数学建模实验-统计回归模型
统计建模-回归分析

多元线性回归模型形式
多元线性回归模型0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots +
beta_pX_p + epsilon$
解释变量与被解释变量
02
$X_1, X_2, ldots, X_p$ 为解释变量,$Y$ 为被解释变量
在所有无偏估计量中,OLS估计量的方差最 小
模型假设检验与诊断
模型的显著性检验
模型的诊断
使用F检验对模型的显著性进行检验, 判断模型中是否至少有一个解释变量 对被解释变量有显著影响
通过残差图、QQ图等方法对模型的 拟合效果进行诊断,检查模型是否满 足线性、同方差等假设
回归系数的显著性检验
使用t检验对每个回归系数的显著性进 行检验,判断每个解释变量是否对被 解释变量有显著影响
5. 预测与结果分析
利用拟合好的模型进行未来一个月的销售额预测,并对 预测结果进行分析和解读。
06
总结回顾与拓展延伸
本次课程重点内容总结
回归模型的基本原理
通过最小二乘法等优化算法,拟合自变 量和因变量之间的线性或非线性关系。
模型的评估与选择
通过比较不同模型的预测精度、解释 性、稳定性等指标,选择最优模型。
医学领域
研究药物剂量与疗效之间的非线性关系,为合理 用药提供依据。
金融领域
分析股票价格与市场指数之间的非线性关系,预 测市场走势及风险。
环境科学
探讨污染物浓度与环境因素之间的非线性关系, 为环境保护和治理提供决策支持。
04
回归模型诊断与优化策 略
残差分析及其意义
残差定义
实际观测值与回归模型预测值之间的差异。
数学建模回归分析实验报告[1]
![数学建模回归分析实验报告[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/039578ef9e314332396893fb.png)
beta = 21.0058 19.5285
所以:养护日期 x(日)及抗压强度 y(kg/cm2)的回归方程:y=21.0050+19.5288ln(x)
(2)、主程序如下: x=[2 3 4 5 7 9 12 14 17 21 28 56]; y=[35 42 47 53 59 65 68 73 76 82 86 99]; beta0=[1 1]'; [beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0); beta
(3)、输出结果:
实验目的 1、直观了解回归分析基本内容。 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。 实验内容 1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。
程序设计
1、考察温度 x 对产量 y 的影响,测得下列 10 组数据:
温度(℃) 20 25 30
35
40
45
50
55
60
65
产量(kg) 13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3
差的置信区间均包含零点,这说明回归模型 y=9.1212+0.2230x 能较好的符合原 始数据,没有异常点.
(5)、预测及作图: z=b(1)+b(2)*x plot(x,Y,'k+',x,z,'r')
预测 x=42℃时产量的估值.y=18.4872
2、某零件上有一段曲线,为了在程序控制机床上加工这一零件,需要求这段曲 线的解析表达式,在曲线横坐标 xi 处测得纵坐标 yi 共 11 对数据如下:
s=[0.6 2.0 4.4 7.5 11.8 17.1 23.3 31.2 39.6 49.7 61.7];
统计回归模型

实验报告实验名称统计回归模型所属课程数学模型专业信息与计算科学2018年12月26日图1利用MATLAB 的统计工具箱可以得到回归系数及其置信区间(置信水平为0.05)、检验统计量2R ,F ,P 的结果。
见表2:参数参数估计值 参数置信区间 0β5.5863 [4.57436.5983] 1β-0.0031[-0.0056 -0.0006]20.819355R = 6.80359F = 0.0767782p =表2表2显示,20.819355R =指因变量y (单位成本)的81.93%可由模型确定,F 值超过F 检验的临界值,P 小于置信水平,因而模型从整体看是可用的。
表2的回归系数给出了模型中的0β,1β的估计值,则可得到一次线性关系式为y=5.5863-0.0031x (x ≤500)(2)对该模型做残差图:图2可以看出上面第二个点位异常点,去除第二个点后再进行拟合。
利用MATLAB 的统计工具箱可以得到回归系数及其置信区间(置信水平为0.05)、检验统计量2R ,F ,P 的结果。
见表3:参数参数估计值 参数置信区间 0β 5.5749 [5.0902 , 6.0596] 1β-0.0032[-0.0044 , -0.0020]20.976132R = F=40.8967 p=0.023882 表3表3显示,20.976132R =指因变量y (单位成本)的97.61%可由模型确定,F 值超过F 检验的临界值,P 小于置信水平,因而模型从整体看是可用的。
表3的回归系数给出了模型中的0β,1β的估计值,则可得到一次线性关系式为y=5.5749-0.0032x (x ≤500) (3)3.2模型二的建立与求解令生产批量为x ,单位成本为y 元,当x >500时,y 与x 满足一种线性关系,则可建立线性回归模型。
022y X ββε=++(4)其中0β,2β是待估计的回归系数,ε是随机误差。
建模方法论ch10统计回归模型

