江苏理数选修42矩阵与变换逆变换与逆矩阵矩阵的特征值与特征向量共29页
新课标高考数学总复习配套教案：选修逆变换与逆矩阵矩阵的特征值与特征向量
选修４—２矩阵与变换第２课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（对应学生用书（理）１89～１9１页）考情分析考点新知１掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.２求二阶矩阵的特征值和特征向量，利用特征值和特征向量进行矩阵运算．１理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.２会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组．会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.１．设M＝错误!，N＝错误!，求MN.解：MN＝错误!错误!＝错误!.２．已知矩阵M＝错误!，若矩阵M的逆矩阵M—１＝错误!，求a、b的值．解：由题意，知MM—１＝E，错误!错误!＝错误!，即错误!＝错误!，即错误!解得a＝５，b＝３．３．求矩阵错误!的特征多项式．解：f（λ）＝错误!＝（λ—１）（λ—２）＋２＝λ２—３λ＋４．４．（选修４２P7３习题第１题改编）求矩阵M＝[错误!]的特征值．解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝错误!＝（λ＋２）·（λ＋３）＝0，令f（λ）＝0，得M的特征值为λ１＝—２，λ２＝—３．５．（选修４２P7３习题第１题改编）求矩阵N＝错误!的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N的特征多项式为f（λ）＝错误!＝（λ—8）·（λ＋３）＝0，令f（λ）＝0，得N的特征值为λ１＝—３，λ２＝8，当λ１＝—３时错误!一个解为错误!故特征值λ１＝—３的一个特征向量为错误!；当λ２＝8时错误!一个解为错误!故特征值λ２＝8的一个特征向量为错误!.１. 逆变换与逆矩阵（１）对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．（２）若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且（AB）—１＝B—１A—１.（３）利用行列式解二元一次方程组．２．特征值与特征向量（１）设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．（２）从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型１求逆矩阵与逆变换例１用解方程组的方法求下列矩阵M的逆矩阵．（１）M＝错误!；（２）M＝错误!.解：（１）设M—１＝错误!，则由定义知错误!错误!＝错误!，即错误!解得错误!故M—１＝错误!.（２）设M—１＝错误!，则由定义知错误!错误!＝错误!，即错误!解得错误!故M—１＝错误!.错误!已知矩阵M＝错误!所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（１３，５），试求M的逆矩阵及点A的坐标．解：依题意，由M＝错误!，得|M|＝１，则M—１＝错误!.从而由错误!错误!＝错误!，得错误!＝错误!错误!＝错误!＝错误!，故错误!∴A点坐标为（２，—３）．题型２求特征值与特征向量例２已知矩阵M＝错误!，其中a∈R，若点P（１，—２）在矩阵M的变换下得到点P′（—４，0）．（１）求实数a的值；（２）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．解：（１）由错误!错误!＝错误!，得２—２a＝—４a＝３．（２）由（１）知M＝错误!，则矩阵M的特征多项式为f（λ）＝错误!＝（λ—２）（λ—１）—6＝λ２—３λ—４．令f（λ）＝0，得矩阵M的特征值为—１与４．当λ＝—１时，错误!x＋y＝0，∴矩阵M的属于特征值—１的一个特征向量为错误!；当λ＝４时，错误!２x—３y＝0．∴ 矩阵M 的属于特征值４的一个特征向量为错误!.错误!已知M＝错误!，β＝错误!，计算M５β.解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝错误!