线ℓ, 使得S 中的每个点到直线ℓ 的距离不小于13cn -.(我们称直线ℓ分离点集S, 如果某条以S 中两点为端点的线段与ℓ 相交.)证明: 以每个点为圆心,12为半径作圆, 则这些圆两两公共部分面积为0.引理1: 对凸多边形P, 其内部最多由421s l π++个点在S 中,其中s,l 代表P 的面积和周长. 证明: 如图, 将P 的每条边往外侧平移12, 并以P 上每个点为圆心, 12为半径作圆, 拓展区域面积为124l π+. ∴P 内部最多1422414S l s l πππ+++=+个点. 现在对于一条直线l, 作S 中每个点在l 上的投影. 任取相邻两个投影点, 则这两点连线的中垂线分离点集S, 且所有的到该直线的距离≥12投影点距离.设S 的直径为D, 则可作一个以D 为边长的正方形覆盖S. 由引理1, 122481()D Dn D n π++≥⇒=Ω 设P,Q ∈S, PQ =D. 将PQ 作为上述l, 记我们所能做到的使每个点到一条直线的距离均不小于该数的最大值为d.由于仅与夹角有关, 故d 存在.而l 上除P,Q 外有n -2个投影点.2(1)2D D d n n∴≥>-. 又12()D n =Ω, 故12()d n -=Ω. 需证明13()d n -=Ω .取点集S 的凸包P. 若一直线过P 上一点且使得S 中所有点都在该线一侧, 我们认为其亦分离S. 称其为支撑边. 对于任一常数C, 作两条平行的距离为C 的直线, 满足这两条直线分离S. 作他们的垂线l, 设这个带状区域内有m 个S 中的点, 则11c c d m m d≥⇒≥-+. 不妨设(1)d o =, 则可以认为m 远远大于1. 为使m 尽量小, 应取两直线其中之一为支撑边.∴现在对于一条分离S 的直线l, 设l 与P 围成的区域内部有B 个点. P 中与l 距离最近的点到l 距离为0s , 则01s d B ≥+ (以下用≥代表数量级估计) 我们证明d≥从而311D d n D n ≥⋅= 则13()d n -=Ω. 如图, P 夹在这样一个区域里, 取XY 上一点Z, 使得0YZ s =. 过Z 作MN ⊥XY , 点M,N 在以X 为圆心, D 为半径的圆上. 则B ≤YMN 内S 中点的个数.不妨设XY 为x 轴, 对YMN 内任意两点1122(,),(,)x y x y , 221201212||,()()1x x s x x y y -≤-+-≥, 则12||1y y B -≥⇒≤+.而MN =02s d MN∴≥=+由于0(1)s =Θd ∴≥, 则13d n -≥, 即13()d n -=Ω证毕.。

2020年全国高中数学联赛试题(A卷)(含解析)

2020年全国高中数学联赛试题(A卷)(含解析)

