八年级数学上册第1章《一定是直角三角形吗》典型例题(北师大版)
秋八年级数学上册北师大版习题课件：第1章 2.一定是直角三角形吗(共16张PPT)
勾股定理的逆定理的应用． 【例 2】有一块空白地，如图，∠ADC＝90°，CD＝6 米，AD＝8 米，AB＝ 26 米，BC＝24 米．现计划在该空地上进行绿化，若平均每平方米投资 100 元，那么该空白地绿化需多少总投入？
【思路分析】解题关键是求空地的面积，连接 AC 后，空地面积是△ABC 与 △ADC 的面积差．
上，则△ABC 是( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
11．三角形三边长 6、8、10，那么最长边的高为( C )
A．6
B．4.5
C．4.8
D．8
12．五根小木棒，其长度分别为 7、15、20、24、25，现将它们摆成两个直
角三角形，如图，其中正确的是( C )
13．若三角形的三边是 6、8、x，当 x2 的值为 100或28 时，该三角形是直 角三角形． 14．若一个三角形的三边长分别为 n＋1、n＋2、n＋3，那么当 n＝ 2 时， 这个三角形是直角三角形． 15．如图所示，在△ABC 中，AD⊥BC，AD＝2.4，BD＝3.2，CD＝1.8，则 ∠B 与∠C 的关系是 互余 .
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
7．已知：在△ABC 中，三条边长分别为 a、b、c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2 ＋1(n＞1)．试判断△ABC 的形状．
解：因为 a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2 ＝c2，所以△ABC 是直角三角形(勾股定理的逆定理)．
6．四根小木棒的长分别为 5 cm,8 cm,12 cm,13 cm，任选三根组成三角形，其 中有 1 个直角三角形．
2022年北师大版八年级上册数学第一章勾股定理第2节一定是直角三角形吗
2 一定是直角三角形吗判一判：1．三边长分别为5，6，7的三角形是直角三角形．( ×)2．0.3，0.4，0.5是勾股数．( ×)3．有两个角分别是20°与70°的三角形是直角三角形．( √)1．下列各组数是勾股数的是(D)A．1，2，3 B．5，7，9 C．4，5，6 D．6，8，102．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是(C)A．3，4，5 B．8，15，17C．7，20，25 D．9，40，413．李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30 cm，40 cm和50 cm，则这个教具__合格__(填“合格”或“不合格”).4．△ABC各内角A，B，C所对边的长分别为13，12，5，那么∠A的度数是__90°__．重点1 直角三角形的判定【典例1】(P9例题拓展)(2022·重庆期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，点D是线段AB上一点，BD＝6，连接CD，CD＝8.(1)求证：CD⊥AB；(2)求△ABC的周长．【自主解答】(1)在△BDC中，BC＝10，BD＝6，CD＝8，∵BD2＋CD2＝62＋82＝102＝BC2，∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，∴CD⊥AB；(2)∵CD⊥AB，∴△ADC是直角三角形，∴AD2＋CD2＝AC2，即AD2＋82＝(AD＋6)2，解得AD＝213，∴AC＝6＋213＝813，∴△ABC的周长是813＋813＋10＝2623.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20.(1)求CD的长；(2)求AB的长；(3)判断△ABC的形状．【解析】(1)在△BCD中，因为CD⊥AB，所以BD2＋CD2＝BC2.所以CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144.所以CD＝12.(2)在△ACD中，因为CD⊥AB，所以CD2＋AD2＝AC2.所以AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256.所以AD＝16.所以AB＝AD＋BD＝16＋9＝25.(3)因为BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，所以AB2＝BC2＋AC2.所以△ABC是直角三角形．【技法点拨】重点2 利用直角三角形的判定求图形的面积(割补法)【典例2】(2022·泰兴质检)如图，在四边形ABCD中，AB＝24，AD＝7，BC＝15，CD＝20，且∠C＝90°，求四边形ABCD的面积．【自主解答】连接BD，∵∠C＝90°，∴BD2＝CD2＋BC2＝400＋225＝625，∵AB2＋DA2＝576＋49＝625，∴BD2＝DA2＋AB2，∴△ADB是直角三角形，即∠A是直角，∵S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC，∴S四边形ABCD＝12AB·AD＋12BC·CD＝12×24×7＋12×15×20＝234.1．(变条件)如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积．【解析】∵AB2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，BC2＝32＋42＝25，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝12AB·AC＝12×5×25＝5.2．(变方法)如图所示，小明制作一个模具，AD＝4 cm，CD＝3 cm，∠ADC＝90°，AB＝13 cm，BC＝12 cm，求这个模具的面积．【解析】连接AC，在△ADC中，∵AD＝4 cm，CD＝3 cm，∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2＋CD2，∴AC ＝5(cm)，∴S △ACD ＝12 CD ·AD ＝12 ×3×4＝6(cm 2)，在△ABC 中，∵AC ＝5 cm ，BC ＝12 cm ，AB ＝ 13 cm ，52＋122＝132，即AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB ＝90°， ∴S △ABC ＝12 AC ·BC ＝12 ×5×12＝30(cm 2)，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC －S △ACD ＝30－6＝24(cm 2)， 答：这个模具的面积是24 cm 2.