八年级数学上册第1章《一定是直角三角形吗》典型例题(北师大版)
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《一定是直角三角形吗》典型例题
例 1 在ABC ∆中，n n a 222+=，12+=n b ，)0(1222>++=n n n c 为三边，试判断该三角形是否为直角三角形？
例2 如果一个三角形的三边长分别为
)(,2,2222n m n m c mn b n m a >+==-=，则这三角形是直角三角形 例3 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足
c b a c b a 262410338222++=+++.
求证：这个三角形是直角三角形.
例4 已知ABC ∆的三边为c b a 、、,且9,40,41===c b a ，试判定ABC ∆的形状．
例5 如图所示，在四边形ABCD 中，C ∠是直角，
12,3,4,13====AD CD BC AB ，求证：.BD AD ⊥
例6 如图所示，E 为正方形ABCD 的边AD 的中点，F 在DC 上，DC DF 4
1=
．试问：BEF ∆是直角三角形吗？说明理由．
参考答案
例1解答：∵)22()122(22n n n n a c +-++=-01>=，
)12()122(2+-++=-n n n b c 022>=n ，
∴c 边为三角形的最大边，
又∵()c n n n n n n =++=++++22243222148841，
22222)12()22(+++=+n n n b a n n n n =++++43248841，
∴222c b a =+
根据勾股定理的逆定理可知，ABC ∆为直角三角形.
说明：三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为最大边.
（1）若222c b a =+，则三角形是直角三角形；
（2）若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；
（3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形；
例2分析： 验证c b a ,,三边是否符合勾股定量的逆定理
证明：∵()()
()222422422222222n m n n m m mn n m b a +=++=+-=+
∴222c b a =+
∵∠C ＝090
说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来．
例3分析：要证明ABC ∆是直角三角形，应从它的三边a 、b 、c 入手，如果有关系222c b a =+或222a c b =+或222b a c =+成立，那么这个三角形一定是直角三角形. 从已知条件，可以求出a 、b 、c 的长.
解答：由已知得：0338262410222=+---++c b a c b a .
∴ 016926144242510222=+-++-++-c c b b a a
即 ()()()a b c -+-+-=222512130
∵0)13(,0)12(,0)5(222≥-≥-≥-c b a
∴ 013,012,05=-=-=-c b a ，即13,12,5===c b a
∵22213125=+，即有222c b a =+，∴ABC ∆是直角三角形.
说明：直角三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形的方法，当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考证，没有条件时，创造条件，从而求出边长或边长之间的关系，进而判断.
例4分析 为判定三角形的形状，可利用直角三角形的判别条件，判断三角形的最大边的平方是否等于另外两边的平方和．
解 16819402222=+=+c b Θ，而16814122==a ，
∴222c b a +=，∴ABC ∆是直角三角形，并且A ∠是直角．
说明：利用直角三角形的判别条件不仅能够判断出三角形的形状，而且还能够知道三角形的哪个角是直角．
例5分析 可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定．
解 ∵在Rt BCD ∆中，3,4==CD BC ，
∴由勾股定理，22234+=BD ，即5=BD ，
在ABD ∆中，222,13,12,5BD AD AB AB AD BD +====，
∴由直角三角形的判别条件，ABD ∆是直角三角形，且∠ADB 是直角， ∴BD AD ⊥．
例6解 BEF ∆是直角三角形．
设a DF =，由题意知，.4,3,2a BC AB a CF a AE DE =====
在直角三角形BCF 中，由勾股定理，得
.25)3()4(222222a a a CF BC BF =+=+=
∴222EF BE BF +=．
∴BEF ∆是直角三角形．
说明： 根据题意设a DF =，运算起来就比较方便，如设正方形的边长为a 运算起来就比较麻烦，这体现了解题的灵活性．
本题属于结论探究开放题，这类型题只给出了条件，由同学自己探求结论，并加以说明．