2020年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)参考答案及评分标准说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分. 1. 在等比数列{}n a 中,91313,1a a ,则1log 13a 的值为 .答案:13.解:由等比数列的性质知219913aa a a ,故339121313a a a .所以11log 133a . 2. 在椭圆中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点,12,F F 为两个焦点.若12120AF AF BF BF ,则12ABF F 的值为. 答案:2. 解:不妨设的方程为22221(0)x y a ba b ,(,0),(0,)A a B b ,1(,0)F c ,2(,0)F c ,其中22ca b .由条件知222221212()()()20AF AF BF BF c a c a c b a b c .所以2221222222AB a b c F F cc. 3. 设0a,函数100()f x xx在区间(0,]a 上的最小值为1m ,在区间[,)a 上的最小值为2m .若122020m m ,则a 的值为 .答案:1或100. 解:注意到()f x 在(0,10]上单调减,在[10,)上单调增.当(0,10]a 时,12(),(10)m f a m f ;当[10,)a 时,12(10),()m f m f a .因此总有12()(10)2020f a f m m ,即100202010120aa,解得1a或100a .4. 设z 为复数.若2iz z 为实数(i 为虚数单位),则3z 的最小值为 .答案. 解法1:设i(,)R z ab a b ,由条件知22222(2)i(2)(1)22Im Im0i (1)i (1)(1)z a b a b ab a b z a b a b a b ,故22a b .从而22223(12)((3))(3)25zab ab,即35z.当2,2a b 时,3z 取到最小值解法2:由2iR z z 及复数除法的几何意义,可知复平面中z 所对应的点在2与i 所对应的点的连线上(i 所对应的点除外),故3z 的最小值即为平面直角坐标系xOy 中的点(3,0)到直线220xy 223252.5. 在ABC 中,6,4AB BC ,边AC 上的中线长为,则66sin cos 22A A 的值为 .答案:211256.解:记M 为AC 的中点,由中线长公式得222242()BM AC AB BC , 可得222(64)4108AC.由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB ,所以66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A= 22222sin cos 3sin cos 2222A A A A231sin 4A213211cos 44256A. 6. 正三棱锥P ABC 的所有棱长均为1,,,L M N 分别为棱,,PA PB PC 的中点,则该正三棱锥的外接球被平面LMN 所截的截面面积为 .答案:3. 解:由条件知平面LMN 与平面ABC 平行,且点P 到平面,LMN ABC 的距离之比为1:2.设H 为正三棱锥P ABC 的面ABC 的中心, PH 与平面LMN 交于点K ,则PH 平面ABC ,PK 平面LMN ,故12PK PH .正三棱锥P ABC 可视为正四面体,设O 为其中心(即外接球球心),则O在PH 上,且由正四面体的性质知14OH PH .结合12PK PH 可知OK OH ,即点O 到平面,LMN ABC 等距.这表明正三棱锥的外接球被平面,LMN ABC 所截得的截面圆大小相等.从而所求截面的面积等于ABC 的外接圆面积,即233AB .7. 设,0a b,满足:关于x 的方程||||x x a b 恰有三个不同的实数解123,,x x x ,且123x x x b ,则a b 的值为 .答案:144. 解:令2at x,则关于t 22a a ttb 恰有三个不同的实数解(1,2,3)2iia t x i .由于()22a af t tt为偶函数,故方程()f t b 的三个实数解关于数轴原点对称分布,从而必有(0)2bf a .以下求方程()2f t a 的实数解.当2at时,22()4222a a f t t t a a t a ,等号成立当且仅当0t ;当2at 时,()f t 单调增,且当58a t 时()2f t a ;当2a t时,()f t 单调减,且当58at 时()2f t a .从而方程()2f t a 恰有三个实数解12355,0,88t a t t a . 由条件知3328a ab x t ,结合2ba 得128a . 于是91448aa b .8. 现有10张卡片,每张卡片上写有1,2,3,4,5中两个不同的数,且任意两张卡片上的数不完全相同.将这10张卡片放入标号为1,2,3,4,5的五个盒子中,规定写有,i j 的卡片只能放在i 号或j 号盒子中.一种放法称为“好的”,如果1号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则“好的”放法共有 种.答案:120.解:用{,}i j 表示写有,i j 的卡片.易知这10张卡片恰为{,}i j (15)i j . 考虑“好的”卡片放法.五个盒子一共放有10张卡片,故1号盒至少有3张卡片.能放入1号盒的卡片仅有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}.情况一:这4张卡片都在1号盒中,此时其余每个盒中已经不可能达到4张卡片,故剩下6张卡片无论怎样放都符合要求,有6264种好的放法.情况二:这4张卡片恰有3张在1号盒中,且其余每盒最多仅有2张卡片. 考虑{1,2},{1,3},{1,4}在1号盒,且{1,5}在5号盒的放法数N .卡片{2,3},{2,4},{3,4}的放法有8种可能,其中6种是在2,3,4号的某个盒中放两张,其余2种则是在2,3,4号盒中各放一张.若{2,3},{2,4},{3,4}有两张在一个盒中,不妨设{2,3},{2,4}在2号盒,则{2,5}只能在5号盒,这样5号盒已有{1,5},{2,5},故{3,5},{4,5}分别在3号与4号盒,即{2,5},{3,5},{4,5}的放法唯一;若{2,3},{2,4},{3,4}在2,3,4号盒中各一张,则2,3,4号盒均至多有2张卡片,仅需再使5号盒中不超过2张卡片,即{2,5},{3,5},{4,5}有0张或1张在5号盒中,对应0133C C 4种放法. 因此612414N .由对称性,在情况二下有456N 种好的放法. 综上,好的放法共有6456120种.二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分) 在ABC 中,2sin 2A .求cos 2cosBC 的取值范围.解:记cos 2cos fBC . 由条件知4A 或34A . …………………4分当4A 时,34B C ,其中304C,此时 3cos 2cos 4f C C 22sin cos 22C C sin (0,1]4C . …………………8分当34A 时,4B C ,其中04C,此时 cos 2cos 4f C C 232sin cos 22C C 5sin()C , 其中arctan 3. …………………12分 注意到42,,函数()5sin ()g x x 在0,2上单调增,在,24上单调减,又32(0)224g g,52g,故(2,5]f.综上所述,cos 2cos f BC 的取值范围是(0,1](2,5].…………………16分10. (本题满分20分)对正整数n 及实数(0)x x n ,定义[][]1(,)(1{})C {}C x x n n f n x x x ,其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数,{}[]x x x .若整数,2m n 满足121,,,123mn f m f m f m n n n,求121,,,mn f n f n f n m m m 的值. 解:对0,1,,1k m ,有111111111,C 1+C C C 2n n n k k k k m m m mi i i i i i n f m k n n n . …………………5分 所以121,,,mn f m f m f m n nn 111101C ,m m n jm j k i i f m kn11100122C C 2m m mk k m m k k n1222121(21)12m mm m n n .……………10分 同理得121,,,mn f n f n f n m m m(21)1n m . 由条件知(21)1123m n ,即(21)124m n ,故(21)124m .又2m ,所以21{3,7,15,31,63,127,}m ,仅当5m 时,2131m 为124的约数,进而有124431n .进而121,,,mn f n f n f n m mm4(21)5174.…………………20分11. (本题满分20分)在平面直角坐标系中,点,,A B C 在双曲线1xy 上,满足ABC 为等腰直角三角形.求ABC 的面积的最小值.解:不妨设等腰直角ABC 的顶点,,A B C 逆时针排列,A 为直角顶点.设(,)ABs t ,则(,)ACt s ,且ABC 的面积222122ABCs t SAB . …………………5分注意到A 在双曲线1xy上,设1,A a a,则11,,,B a s t C a t s a a.由,B C 在双曲线1xy 上,可知11()()1a s t a t s a a,这等价于sat st a , ① tas st a.②由①、②相加,得()0s ta ts a,即2t sa t s. ③由①、②相乘,并利用③,得2222221s t s t at as a st s t a a a 2222224t s t s st st s t st st t s t s s t22222()s t s t . …………………10分所以由基本不等式得2224222222222221()()22()4s t s t s t s t s t s t32222222226122()()43108s t s t s t s t ,④故2210863s t . …………………15分以下取一组满足条件的实数(,,)s t a ,使得2263s t (进而由,,s t a 可确定一个满足条件的ABC ,使得22332ABCs t S).考虑④的取等条件,有222222()s t s t ,即2223s t.不妨要求0st ,结合2263s t ,得3(31),3(31)s t .由①知0a,故由③得tsa ts,其中3131312t s s ,从而有312312a.