【技法点拨】利用直角三角形求图形面积的“三步骤” 第一步，把不规则图形通过割补法构造三角形； 第二步，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 第三步，利用面积的和差关系计算．特别提醒：分割出来的三角形一定要先判定是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算．浅谈勾股“数”，妙识三角“形”我国在早期的《周髀算经》中就谈到“勾广三，股修四，径隅五”指边长分别为3，4，5的直角三角形．著名数学家华罗庚教授曾写过一段意味深长的话：“……如果我们宇宙飞船到了一个星球上，那儿也有我们人类一样高级的生物存在，我们用什么东西作为我们之间的媒介，带幅画去吧，那边风景特殊，不了解；带一段录音去吧，也不能沟通，我看最好带两个图形去．一个是‘数’，一个是数形关系(勾股定理)”． 【设题】古巴比伦人说，119，120，169是一个直角三角形的三边长，你觉得是吗？ 【解析】是．∵1192＋1202＝28 561＝1692.∴这三个数是一个直角三角形的三边长．。
八年级数学上册第1章勾股定理2一定是直角三角形吗新版北师大版
＝90°
C. 如果∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝1∶3∶2，那么△ ABC 是直
角三角形
D. 如果 a2∶ b2∶ c2＝9∶16∶25 ，那么△ ABC 是直角三
角形
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11. 【2024西安长安区二模新考向·传承数学文化】《九章算
即阴影部分的面积是
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13. 【2023广东新考法·操作法】综合与实践
主题：制作无盖正方体纸盒.
素材：一张正方形纸板.
步骤1：如图①，将正方形纸板的边长三等分，画出九个
相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图②，把剪好的纸板折成无盖正方体纸盒.
所以∠ CAB ＝90°.
又因为∠ NAB ＝45°，所以∠ CAN ＝45°.
所以小圆家在学校北偏西45°方向上.
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知识点2 勾股数
8. 下列各组数中，是勾股数的是(
B
)
A. 6，7，10
B. 9，40，41
C. 1，2，3
D. 4，5，8
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北师大版八年级(上)数学《一定是直角三角形吗》专题练习(含答案)
1.2一定是直角三角形吗专题判断三角形形状1. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，则它的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2. 在△ABC中，a=m2+n2，b=m2-n2，c=2mn，且m＞n＞0，（1）你能判断△ABC的最长边吗？请说明理由；（2）△ABC是什么三角形，请通过计算的方法说明．3. 张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示a，b，c．（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．参考答案：1．D 【解析】∵a2c2-b2c2=a4-b4，∴（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，∴c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，∴（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，∵a+b≠0，∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，即它是等腰三角形或直角三角形．故选D．2．解：（1）a是最长边，其理由是：∵a-b=（m2+n2）-（m2-n2）=2n2＞0，a-c=（m2+n2）-2mn=（m-n）2＞0，∴a＞b，a＞c，∴a是最长边.（2）△ABC是直角三角形，其理由是：∵b2+c2=（m2-n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2=a2，∴△ABC是直角三角形．3．解：（1）由图表可以得出：∵n=2时，a=22-1，b=2×2，c=22+1；n=3时，a=32-1，b=2×3，c=32+1；n=4时，a=42-1，b=2×4，c=42+1.∴a=n2-1，b=2n，c=n2+1．（2）以a、b、c为边的三角形是直角三角形.∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，∴a2+b2=c2，∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．。
八年级数学北师大版上册课时练第1章《一定是直角三角形吗》 练习测试卷 含答案解析(1)
课时练第1单元一定是直角三角形吗一．选择题1．下列各组数中能作为直角三角形三边长的是（）A ．1，2，2B ．3，4，5C ．4，5，6D ．13，14，152．一个三角形的三边长分别是cm cm cm 25,20,15，则这个三角形的面积是（）A 2502cm B1502cm C2002cm D 不能确定3．由下列线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（）A ．a=7，b=25，c=24B ．a=2．5，b=2，c=1．5C ．a=45，b=1，c=32D ．a=15，b=20，c=254．在△ABC 中，若AC 2﹣BC 2＝AB 2，则（）A ．∠A ＝90°B ．∠B ＝90°C ．∠C ＝90°D ．不能确定5．下列各组数据不是勾股数的是（）A ．2，3，4B ．3，4，5C ．5，12，13D ．6，8，106．满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）A ．b 2=c 2－a 2B ．a ∶b ∶c=3∶4∶5C ．∠C=∠A －∠BD ．∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶157．