恒成立和有解

恒成立和有解

一 复习上次课内容：

1. 有界二次函数的最值的求解：

2.函数x a

x x f +=)(的性质。

二 梳理知识

恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团。

（1）不等式f(x)

k •x f ,)(max <⇔x ∈I. 或f(x)的上界小于或等于k ； （2）不等式f(x)

k •x f ,)(min <⇔x ∈I. 或f(x)的下界小于k ； （3）不等式f(x)>k 在x ∈I 时恒成立•

k •x f ,)(min >⇔x ∈I. 或f(x)的下界大于或等于k ； （4）不等式f(x)>k 在x ∈I 时有解•

k •x f ,)(max >⇔x ∈I. 或f(x)的上界大于k ； 三 典型例题

例1. 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2

+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围.

例2.已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

例3.已知偶函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，若)3()1(->+x f ax f 在]2,1[∈x 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

例4.当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2

例5.不等式220kx k +-<有解，求k 的取值范围．

例6.已知二次函数满足1)0(=f ，而且x x f x f 2)()1(=-+。

（1）求二次函数的解析式。

（2）若m x x f +2)(＞在区间[]11，-上恒成立，求m 的取值范围。

（3）若m x x f +2)(＞在区间[]11，-上有解，求m 的取值范围。

四 课堂练习

1.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

2.若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

3.对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2

>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

4.若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

5.设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

6.已知

a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.

7.已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈n m n f m f n m n m 时

，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.

8.已知函数a x f x x 421)(++=在(]1，

∞-上有意义，求a 的取值范围。

9.设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10.若不等式0log 32<-x x a 在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈31,0x 内恒成立，求实数a 的取值范围。

11.已知关于x 的方程lg(x 2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a 的取值范围。

12.对于不等式21x x a -++<，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M ；对

于任意[05]x ∈，

，使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M N ，．

五 课堂小结

解决恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等。