10.2 软件开发人员的薪金
建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系. 建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系. 分析人事策略的合理性,作为新聘用人员薪金的参考. 分析人事策略的合理性,作为新聘用人员薪金的参考. 46名软件开发人员的档案资料 名软件开发人员的档案资料
编 号 01 02 03 04 … 薪金 13876 11608 18701 11283 … 资 历 1 1 1 1 … 管 理 1 0 1 0 … 教 育 1 3 3 2 … 编 号 42 43 44 45 46 薪金 27837 18838 17483 19207 19346 资 历 16 16 16 17 20 管 理 1 0 0 0 0 教 育 2 2 1 2 1
x2=6.5
0 0.2 0.4 0.6
8.5
8
8
7.5 -0.2
x1
7.5 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
x1
10 9.5 9 8.5 8 7.5 5
ˆ y
10.5 10
ˆ y
x1=0.2
6 7 8
9.5 9 8.5
x2
8
5
6
7
8
x2
交互作用影响的讨论
价格差 x1=0.1 价格差 x1=0.3
ˆ y
销售 周期 1 2 … 29 30
基本模型
y ~公司牙膏销售量 公司牙膏销售量 x1~其他厂家与本公司价格差 其他厂家与本公司价格差 其他厂家与本公司 x2~公司广告费用 公司广告费用
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5 7 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
y = β 0 + β 1 x1 + β 2 x 2 + β x + ε
《数学建模》课件:第十章 统计回归模型

回归和拟合比较相近,但并不一样。对拟合而言, 一个Y变量对应一个X变量,而回归分析的一个Y变 量则有可能对应多个X变量。从这个角度说,拟合 也属于回归的一种。
/view/0aa4c90c844769eae009ed7d.html? re=view (回归分析的基本理论及软件实现)
linear(线性): y 0 1 x1 m xm
purequadratic(纯二次):
y 0 1x1 m xm
n
jj
x
2 j
j1
interaction(交叉): y 0 1x1 m xm jk x j xk
1 jkm
quadratic(完全二次): y 0 1x1 m xm jk x j xk
6.80
0.55
9.26
问题分析
注意到牙膏是生活必需品,顾客在购买同类 产品时常常会更在意不同品牌之间的价格差异, 而不是他们价格本身。
因此,在研究各因素对销售量的影响时,用价 格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合 适。 下面建立牙膏销售量与价格差、广告费之间的关系 模型。
基本模型
y 10
(1) beta=nlinfit(X,Y,function,beta0) (2) [beta,r,J]=nlinfit(X,Y,function,beta0)
10.1 牙膏的销售量
问 建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 题 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量.
收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、
1
xn1
xn2
实验11_统计回归模型(4学时)要点

《数学建模实验》王平实验11 统计回归模型(4学时)(第10章统计回归模型)1. 牙膏的销售量p325~332下面给出一组数据,其中:第1列销售周期;第2列某公司牙膏销售价格(元)x4;第3列其它厂家平均价格(元)x3;第4列广告费用(百万元)x2;第5列价格差(元)x1(x3-x4);第6列销售量(百万支)y。
1.1(验证)基本模型p325~329先保存上面的p325.txt文件。
(1) 绘制y对x1的散点图[提示:dlmread将以ASCII码分隔的数值数据文件读入到矩阵(2) 确定y 对x 1的拟合,绘制散点图与拟合曲线组合图形从y 对x 1的散点图可以发现,可用线性模型(直线)011y x ββε=++(3) 绘制y对x2的散点图(4) 确定y 对x 2的的拟合,绘制散点图与拟合曲线组合图形从y 对x 2的散点图可以发现,可用二次函数模型201222y x x βββε=+++(5) y 对x 1, x 2的回归模型及其求解,销售量预测综上得回归模型20112232y x x x ββββε=++++变量x 1, x 2为回归变量,参数β0, β1, β2, β3为回归系数。
[提示:fprintf 输出到命令窗口或写数据到文本文件]见参考资料:MATLAB 函数和命令的用法。
1.2(验证,编程)模型改进p329~332仍使用题1的数据。
(1)(编程)y 对x 1, x 2的回归模型的改进和求解,销售量预测改进的模型20112232412y x x x x x βββββε=+++++参考题1(5)的程序,编写一个类似的程序,运行结果与教材p329~330的表3及相关结果相比较。
(2)(验证)完全二次多项式模型22011223124152y x x x x x x ββββββε=++++++用鼠标移动交互式画面中的十字线,或在图下方的窗口内输入,可改变x 1和x 2的数值。
改变x 1=0.2,x 2=6.5,观察窗口左边的y 估计值和预测区间。
统计回归模型(1)

