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湖南省2018届高三 百校大联考 第一次考试
数 学 (理) 试 卷
总分：150分 时量：120分钟 2018年3月12日
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、 已知i z i -=+⋅)1(那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ） A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
2、 过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、
B ，圆心为
C ，则过A 、B 、C 的圆方程是 （ ）
A 、22(1)2x y +-=
B 、22(1)1x y +-=
C 、22(1)4x y -+=
D 、22(1)1x y -+=
3、 已知椭圆
2214x y n +=与双曲线22
18x y m -=有相同的准线，则动点(,)P n m 的轨迹为（ ）
A 、椭圆的一部分
B 、双曲线的一部分
C 、抛物线的一部分
D 、直线的一部分 4、 若圆x 2+y 2=r 2(r>0)至少能盖住函数r
x
x f 2sin
30)(π=
的一个最大值
点和一个最小值点，则r 的取值范围是（ ）
A 、),30[+∞
B 、),6[+∞
C 、),2[+∞π
D 、以上都不对
由 长郡中学；衡阳八中；永州四中；岳阳县一中；湘潭县一中
醴陵一中；澧县一中；郴州二中；益阳市一中；桃源县一中
联合命题
5、 已知(3x+2)n (n ∈N *)的展开式中各项的二次项系数和为S n ，各项系数和为T n , 则lim
n n
n n n
S T S T →+∞-+的值为 （ ）
A 、 １
B 、 ０
C 、 1
2
D 、－１
6、 若其中),2(),1(),2(
,log )(2
23
1b a f T ab
f S b a f R x x f +==+==a 、b 为正实数，则R 、S 、T 的大小关系为 （ ）
A 、T ≥R ≥S
B 、R ≥T ≥S
C 、S ≥T ≥R
D 、T ≥S ≥R
7、 已知函数)(x f y =的定义域为R ，它的反函数为)(1
x f
y -=，如果
)(1a x f y +=-与)(a x f y +=互为反函数且a f =)( （a 为非零常
数）则)0(f 的值为 （ ）
A 、 a -
B 、 0
C 、 a
D 、 a 2
8、 一条长椅上有9个座位，若3个人坐，要求相邻2人之间至少有2个空椅子，则共有（ ）种不同的坐法。

A 、84
B 、72
C 、60
D 、48
9、 已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外一点，设
,=,=,=且存在实数m ，使03=+-c b a m 成立，则点A
分的比为（ ） A 、31- B 、 21- C 、 31 D 、 2
1
10、 已知
)()(x 、g x f 都是定义在
R 上的函数,
g(x)≠0,)()()()(''x g x f x g x f <,)()(x g a x f x =，
2
5
)1()1()1()1(=--+g f g f ，在有穷数列{
)
()
(n g n f }( n=1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于
1615
的概率是（ ） A 、51 B 、52 C 、53 D 、5
4
二、填空题（每题4分，共20分） 11、 540(1)1lim (1)1
x x x →+-=+- 。

12、 已知球的内接正方体的棱长为2，则该球的体积为 ． 13、
已知数列{}n a 满足：112a =
，1211
n n a a n -=+-()2n ≥，则10a 等于______
14、
函数2sin cos cos sin ++=ϕωϕωx A x A y
)20,0,0(πϕω<<>>A 的图象如右，则
ω=______,ϕ=______.