＝λ２—２λ—３．令f（λ）＝0，解得λ１＝３，λ２＝—１，从而求得对应的一个特征向量分别为α１＝错误!，α２＝错误!.令β＝mα１＋nα２，则m＝４，n＝—３．M５β＝M５（４α１—３α２）＝４（M５α１）—３（M５α２）＝４（λ错误!α１）—３（λ错误!α２）＝４×３５错误!—３×（—１）５错误!＝错误!.题型３根据特征值或特征向量求矩阵例３矩阵M＝错误!有特征向量为e１＝错误!，e２＝错误!，（１）求e１和e２对应的特征值；（２）对向量α＝错误!，记作α＝e１＋３e２，利用这一表达式间接计算M４α，M１0α.解：（１）设向量e１、e２对应的特征值分别为λ１、λ２，则错误!错误!＝λ１错误!，错误!错误!＝λ２错误!，故λ１＝２，λ２＝１，即向量e１，e２对应的特征值分别是２，１．（２）因为α＝e１＋３e２，所以M４α＝M４（e１＋３e２）＝M４e１＋３M４e２＝λ错误!e１＋３λ错误!e２＝错误!，M１0α＝M１0（e１＋３e２）＝M１0e１＋３M１0e２＝λ错误!e１＋３λ错误!e２＝错误!.错误!已知矩阵M＝错误!有特征向量错误!＝错误!，错误!＝错误!，相应的特征值为λ１，λ２.（１）求矩阵M的逆矩阵M—１及λ１，λ２；（２）对任意向量错误!＝错误!，求M１00错误!.解：（１）由矩阵M＝错误!变换的意义知M—１＝错误!，又M错误!＝λ１错误!，即错误!错误!＝λ１错误!，故λ１＝２，同理M错误!＝λ２错误!，即错误!错误!＝λ２错误!，故λ２＝—１．（２）因为错误!＝错误!＝x错误!＋y错误!，所以M１00错误!＝M１00（x错误!＋y·错误!）＝xM１00错误!＋yM１00错误!＝xλ错误!错误!＋yλ２１00错误!＝错误!.１．求函数f（x）＝错误!的值域．解：f（x）＝—２—sinxcosx＝—２—错误!sin２x∈错误!.２．已知矩阵A的逆矩阵A—１＝错误!，求矩阵A的特征值．解：∵ A—１A＝E，∴A＝（A—１）—１.∵A—１＝错误!，∴A＝（A—１）—１＝错误!.∴矩阵A的特征多项式为f（λ）＝错误!＝λ２—３λ—４．令f（λ）＝0，解得矩阵A的特征值λ１＝—１，λ２＝４.３．（２0１３·江苏）已知矩阵A＝错误!，B＝错误!，求矩阵A—１B.解：设矩阵A的逆矩阵为错误!，则错误!错误!＝错误!，即错误!＝错误!，故a＝—１，b＝0，c＝0，d＝错误!.∴矩阵A的逆矩阵为A—１＝错误!，∴A—１B＝错误!错误!＝错误!.４．设曲线２x２＋２xy＋y２＝１在矩阵A＝错误!（a>0）对应的变换作用下得到的曲线为x２＋y２＝１．（１）求实数a、b的值；（２）求A２的逆矩阵．解：（１）设曲线２x２＋２xy＋y２＝１上任一点P（x，y）在矩阵A对应的变换下的象是P′（x′，y′），由错误!＝错误!错误!＝错误!，得错误!因为P′（x′，y′）在圆x２＋y２＝１上，所以（ax）２＋（bx＋y）２＝１，化简可得（a２＋b２）x２＋２bxy＋y２＝１，依题意可得a２＋b２＝２，２b＝２a＝１，b＝１或a＝—１，b＝１，而由a>0可得a＝b＝１．（２）由（１）A＝错误!，A２＝错误!错误!＝错误!|A２|＝１，（A２）—１＝错误!.１．已知矩阵A＝错误!，若点P（１，１）在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（0，—8）．（１）求实数a的值；（２）求矩阵A的特征值．解：（１）由错误!错误!＝错误!，得a＋１＝—8，所以a＝—9．（２）由（１）知A＝错误!，则矩阵A的特征多项式为f（λ）＝错误!＝（λ—１）２—9＝λ２—２λ—8，令f（λ）＝0，所以矩阵A的特征值为—２或４．２．已知M＝错误!，N＝错误!，求二阶方阵X，使MX＝N.解：（解法１）设X＝错误!，据题意有错误!错误!＝错误!，根据矩阵乘法法则有错误!解得错误!所以X ＝错误!.（解法２）因为MX＝N，所以X＝M—１N，M—１＝错误!.所以X＝M—１N＝错误!错误!＝错误!.３．已知矩阵M＝错误!，其中a∈R，若点P（１，—２）在矩阵M的变换下得到点P′（—４，0），求实数a的值；并求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．解：由错误!错误!＝错误!，∴２—２a＝—４a＝３．∴M＝错误!，则矩阵M的特征多项式为f（λ）＝错误!＝（λ—２）（λ—１）—6＝λ２—３λ—４令f（λ）＝0，得矩阵M的特征值为—１与４．当λ＝—１时，错误!x＋y＝0，∴矩阵M的属于特征值—１的一个特征向量为错误!