综上,ABC 的面积的最小值为 …………………20分2020年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷)参考答案及评分标准说明:1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.一.(本题满分40分)如图,在等腰ABC 中,AB BC ,I 为内心,M 为BI 的中点,P 为边AC 上一点,满足3AP PC ,PI 延长线上一点H 满足MHPH ,Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点.证明:BHQH .证明:取AC 的中点N .由3AP PC ,可知P 为NC 的中点.易知,,B I N 共线,90INC .由I 为ABC 的内心,可知CI 经过点Q ,且QIB IBC ICB ABI ACQ ABI ABQ QBI ,又M 为BI 的中点,所以QM BI .进而||QM CN . ……………10分考虑HMQ 与HIB .由于MH PH ,故90HMQ HMI HIB .又90IHM INP ,故HM NPHI NI,于是 1122HM NP NC MQ MQHI NI NI MI IB.所以HMQ ∽HIB ,得HQMHBI . ……………30分 从而,,,H M B Q 四点共圆.于是有90BHQBMQ ,即BH QH . ……………40分二.(本题满分40分)给定整数3n .设122122,,,,,,,n n a a a b b b 是4n 个非负实数,满足1221220n n a a a b b b , 且对任意1,2,,2i n ,有21i i i i a a b b (这里211222211,,n nna a a ab b ).求122n a a a 的最小值.解:记122122n n Sa a ab b b . 不失一般性,设13212nS T a a a . 当3n时,因为32212113k kk Ta a 2221335511()()()02a a a a a a ,故结合条件可知233221212121133()34k k k k k k S T a a b b S . 又0S ,所以12S .当2(16)i i a b i 时,S 取到最小值12. ……………10分当4n时,一方面有212121211()nnk kkk k k a a b b S .另一方面,若n 为偶数,则22121152337211()()4nk kn n k T a a a a a a a a , 其中第一个不等式是因为15233721()()n n a a a a a a 展开后每一项均非负,且包含2121(1)k k a a k n 这些项,第二个不等式利用了基本不等式.……………20分若n 为奇数,不妨设13a a ,则12121212121311n n k k k kn k k a a a a a a215213723()()4n n T a a a a a a . 从而总有2221211416nk k k T S S a a .又0S ,所以16S . ……………30分 当1234124,0(52),0,16,0(32)i i a a a a a i n b b b i n 时,S 取到最小值16.综上,当3n 时,S 的最小值为12;当4n 时,S 的最小值为16.……………40分三.(本题满分50分)设12121,2,2,3,4,n nn a a a a a n.证明:对整数5n,n a 必有一个模4余1的素因子.证明:记12,12,则易求得nnna .记2nnn b ,则数列{}n b 满足122(3)n nn b b b n. ①因121,3b b 均为整数,故由①及数学归纳法,可知{}n b 每项均为整数.……………10分 由222()22nn nnn ,可知222(1)(1)n n n b a n .② ……………20分当1n 为奇数时,由于1a 为奇数,故由{}n a 的递推式及数学归纳法,可知na 为大于1的奇数,所以n a 有奇素因子p .由②得21(mod )nb p ,故112(1)(mod )p p nbp .又上式表明(,)1n p b ,故由费马小定理得11(mod )pn b p ,从而12(1)1(mod )p p .因2p,故必须12(1)1p ,因此1(mod 4)p . ……………30分 另一方面,对正整数,m n ,若|m n ,设n km ,则(1)(2)(2)(1)()nnmmk m k m m m k m k mna1(212)(212)01(22)(22)0()(),2,()()(),2 1.l im l i m l i mmi l im l i m li mlmmi a k l a kl因2s ss b 为整数(对正整数s ),1为整数,故由上式知n a 等于ma 与一个整数的乘积,从而|m n a a . 因此,若n 有大于1的奇因子m ,则由前面已证得的结论知m a 有素因子1(mod 4)p,而|m n a a ,故|n p a ,即n a 也有模4余1的素因子.……………40分 最后,若n 没有大于1的奇因子,则n 是2的方幂.设2(3)l n l ,因84082417a 有模4余1的素因子17,对于4l,由8|2l 知82|l a a ,从而2la 也有素因子17.证毕. ……………50分四.(本题满分50分)给定凸20边形P .用P 的17条在内部不相交的对角线将P 分割成18个三角形,所得图形称为P 的一个三角剖分图.对P 的任意一个三角剖分图T ,P 的20条边以及添加的17条对角线均称为T 的边.T 的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T 的一个完美匹配.当T 取遍P 的所有三角剖分图时,求T 的完美匹配个数的最大值.解:将20边形换成2n 边形,考虑一般的问题. 对凸2n 边形P 的一条对角线,若其两侧各有奇数个P 的顶点,称其为奇弦,否则称为偶弦.首先注意下述基本事实:对P 的任意三角剖分图T ,T 的完美匹配不含奇弦.(*)如果完美匹配中有一条奇弦1e ,因为T 的一个完美匹配给出了P 的顶点集的一个配对划分,而1e 两侧各有奇数个顶点,故该完美匹配中必有T 的另一条边2e ,端点分别在1e 的两侧,又P 是凸多边形,故1e 与2e 在P 的内部相交,这与T 是三角剖分图矛盾. ……………10分记()f T 为T 的完美匹配的个数.设11F =,22F =,对2k ≥,21k k k F F F ++=+,是Fibonacci 数列. 下面对n 归纳证明: 若T 是凸2n 边形的任意一个三角剖分图,则()n f T F ≤.设122n P A A A =是凸2n 边形.从P 的2n 条边中选n 条边构成完美匹配,恰有两种方法,1234212,,,n n A A A A A A −或2345222121,,,,n n n A A A A A A A A −−.当2n =时,凸四边形P 的三角剖分图T 没有偶弦,因此T 的完美匹配只能用P 的边,故2()2f T F ==.当3n =时,凸六边形P 的三角剖分图T 至多有一条偶弦.若T 没有偶弦,同上可知()2f T =.若T 含有偶弦,不妨设是14A A ,选用14A A 的完美匹配是唯一的,另两条边只能是2356,A A A A ,此时()3f T =.总之3()3f T F ≤=.结论在2,3n =时成立.假设4n ≥,且结论在小于n 时均成立.考虑凸2n 边形122n P A A A =的一个三角剖分图T .若T 没有偶弦,则同上可知()2f T =.对于偶弦e ,记e 两侧中P 的顶点个数的较小值为()w e .若T 含有偶弦,取其中一条偶弦e 使()w e 达到最小.设()2w e k =,不妨设e 为221n k A A +,则每个(1,2,,2)i A i k =不能引出偶弦.事实上,假设i j A A 是偶弦,若{22,23,,21}j k k n ∈++−,则i j A A 与e 在P的内部相交,矛盾.若{1,2,,21,2}j k n ∈+,则()2i j w A A k <,与()w e 的最小性矛盾.又由(*)知完美匹配中没有奇弦,故122,,,k A A A 只能与其相邻顶点配对,特别地,1A 只能与2A 或2n A 配对.下面分两种情况.情形1:选用边12A A .则必须选用边34212,,k k A A A A −.注意到221n k A A +的两侧分别有2,222k n k −−个顶点,221222()2n k n k w A A k +−−≥=,而4n ≥,因此5226n k −≥.在凸22n k −边形121222k k n P A A A ++=上,T 的边给出了1P 的三角剖分图1T ,在T 中再选取n k −条边12,,,n k e e e −,与1234212,,,k k A A A A A A −一起构成T 的完美匹配,当且仅当12,,,n k e e e −是1T 的完美匹配.故情形1中的T 的完美匹配个数等于1()f T . ……………20分 情形2:选用边12n A A .则必须选用边23221,,k k A A A A +.在凸222n k −−边形2222321k k n P A A A ++−= 中构造如下的三角剖分图2T :对2221k i j n +≤<≤−,若线段i j A A 是T 的边,则也将其作为2T 的边,由于这些边在内部互不相交,因此可再适当地添加一些2P 的对角线,得到一个2P 的三角剖分图2T ,它包含了T 的所有在顶点222321,,,k k n A A A ++−之间的边.因此每个包含边2123221,,,n k k A A A A A A +的T 的完美匹配,其余的边必定是2T 的完美匹配.故情形2中的T 的完美匹配个数不超过2()f T .由归纳假设得1()n k f T F −≤,21()n k f T F −−≤,结合上面两种情形以及1k ≥,有 1211()()()n k n k n k n f T f T f T F F F F −−−−+≤+≤+=≤.……………40分 下面说明等号可以成立.考虑凸2n 边形122n A A A 的三角剖分图n ∆: 添加对角线222332121442232,,,,,,,n n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A A A −−−++.重复前面的论证过程,2()2f ∆=,3()3f ∆=.对n ∆,4n ≥,考虑偶弦3n A A .情形1,用12A A ,由于在凸22n −边形342n A A A 中的三角剖分图恰是1n −∆,此时有1()n f −∆个T 的完美匹配.情形2,用12n A A ,由于在凸24n −边形4521n A A A −中T 的边恰构成三角剖分图2n −∆,不用添加任何对角线,故这一情形下T 的完美匹配个数恰为2()n f −∆ .从而对4n ≥,有 12()()()n n n f f f −−∆=∆+∆.由数学归纳法即得()n n f F ∆=.结论得证.因此,对凸20边形P ,()f T 的最大值等于1089F =.……………50分。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析