15、 给出如下4个命题：①若α、β是两个不重合
的平面，l 、m 是两条不重合的直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ；②对于任意一条直线a ，平面α内必有无数条直线与a 垂直；③已知命题P ：若四点不共面，那么这四点中任何三点都不共线.而命题P 的逆否命题是假命题；④已知a 、b 、c 、d 是四条不重合的直线，如果a ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥c ，b ⊥d ，则“a ∥b ”与“c ∥d ”不可能都不成立.在以上4个命题中，正确命题的序号是______. (要求将所有你认为正确的命题序号都填上)
湖南省2018届高三百校大联考第一次考试
数学答卷（理科）
16、（本小题12分）设
(sin ,2sin ,3cos ),(sin ,cos ,3cos a x x x b x x =-=,[,]2b x ππ⊥∈且a ，试求sin(2)3
x +的值
学校 班次 姓名 考号
学校 班次 姓名 考号
湖南省2018届高三百校大联考第一次考试
数学（理科）答案
一、CADBD 、ADCAC 二、11、54 12、 π34 13、110127 14、3，3
π 15、①②④
三、
2222160,sin 2sin cos 3cos 0
(sin 3cos )(sin cos )0tan 3tan 1[
,],tan 1(2
sin(2)sin 2cos
cos 2sin
33
3
sin cos
cos sin tan 1a b a b x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x π
ππ
π
π
⊥∴∙=⇒+-=⇒+-=⇒=-=∈∴=+
=+=++=、(本题满分12分）解：或舍去）
2tan x ++=-
17、解:(1)依题意知ξ∽B(2，s)，故E ξ=2s=3
4， ∴s=
3
2
． …………2分 η的取值可以是0，1，2.
甲、乙两人命中10环的次数均为0次的概率是36
1)3
1()2
1(2
2
=⨯， 甲、乙两人命中10环的次数均为1次的概率是
9
2)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯， 甲、乙两人命中10环的次数均为2次的概率是9
1)3232)(2121
(=⨯⨯， ∴p (η=0)=
36
139192361=++． …………6分 甲命中10环的次数为2次且乙命中10环的次数为0次的概率是
36
1)3131)(2121(=⨯⨯， 甲命中10环的次数为0次且乙命中10环的次数为2次的概率是
9
1)3232)(2121(=⨯⨯． ∴p (η=2)=
91361+=36
5
， ∴p (η=1)=1p -(η=0)p -(η=2)=2
136536131=--
． ………10分 故η的分布列是
………12分
（2）E η=9
7365221136130=⨯+⨯+⨯
． …………14分 18、 (1)解法一:联结AC 交DB 于点O. ∵ABCD 是正方形,∴AC ⊥DB.
又PD ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, ∴AC ⊥PD, ∴AC ⊥平面PBD. 作OF ⊥PB 于点F,联结AF,则AF ⊥PB. ∴∠OFA 就是二面角A-PB-D 的平面角. …………2分
∵PD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴PA ⊥AB. 令PD=AD=2，则在RT ∆ABC 中,PA=222222=+,AB=2. ∴PB=32,∴36
23
2222=
⋅=⋅=
PB AB PA AF . ∴在RT ∆AOF 中,sin 2
33
6220===∠AF AO AF ,∴0
600=∠AF .
∴二面角A-PB-D 的大小为0
60. …6分 解法二:建立如图所示的直角坐标系. 联结AC,交BD 于点O,取PA 中点G,联结DG.
∵ABCD 是正方形,∴AC ⊥DB.
又PD ⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, ∴AC ⊥PD, ∴AC ⊥平面PBD.
∵PD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴PA ⊥AB.
∴AB ⊥平面PAD.
∵PD=AD,G 为PA 中点, ∴GD ⊥平面PAB.
故向量DG AC 与分别是平面PBD 与平面PAB 的法向量. 令PD=AD=2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴=(-2，2，0). ∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴=(1,0,1). ………4分 ∴向量DG AC 与
的夹角余弦为212
222
cos -=⋅-=
=θ，
∴0
120=θ,∴二面角A-PB-D 的大小为0
60. …6分
(2)解法一: 当点E 是线段PB 中点时,
有PC ⊥平面ADE. …………7分
证明如下:
取PC 中点H,联结EH,DH,则有EH ∥BC,
又BC ∥AD,故有EH ∥AD. ∴平面ADE 即平
面ADHE. …………9分 ∵PD=DC,H 为PC 中点, ∴PC ⊥DH.又∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥PC.
∴PC ⊥平面ADHE,即PC ⊥平面ADE. ………12分
解法二：建立如图所示的直角坐标系. ∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥PC. 设E 是线段PB 上的一点，令
)10(<<=λλ.
令PD=AD=2，则
P(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),
∴=(-2,0,2),=(2,2,-2),=(0,2,-2).