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．4，6，7D ．5，12，138．如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2m ，m 2+1(m ＞1)那么（）A ．△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1B ．△ABC 是直角三角形，且斜边长2为mC ．△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D ．△ABC 不是直角三角形9．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有（）A ．四组B ．三组C ．二组D ．一组10．已知一轮船以18n mile/h 的速度从港口A 出发向西南方向航行，另一轮船以24n mile/h 的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口1.5h 后，两轮船相距()A ．30n mileB ．35n mileC ．40n mileD ．45n mile二．填空题11．请写出一组勾股数（三个数都要大于10）．12．在⊿ABC 中，若5,7,252222==-=+c b a b a ，则最大边上的高为．13．在如图所示的方格中，连接格点AB 、AC ，则∠1+∠2＝度．14．小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是．15．已知一个三角形的三边分别为3k ，4k ，5k （k 为自然数），则这个三角形为，理由是．16．以ABC D 的三条边向外作正方形，16．依次得到的面积为25，144，169，则这个三角形是________三角形．17．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝20，D 是BC 边所在直线上的点，AD ＝12，BD ＝9，则BC ＝．18．观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26……请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：．三．解答题19．判断满足下列条件的三角形是否是直角三角形．(1)在△ABC 中，∠A ＝20°，∠B ＝70°；(2)在△ABC 中，AC ＝7，AB ＝24，BC ＝25；(3)△ABC 的三边长a 、b 、c 满足(a ＋b)(a －b)＝c 2．20．一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中DBC A ÐÐ,都应是直角。
北师大版-数学-八年级上册--例题与讲解-第一章2一定是直角三角形吗
【例题与讲解】八年级数学上册第一章2—定是直角三角形基础知识展本技能1.勾股定理的逆定理(1)勾股泄理的逆宦理的内容：如杲諭形的三边坟gL瀾星£±龙=£-那么这个三角形是直角三角形.(2)勾股泄理的逆泄理的释疑：不少的同学对知道三角形三边满足孑+歹=£能得到直角三角形这样的一种结论持有怀疑的态度，其实通过三角形的全等可以很简单地证明出来.比如：如果在△磁中，初=c, BC=a,并且满足&：+/=』(如图所示)，那么ZC=90c .作△43G,使ZG=90° , 3G=a, M = b9则亦=£+戌•••才+歹=£, AJ1A=cU51>0)・在△磁和△凡氏G中，•:BC= a=CA— b— AB= c=A^Bit:.△磁纟△凡氏G・/.Z(7=ZG=90° ・辨误区勾股左理的逆宦理的条件(1)不能说成在直角三角形中，因为还没有确泄直角三角形，当然也不能说"斜边”和'‘直角边”.(2)当满足/+歹=£时，c是斜边，ZQ是直角.利用勾』殳定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确龙最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形.对啊！到目前为止判左直角三角形的方法有：①说明三角形中有一个直角：②说明三角形中有两边互相垂直：③勾股泄理的逆定理.【例1】如图所示，ZC=90° , AC=39 BC=4,初=12,助=13,问：肋丄朋吗？试说明理由.解：ADVAB.理由：根据勾股泄理得AB=^AC+BC = z>.在△磁中• Aff+AIT=52-\-122=1699劝=13'=169,所以曲+初=方疗・由勾股泄理的逆泄理知△磁为直角三角形，且Z她=90° •故ADLAB.2.勾股泄理的逆定理与勾股左理的关系勾股立理是通过"形”的状态来反映“数”的关系的，而勾股定理的逆立理是通过“数”的关系来反映“形”的状态的.(1)勾股定理是直角三角形的「性质左理，勾股定理的逆定理是直角三角形的判沱左理，二者是互逆的.(2)联系：①两者都与有关，②两者所讨论的问题都是宜角三角形问题.(3)区别：勾股泄理是以'‘一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系:勾股左理的逆左理则是以“一个三角形的三边满足/+歹=宀为条件，进而得到这个三角形是“直角三角形”・(4)-者关系可列表如下：分析：先用勾股立理的逆左理判左形状，然后用勾股左理求数据.解：9：AJf+B^=122+52=132=Aff9・•.由勾股左理的逆泄理知△迹为直角三角形.：・ADIBC.在 Rt△磁中，由勾股圧理，得DC=AC-AJ=152-122=9\ :.DC=9.3.勾股数勾股数;満屋&±$=d的三个疋整奴,，祢为勾股数，(1)由泄义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足孑+歹=4②都是正整数.两者缺一不可.(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足孑+F=c'(但不一泄是勾股数)，以它们为边长的三角形是直角三角形，比如以0. 3 cm, 0. 4 cm, 0. 5 cm•为边长的三角形是直角三角形.【例3】①7, 24,25；②8,15,19；③0.6,0. & 1.0；④3功4口5山(”>1,且为自然数).上而各组数中，勾股数有 ______ 组.C ).A. 1 B・2 C・3 D・4析规律勾股数的判断「方法判断勾股数要看两个条件，一看能否满足二看是否都是正整数.这两者缺一不可・4.勾股泄理的逆泄理的应用勾股龙理的逆龙理在解决实际问题中有着广泛的应用，可以用它来判左是不是直角.家里建房时，常需要在现场画岀直角，在没有测量角的仪器的情况下.工人师傅常常利用勾般定理的逆立理作出直角.