第十讲 弧弦圆心角圆周角

第十讲-弧、弦、圆心角、圆周角．弧、弦、圆心角、圆周角第十讲知识点一弧、弦、圆心角的关系、如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做【定义】．B B'A A A'O旋转到∠绕圆心O′将圆心角∠O中，分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?AOB【探究】如图所示的⊙ OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？A′相等的弦：；相等的弧：【探究】在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？′OO滚动一个圆，使与2OO在⊙O和⊙′中，?分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′′B′得到如图，，如图1 ′OA′重合．重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA AO(OO O('B你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？因此，我们可以得到下面的定理：【归纳】，所对的弦在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧。

几何语言： ?所对的在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，也相等．几何语言：也相等．相等，?所对的在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的几何语言：【辨析】定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？你能举出反例吗？【拓展】CA CD是两条弦．O如图，在⊙中，AB、F______,________ 1（）如果AB=CD，那么E______,_______ CD，那么AB=2（）如果弧弧DO______,_______ COD∠，那么（3）如果∠AOB=B4（）如果OFCD,OE与相等吗？OFABAB=CD, OE⊥，⊥??AB CD 与CDABOE=OF5（）如果，那么的大小有什么关系？与的大小有什么 COD呢？AOB?关系？为什么？∠与∠在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的【归纳】:。

其余各组量也2【应用】AOC ∠AOB=∠BOC=∠ACB=60 °，求证∠例、如图，在⊙O中，AB=AC.__________ 方法小结：圆中证明圆心角相等，可通过证明°，COD=35 的直径，∠=，如图，AB是⊙O=??o CD BCDE例、的度数。

求∠AOE___________方法小结：同圆中，弧相等的关系可转化为ODABC 上，例、已知：如图，在⊙、、、DOBAOCABCD ．==．求证：∠∠_______ 方法小结：同圆中，由弦相等可得_____________,弧之间可进行加或 【自我检测】 ．如果两个圆心角相等，那么（ ）1 ．这两个圆心角所对的弦相等 B ．这两个圆心角所对的弧相等AD ．以上说法都不对C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等CD 和与CD 的关系是（ ）两条弦AB 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB ．AB>2CD C ．AB<2CD D ．不能确定 的关系是（） A. AB=2CD B _________、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的3，DEAC ∥和4、如图，ABDE 是⊙O 的直径，弦 CE=________．若弦BE=3，则弦。

GBA 交圆于延长EADA 平行四边形ABCD 中，以为圆心，AB 为半径的圆分别交、BC 于、F ，、如图所示，5??EGEF = 求证：因此，____________相等，和弧证弧思路导航：EF GE 可通过证明两条弧所对的相等，________ 可作辅助线3HGOAOCPEFOBPAOB上的一点，⊙与，相交于的角平分线相交于，、已知：如图，6点，是∠点，与GHEF与试确定线段之间的大小关系，并证明你的结论．________ 思路导航：由角平线线可联想_____________________,因此可添加辅且线EF和GH相等。

由同圆中_______相等，可得出弦知识点二、圆周角定理，他们的视角靠墙的位置C【探究】：同学甲站在圆心O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的ACB和∠（∠AOB）有什么关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

相同吗？AEB和E，他们的视角∠ADB和∠丁分别站在其他靠墙的位置【探究】：如果同学丙、D________________________，并且两边∠ADB和∠AEB的共同特征是，顶点在_______∠ACB,的角叫做圆周角。

【辨析】识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？【探究】所对的圆心角、BCAB如图，为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是、（３）中∠BAC（２）的度数．圆周角，求出图（１）、通过计算发现：∠BAC＝＿＿∠BOC．试证明这个结论【探究】如图，B C所对的圆心角有多少个？B C所对的圆周角有多少个？在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？你能证明刚才的结论吗？圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．[辨析]：在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？【小结】：圆周角定理的前提条件是：____________________【应用】4例1、图中分别相等的圆周角有________________________________________ 例2、如图，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠OAC=20°，.∠则的度数是_______AOB________实现转化。

方法小结：求圆中的圆周角可利用______所对ACB=2:∠∠AOB=2∠BOC．求证O3、如图， OA、OB、OC都是圆的半径,例BAC∠与_________________所对的可圆心角的关系，通过个方法小结：已知两的关系联系已知与未知。

_________BD与CD的大小有什么关系？为什么？O的弦，延长BD到C，使AC=AB，AB例4、如图，是⊙O的直径，BD是⊙，垂直可结合等腰三角形_________的性质。

方法小结：直径所对的圆周角是_______BAD=______ ACD=42度，则∠O为圆的直径，CD为圆O的弦，∠例5、如图，AB ________解题。

方法小结：圆中出现直径，求圆周角时，可构造直径所对【自我检测】BCD=__ ABD=52°，则∠在⊙ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点CO上，且∠如图，△1、=______ AOB=50弧AC，∠°，则∠ADC的度数AB=2、如图，在⊙O中，弧______ 的度数为°，则∠A的直径，∠如图，3、BD是⊙OCBD=30都是圆上的点，则∠、EDCOBA44、如图，、是⊙的直径，、?2=_______∠1+．5【经典例题】于点E，例、如图，四边形ABCD的四个顶点在圆O上，且对角线AC⊥BD,OE⊥BC1 AD 求证：OE=2思路导航：由倍分关系，联系________________，由OE和BC的位置关系，由垂径定可知点E是BC的____,又由圆的性质知点O为直径的中点，故可作辅助线__________本题知识点：______________,_________________,______________知识点三、圆内接四边形的性质【定义】如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

例如，图1中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆。

圆内接四边形有以下性质：性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。

[应用]例1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD=100°，则∠BCD=______度例2、如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于例3、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为方法小结：圆中求角的问题可利用圆内接四边形_______________的性质解题，未出现基本图形时，可构造圆内接边形解题。

例4、如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）例5、如图，已知AB=AC=AD，，∠BAC=44°，则∠BDC的度数为（）6的距离5中出现到定点A，方法小结：弧中点的条件可转化为_____________________,见直径应想到___________例相等的线段，可构造辅助圆。

F．的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为AB [经典例题] 如图，△ABC内接于⊙O，且＞AC．∠BAC ；（1）求证：EB=ECACAB ABAC-+的和2（）分别求式子值BF AF（3）若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面积[妙题巧解]如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠DAB=60°，BD=6cm，求对角线AC的长．【自我检测】1、如图12，四边形ABCD内接于圆，∠DCE=70°，则∠BOD=____．2、如图，A、B、C在⊙O上，∠OAB=22.5°，则∠ACB=_______3、如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=62°，则∠CAO=_______4、已知A，B，C是⊙O上不同的三个点，∠AOB=60°，则∠ACB=_________5、如图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的=_______7第5题2第1题第题第3题如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，D为弧BC上一点，CE⊥AD6、于E，求证：AE=BD+DE．7、如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．8。