运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案

运筹学基础及应用 习题解答

习题一 P46 1.1 (a)

该问题有无穷多最优解，即满足2

1

0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。 (b)

用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.2

(a) 约束方程组的系数矩阵

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=1000030204180036312A

4

最优解()T x 0,0,7,0,10,0=。 (b) 约束方程组的系数矩阵

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=21224321A

最优解T

x ⎪⎭⎫

⎝⎛=0,511,0,5

2。

1.3

(a)

(1) 图解法

最优解即为⎩⎨

⎧=+=+82594321

21x x x x 的解⎪⎭⎫

⎝⎛=23,1x ，最大值235=z

(2)单纯形法

首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ⎩⎨⎧=++=+++++=8

25943 ..00510 max 421321

4321x x x x x x t s x x x x z

则43,P P 组成一个基。令021==x x

得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。5

839,58min =⎪⎭

⎫ ⎝⎛=θ

02>σ，23

28,1421min =⎪⎭⎫ ⎝

⎛=θ

0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2

3

1,4321====x x x x 。最大值 235*=z (b)

(1) 图解法

最优解即为⎩⎨

⎧=+=+5

24262121x x x x 的解⎪⎭⎫

⎝⎛=23,27

x ，最大值217=z

(2) 单纯形法

首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式

1234523124125

max 2000515.. 6224

5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩21=+x x 2621+x x

则3P ，4P ，5P 组成一个基。令021==x x

得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表

21σσ>。245min ,,461θ⎛⎫=-= ⎪⎝

⎭

02>σ，15

33min ,24,5

22θ⎛⎫== ⎪⎝⎭

新的单纯形表为

0,21<σσ，表明已找到问题最优解11x =，2 2x =，315

2

x =

，40x =，50x =。最大值 *

17

2

z = 1.6

(a) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令(

)0,0 ''2'2''2'2

2≥≥-=x x x x x ，

z z x x -=-=' ,3'

3

该问题转化为

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧≥=-+-=---+=++-+++-+--=0,,,,,63382412

4332x ..0023' max 54'3''2'21'

3''2'215'

3''2'214'3''2'2154'3''2'21x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z

其约束系数矩阵为

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛------=003113102114014332A

在A 中人为地添加两列单位向量87,P P ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛------100031130110211400014332 令7654'

3''2'2

10023' max Mx Mx x x x x x x z --++-+--= 得初始单纯形表

(b) 在约束条件中添加松弛变量或剩余变量，且令)'

''

'''

33333 0,0x x x x x =-≥≥， 'z z =-

该问题转化为

'''

123345'''

12334'''

12335'''

1233'''123345max '3500x 2623316.. 5510,,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =--+-++⎧++--=⎪+--+=⎪⎨++-=⎪

⎪≥⎩

其约束系数矩阵为

121110************A --⎛⎫

⎪=-- ⎪

⎪-⎝⎭

在A 中人为地添加两列单位向量87,P P

121110102133010011550001--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

令'

''

12334567max '3500z x x x x x x Mx Mx =--+-++--

1.7

(a)解1：大M 法

在上述线性规划问题中分别减去剩余变量468,,,x x x 再加上人工变量579,,,x x x 得

123456789max 22000z x x x x Mx x Mx x Mx =-++-+-+-

1234513672389123456789622,,20,,,,,,,,0

x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪-+-+=⎪

⎨

--+=⎪⎪≥⎩

其中M 是一个任意大的正数。据此可列出单纯形表

由单纯形表计算结果可以看出，40σ>且40(1,2,3)i a i <=，所以该线性规划问题有无界解 解2：两阶段法。