【例4】如图是一农民建房时挖地基的平而图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8 m, AD=BC=6 m, AC=9 m,请你帮他看一下，挖的地基是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判立条件，来判断它是否为宜角三角形.解：•••血+比=6：+8：=100, yic=9:=8b:.AD-VDC^AC ・••• △磁不是直角三角形，ZJZT^90°・又•・•按标准应为长方形，四个角应为直角，・•.该农民挖的地基不合格.基本方法聽本能力5.利用非负数的性质判泄三角形的形状在由一个等式求三角形的三边长时，往往先把等式化为£+//+£=0的形式，再由a =0, b=0,c=0,求得三角形三边之长，利用讣算来判断△月證是否是直角三角形.谈重点判泄三角形的形状由条件等式来判断三角形的形状，就是将已知的条件等式变形，再根据它的结构特点，得岀a, b, c的关系，从而判断三角形的形状.【例5】如果一个三角形的三边长a, b, c满足/+/+£+338=10a+24b+26c,试说明这个三角形是直角三角形.分析：本题需要将已知等式进行变形，配成完全平方式，求岀a, b, c的值，然后再说明.解：将式子变形，得h + Zf +c~+338—10a—24b—26c=0,H卩a— lOa+25 + Zf—24b+144 + £—26c+169=0.整理，得Ca—5)34- (b—12)s+ (c—13)3=0.因此 a—5=0, 6—12 = 0. c—13 = 0,/• ar=5t b— 12i c—13・V £+ 歹=5：+123=133= c,•••这个三角形是直角三角形.0 思维拓展屿跑 .............................................................. r rML广冬和切和-雷71跷匕4 VGKf^VIVGYo.M：6.勾股泄理及其逆泄理的综合应用(1)利用勾股左理解决生活中的实际问题时，关键是利用转化的思想把实际问题转化为数学模型(直角三角形)来解决.(2)综合运用勾股泄理及其逆定理，将不规则图形转化为规则图形是常用的数学方法，在这里，一方面要熟记常用的勾股数；另一方而要注意到：如果一个三角彤的三边长「已知或具有某些比例关系，那么就可以用勾股定理的逆定理去验证英是否是直角三角形.【例6】如图所示，在四边形中，初=3 cm, AB=4 cm, Z馳=90° • BC= 12 cm, CD=13 cm•求四边形個⑦的而积.分析：根据AD=3 cm, AB=4 cm, Z她=90° ,可连接助构成直角三角形，通过判断△砲是直角三角形解决问题.D解：连接助，在△磁中，9：AD=3 cm, AB=4 cm, ZBAD=9Q° ,根据勾股左理，得切：=加+肪=3'+4'=5：, .•.助=5 cm.在△反0中.•:BD=3 cm, BC=12 cm, CD=\3 cm, = :./XBCD是直角三角形.•••四边形ABCD的面积=S=a+ S T= 1x3X4+1x5X12=36 cml。
八年级数学北师大版上册课时练第1章《一定是直角三角形吗》 练习测试卷 含答案解析
课时练第1单元一定是直角三角形吗一．选择题1．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25B．14C．7D．7或252．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，15 3．下列四组数据，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．5，6，7C．6，8，10D．9，40，41 4．在△ABC中，∠A，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a2＝（c﹣b）（c+b）B．a＝1，b＝2，c＝3C．∠A＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：55．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为（）A．∠BAC＞∠DAC B．∠BAC＜∠DAC C．∠BAC＝∠DAC D．无法确定6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边长分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝a2+c2，则（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．无法确定7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90°B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形二．填空题8．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．9．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．10．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．11．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，请写出第6个数组：．12．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝°．13．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q 两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝s时，△PBQ为直角三角形．三．解答题14．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．试判断△ACD的形状，并说明理由．15．已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．（1）当a＝3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．16．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．17．如图，已知AC⊥BC，CA＝BD＝CB＝2，．（1）求AB的长；（2）求△ABD的面积．18．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．