2019年上海高三二模真题汇编讲义——平面向量与复数专题

2019年二模汇编——平面向量专题一、知识梳理

【知识点1】平面向量相关的基本概念

（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；

（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向；

（3）单位向量：给定一个非零向量→

a，与

→

a同向且长度为1的向量叫

→

a的单位向量,

→

a 的单位向量是

a

a

→

→

；

（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行；

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，→

a的相反向量是长度相等方向相反的向量a

→

-.

【例1】判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

①单位向量都相等；

①任一向量与它的相反向量不相等；

①四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC

①模为0是一个向量方向不确定的充要条件；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

【答案】略.

【解析】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.①不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.①不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.①、①正确.①不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.

【点评】本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好. 【例2】. 判断下列命题是否正确，并说明理由：

（1）共线向量一定在同一条直线上. （ ）

（2）所有的单位向量都相等.

（ ） （3）向量→

→

b a 与共线，→

→

c b 与共线，则→

→

c a 与共线. （ ） （4）向量→→b a 与共线，则→

→b //a .

（

）

（5）向量→

→

CD //AB ，则CD //AB .

（ ）

（6）平行四边形两对边所在的向量一定是相等向量. （ ）

【答案】略.

【解析】（1）错.因为两个向量的方向相同或相反叫共线向量，而两个向量所在直线平行时也称它们为共线向量，即共线向量不一定在同一条直线上.

（2）错.单位向量是指长度等于1个单位长度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的意义. （3）错.注意到零向量与任意向量共线，当→

b 为零向量时，它不成立. （4）对.因共线向量又叫平行向量.

（5）错.平行向量与平行直线是两个不同概念，AB 、CD 也可能是同一条直线上. （6）错.平行四边形两对边所在的向量也可能方向相反. 【点评】本题考查向量基本概念.注意零向量的方向是任意方向.

【知识点2】平面向量的坐标运算 设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：

① 向量的加减法运算：a b ±=()1212,x x y y ±±； ② 实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==；

③ 若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段

的终点坐标减去起点坐标；

④ 平面向量数量积：a b →→

⋅=1212x x y y +； ⑤ 向量的模：2

22222||,||a x y a a x y =+==+；

【例1】已知(2,3)a =-，点O 为原点，2OA i j =-，若//AB a ，且||213AB =B 的坐标. 【答案】)5,2(-或)7,6(-.

【解析】由题意得：点A 的坐标为)1,2(-。由//AB a ，设(2,3)AB a λλλ==-，

因为||213AB =52)3()2(2

2=+-λλ，解得：2±=λ，

当2=λ时，(4,6)AB =-，所以点B 的坐标为)5,2(-； 当2-=λ时，(4,6)AB =-，所以点B 的坐标为)7,6(-， 综上，点B 的坐标为)5,2(-或)7,6(-.

【点评】向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知),(),,(2211y x y x ==则

21212121),,(y y x x y y x x ⋅+⋅=⋅±±=±.若),(),,(2211y x B y x A ，则),(1212y y x x AB --=→

，其坐标形式中

是向量的终点坐标减去起点坐标.

【例2】如果将向量(2,1)a =围绕原点按逆时针方向旋转

4

π

即得到向量b ，那么向量b 的坐标为___________． 【答案】

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛223,22

【解析】设a 与x 轴正方向的夹角为θ，则52cos =θ，5

1

sin =θ， 又设b 与x 轴正方向的夹角为β，则4

π+=θβ， 所以10104πsin sin 4πcos cos 4πcos cos =

-=⎪⎭⎫ ⎝⎛

+

=θθθβ， 101034πsin cos 4πcos sin 4πsin sin =

+=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=θθθβ， 又||||5b a ==

，所以(5cos ,)b ββ==⎝⎭

．

【点评】向量在平面直角坐标系中的计算.