A.只有一个
B .有二个
C .有四个
D .有无穷多个
6. 记集合 T
{ 0,1,2,3,4,5,6}, M
{ a1 7
a2 72
a3 73
a4 74
| ai
T , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的
顺序排列,则第 2020 个数是(

A. 5 5 6 3 7 72 73 74
二、(本题满分 50 分)
设正数 a、 b、 c、 x、 y、z 满足 cy bz a, az cx b; bx ay c.
x2
y2
z2
求函数 f (x, y, z)
的最小值 .
1x 1y 1z
三、(本题满分 50 分)
对每个正整数 n,定义函数 f (n)
0 当 n为平方数 ,
[ 1 ]当 n不为平方数 . { n}

【答案】 4 . 3
【解析】设 f ( x) cos(x ) cos( x ) cos(x ), 由 x R , f (x) 0 知,
f ( ) 0, f ( ) 0, f ( ) 0, 即 cos(
) cos( ) 1,cos(
)
cos(
) 1,cos(
) cos(
) 1. cos(
) cos(
【解析】
2 3 ,0
23
, cos(
2) cos( 3 ), 即
2
22
2
2
sin 2 sin 3.
又0 2 ,
3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 方程表示的曲线是椭
22
圆。

2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)

2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目,12道填空题,3道解答题,所有答案填写在答题纸上,满分150分一、填空题(每小题8分,共计96分)1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。

若A B ⊆,则实数m 的取值范围为 。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=,则这样的函数有_______个。

3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。

4.已知数列{}n x满足:11,12n x x x n +==≥,则通项n x =__________。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1,1,60BC BDC =∠=,则球心到平面BDC 的距离为______________。

6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=,则z =__________________。

7.已知平面上单位向量,a b 垂直,c 为任意单位向量,且存在(0,1)t ∈,使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直,则a b c +−的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n ,成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑,则12024a a +=_________。

9.设实数,,(0,2]a b c ∈,且3b a ≥或43a b +≤,则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy 上,椭圆E 的方程为221124x y +=,1F 为E 的左焦点;圆C 的方程为222())x a y b r −+−=( ,A 为C 的圆心。

直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。

则当1OAF ∠最大时,实数r =_____________________。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

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2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准。

选择题只设6 分和 0 分两档,填空题只设9 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。

2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次。

一、选择题(本题满分36 分,每小题 6 分)本题共有 6 小题,每小题均给出 A , B ,C ,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得 0 分。

1.使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是()A . 63B. 3C. 63D . 62.空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值()A .只有一个B .有二个C .有四个D .有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列, 第2020 个数是()A . 5 5 6 3B . 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C .11 0 4 D .11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 (本 分54 分,每小 9 分) 本 共有 6 小 ,要求直接将答案写在横 上。

7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数, 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立, a 的取 范是。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