（1）求证：∠A＝90°；（2）若AC＝6，BD＝5，求AE的长度．19．如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．（1）求AC、CE的长；（2）求证：∠ACE＝90°．20．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：∠ABC＝90°；（3）若点P为直线AC上任意一点，则线段BP的最小值为．21．如图，在△ACD中，AD＝17，AC＝15，DC＝8，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝25．求：△ABD的面积．22．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝4，AE＝8．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．参考答案一．选择题1．D2．A3．B4．A5．C6．B7．A二．填空题8．249．12010．4511．（13，84，85）12．4513．或．三．解答题14．解：△ACD是直角三角形．理由是：∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC2＝AB2+BC2＝9+16＝25，∴AC＝5，又∵AC2+CD2＝25+144＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．15．（1）证明：当a＝3时，a+1＝4，a+2＝5，∵32+42＝52，∴这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）解：根据三角形的三边关系，得a+a+1＞a+2，解得a＞1．故a的取值范围是a＞1．16．解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1∵a＝19，a2+b2＝c2，∴192+b2＝（b+1）2，∴b＝180，∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，又c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，但2n2+2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．17．解：（1）∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵AC＝BC＝2，∴AB＝＝＝2，∴AB的长为2；（2）∵AB2+BD2＝（2）2+22＝12，AD2＝（2）2＝12，∴AB2+BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形，∴∠ABD＝90°，∴△ABD的面积＝AB•BD＝×2×2＝2，∴△ABD的面积为2．18．（1）证明：连结CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE，∵BE2﹣EA2＝AC2，∴CE2﹣EA2＝AC2，∴EA2+AC2＝CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A＝90°；（2）解∵D是BC的中点，BD＝5，∴BC＝2BD＝10，∵∠A＝90°，AC＝6，∴AB＝＝＝8，在Rt△AEC中，EA2+AC2＝CE2，∵CE＝BE，∴62+AE2＝（8﹣AE）2，解得：AE＝，∴AE的长为．19．（1）解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，∵∠D＝90°，CD＝8，DE＝6，∴CE＝＝＝10；（2）证明：∵AC＝5，CE＝10，AE2＝125，∴AE2＝AC2+CE2，∴∠ACE＝90°．20．解：（1）AB＝，BC＝，AC＝，△ABC的周长＝2++5＝3+5，（2）∵AC2＝25，AB2＝20，BC2＝5，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°．（3）过B作BP⊥AC，∵△ABC的面积＝，即，解得BP＝2，故答案为：221．解：∵AD＝17，AC＝15，DC＝8，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠C＝90°，∵AB＝25，AC＝15，∴由勾股定理得：BC＝＝20，∴BD＝BC﹣DC＝20﹣8＝12，∴△ABD的面积是＝＝90．22．证明：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，同理：CD2＝20，∴AD2+CD2＝100，∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，∴AC2＝100，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°；（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC＝10，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∵点F是边AB的中点，∴DF＝．。
北师大版八年级数学上册1.2.一定是直角三角形吗
勾பைடு நூலகம்定理
第 二 节 一定是直角三角形吗
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a,b,c:
①5,12,13; ②7,24,25;
回答这样两个问题:
③8,15,17.
1.这三组数都满足 a2+b2=c2吗？ 2.分别以每组数为三边长作出三角 形，用量角器量一量，它们都是直 角三角形吗？
90 120 60 120
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
a=15, b=8, c=17 ( 是 ) a=3, b=4, c=5 ( 是 ) a,b,c满足a2-b2=c2 ( 是 ) a=5, b=13, c=12 ( 是 ) 不是 ) ∠A:∠B:∠C=3:4:5 ( ∠A:∠B:∠C=1:1:2 ( 是 )
90 60
150
12
13
150
30
24
0
25
30
15
0
17
180
180
5
7
8
实验结果： ① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形; ③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形 .