31 20 25 19 39 33 17 37 23 39
141 32 86 21 231 187 22 205 57 265
128.4 34.48 67.34 29.56 255.66 154.89 21.18 218 31 218.31 52.44 255 66 255.66
12.6 -2.48 18.66 -8.56 -24.66 32.11 0.82 -13 31 -13.31 4.56 9 34 9.34
*残差有线性趋势,模型不恰当
V = 0.194 0 194d − 45 45.7 7
2
直径 板英尺 预测值 残差 直径 板英尺 预测值 残差
36 28 28 41 19 32 22 38 25 17
192 113 88 294 28 123 51 252 56 16
205.72 -13.72 106.4 6.6 106.4 280.41 24.33 152.96 48.2 234 44 234.44 75.55 10 37 10.37 -18.4 13.59 3.67 -29.96 29.96 2.8 17 56 17.56 -19.55 5 63 5.63
V = 0.00431 000431d3 V = 0.152d 2 V = 0.194d − 45.7
2
458536 462278 0.9919 0 9919 155986 159698 0.977
V = 0.00426 000426d3 + 2.08 208 3712
3910
12895 449383 462278 0.9721 155788 159698 0.976
• 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的 关系有比较充分的认识时,一般用机理分析 方法建立数学模型 • 由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识 程度的限制 无法分析实际对象内在的因果 程度的限制,无法分析实际对象内在的因果 关系,建立合乎机理规律的数学模型,通常 的办法是搜集大量的数据 基于对数据的统 的办法是搜集大量的数据,基于对数据的统 计分析方法去建立模型(找出与数据拟合最 好的模型)
数学建模 回归分析模型

非线性回归模型的实际应用
预测人口增长
非线性回归模型可以用来描述人口增长的动态变 化,预测未来人口数量。
医学研究
在医学研究中,非线性回归模型可以用来分析药 物对病人体内生理指标的影响。
经济预测
在经济领域,非线性回归模型可以用来预测经济 增长、通货膨胀等经济指标。
多元回归模型的实际应用
01
社会学研究
模型检验
对模型进行检验,包括残差分析、拟 合优度检验等,以确保模型的有效性 和可靠性。
非线性回归模型的参数估计
最小二乘法
梯度下降法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误 差,求解出模型中的未知参数。
通过迭代计算,不断调整参数值,以最小 化预测值与实际值之间的误差。
牛顿法
拟牛顿法
基于泰勒级数展开,通过迭代计算,求解 出模型中的未知参数。
线性回归模型的评估与检验
残差分析
分析残差分布情况,检查是否 存在异常值、离群点等。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整判定 系数等指标,评估模型的拟合 优度。
显著性检验
对模型参数进行显著性检验, 判断每个自变量对因变量的影 响是否显著。
预测能力评估
利用模型进行预测,比较预测 值与实际值的差异,评估模型
基于牛顿法的改进,通过迭代计算,求解 出模型中的未知参数,同时避免计算高阶 导数。
非线性回归模型的评估与检验
残差分析
对模型的残差进行统计分析,包括残差 的分布、自相关性、异方差性等,以评
估模型的可靠性。
预测能力评估
使用模型进行预测,比较预测值与实 际值的误差,评估模型的预测能力。
拟合优度检验
通过比较实际值与预测值的相关系数 、决定系数等指标,评估模型的拟合 优度。
数学建模 实验报告

0.5151
-27.0424
14.9336
-1.0552
rint =
-22.6123 32.7016
-29.0151 28.0174
-3.0151 44.6125
-25.5842 31.0708
-41.2961 11.7646
-17.4529 26.8291
-30.9763 25.7415
由于置信水平a=0.05,处理结果p=0.00,p<0.05
R²=0.9747,指因变量Y的97.47%可由模型确定,Y与X1存在二次关系。
,所以得到回归模型:
Y=0.5239+1.7886*X1+0.0302*X1^2;
结果表明年均收入和人寿保险额之间存在二次关系。
接下来处理两个自变量X1,X2对Y是否有交互效应。
序号
y
X1
X2
1
196
66.290
7
2
63
40.964
5
3
252
72.996
10
4
84
45.010
6
5
126
57.204
4
6
14
26.852
5
7
49
38.122
4
8
49
35.840
6
9
266
75.796
9
10
49
37.408
5
11
105
54.376
2
12
98
46.186
7
13
77
46.130
4
14
14
-21.2462 34.3845
数学建模——回归分析模型 ppt课件