；当λ＝４时，错误!２x—３y＝0，∴矩阵M的属于特征值４的一个特征向量为错误!.４．设矩阵M＝错误!（其中a>0，b>0）．（１）若a＝２，b＝３，求矩阵M的逆矩阵M—１；（２）若曲线C：x２＋y２＝１在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：错误!＋y２＝１，求a、b的值．解：（１）设矩阵M的逆矩阵M—１＝错误!，则MN—１＝错误!.又M＝错误!，所以错误!错误!＝错误!，所以２x１＝１，２y１＝0，３x２＝0，３y２＝１，即x＝错误!，y１＝0，x２＝0，y２＝错误!，故所求的逆矩阵M—１＝错误!.１（２）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到P′（x′，y′），则错误!错误!＝错误!，即错误!又点P′（x′，y′）在曲线C′上，所以错误!＋y′２＝１，则错误!＋b２y２＝１为曲线C 的方程．又已知曲线C的方程为x２＋y２＝１，故错误!又a>0，b>0，所以错误!１．矩阵的逆矩阵（１）已知A、B、C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.（２）对于二阶可逆矩阵A＝错误!（ad—bc≠0），它的逆矩阵为A—１＝错误!.２．二阶行列式与方程组的解对于关于x、y的二元一次方程组错误!我们把错误!称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为det（A）＝错误!＝ad—bＣ．若将方程组中行列式错误!记为D，错误!记为D x，错误!记为D y，则当D≠0时，方程组的解为错误!错误![备课札记]。
高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教
坐标变换：通过矩阵运算实 现图形的平移、旋转、缩放 等变换
动画制作：通过矩阵运算实 现图形的动画效果，如变形、
运动等
矩阵在其他领域中的应用
物理：在力学、电磁学、量子力学等领域，矩阵被用来描述物理系统的状态和变化
计算机科学：在计算机图形学、人工智能、数据挖掘等领域，矩阵被用来处理和表示数据
高中数学选修4-2矩阵 与变换知识点复习课 课件
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 矩阵与变换概述 03 矩阵的逆与行列式 04 矩阵的秩与特征值 05 矩阵的几何意义与线性变换的矩阵表示
06 矩阵的应用举例
单击添加章节标题
第一章
矩阵与变换概述
第二章
矩阵的定义与性质
矩阵的定义：由m行n列的数组 成的m*n个数阵
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示方法 线性变换可以通过矩阵乘法来实现 矩阵的逆矩阵表示线性变换的逆操作 矩阵的秩表示线性变换的维数
矩阵的逆与行列式
第三章
矩阵的逆
逆矩阵的定义：满足AB=BA=I的矩阵B称为矩阵A的逆矩阵 逆矩阵的性质：逆矩阵的唯一性、逆矩阵的线性性、逆矩阵的乘法性质 逆矩阵的求法：利用初等行变换求逆矩阵、利用伴随矩阵求逆矩阵 逆矩阵的应用：求解线性方程组、求解矩阵方程、求解线性规划问题
行列式的定义与性质
行列式的定义： 矩阵中主对角线 元素的乘积
行列式的性质： 行列式等于其转 置行列式的值
行列式的计算方 法：利用行列式 的性质进行计算
行列式的应用： 求解线性方程组、 判断矩阵是否可 逆等
行列式的计算方法
初等变换法：通过行变换或列变换 将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形， 然后计算行列式
高考数学(苏教,理科)复习课件：第十四章 矩阵与变换第二节 特征值与特征向量
[针对训练] (2014·宿迁模拟)已知矩阵A＝
2
－1
1 3
将直线l：x＋y－1＝0变
换成直线l′. (1)求直线l′的方程； (2)判断矩阵A是否可逆？若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A－1；
若不可逆，请说明理由．
解：(1)在直线l上任取一点P(x0，y0)，
设它在矩阵A＝－12 31对应的变换作用下变为Q(x，y)．
∴M＝12 21. 由(λ－1)(λ－1)－(－2)×(－2)＝0，解得λ＝3或λ＝－1. 矩阵M的另一个特征值为－1.