∴)2,2,2(λλλ-=. ∴)22,2,22(λλλ-+-=+=.…10分 令得,0=⋅PC AE 222-⋅λ(2-λ2)=0,得2
1=λ.
∴当2
1=λ,即点E 是线段PB 中点时,有AE ⊥PC.又∵PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，
∴AD ⊥PC.∴当点E 是线段PB 中点时,有PC ⊥平面ADE. …12分 19、解：∵)),ln(,1(),1,(a x x +=-=，
∴)ln()(a x x x f +-=
⋅=函数． …………2分
∴)
(21
)1()(22121
)(2'
a x x a x a x x a x x a x x x f +-+-=++-=+-=．…4分 当∈x (0，1]时,由于0>a ,故)(2a x x +>0． (1)当a ≥1时
)('x f ≥0在区间(0，1]上恒成立， ∴)(x f 在区间(0，1]上是增函数．
∴)(x f 在区间(0，1]上的最大值是)1ln(
1)1(a f +-=． ………8分 (2)当0<a <1时)('x f ＞0⇔01)1(2>-+-a x
),)11(())11(,0(22+∞-+--∈⇔a a x ． )('x f ＜
0⇔01)1(2<-+-a x ))11(,)11((22a a x -+--∈⇔． 由于2)11(a --＜１，2)11(a -+＞１，
故函数)(x f 在区间(0，2)11(a --]上是增函数，在区间（2)11(a --，１］上是减函数．
∴)(x f 在区间(0，1]上的最大值是f （2)11(a --）＝
)122ln(11a a -----．…………14分
1111121221(1)1812(1)2(1)(1)(2)2(2)
2,242
{}2n n n n n n n n n n n na S n n na n a a n n a S n n n a a n a a S a a a a a n
++-+=++⎫
⇒--=+⎬-=+-≥⎭⇒=+≥==+⇒=∴-=⇒=、(本题满分分)(1)综上可知为等差数列20、解：
1111
231123123
23(2)
(1)2(1)(1)
(1)(1)22(1)(2)(1)(1)(2)
22233
1,,,,2
n n n n n n n n
n n n n
n n n n
n na S n n n n S n n S n n S n n b n n n n n n b b b b n b b b b b b b b b b b b t t t +++++=++⇒+=+++⇒=+∴=
=++++--=-=∴=∴≥⇒<===∴≤∴≤⇒3
因为的最大值为==　
2
3又因为对于一切正整数n 都有的最小23
值为
2
21、解：（1）依题设抛物线C 的方程为：22(0)y px p => 由条件可知9
22124
p p +=⇒=∴曲线C 的方程为2y x = （
2
）
由
题
设
，
过
M
的
l i
的
方
程
为
x-2+t(y-1)=0,22
2(1)0
20x t y y ty t y x
-+-=⎧⇒+--=⎨=⎩ △=t 2+4t+8>0,对于一切t 成立，∴过点M 的任意一条直线l i 与C 恒有公共点。

(3)设
22,A (,),(,)i i i i i i i i
A M
i a a B b b MB λ=又设，由定比分点坐标公式得：22222221111i i i i i i i i i i i i
a b i a b i
a b i a b i λλλλλλλλ⎧+=⎪⎧+-=⎪⎪+⇒⎨
⎨++-=⎪⎪⎩=⎪+⎩
，消去b i 得
2222
22123412341234142142(1)(2)(1)0221,()(1)(1,2,3,4),,,1-,1-,1-,1-1-,1-,1-,1-3,,,3i i i i i i i i i i i
i i i a a a a a a i a a a a a a a a a a a a a d a d a d a d A M A M A M MB MB MB λλλλλλλλ+-=⇒----=+-⇒=-=-=--+++-舍去成公差不为零的等差数列亦成公差不为零的等差数列
不妨设分别为则有314233
22221423222223
1421423
()()(1)(1)[(1)(1)](3)(3)[()()]
16A M MB a a a a a d a d a d a d A M
A M A M A M d M
B MB MB MB λλλλ+=+-+=-+---+-=-++--++=⇒+>+。