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2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分,共36分)1.(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492.设a ,b ∈R ,ab ≠0,那么直线ax -y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是yxO Ox yO xyyx O A.B. C.D.3.过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线,若此直线与抛物线交于A 、B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ,则线段PF 的长等于(A ) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 34.若x ∈[-5π12 ,-π3 ],则y=tan(x +2π3 )-tan(x +π6 )+cos(x +π6 )的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253二.填空题(每小题9分,共54分)7.不等式|x |3-2x 2-4|x |+3<0的解集是 .8.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△PF 1F 2的面积等于 .9.已知A={x |x 2-4x +3<0,x ∈R },B={x |21-x +a ≤0,x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R}若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是 .10.已知a ,b ,c ,d 均为正整数,且log a b=32,log c d=54,若a -c=9,则b -d= .11.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 .12. 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.-a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1,2,…,n -1),a n =1},T n 是M n 中元素的个数,S n 是M n 中所有元素的和,则lim n →∞S nT n= .五、(本题满分20分)15.一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ,且OA=a ,折叠纸片,使圆周上某一点A '刚好与点A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当A '取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、(本题50分)过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线,切点为A 、B ,所作割线交圆于C 、D 两点,C 在P 、D 之间.在弦CD 上取一点Q ,使∠DAQ=∠PBC . 求证:∠DBQ=∠PAC .二、(本题50分)设三角形的三边长分别是正整数l ,m ,n .且l >m >n >0.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104,其中{x }=x -[x ],而[x ]表示不超过x 的最大整数.求这种三角形周长的最小值.三、(本题50分)由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形,其中n=q 2+q +1,l ≥12q (q +1)2+1,q ≥2,q ∈N .已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q +2条连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形).2020年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025,462=2116.在1至2025之间有完全平方数45个,而2026至2115之间没有完全平方数.故1至2025中共有新数列中的2025-45=1980项.还缺2020-1980=23项.由2025+23=2048.知选C .3.过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线,若此直线与抛物线交于A 、B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ,则线段PF 的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0,0),弦AB 所在直线方程为y=3x ,弦的中点在y=p k =43上,即AB 中点为(43,43),中垂线方程为y=-33(x -43)+43,令y=0,得点P 的坐标为163.∴ PF=163.选A .4.若x ∈[-5π12 ,-π3],则y=tan(x +2π3)-tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253【答案】C【解析】令x +π6=u ,则x +2π3=u +π2,当x ∈[-5π12,-π3]时,u ∈[-π4,-π6],y=-(cot u +tan u )+cos u=-2sin2u +cos u .在u ∈[-π4,-π6]时,sin2u 与cos u 都单调递增,从而y 单调递增.于是u=-π6时,y 取得最大值1163,故选C .二.填空题(每小题9分,共54分)7.不等式|x |3-2x 2-4|x |+3<0的解集是 .【答案】(-3,-5-12)∪(5-12,3). 【解析】即|x |3-2|x |2-4|x |+3<0,⇒(|x |-3)(|x |-5-12)(|x |+5+12)<0.⇒|x |<-5+12,或5-12<|x |<3. ∴ 解为(-3,-5-12)∪(5-12,3).9.已知A={x |x 2-4x +3<0,x ∈R },B={x |21-x +a ≤0,x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R}若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是 .【答案】-4≤a ≤-1.【解析】A=(1,3);又,a ≤-21-x∈(-1,-14),当x ∈(1,3)时,a ≥x 2+52x-7∈(5-7,-4).∴ -4≤a ≤-1.10.已知a ,b ,c ,d 均为正整数,且log a b=32,log c d=54,若a -c=9,则b -d= .【答案】93【解析】a 3=b 2,c 5=d 4,设a=x 2,b=x 3;c=y 4,d=y 5,x 2-y 4=9.(x +y 2)(x -y 2)=9.∴ x +y 2=9,x -y 2=1,x=5,y 2=4.b -d=53-25=125-32=93.11.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 .【答案】2+48【解析】如图,ABCD 是下层四个球的球心,EFGH 是上层的四个球心.每个球心与其相切的球的球心距离=2.EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形.是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得.设E 的射影为N ,则MN=2-1.EM=3,故EN 2=3-(2-1)2=22.∴ EN=48.所求圆柱的高=2+48.12. 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.-a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1,2,…,n -1),a n =1},N MHGFEDCBAT n 是M n 中元素的个数,S n 是M n 中所有元素的和,则lim n →∞S nT n= .【答案】118【解析】由于a 1,a 2,…,a n -1中的每一个都可以取0与1两个数,T n =2n -1.在每一位(从第一位到第n -1位)小数上,数字0与1各出现2n -2次.第n 位则1出现2n -1次.∴ S n =2n -2⨯0.11…1+2n -2⨯10-n.∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118.四、(本题满分20分)14.设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ,Z 1=12+b i ,Z 2=1+c i(其中a ,b ,c 都是实数)对应的不共线的三点.证明:曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.【解析】曲线方程为:Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c s in 4t )∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t .(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1-x )2+2b (1-x )x +cx 2即 y=(a -2b +c )x 2+2(b -a )x +a (0≤x ≤1). ①若a -2b +c=0,则Z 0、Z 1、Z 2三点共线,与已知矛盾,故a -2b +c ≠0.于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线.AB 中点M :14+12(a +b )i ,BC 中点N :34+12(b +c )i .与AC 平行的中位线经过M (14,12(a +b ))及N (34,12(b +c ))两点,其方程为4(a -c )x +4y -3a -2b +c=0.(14≤x ≤34). ②令 4(a -2b +c )x 2+8(b -a )x +4a=4(c -a )x +3a +2b -c .即4(a -2b +c )x 2+4(2b -a -c )x +a -2b +c=0.由a -2b +c 0,得4x 2+4x +1=0, 此方程在[14,34]内有惟一解: x=12.以x=12代入②得, y=14(a +2b +c ).∴ 所求公共点坐标为(12,14(a +2b +c )).加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、(本题50分)过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线,切点为A 、B ,所作割线交圆于C 、D 两点,C 在P 、D 之间.在弦CD 上取一点Q ,使∠DAQ=∠PBC . 求证:∠DBQ=∠PAC .分析:由∠PBC=∠CDB ,若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ,则∆BDQ ∽∆DAQ .反之,若∆BDQ ∽∆DAQ .则本题成立.而要证∆BDQ ∽∆DAQ ,只要证BD AD =DQAQ即可.二、(本题50分)设三角形的三边长分别是正整数l ,m ,n .且l >m >n >0.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104,其中{x }=x -[x ],而[x ]表示不超过x 的最大整数.求这种三角形周长的最小值.【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时,⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104.即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n .∴ 3n (3l -n -1)≡0 (mod 104).(l -n >0)但 (3n ,104)=1,故必有3l -n ≡1(mod 104);同理3m -n ≡1(mod 104).下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x .∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000.故x |4000.用4000的约数试验:∵ x=1,2,时3x ≡∕1(mod 10),而34≡1(mod 10),∴ x 必须是4的倍数;∵ x=4,8,12,16时3x ≡∕1(mod 102),而320≡1(mod 102),∴ x 必须是20的倍数;∵ x=20,40,60,80时3x ≡∕1(mod 103),而3100≡1(mod 103),∴ x 必须是100的倍数;∵ x=100,200,300,400时3x ≡∕1(mod 104),而3500≡1(mod 104).即,使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500,从而l -n 、m -n 都是500的倍数, 设l -n=500k ,m -n=500h ,(k ,h ∈N*,k >h ).由m +n >l ,即n +500h +n >n +500k ,⇒n >500(k -h )≥500,故n ≥501.取n=501,m=1001,l=1501,即为满足题意的最小三个值. ∴ 所求周长的最小值=3003.三、(本题50分)由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形,其中n=q 2+q +1,l ≥12q (q +1)2+1,q ≥2,q ∈N .已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q +2条连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形).现设任一点连的线数≤n -2.且设b 0=q +2≤n -2.且设图中没有四边形.于是当i ≠j 时,B i 与B j 没有公共的点对,即|B i ∩B j |≤1(0≤i ,j ≤n -1).记B 0-=V \B 0,则由|B i ∩B 0|≤1,得|B i ∩B 0-|≥b i -1(i =1,2,…,n -1),且当1≤i ,j ≤n -1且i ≠j 时,B i ∩B 0-与B j ∩B 0-无公共点对.从而B 0-中点对个数≥i =1n -1∑(B i ∩B 0-中点对个数).即C 2 n -b 0≥i =1n -1∑C 2 |B i ∩B 0-|≥i =1n -1∑C 2 b i -1=12i =1n -1∑ (b 2i -3b i +2)≥12[1n -1(i =1n -1∑b i )2-3i =1n -1∑b i +2(n -1)](由平均不等式)=12[1n -1(2l -b 0)2-3(2l -b 0)+2(n -1)]=12(n -1)[(2l -b 0)2-3(n -1)(2l -b 0)+2(n -1)2]=12(n -1)(2l -b 0-n +1)(2l -b 0-2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2=(n -1)(q +1)+2)≥12(n -1)[(n -1)(q +1)+2-b 0-n +1][(n -1)(q +1)+2-b 0-2n +2]=12(n -1)[(n -1)q +2-b 0][(n -1)(q -1)+2-b 0].(两边同乘以2(n -1)即 (n -1)(n -b 0)(n -b 0-1)≥(nq -q +2-b 0)(nq -q -n +3-b 0).(n -1≥q (q +1)代入) 得 q (q +1)(n -b 0)(n -b 0-1)≥(nq -q +2-b 0)(nq -q -n +3-b 0).(各取一部分因数比较) ①但(nq -q -n +3-b 0)-q (n -b 0-1)=(q -1)b 0-n +3(b 0≥q +2)≥(q -1)(q +2)-n +3=q 2+q +1-n =0.②(nq -q +2-b 0)-(q +1)(n -b 0)=qb 0-q -n +2≥q (q +1)-n +2=1>0. ③由假设,不存在处在不同行的2个红点对,使此四点两两同列,所以,有(由于去掉了q +2列,故还余q 2-1列,不同的列对数为C 2 q 2-1)i =1n -1∑C 2 m i ≤C 2 q 2-1. 所以q 2·q (q -1)+q (q -1)(q -2)≤(q 2-1)(q 2-2).⇒ q (q -1)(q 2+q -2)≤(q -1)(q +1)(q 2-2)⇒q 3+q 2-2q ≤q 3+q 2-2q -2.矛盾.故证.。