有最小值:
n n i 1 i 1
i
2 2 ( y a bx ) i i i
ppt课件
ˆx ˆi a ˆ b y i
6
数学建模——回归分析模型
一元线性回归模型—— a, b, 2估计
n ( xi x )( yi y ) ˆ i 1 b n ( xi x )2 i 1 ˆ ˆ y bx a
数学建模——回归分析模型
Keep focused Follow me —Jiang
ppt课件
1
数学建模——回归分析模型
• • • • • 回归分析概述 几类回归分析模型比较 一元线性回归模型 多元线性回归模型 注意点
ppt课件
2
数学建模——回归分析模型
回归分析 名词解释:回归分析是确定两种或两种以上变数 间相互赖的定量关系的一种统计分析方法。 解决问题:用于趋势预测、因果分析、优化问题 等。 几类常用的回归模型:
可决系数(判定系数) R 2 为:
可决系数越靠近1,模型对数据的拟合程度越好。 ppt课件 通常可决 系数大于0.80即判定通过检验。 模型检验还有很多方法,以后会逐步接触
15
2 e ESS RSS i R2 1 1 TSS TSS (Yi Y )2
数学建模——回归分析模型
2 i i 1
残差平 方和
13
数学建模——回归分析模型
多元线性回归模型—— 估计 j 令上式 Q 对 j 的偏导数为零,得到正规方程组,
用线性代数的方法求解,求得值为:
ˆ ( X T X )1 X TY
ˆ 为矩阵形式,具体如下: 其中 X , Y ,
数学建模统计回归模型

统计回归模型姓名:姚敏俊 班级:08数学(1)班 学号 08070210025摘要随着社会经济的飞速发展,社会人员更关心的是自己的社会福利和工资待遇问题。
在这里我们就中学教师的工资待遇问题建立了模型,并对模型作出了一系列讨论。
如:教师的薪金与他们的工作时间1x 、性别2x 、学历4x 、以及培训情况6x 等因素之间的关系。
我们首先利用MATLAB(程序见附录五)软件作出薪金与老师工作时间的散点图,如图(二),然后假设工作时间与教师薪金为线性关系,其关系式如模型(一);再运用统计回归模型分别从各个方面特别考虑了中学女教师的工资待遇是否受她们的婚姻状况3x 的影响。
经过对模型的各个变量的逐步回归和作残差图,详见图我们从众多变量中挑选出了对教师薪金y 影响最大的变量4x 及1x ,各个变量对教师的薪金的影响的回归系数如图(三),程序见附录(二)。
从影响系数的表图中我们得出了学历对教师的薪金的影响最大。
经过对模型的分析、讨论和进一步的优化,此模型还可以运用到市场调查、教师调研、影响农作物生长的的因素等等相关问题上。
模型(一):ε+*+*+*+*+*+*+*+=776655443322110x a x a x a x a x a x a x a a y 模型(二):44110x a x a a y *+*+=关键词:散点图 线性关系 统计回归模性 回归系数 逐步回归一、问题重述每地人事部门研究中学教师的薪金与他们的资历、性别、教育程度、及培训情况等因素之间的关系,要建立一个数学模型,分析人事策略的合理性,特别是考察女教师是否受到不公正的待遇,以及她们的婚姻状况是否会影响收入。
为此,从当地教师中随机选中3414位进行观察,然后从中保留了90个观察对象,得到关键数据。
二、问题分析与假设分析:本题要求我们分析教师薪金与他们的资历、性别、教育程度及培训情况等因素之间的关系。
按到日常生活中的常识,教师薪金应该与他们的资历、受教育程度有密切关系,资历高、受教育程度高其薪金也应该相应的要高,与其性别、婚姻状况应该没有必然的联系。
数学建模 统计回归模型

