关于机械波的反射和折射定律的证明

证明机械波的反射和折射定律 郭 宁

如图，假设AB 是波的宽，d 为任意长，OC 为AB 到达界面是在界面上的宽度，设为a ，a 的长也是任意的，波速为v ，在介质2中的速度变为nv ，n 为比例系数，以O 点为原点，建立平面直角坐标系，x 轴与界面重合，可知AOy θ∠= 为入射角。

当A 到达O 点后，根据惠更斯原理，以O 点为子波的波源，同理C 点也为子波的波源，发出球面波，之后二者的波速都设为kv ，在介质1中，k=1，可知球面波O 的方程为

222x y kvt +=（） （1）

球面波C 的发出比O 要晚，sin a t v

θ∆= ，因此球面波C 的方程为 222sin a x a y kv t v θ⎡⎤-+=-⎢⎥⎣⎦（）（） （2）

又a 为任意值，特殊地，当a=0时（2）式化为（1）式

当a 不断变化时，一组球面波的包络l 即是后来的波的波面，即l 为所求 将（2）式对a 微分：

222222sin 2sin a x k

a k vt θθ-=-

得 222sin 1sin x k vt a k θθ-=- （3）

将（3）带入（2）式

2222sin 1sin k x kvt y k θθ-=-（） （4）

（4）式即为达到界面后波面的方程，有两个解

y = （5）

sin k x kvt

y θ-+=

（6） 在介质2中（5）式成立，并令k=n ，得

tan tan sin y x vt ϕ

ϕθ=- s i n s i n n θϕ=

（ 折射定律） 在介质1中（6）式成立，并令k=1 ，得

tan cos vt

y x ϕθ=-+

（反射定律）