2020年全国高中数学联赛试题简析,附试卷真题、答案

2020年全国高中数学联赛试题简析,附试卷真题、答案
二、解答题
第9题 考察基本的三角恒等式的记忆和使用,有一定的计算量,相较于往年一试
第一道解答题来说难度持平或者略有上升。 第 10 题
虽然的定义比较复杂,但是经过适当的分组之后仍然是比较常规的恒等变 形,本题难度不大,但是需要细心的计算,否则容易算错或者得不出答案。 第 11 题
较为常规的解析几何试题,思路是容易想到的,计算量相比于 2018 年的 那一道题来说也小许多,难度上放在高考中也不为过,只是一试的时间相对紧 张,考生不一定有时间来做本题。
论都知道的学生来说本题是加试中最难的题,总体难度中档偏难。
考试真题
一试:
二试
参考答案
一试:
二试
数情形的处理只要知道递推数列的一个基本结论,和二次剩余之后就能够做出
来,奇数情形相对困难一些,需要观察数列的前若干项找出规律,当然也没有
比偶数情形难太多,总体难度中档偏难。
组合、通过试一些常见的剖分可以猜到结果,因此归纳的方法是可以猜到
的,但是具体细节仍然具有一定的难度,对于准备充分,二三两题涉及到的结
二试
总评
本次二试难度相对平均,难度下限和上限都有所收拢,没有特别突 出的难题或者特别水的题目,对具备一定实力的考生来说能够着手处理 的题目变多了,但是对于实力尚弱的考生来说二试拿分变难了。
几何、较为简示性,
没有卡手的地方,是加试最简单的一道题,但是比 2019 年高联的几何题要难
2020 年全国高中数学联赛试题简析,试卷真题、答案
一试 总评
本次一试大部分的题目都不难,但是整体计算量偏大,对考生的计 算能力进行了考察,此外,能否在有限的时间内对试题进行取舍,保证 自己会做的题目的正确率,在本次考试中也非常重要。
一、填空题

2020全国高中数学联赛B卷一试+加试:试题及详解

2020全国高中数学联赛B卷一试+加试:试题及详解

2020全国高中数学联赛B卷一试+加试:试题及详解2020年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.若实数x满足log2X = log4(2x)+log8(4%),则-=.2.在平面直角坐标系xQv中,圆。

经过点(0,0), (2,4), (3,3),则圆。

上的点到原点的距离的最大值为.3.设集合X = {1,2,…,20}, 4是X的子集,4的元素个数至少是2,且/的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A的个数为.A A4.在三角形43。

中,3C=4,C4=5,H8 = 6, WO sm6-+cos6-= _________________ .2 25.设9元集合月={o + Zn|a,。

w {1,2,3}} , i是虚数单位.a =仪/2,…,zj是/中所有元素的一个排列,满足㈤引二2佰…4闻,则这样的排列a的个数为.6.已知一个正三棱柱的各条棱长均为3,则其外接球的体枳为.7.在凸四边形N8CQ中,BC= 2AD .点P是四边形MBCD所在平面上一点,满足方5+2020而+正+2020万=6.设S"分别为四边形/SCO与△2店的面枳,贝.S8.己知首项系数为1的五次多项式/(x)满足:/(%)=8几〃=1, 2,…,5 ,则f(x)的一次项系数为.二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)在岬射,上为长轴的一个端点,8为短釉的一个端点,为两个焦点.若箫•丽+瓯•瓯=0,求tan/NBATan/ABE的值. - -10.(本题满分20分)设正实数〃,4。

满足/+4/+9°2 =46 + 120-2,求2 3卜+—的最小值.b c证明:存在无穷多个支整数加,使得〃加1是完全平方数•=1.2,….11.(本题满分20分)设数列4的通项公式为2020年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)参考答案及评分标准说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.若实数X 满足log2 X = log,(2x) + log s(4x),则x =答案:128.解:由条件知log? x = log」2+ log4 x + log8 4 + log8 x = + 1■十! log? ”,2 23 o解得1咤2工=7,故x = 128.2,在平血直角坐标系xOy中,圆。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(2)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(2)