像3,4,5,能够成为直角三角形三条 边长的三个正整数，称为勾股数
例1 一个零件的形状如图1所示，按 规定这个零件中 A和 DBC都应为直角 .工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2, 这个零件符合要求吗？
C D D
4
5 13
C
12
A
图1
B
A 3 B
图2
例2如图所示在四边形ABCD中，AB=3， BC=4，∠ABC=90°，AD=12，DC=13。 你能求出这个四边形的面积吗？怎么求？
北师大版八年级上册第一章1.2一定是直角三角形吗同步练习题解答题汇编(无答案)
1.2一定是直角三角形吗1.如图，在△ABC中，D是△ABC外一点，AC＝6，BC＝8，DH⊥AB于H，且S△ABD ＝60，DH＝12，求∠C的度数．2.已知三条线段的长分别为a，a+1，a+2．（1）当a=3时，证明这三条线段可以组成一个直角三角形．（2）若这三条线段可以组成一个三角形，求a的取值范围．3.试证明：若一个三角形的三条边长的比是3：4：5，则此三角形必为直角三角形．4.已知a，b，c为三角形的三边，若a＝2，b＝3，当c为何值时，△ABC是：（1）锐角三角形？（2）直角三角形？（3）钝角三角形？5．三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n＞0）的三角形是不是直角三角形？为什么？6．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=9，BC=12，AD=8，CD=17．求：（1）AC的长．（2）四边形ABCD的面积．7.已知，在中，，，，，，求的面积．8．如图，在四边形中，为直角，，，，.（1）试说明；（2）求四边形的面积9．观察下表给出的三个数a，b，c，a＜b＜c．3，4，5 32+42＝525，12，13 52+122＝1327，24，25 72+242＝2529，40，41 92+402＝412……21，b，c212+b2＝c2（1）请你找出它们的共同点，并说明理由；（2）写出当a＝21时，b，c的值．10.如图网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC的面积；（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由．11．在一根长为24个单位的绳子上，分别标出A、B、C、D四个点，它们将绳子分成长为6个单位8个单位和10个单位的三条线段，如果你自己握住绳子的两个端点（A点和D点），两名同伴分别握住B点和C点，三个人一起将绳子水平拉直，会得到一个什么形状的三角形？12.在⊿ABC中，AB=17cm，BC=16cm，，BC边上的中线AD=15cm，问⊿ABC是什么形状的三角形？并说明你的理由.13．若一个三角形的三条边长分别为6，8，10，求这个三角形中最长边上的高．14.如图所示，在中，，且周长为，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动；点从点沿边向点以每秒的速度移动，如果同时出发，问过秒时，的面积为多少？15.如图，在四边形中，，，，且，求的度数.16.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．17.已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．（1）若a＝5，b＝4，c＝3，试判断△ABC的形状；（2）若c＝7，b＝24，a＝25，求∠A的度数．18.如图是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．19.已知的三边长分别为，求证：是直角三角形.20.如图，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．21．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数.观察下表（）：3，4，55，12，137 ，24 ，259，40，41……（1）试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论；（2）写出当时，，的值.22．观察下列两组勾股数：（1）3，4，5；5，12，13；7，24，25；…（2）6，8，10；10，24，26；14，48，50；…你发现上述两组勾股数各有什么特征？请用含有字母m，n的式子表示出来（m ＜n）．你还能发现勾股数有什么特征？23．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．24. 阅读理解题：（1）如图所示，在中，是边上的中线，且．求证：．证明：∵，，∴，∴，，∵，∴，即．（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直接运用这个结论解答下列题目：一个三角形一边长为，这边上的中线长为，另两边之和为，求这个三角形的面积．。
八年级数学上册第1章勾股定理2一定是直角三角形吗预学新版北师大版
C. ， ，
笔记：
B. 0.3，0.4，0.5
D. 32，42，52
变式2 已知 m ＞0，若3 m ＋2，4 m ＋8，5 m ＋8是一组勾股
数，求 m 的值.
解： 由题意得，(3 m ＋2)2＋(4 m ＋8)2＝(5 m ＋8)2，解得 m
＝1.
【新考法 表格信息法】在学习完“勾股定理”后，善于思
B
)
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上均有可能
1
2
3
4
1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a ， b ， c 满
足
a2＋ b2＝ c2(答案不唯一) ，那么这个三角形是直角
三角形.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2
3
4
5
6
2. 勾股数的定义：满足 a2＋ b2＝ c2的三个
勾股数.
1
2
3
4
5
6
的正方形绿地 ABCD 四周被小路环绕，点 M 在 BC 边上，
则居民从点 A 沿 A → B → M 到点 M 比从点 A 沿直线 AM
直接到点 M 要多走(
D
)
A. 5米
B. 25米
C. 12米
D. 6米
1
2
3
4
4. 如图，在Rt△ ABC 中，∠ B ＝90°，∠ CED ＝∠ A ，则
△ CDE 为(
度数.
解： 连接 AC ，因为∠ B ＝90°， AB ＝ BC ＝2，
所以 AC2＝8，∠ BAC ＝45°.
又因为 CD ＝3， DA ＝1，所以 AC2＋ DA2＝9，
北师大版八年级上册数学《一定是直角三角形吗》勾股定理培优说课教学复习课件
活动二：
“我们选择3,4,5这组数来验证一下.”
（1）请同学们以3cm,4cm,5cm为三边
长画三角形，看看它是什么三角形？
(2)用三角尺或量角器量一量，都是
直角三角形吗?
一个实验结果，是必然还是巧合呢？
活动三：
接下来分为三个小组进行验证
(1)5cm, 12cm, 13cm
(2)8cm, 15cm, 17cm
B
变式： 四边形ABCD中已知AB=3，AD=4，BC=12，
CD=13，且∠A=900，求这个四边形的面积．
随堂演练
1、如果三条线段a、b、c满a2=b2-c2
那么这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？
2、下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由.