实验环境
Matlab7.1.
y 对 x1 的散点图
实验结果与 分析
10
9.5
9
8.5
8
7.5
7 -0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
从上图可知,随着 x1 的增加,y 的值有比较明显的线性增长趋势,图中 的直线可以用线性模型
y 0 1 x1
拟合(其中ε 是随机误差项)。 y 对 x2 的散点图
回归结果为: b =18.0870 1.2622 -3.9616 0.3715
bint = 6.1877 0.6102 -7.8613 0.0531 r =-0.0926 -0.0775 -0.1289 -0.0357 0.4559 -0.0043 0.2887 0.2792 -0.2384 0.1198 -0.3943 0.1856 0.0366 -0.1463 0.1327 0.1658 -0.0573 -0.1896 -0.0805 -0.0187 -0.1251 -0.4083 -0.2843
建立 M 文件如下:
clc clear y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26]; y=y';
实验步骤
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.01 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55]; x1=x1'; x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80]; x2=x2'; x3=[3.50 4.00 4.30 3.70 3.85 3.80 3.75 3.85 3.65 4.00 4.10 4.00 4.10 4.20 4.10 4.10 4.20 4.30 4.10 3.75 3.75 3.65 3.90 3.65 4.10 4.25 3.65 3.75 3.85 4.25]; x3=x3'; x4=[3.85 3.75 3.70 3.70 3.60 3.60 3.60 3.80 3.80 3.85 3.90 3.90 3.70 3.75 3.75 3.80 3.70 3.80 3.70 3.80 3.80 3.75 3.70 3.55 3.60 3.65 3.70 3.75 3.80 3.70]; x4=x4'; plot(x1,y,'o') plot(x2,y,'o') T=[ones(30,1) x2 x3 x3.^2 x4.^2] [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,T,0.05)
统计回归模型实验报告(3篇)

第1篇一、实验背景与目的随着社会科学和自然科学研究的深入,统计分析方法在各个领域得到了广泛应用。
回归分析作为统计学中一种重要的预测和描述方法,在经济学、医学、心理学等领域发挥着重要作用。
本次实验旨在通过EViews软件,对统计回归模型进行实践操作,掌握回归分析的原理和方法,并验证模型在实际问题中的应用效果。
二、实验内容与步骤1. 数据准备(1)收集实验所需数据:选取某地区近五年居民消费支出与居民收入作为实验数据。
(2)数据整理:将数据录入EViews软件,并进行必要的预处理,如剔除异常值、缺失值等。
2. 模型设定(1)根据实验目的,设定回归模型为:消费支出= β0 + β1 居民收入+ ε,其中β0为截距项,β1为居民收入对消费支出的影响系数,ε为误差项。
(2)选择合适的回归模型:根据实验数据特点,选择线性回归模型进行建模。
3. 模型估计(1)在EViews软件中,输入数据并选择线性回归模型。
(2)进行参数估计:利用最小二乘法(OLS)估计模型参数,得到β0和β1的估计值。
4. 模型检验(1)检验模型的整体拟合优度:计算R²、F统计量等指标,判断模型是否显著。
(2)检验参数估计的显著性:进行t检验,判断β0和β1是否显著异于零。
(3)检验误差项的正态性:进行正态性检验,判断误差项是否符合正态分布。
5. 模型应用(1)预测居民消费支出:利用估计出的模型,预测居民收入在一定范围内的消费支出。
(2)分析居民收入对消费支出的影响:根据β1的估计值,分析居民收入对消费支出的影响程度。
三、实验结果与分析1. 模型整体拟合优度根据实验数据,计算R²为0.9,F统计量为35.12,表明模型整体拟合优度较好,可以用于预测和描述居民消费支出与居民收入之间的关系。
2. 参数估计的显著性t检验结果显示,β0和β1的t值分别为2.12和3.45,均大于临界值,表明β0和β1在统计上显著异于零,居民收入对消费支出有显著影响。
数学建模案例分析第十章统计回归模型

岭回归原理及步骤
• 原理:岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法,实质上是一种改良的最小二乘估计法,通过放弃最小二乘 法的无偏性,以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法,对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
岭回归原理及步骤
• 原理:岭回归是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方 法,实质上是一种改良的最小二乘估计法,通过放弃最小二乘 法的无偏性,以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数 更为符合实际、更可靠的回归方法,对病态数据的拟合要强于 最小二乘法。
一元线性回归
01
02
03
模型建立
一元线性回归模型用于描 述两个变量之间的线性关 系,通常形式为y=ax+b, 其中a和b为待估参数。
参数估计
通过最小二乘法等方法对 参数a和b进行估计,使得 预测值与实际观测值之间 的误差平方和最小。
假设检验
对模型进行假设检验,包 括检验模型的显著性、参 数的显著性等,以判断模 型是否有效。
线性回归模型检验
拟合优度检验
通过计算决定系数R^2等指标, 评估模型对数据的拟合程度。
残差分析
对模型的残差进行分析,包括残 差的分布、异方差性检验等,以
判断模型的合理性。
预测能力评估
通过计算预测误差、均方误差等 指标,评估模型的预测能力。同 时可以使用交叉验证等方法对模
型进行进一步的验证和评估。
线性回归模型检验
逐步回归原理及步骤
01
3. 对模型中已有的自变量进行检 验,如果不显著则将其从模型中 剔除。
02
4. 重复步骤2和3,直到没有新的 自变量可以进入模型,也没有不显 著的自变量可以从模型中剔除。
数学建模之统计回归模型

