数列与函数结合的综合问题(新)

数列综合问题之数列与函数

思想方法：关键是应用函数的解析式和性质得到数列的通项或递推关系。

例1：已知函数2()(,)x a f x b c N bx c ++=

∈-中，1

(0)0,(2)2,(2)2

f f f ==-<-， （1） 1

(

)1n n

f a =3）在分析0,b c ===得：

2n S a =

例2满足：

n S f -=*1()n n

n N a ∈，

求数列{分析：（（3）11111()2111()222121

n n

n n n n n n n n n a a a a a a b a a a a n n ++++++--===+--+

例3、设函数

()2

41

+=

x x f ，

(1) 证明：对一切R x ∈，f(x)+f(1-x)是常数；

(2)记()()()+∈+⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=N n f n n f n f n f f a n

,11......210，求n a ,并求出数列{a n }的前n 项和。 1111x x -=12n + (2)2=，u ，求数再令

1()(1)(f x x f f +-=-（2） 当0a b ≠时，

()()()f ab f b f a ab b a =+，令函数()

()f x g x x

=，所以有：()()()()()n g ab g b g a g a n g a =+⇒=

，

所

以

有

：

1()

()()()()n n

n n n n

f a

g a f a a g a n a n f a a

-=⇒==，得

1

1

1111

(2)()()2222

n n n

n f n f u f ---⎛⎫

⎛⎫=⇒= ⎪

⎪

⎝⎭

⎝⎭

； 又因为：1111(1)2()(2)()2222f f f f =+⇒=-，所以：12n

n u ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，112n

n S ⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

。

例2*1n -1=且

有：()n n b f a ++

（2222n n n a b +

+

对于任意的1,n n >∈的取

解：，所以有1(333n n n f a -=，也有：由：1()()

n

n f a f f a ++

3n n S ++

，由错位相减得出：1

)324n n S +<⇒<=（

：

1n a +，有

1

3n n a -，1232n n n

-=，设

24111

224141()()311

11()212

241

n n n n n n n n n f a f a T a b a b a b n n n n +++++=

+

+

+=+

+

++++有： 11311111

()

2212245141

314()2(21)(22)(41)(4)3302(21)(22)(41)(45)n n n n

T T n n n n n n n n n n n n n T T ++-=++--+++++=-++++-=<++++⇒<

所以n T 是单调递减的。也当2n =时，n T 取得最大值2311125()234924

T =

++=，由题有：2524m ≥。

练习：已知函数f (x )定义在区间（-1，1）上，1)2

1

(-=f ,且当x ,y ∈(-1,1)

时，恒有

)

()()(y x f y f x f -=- ,又数列{a n }满足2

112,1

n n a a a ==+,设

n b =

f (-y ),所以即 2

若4

8-

--+<-，

即 14

.2

n m ->

∵n ∈N +，∴当n =1时，12

4

-n 有最大值4，故m >4．又∵m ∈N ,∴存在m =5，使得对任意n ∈N +，都有48-<

m b n 成立.