16 4
3y 8 2 3 0
上 . 当 F1PF2 取最大值时,比
PF1 的值为 PF2
.
10. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为
1 cm 的实心铁球,四个球两两相切, 2
其中底层两球与容器底面相切 . 现往容器里注水, 使水面恰好浸没所有铁球, 则需要注
水 cm 3.
11. 方程 ( x2006 1)(1 x 2 x4 L x 2004 ) 2006 x 2005 的实数解的个数为
( 1 ),又由圆幂定理,
PF2 AF2
2
AP AF1 AF2 ( 2),而 F1( 2 3,0) ,F2(2 3,0) ,A( 8 2 3,0) ,从而有 AF1 8 ,
AF2
8 4 3 。代入( 1),( 2)得 PF1 PF 2
AF1 AF 2
8 8 43
4 23
3 1。
12. 【答案】 0.0434 【解析】第 4 次恰好取完所有红球的概率为
.
12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球,每 次从中随机取出一个球,然后放回
次恰好取完所有红球的概率为
.
三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)
1 个白球,则第 4
15. 设
f ( x) x2 a . 记 f 1 (x) f (x) ,
n
f ( x)
f
(
f
n
1
( x))
,n
2,3,L ,
【解析】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为
x轴,AC为 y轴,AA 1为z轴,
1
1
则 F (t1,0,0) ( 0
t1
1 ),
E(0,1, ) 2
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ORQN MFED CBAP2020年中国数学奥林匹克试题与解答(2020年1月11日)一、给定锐角三角形PBC ,PC PB ≠.设A ,D 分别是边PB ,PC 上的点,连接AC ,BD ,相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分别为E ,F ,线段BC ,AD 的中点分别为M ,N .(1)若A ,B ,C ,D 四点共圆,求证:EM FN EN FM ⋅=⋅;(2)若 EM FN EN FM ⋅=⋅,是否一定有A ,B ,C ,D 四点共圆?证明你的结论. 解(1)设Q ,R 分别是OB ,OC 的中点,连接EQ ,MQ ,FR ,MR ,则11,22EQ OB RM MQ OC RF ====,又OQMR 是平行四边形, 所以OQM ORM ∠=∠, 由题设A ,B ,C ,D 四点共圆, 所以ABD ACD ∠=∠,于是22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠,所以EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠, 故 EQM MRF ∆≅∆, 所以 EM =FM , 同理可得 EN =FN ,所以 EM FN EN FM ⋅=⋅. (2)答案是否定的.当AD ∥BC 时,由于B C ∠≠∠,所以A ,B ,C ,D 四点不共圆,但此时仍然有EM FN EN FM ⋅=⋅,证明如下:如图2所示,设S ,Q 分别是OA ,OB 的中点,连接ES ,EQ ,MQ ,NS ,则11,22NS OD EQ OB ==,所以NS ODEQ OB=. ① 又11,22ES OA MQ OC ==,所以ES OAMQ OC=. ② 而AD ∥BC ,所以OA ODOC OB=, ③ 由①,②,③得NS ESEQ MQ=. 因为 2NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠,()(1802)EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+︒-∠(180)2AOE EOB AOD AOE =∠+︒-∠=∠+∠, 即NSE EQM ∠=∠,所以NSE ∆~EQM ∆,故EN SE OAEM QM OC==(由②). 同理可得, FN OAFM OC =, 所以 EN FNEM FM=, 从而 EM FN EN FM ⋅=⋅.二、求所有的素数对(p ,q ),使得q p pq 55+.解:若pq |2,不妨设2=p ,则q q 55|22+,故255|+qq .由Fermat 小定理, 55|-qq ,得30|q ,即5,3,2=q .易验证素数对)2,2(不合要求,)3,2(,)5,2(合乎要求.若pq 为奇数且pq |5,不妨设5=p ,则qq 55|55+,故6255|1+-q q .当5=q 时素数对)5,5(合乎要求,当5≠q 时,由Fermat 小定理有15|1--q q ,故626|q .由于q 为奇素数,而626的奇素因子只有313,所以313=q .经检验素数对)313,5(合乎要求.若q p ,都不等于2和5,则有1155|--+q p pq ,故SO RQNFEDCBA P)(m od 05511p q p ≡+--. ①由Fermat 小定理,得 )(m od 151p p ≡- , ②故由①,②得)(m od 151p q -≡-. ③设)12(21-=-r p k,)12(21-=-s q l, 其中s r l k ,,,为正整数. 若l k ≤,则由②,③易知)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)12(21)12(2p r r q s r s p s l k l k l -≡-≡==≡=----------,这与2≠p 矛盾!所以l k >.同理有l k <,矛盾!即此时不存在合乎要求的),(q p . 综上所述,所有满足题目要求的素数对),(q p 为)3,2(,)2,3(,)5,2(,)2,5(,)5,5(,)313,5(及)5,313(.三、设m ,n 是给定的整数,n m <<4,1221+n A A A Λ是一个正2n +1边形,{}1221,,,+=n A A A P Λ.求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数.解 先证一个引理:顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角,且有两个锐角时,这两个锐角必相邻.事实上,设这个凸m 边形为m P P P Λ21,只考虑至少有一个锐角的情况,此时不妨设221π<∠P P P m ,则)13(2122-≤≤>∠-=∠m j P P P P P P m m j ππ,更有)13(211-≤≤>∠+-m j P P P j j j π.而321P P P ∠+11P P P m m -∠>π,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理. 由引理知,若凸m 边形中恰有两个内角是锐角,则它们对应的顶点相邻.在凸m 边形中,设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐角.设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边(n r ≤≤1),这样的),(j i 在r 固定时恰有12+n 对.(1) 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在劣弧j i A A 上,而j i A A 劣弧上有1-r 个P 中的点,此时这2-m 个顶点的取法数为21--m r C .(2) 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在优弧j i A A 上,取i A ,j A 的对径点i B ,j B ,由于凸m 边形在顶点i A ,j A 处的内角为锐角,所以,其余的2-m 个顶点全在劣弧j i B B 上,而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点,此时这2-m 个顶点的取法数为2-m rC .所以,满足题设的凸m 边形的个数为))()()(12()12()()12(11111111121211221∑∑∑∑∑==--+---=-=--=----+-+=⎪⎭⎫⎝⎛++=++nr nr m rm r m r m r n r m r n r m r nr m rm r C C C C n C C n CCn))(12(111--+++=m n m n C C n .四、给定整数3≥n ,实数n a a a ,,,21Λ满足 1min 1=-≤<≤j i nj i a a .求∑=nk k a 13的最小值.解 不妨设n a a a <<<Λ21,则对n k ≤≤1,有k n a a a a k k n k n k 2111-+≥-≥++-+-,所以()∑∑=-+=+=nk kn knk ka a a 13131321()()()∑=-+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=n k k n k kn k k n k a a a a a a 121211414321 ()∑∑==-+-+≥+≥n k nk kn k k n a a 13131218181. 当n 为奇数时,222113313)1(412221-=⋅⋅=-+∑∑-==n i k n n i nk . 当n 为偶数时,32113)12(221∑∑==-=-+n i nk i k n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==21313)2(2ni n j i j)2(4122-=n n . 所以,当n 为奇数时,2213)1(321-≥∑=n a nk k,当n 为偶数时,)2(3212213-≥∑=n n a nk k,等号均在n i n i a i ,,2,1,21Λ=+-=时成立. 因此,∑=nk k a 13的最小值为22)1(321-n (n 为奇数),或者)2(32122-n n (n 为偶数). 五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色.问:对怎样的n ,存在一种染色方式,使得对于这n 种颜色中的任何3种不同颜色,都能找到一个三角形,其顶点为多边形P 的顶点,且它的3条边分别被染为这3种颜色?解 当n 3≥为奇数时,存在合乎要求的染法;当n 4≥为偶数时,不存在所述的染法。