1．求逆矩阵的常见方法 (1)待定系数法：
设A是一个二阶可逆矩阵ca db，AB＝BA＝E2； (2)公式法：
|A|＝ac
d －b
db＝ad－bc，有 A－1＝－|A|c
|A| a
2a＋c＝1， 2b＋d＝0， ∴－a＋3c＝0， －b＋3d＝1，
a＝37， 解之得cb＝＝17－，17，
d＝27，
3 ∴A－1＝71
7
－17 2. 7
[典例]
用矩阵方法求二元一次方程组
2x－5y＝4， 3x＋y＝6
的解．
[解] 已知方程组可以写为32 令M＝23 －51，
－15xy ＝46，
x y
＝
a c
db－1fe.
利用矩[针阵对解训二练元]一次方程组43xx＋＋2y＝y＝2， 3.
解：方程组可写为3 4
21xy＝32，因为系数行列式为3×2－4×1＝
2≠0，所以方程组有唯一解．利用矩阵求逆公式得43
1－1＝ 2
－1 2－3212，
因此原方程组的解为
yx＝－1 2－321232＝1212，即xy＝＝1212.，
专题18 矩阵-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘(原卷版)
专题18 矩阵【真题感悟】1、【2019年江苏，21A 】已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.2、【2018江苏，理21B 】[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标．3. 【2017江苏，21B 】已知矩阵0110,.1002B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A=，B=.（1）求AB ;（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程. 4. 【2016江苏，21 B 】 [选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵12,02⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 矩阵B 的逆矩阵111=202-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB . 5. 【2015江苏，21 B 】（选修4—2：矩阵与变换）已知R y x ∈,，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.【考纲要求】一、矩阵的逆二、矩阵变换三、矩阵运算四、矩阵的特征值与特征向量考查要求为理解.【考向分析】1. 江苏高考中，主要考查的是如何求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，其落脚点是对运算能力的考查，当然不能忽视对特征值和特征向量的复习.2. 加强训练，提高推理和运算能力. 矩阵乘法的几何意义是矩阵所对应的变换的复合，会将矩阵语言转化为数学符号，利用特征值和特征向量或其他矩阵工具解决实际问题.【高考预测】求逆矩阵，矩阵的变换和矩阵的运算，是考查的方向，难度为容易题.【迎考策略】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y '' （3）矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：1||||,(||0)||||d b a b ad bc c d c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b e f ae bg af bh c d g h ce dg cf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.【强化演练】1．直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为，每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为.(I)求矩阵的逆矩阵； (Ⅱ)求曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程. 2．已知矩阵满足：，其中是互不相等的实常数，是非零的平面列向量，，，求矩阵．3．已知矩阵M ＝的一个特征值为3，求M 的另一个特征值．4．已知矩阵，若直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求直线的方程． 5．若二阶矩阵满足，. 求曲线在矩阵所对应的变换作用下得到的曲线的方程. 6．已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为 ，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()()003022A B C ，，，，，．设变换1T ， 2T 对应的矩阵分别为1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 2001N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求对△ABC 依次实施变换1T ， 2T 后所得图形的面积． 8．设二阶矩阵,． （1）求；（2）若曲线 在矩阵对应的变换作用下得到曲线,求的方程． 9．已知矩阵的逆矩阵,求矩阵的特征值.10．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值3λ=所对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ； （2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2xy =，求曲线C 的方程.。
高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版
a b x bx ax＋by ＋ ＝ ，这是矩阵 与向量 的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质 ． 性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向 设 是一个二阶矩阵， ， 是任意实数， 量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝ ＝ c x b ＝ ，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋ 向量 ，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即 法．