数学建模大作业摘要某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额,题目给出了1977—1981此公司的销售额和行业销售额的分季度数据表格。
通过对所给数据的简单分析,我们可以看出:此公司的销售额有随着行业销售额的增加而增加的趋势,为了更加精确的分析题目所给的数据,得出科学的结论,从而达到合理预测的目的。
我们使用时间序列分析法,参照课本统计回归模型例4,做出了如下的统计回归模型。
在问题一中,我们使用MATLB数学软件,画出了数据的散点图,通过观察散点图,发现公司的销售额和行业销售额之间有很强的线性关系,于是我们用线性回归模型去拟合,发现有很好的拟合性。
但是这种情况下,并没有考虑到数据的自相关性,所以我们做了下面几个问题的分析来对这个数学模型进行优化。
在问题二中,通过建立了公司销售额对全行业销售额的回归模型,并使用DW检测诊断随机误差项的自相关性。
通过计算和查DW表比较后发现随即误差存在正自相关,也就是说前面的模型有一定的局限性,预测结果存在一定的偏差,还有需要改进的地方。
在问题三中,因为在问题二中得出随即误差存在正自相关,为了消除随机误差的自相关性,我们建立了一个加入自相关后的回归模型。
并对其作出了分析和验证,我们发现加入自相关后的回归模型更加合理。
通过使用我们建立的模型对公司的销售额进行预测,发现和实际的销售额很接近,也就是说模型效果还不错。
关键词:销售额、回归模型、自相关性一、问题提出某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售额,下表给出了1977-1981年公司销售额和行业销售额的分季度数据(单位:百万元).(1)画出数据的散点图,观察用线性回归模型拟合是否合适。
(2)监理公司销售额对全行业销售额的回归模型,并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。
二、基本假设假设一:模型中ε(对时间t )相互独立。
三、符号说明公司销售额:y (百万)行业销售额:x (百万) 概念介绍:1.自相关:自相关(auto correlation ),又称序列相关(serial correlation )是指总体回归模型的随机误差项之间存在的相关关系。
数学建模实验报告-统计回归模型

《数学建模与数学实验》实验报告实验2 统计回归模型先帝创业未半而中道崩殂,今天下三分,益州疲弊,此诚危急存亡之秋也。
然侍卫之臣不懈于内,忠志之士忘身于外者,盖追先帝之殊遇,欲报之于陛下也。
诚宜开张圣听,以光先帝遗德,恢弘志士之气,不宜妄自菲薄,引喻失义,以塞忠谏之路也。
宫中府中,俱为一体;陟罚臧否,不宜异同。
若有作奸犯科及为忠善者,宜付有司论其刑赏,以昭陛下平明之理;不宜偏私,使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等,此皆良实,志虑忠纯,是以先帝简拔以遗陛下:愚以为宫中之事,事无大小,悉以咨之,然后施行,必能裨补阙漏,有所广益。
将军向宠,性行淑均,晓畅军事,试用于昔日,先帝称之曰“能”,是以众议举宠为督:愚以为营中之事,悉以咨之,必能使行阵和睦,优劣得所。
亲贤臣,远小人,此先汉所以兴隆也;亲小人,远贤臣,此后汉所以倾颓也。
先帝在时,每与臣论此事,未尝不叹息痛恨于桓、灵也。
侍中、尚书、长史、参军,此悉贞良死节之臣,愿陛下亲之、信之,则汉室之隆,可计日而待也。
臣本布衣,躬耕于南阳,苟全性命于乱世,不求闻达于诸侯。
先帝不以臣卑鄙,猥自枉屈,三顾臣于草庐之中,咨臣以当世之事,由是感激,遂许先帝以驱驰。
后值倾覆,受任于败军之际,奉命于危难之间,尔来二十有一年矣。
先帝知臣谨慎,故临崩寄臣以大事也。
受命以来,夙夜忧叹,恐托付不效,以伤先帝之明;故五月渡泸,深入不毛。
今南方已定,兵甲已足,当奖率三军,北定中原,庶竭驽钝,攘除奸凶,兴复汉室,还于旧都。
此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。
至于斟酌损益,进尽忠言,则攸之、祎、允之任也。
愿陛下托臣以讨贼兴复之效,不效,则治臣之罪,以告先帝之灵。
若无兴德之言,则责攸之、祎、允等之慢,以彰其咎;陛下亦宜自谋,以咨诹善道,察纳雅言,深追先帝遗诏。
臣不胜受恩感激。
今当远离,临表涕零,不知所言。
数学建模实验三:统计回归模型Matlab求解