每3个顶点形成一个三角形,三角形的个数为3n C 个,而颜色的三三搭配也刚好有3n C 种,所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合,即形成一一对应.我们将多边形的边与对角线都称为线段.对于每一种颜色,其余的颜色形成21-n C 种搭配,所以每种颜色的线段(边或对角线)都应出现在21-n C 个三角形中,这表明在合乎要求的染法中,各种颜色的线段条数相等.所以每种颜色的线段都应当有212-=n n C n 条. 当n 为偶数时,21-n 不是整数,所以不可能存在合乎条件的染法.下设12+=m n 为奇数,我们来给出一种染法,并证明它满足题中条件.自某个顶点开始,按顺时针方向将凸12+m 边形的各个顶点依次记为1221,,,+m A A A Λ.对于}12,,2,1{+∉m i Λ,按12mod +m 理解顶点i A .再将12+m 种颜色分别记为颜色12,,2,1+m Λ.将边1+i i A A 染为颜色i ,其中12,,2,1+=m i Λ.再对每个12,,2,1+=m i Λ,都将线段(对角线)k i k i A A ++-1染为颜色i ,其中1,,2,1-=m k Λ.于是每种颜色的线段都刚好有m 条.注意,在我们的染色方法之下,线段11j i A A 与22j i A A 同色,当且仅当)12(m od 2211++≡+m j i j i . ①因此,对任何)12(mod +≠m j i ,任何)12(mod 0+≠m k ,线段j i A A 都不与kj k i A A ++同色.换言之,如果)12(m od 2211+-≡-m j i j i . ②则线段11j i A A 都不与22j i A A 同色.任取两个三角形111k j i A A A ∆和222k j i A A A ∆,如果它们之间至多只有一条边同色,当然它们不对应相同的颜色组合.如果它们之间有两条边分别同色,我们来证明第3条边必不同颜色.为确定起见,不妨设11j i A A 与22j i A A 同色.情形1:如果11k j A A 与22k j A A 也同色,则由①知)12(m od 2211++≡+m j i j i , )12(m od 2211++≡+m k j k j ,将二式相减,得)12(m od 2211+-≡-m k i k i ,故由②知11i k A A 不与22i k A A 同色. 情形2:如果11k i A A 与22k i A A 也同色,则亦由①知)12(m od 2211++≡+m j i j i , )12(m od 2211++≡+m k i k i ,将二式相减,亦得)12(m od 2211+-≡-m k j k j ,亦由②知11k j A A 与22k j A A 不同色.总之,111k j i A A A ∆与222k j i A A A ∆对应不同的颜色组合.六、给定整数3≥n ,证明:存在n 个互不相同的正整数组成的集合S ,使得对S 的任意两个不同的非空子集A ,B ,数AxAx ∑∈ 与 BxBx ∑∈是互素的合数.(这里∑∈Xx x 与X 分别表示有限数集X 的所有元素之和及元素个数.) 证 我们用)(X f 表示有限数集X 中元素的算术平均.第一步,我们证明,正整数的n 元集合{}n m m S ,,2,1)!1(1Λ=+=具有下述性质:对1S 的任意两个不同的非空子集A ,B ,有)()(B f A f ≠. 证明:对任意1S A ⊆,∅≠A ,设正整数k 满足)!1()(!+≤<k A f k , ① 并设l 是使)!1()(+≥k A f l 的最小正整数.我们首先证明必有l A =.事实上,设)!1(+'k 是A 中最大的数,则由1S A ⊆,易知A 中至多有k '个元素,即k A '≤,故!)!1()(k k k A f '>'+'≥.又由)(A f 的定义知)(A f ≤)!1(+'k ,故由①知k k '=.特别地有k A ≤.此外,显然)!1()!1()(+=+'≥k k A f A ,故由l 的定义可知A l ≤.于是我们有A l ≤k ≤.若k l =,则l A =;否则有1-≤k l ,则≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+)(11)()1(A f l l A f l )!1(111+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+k k!2!)!1(++++>Λk k .由于)!1(+k 是A 中最大元,故上式表明1+<l A .结合l A ≥即知l A =. 现在,若有1S 的两个不同的非空子集A ,B ,使得)()(B f A f =,则由上述证明知l B A ==,故)()(B f B A f A =,但这等式两边分别是A ,B 的元素和,利用!2!)!1(++>+Λm m 易知必须A =B ,矛盾.第二步,设K 是一个固定的正整数,)(max !111A f n K S A ⊆⋅>,我们证明,对任何正整数x ,正整数的n 元集合{}121!!S x n K S ∈+=αα具有下述性质:对2S 的任意两个不同的非空子集A ,B ,数)(A f 与)(B f 是两个互素的整数.事实上,由2S 的定义易知,有1S 的两个子集11,B A ,满足A A =1,B B =1,且 1)(!!)(,1)(!!)(11+=+=B xf n K B f A xf n K A f . ② 显然)(!1A f n 及)(!1B f n 都是整数,故由上式知)(A f 与)(B f 都是正整数. 现在设正整数d 是)(A f 与)(B f 的一个公约数,则)()(!)()(!11A f B f n B f A f n -是d 的倍数,故由②可知)(!)(!11B f n A f n d -,但由K 的选取及1S 的构作可知,)(!)(!11B f n A f n -是小于K 的非零整数,故它是!K 的约数,从而!K d .再结合)(A f d 及②可知d =1,故)(A f 与)(B f 互素.第三步,我们证明,可选择正整数x ,使得2S 中的数都是合数.由于素数有无穷多个, 故可选择n 个互不相同且均大于K 的素数n p p p ,,,21Λ.将1S 中元素记为n ααα,,,21Λ,则())1(1!!,n i n K p i i ≤≤=α,且()1,22=j i p p (对n j i ≤<≤1),故由中国剩余定理可知,同余方程组n i p x n K i i ,,2,1),(mod 1!!2Λ=-≡α,有正整数解.任取这样一个解x ,则相应的集合2S 中每一项显然都是合数.结合第二步的结果,这一n 元集合满足问题的全部要求.。

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