①9，12，15； ②15，36，39； ③0.3,0.4,0.5 ； ④12,18,22
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰三角形
课堂检测
基 础 巩 固 题
1.下列各组数是勾股数的是 (
B
A.3，4，7
B.5，12，13
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
)
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形
(
A
)
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
探究新知
问题4 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这
个三角形是直角三角形.
我觉得这个猜
想不准确，因
我也觉得猜想不严
为测量结果可
谨，前面我们只取
能有误差.
北师大版八年级(上)数学《一定是直角三角形吗》课堂练习(含答案)
1.2 一定是直角三角形吗1.做一做作一个三角形，使三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,哪条边所对的角是直角？为什么？2. 设三角形的三边分别等于下列各组数：①7，8，10 ②7，24，25③12，35，37 ④13，11，10（1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？（2）把你判断是Rt△的哪组数作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证.3.想一想一个零件的形状如图1所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？4.思维拓展若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状. （1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c（2）a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0参考答案1.做一做：5 cm 所对的角是直角，因为在直角三角形中直角所对边最长.2.断一断：(1)②③ ∵72+242=252, 122+352=372 (2)略3.想一想：∵42+32=52,52+122=132,即AB 2+BC 2=AC 2，故∠B =90°,同理，∠ACD =90° ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =21×3×4+21×5×12=6+30=36.4.思维拓展(1)∵a 2+b 2+c 2+100=12a +16b +20c∴(a 2－12a +36)+(b 2－16b +64)+(c 2－20c +100)=0即(a －6)2+(b －8)2+(c －10)2=0∴a －6=0,b －8=0,c －10=0即a =6,b =8,c =10而62+82=100=102，∴a 2+b 2=c 2∴△ABC 为直角三角形.(2)(a 3－a 2b )+(ab 2－b 3)－(ac 2－bc 2)=0a 2(a －b )+b 2(a －b )－c 2(a －b )=0∴(a －b )(a 2+b 2－c 2)=0∴a －b =0或a 2+b 2－c 2=0∴此三角形ABC 为等腰三角形或直角三角形.。
八年级数学上册第一章勾股定理1.2一定是直角三角形吗课时训练题北师大版(2021年整理)
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1。
2 一定是直角三角形吗基础导练1．已知一个三角形的三边分别为3k ,4k ，5k (k 为自然数）,则这个三角形为 ，理由是 ．2．有一个三角形的两条边长是6和10，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长为 ．3．已知在ABC ∆中,BC ＝6，BC 边上的高为4，若AC ＝5，则AC 边上的高为 ． 4．若一个三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形是 三角形． 5．若一个三角形的三边长为m ＋1 ,m ＋2 ，m ＋3，当m 时，此三角形是直角三角形． 6．已知ABC ∆的三边长为BC ＝41,AC ＝40,AB ＝9，则ABC ∆为_________三角形，最大角是∠ ． 7．以ABC ∆的三条边向外作正方形，依次得到的面积为25，144，169， 则这个三角形是________三角形．8．三角形各边（从小到大）长度的平方比如下列各组，其中不是直角三角形的是 ( ）A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶169 9．下列各组数中，以a ，b ，c 为边长的三角形不是直角三角形的是( )A ．a ＝1。
5，b ＝2，c ＝3B ．a ＝7，b ＝24，c ＝25C ．a ＝6，b ＝8，c ＝10D ．a ＝3，b ＝4，c ＝510．如图，有一块四边形地ABCD ，∠B ＝90°，AB ＝4m,BC ＝3m ，CD ＝12m ，DA ＝13m ，求该四边形地ABCD 的面积?11．如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC ，△ADC 的面积为30cm 2,DC ＝12 cm,AB ＝3 cm ， BC ＝4 cm ，求△ABC 的面积．DCBA能力提升12．如图：为修通铁路需凿通隧道AC ，测得∠A ＝50°,∠B ＝40°，AB ＝5km ，BC ＝4km ，若每天开凿隧道0。
八年级数学上册第一章勾股定理2一定是直角三角形吗典型例题素材北师大版
《一定是直角三角形吗》典型例题例 1 在ABC ∆中，n n a 222+=,12+=n b ，)0(1222>++=n n n c 为三边,试判断该三角形是否为直角三角形？例2 如果一个三角形的三边长分别为)(,2,2222n m n m c mn b n m a >+==-=，则这三角形是直角三角形例3 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足c b a c b a 262410338222++=+++。
求证：这个三角形是直角三角形。
例4 已知ABC ∆的三边为c b a 、、，且9,40,41===c b a ，试判定ABC ∆的形状． 例5 如图所示，在四边形ABCD 中，C ∠是直角，12,3,4,13====AD CD BC AB ，求证：.BD AD ⊥例6 如图所示,E 为正方形ABCD 的边AD 的中点，F 在DC 上，DC DF 41=．试问：BEF∆是直角三角形吗？说明理由．参考答案例1解答：∵)22()122(22n n n n a c +-++=-01>=,)12()122(2+-++=-n n n b c 022>=n ,∴c 边为三角形的最大边，又∵1884)122(234222+++=++=n n n n n c ，22222)12()22(+++=+n n n b a 1884234+++=n n n ，∴222c b a =+根据勾股定理的逆定理可知，ABC ∆为直角三角形。
说明：三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边。
（1)若222c b a =+,则三角形是直角三角形；（2）若222c b a >+,则三角形是锐角三角形;（3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形；例2分析: 验证c b a ,,三边是否符合勾股定量的逆定理证明：∵()()()222422422222222n m n n m m mn n m b a +=++=+-=+∴222c b a =+∵∠C＝090说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来．例3分析：要证明ABC ∆是直角三角形，应从它的三边a 、b 、c 入手，如果有关系222c b a =+或222a c b =+或222b a c =+成立，那么这个三角形一定是直角三角形。
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《一定是直角三角形吗》典型例题
例 1 在ABC ∆中，n n a 222+=，12+=n b ，)0(1222>++=n n n c 为三边，试判断该三角形是否为直角三角形？
例2 如果一个三角形的三边长分别为
)(,2,2222n m n m c mn b n m a >+==-=，则这三角形是直角三角形 例3 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足
c b a c b a 262410338222++=+++.