a Aa＝ ＝ c
理科
│要点探究
【点评】 要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常 点评】 要理解二阶矩阵变换的定义， 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点． 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题 已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分 ， 分 别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ， ，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义 ． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由 ，，， 矩阵． 矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵， 称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵， 称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换 ． (1)旋转变换 旋转变换 直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋 转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是
江苏理数 选修4-2 矩阵与变换 第二节 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量
b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个 非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
所以 a＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5
考点一
求逆矩阵与逆变换
[典例引领] 已知矩阵
－1 A＝ 0 1 0 ， B ＝ 0 2
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
解：设矩阵 A 的逆矩阵为
－1 则 0 0 a b 1 c d ＝0 2
矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量，则 a＋λ＝_____.
解析：因为
1 Aα＝λα，所以 a 2 2 2 ＝ λ －3 －3， －4
2－6＝2λ， 即 2a＋12＝－3λ，
a＝－3， 解得 λ＝－2，
－
－3 6 －2 1 － 3 － 3 且 A－1＝ ＝ . 5 2 －5 2 － 3 3 －3 －3 －2 答案： 5 3 1 2 － 3
2． 已知矩阵
1 A＝ a
2 2 的一个特征值为 λ ， 向量 α ＝ －3是 －4
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故 不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得 的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量， 因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征 值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的 所有特征向量了．
选修4-2 矩阵与变换
明 考 向
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
考什么
抓 基 础
怎么考 矩阵的运算及
3.变换的复合——二阶矩阵的乘法
(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．
明 考 向
矩阵变换的应用是
高考考查的重点， 都以解答题形式考 查.
(2)理解矩阵乘法不满足交换律． (3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律． (4)理解矩阵乘法不满足消去律.
目 录
选修4-2 矩阵与变换 第一节 第二节 矩阵的性质、变换及乘法 逆变换与逆矩阵，矩阵的特征向量
数学（理）
选修4-2
矩阵与变换
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
[备考方向要明了]
抓 基 础
考什么 1.了解二阶矩阵的概念． 2.二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换 (1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二 阶矩阵与平面向量的乘法． (2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)，即A(λ1α＋λ2β) ＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变换、反射变换、 旋转变换、投影变换、切变变换．
2 2 2 2 x y ∴圆 C： x2＋y2＝1 在变换 T 的作用下变成了椭圆 ＋ 4 16
提 能 力
明 考 向
0 1
0 1 ， 关于 y＝x 对称对
应的矩阵为 A＝
1 0 .
目 数学（理） 录
第一节
矩阵的性质、变换及乘法
(3)伸缩变换：对应的二阶矩阵
抓 基 础
k1 A＝ 0
0 ，表示将每个 k2
点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k2 倍． (4)投影变换：关于 x 轴的(正)投影变换对应的矩阵为 A
苏教版高中数学选修4-2：逆矩阵的概念_课件1
阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．
课 堂 互 动
1 (1)A＝0
120；(2)B＝10
－12；
课 时 作
探
业
究
1 1
(3)C＝21 21；(4)D＝01 －01.