一、实验目的[1] 通过范例学习建立统计回归的数学模型以及求解全过程;[2] 熟悉MATLAB求解统计回归模型的过程。
二、实验内容(1) 一家技术公司人事部门为研究软件开发人员的薪金与他们的资历、管理责任、教育程度等因素之间的关系,要建立一个数学模型,以便分析公司人事策略的合理性,并作为新聘用人员薪金的参考。
他们认为目前公司人员的薪金总体上是合理的,可以作为建模的依据,于是调查来46名软件开发人员的档案资料,如表4,其中资历一列指从事专业工作的年数,管理一列中1表示管理人员,0表示非管理人员,教育一列中1表示中学程度,2表示大学程度,3表示更高程度(研究生)表1 软件开发人员的薪金与他们的资历、管理责任、教育程度之间的关系分析与假设按照常识,薪金自然随着资历的增长而增加,管理人员的薪金应高于非管理人员,教育程度越高薪金也越高。
薪金记作y ,资历记作x 1,为了表示是否管理人员,定义:210,x ⎧=⎨⎩,管理人员非管理人员.为了表示3种教育程度,定义:31,0,x ⎧=⎨⎩中学其它41,0,x ⎧=⎨⎩大学其它这样,中学用x 3=1,x 4=0表示,大学用x 3=0,x 4=1表示,研究生则用x 3=0,x 4=0表示。
假定资历对薪金的作用是线性的,即资历每加一年,薪金的增长是常数;管理责任、教育程度、资历诸因素之间没有交互作用,建立线性回归模型。
基本模型薪金y 与资历x 1, 管理责任x 2,教育程度x 3,x 4之间的多元线性回归模型为011223344y a a x a x a x a x ε=+++++(1)其中014,,a a a …,是待估计的回归系数,ε是随机误差。
利用MATLAB 编程计算可以得到回归系数及其置信区间(置信水平∝=0.05)、检验统计量R2,F,p结果,见表2:表2 模型(1)的计算结果具体MA TLAB代码如下所示:实际运行结果截图如下所示:结果分析: R 2=0.957,即因变量(薪金)的95.7%可由模型确定,F 值远远超过F 检验的临界值,p 远小于∝,因而模型(1)从整体来看是可用的。
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1)根据上述模型进行数据回归拟合,matlab代码如下:
>> x=[127.3,130.0,132.7,129.4,135.0,137.1,141.2,142.8,145.5,145.3,148.3,146.4,150.2,153.1,157.3,160.7,164.2,165.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,168.7,171.7]';
残差分析,做残差图如下:
>> b,bint,stats
>>b,bint, stats,rcoplot(r,rint)
此时数据已无异常点,可画出回归统计的交互式画面图形:
>> x=[127.3,130.0,132.7,135.0,137.1,141.2,142.8,145.5,145.3,148.3,146.4,150.2,153.1,157.3,160.7,164.2,165.6,168.7,171.7];
146.4
150.2
153.1
157.3
160.7
164.2
165.6
168.7
171.7
解:
(1)建立公司销售额y和行业销售额x的散点图:
所需matlab代码如下:
>> x=[127.3,130.0,132.7,129.4,135.0,137.1,141.2,142.8,145.5,145.3,148.3,146.4,150.2,153.1,157.3,160.7,164.2,165.6,168.7,171.7];
0.0010 3.8947 0.0000 0.0000
做出残差图:
可见已无异常数据点。
对新建立的模型再次进行DW检验:
[p,dw]=dwtest(r2,x1)
p =
0.3211
dw =
1.6681
查表得:dl=1.015 du=1.536
0 dldu 2 4-du 4-dl 4
正自相关
不能确定
无自相关
x1(12)=[];
y1(12)=[];%将第12个数据删除
X=[ones(17,1) x1];
[b,bint,r2,rint2,stats]=regress(y1,X)
b =
-0.4333
0.1754
bint =
-0.7317 -0.1350
0.1694 0.1814
stats =
1.0e+03 *
y的100%可由模型确定, F远超过F检验的临界值, p远小于=0.05,可知模型 整体上看成立。
残差分析,做残差图如下:
>> b,bint,stats
>>b,bint, stats,rcoplot(r,rint)
可见只有第四个数据点超出离散范围,需舍去,舍去异常点代码如下:
x(4)=[];
Y(4)=[];
(2)建立公司销售额对全行业的回归模型,并用DW检验诊断随机误差项的自相关性。
(3)建立消除了随机误差项自相关性之后的回归模型
年
季
t
公司销售额y
行业销售额x
1977
1978
1979
1980
1981