求证：这个三角形是直角三角形.
例4 已知ABC ∆的三边为c b a 、、,且9,40,41===c b a ，试判定ABC ∆的形状．
例5 如图所示，在四边形ABCD 中，C ∠是直角，
12,3,4,13====AD CD BC AB ，求证：.BD AD ⊥
例6 如图所示，E 为正方形ABCD 的边AD 的中点，F 在DC 上，DC DF 4
1=
．试问：BEF ∆是直角三角形吗？说明理由．
参考答案
例1解答：∵)22()122(22n n n n a c +-++=-01>=，
)12()122(2+-++=-n n n b c 022>=n ，
∴c 边为三角形的最大边，
又∵()c n n n n n n =++=++++22243222148841，
22222)12()22(+++=+n n n b a n n n n =++++43248841，
∴222c b a =+
根据勾股定理的逆定理可知，ABC ∆为直角三角形.
说明：三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边.
（1）若222c b a =+，则三角形是直角三角形；
（2）若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；
（3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形；
例2分析： 验证c b a ,,三边是否符合勾股定量的逆定理
证明：∵()()
()222422422222222n m n n m m mn n m b a +=++=+-=+
∴222c b a =+
∵∠C ＝090
说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来．
例3分析：要证明ABC ∆是直角三角形，应从它的三边a 、b 、c 入手，如果有关系222c b a =+或222a c b =+或222b a c =+成立，那么这个三角形一定是直角三角形. 从已知条件，可以求出a 、b 、c 的长.
解答：由已知得：0338262410222=+---++c b a c b a .
∴ 016926144242510222=+-++-++-c c b b a a
即 ()()()a b c -+-+-=222512130
∵0)13(,0)12(,0)5(222≥-≥-≥-c b a
∴ 013,012,05=-=-=-c b a ，即13,12,5===c b a
∵22213125=+，即有222c b a =+，∴ABC ∆是直角三角形.
说明：直角三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形的方法，当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考证，没有条件时，创造条件，从而求出边长或边长之间的关系，进而判断.
例4分析 为判定三角形的形状，可利用直角三角形的判别条件，判断三角形的最大边的平方是否等于另外两边的平方和．
解 16819402222=+=+c b Θ，而16814122==a ，
∴222c b a +=，∴ABC ∆是直角三角形，并且A ∠是直角．
说明：利用直角三角形的判别条件不仅能够判断出三角形的形状，而且还能够知道三角形的哪个角是直角．
例5分析 可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定．
解 ∵在Rt BCD ∆中，3,4==CD BC ，
∴由勾股定理，22234+=BD ，即5=BD ，
在ABD ∆中，222,13,12,5BD AD AB AB AD BD +====，
∴由直角三角形的判别条件，ABD ∆是直角三角形，且∠ADB 是直角， ∴BD AD ⊥．
例6解 BEF ∆是直角三角形．
设a DF =，由题意知，.4,3,2a BC AB a CF a AE DE =====
在直角三角形BCF 中，由勾股定理，得
.25)3()4(222222a a a CF BC BF =+=+=
∴222EF BE BF +=．
∴BEF ∆是直角三角形．
说明： 根据题意设a DF =，运算起来就比较方便，如设正方形的边长为a 运算起来就比较麻烦，这体现了解题的灵活性．
本题属于结论探究开放题，这类型题只给出了条件，由同学自己探求结论，并加以说明．。