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20.96
不能确定
负自相关
Du<2<4-du,所以新模型无自相关性,因此新模型为 。
做出拟合曲线:
z=b(1)+b(2)*x1
plot(x1,y1,'k+',x1,z,'r')
比较两模型的残差图:
r1(19)=[];
r1(12)=[];%删除第12,19行元素,使维数相同
y2=zeros(17,1);
plot(x1,r1,'ro',x1,r2,'m+',x1,y2,'r')
2)用DW检验诊断随机误差项的自相关性:
所需matlab代码:
[p,dw]=dwtest(r1,x)
p =
9.6535e-05
dw =
0.6411
查表得dL=1.074, dU=1.536
DW检验图如下:
0 dldu 2 4-du 4-dl 4
正自相关
不能确定
无自相关
不能确定
负自相关
由dw=0.6411< dL,得本题的数据之间是正自相关。
b,bint,stats
b =
-0.4536
0.1760
bint =
-0.7969 -0.1104
0.1691 0.1829
stats =
1.0e+03 *
0.0010 2.9368 0.0000 0.0000
再次做出残差图:
rcoplot(r2,rint2)
可见第12个数据是异常点,删去后继续做统计回归。
0.0001 1.6752 0.0000 0.0000
参数
参数估计值
置信区间
-1.6093
[-2.0403 -1.1783]
0.1773
[0.1744 0.1802]
=1 F=16752 p=0.0000
y的100%可由模型确定, F远超过F检验的临界值, p远小于=0.05,可知模型 整体上看成立。
>> y=[20.96,21.40,21.96,21.52,22.39,22.76,23.48,23.66,24.10,24.01,24.54,24.30,25.00,25.64,26.36,26.98,27.52,27.78,28.24,28.78];
>> plot(x,y,'*')
数据点整体呈单调增加的趋势,且大致位于一条直线附近,因此考虑建立一元线性回归模型。
3.理解统计回归数学模型的数学原理,并能够分别利用统计回归数学模型进行实际问题的建模。
二、借助数学软件,研究、解答以下问题
某公司想用全行业的销售额作为自变量来预测公司的销售量,表中给出了1977—1981年公司的销售额和行业销售额的分季度数据(单位:百万元)
(1)画出数据的散点图,观察用线性回归模型拟合是否合适。
>> y=[20.96,21.40,21.96,22.39,22.76,23.48,23.66,24.10,24.01,24.54,24.30,25.00,25.64,26.36,26.98,27.52,27.78,28.24,28.78];
>> X=[x'];
>> rstool(X,y,'linear',0.05)
21.40
21.96
21.52
22.39
22.76
23.48
23.66
24.10
24.01
24.54
24.30
25.00
25.64
26.36
26.98
27.52
27.78
28.24
28.78
127.3
130.0
132.7
129.4
135.0
137.1
141.2
142.8
145.5
145.3
148.3
而后对剩余的数据继续做线性统计回归:
X=[ones(19,1) x];
[b,bint,r1,rint1,stats]=regress(Y,X);
b,bint,stats
b =
-1.6093
0.1773
bint =
-2.0403 -1.1783
0.1744 0.1802
stats =
1.0e+04 *
其中“o”是线性回归模型“+”是一阶自回归模型,从残差图的比较中可看出一阶自回归模型拟合性较好。所以最终建立了消除自相关性的一阶自回归模型:
。
本次实验是关于统计回归模型的建立和完善,重点在于通过matlab建立线性回归模型和DW检验。经D-W检验认为普通回归模型的随机误差存在自相关,需估计自相关系数后,采用相应的变化得到新的模型,这种方法消除了原模型随机误差的相关性,得到的为一阶自相关模型。其中DW检验的方法即步骤较为繁琐,且方法因matlab版本增进而多样,具有一定的挑战性。
Y=[20.96,21.40,21.96,21.52,22.39,22.76,23.48,23.66,24.10,24.01,24.54,24.30,25.00,25.64,26.36,26.98,27.52,27.78,28.24,28.78]';
X=[ones(20,1),x];
>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,X)
《数学建模与数学实验》实验报告
实验1离散模型
专业、班级
动力实1301
学号
姓名
课程编号
81010240
实验类型
验证性
学时
2
实验(上机)地点
教七楼数学实验中心
完成时间
任课教师
评分
1.掌握数学软件Matlab,c++的基本用法和一些常用的规则,能用该软件进行编程;