2 2
菜单
课 前
【思路探究】 矩阵→对应的几何变换→
当 堂
自
双
主 导
判断是否存在逆变换→若存在写出逆变换→逆矩阵
基 达
学
标
【自主解答】 (1)矩阵 A 对应的是伸压变换，它将平面
内点的横坐标保持不变，纵坐标沿 y 轴方向压缩为原来的12，
课
堂 因此，它存在逆变换：将平面内的点的横坐标保持不变，纵 课
互
时
动 坐标沿 y 轴方向伸长为原来的 2 倍，所对应的变换矩阵记为
堂
课
互
(1)注意到 1×3－2×1＝1≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，且 时
动
作
探 究
3 A－1＝－121
－111＝－32 1
－11.
业
菜单
课 前
当
(2)注意到 2×5－4×3＝－2≠0，故 B 存在逆矩阵 B－1， 堂
自
双
主且
导
基 达
学
5 －3
标
课
B－1＝－ －24 －2
的，B 称为 A 的逆矩阵，记作：A－1＝B.
菜单
课
当
前
3．逆矩阵的性质
自
堂 双
主 导
基
(1)若二阶矩阵 A 存在逆矩阵 B，则逆矩阵是惟一的． 达
学
标
(2)若二阶矩阵 A，B 均存在逆矩阵，则 AB 也存在逆矩
选修4-2矩阵与变换
选修4－2 矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1)矩阵的概念在数学中，把形如13，2315，13420－1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法①[a11a12]b11b21＝[a11×b11＋a12×b21]；②a11a12a21a22x0y0＝a11×x0＋a12×y0a21×x0＋a22×y0.2．几种常见的平面变换(1)当M＝1001时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M＝k001或M＝100k(k>0)确定的变换T M称为(垂直)伸压变换．(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4)当M＝cos θ－sin θsin θcos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6) 由矩阵M＝1k01或M＝10k1确定的变换称为切变变换．3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵M＝a11a12a21a22，N＝b11b12b21b22，规定乘法法则如下：MN ＝a 11a 12a 21a 22b 11b 12b 21b 22＝a 11b 11＋a 12b 21a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21a 21b 12＋a 22b 22.4．矩阵乘法的几何意义(1)变换的复合：在数学中，一一对应的平面几何变换常可以看做是伸压、反射、旋转、切变变换的一次或多次复合，而伸压、反射、切变等变换通常叫做初等变换；对应的矩阵叫做初等变换矩阵．(2)矩阵乘法MN 的几何意义为：对向量α＝x y连续实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．(3)当连续对向量实施n ·(n ＞1且n ∈N *)次变换T M 时，对应地我们记M n＝M ·M ·…·M.5．矩阵乘法的运算性质(1)矩阵乘法不满足交换律对于二阶矩阵A ，B 来说，尽管AB ，BA 均有意义，但可能AB ≠BA.(2)矩阵乘法满足结合律设A ，B ，C 为二阶矩阵，则一定有(AB)C ＝A(BC)．(3)矩阵乘法不满足消去律．设A ，B ，C 为二阶矩阵，当AB ＝AC 时，可能B ≠C.[小题体验]1．已知矩阵A ＝1823，矩阵B ＝1x y3.若A ＝B ，则x ＋y ＝________.解析：因为A ＝B ，则x ＝8，y ＝2，所以x ＋y ＝10.答案：10 2．已知变换x y →x ′y ′＝2x ＋3y x ＋y，则它所对应的变换矩阵为________．解析：将它写成矩阵的乘法形式x y→x ′y ′＝2311x y，所以它所对应的变换矩阵为2311.答案：23111．矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，易颠倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[小题纠偏]1．设A＝1234，B＝42k7，若AB＝BA，则实数k的值为________．解析：AB＝123442k7＝4＋2k1612＋4k34，BA＝42k71234＝1016k＋212k＋28，因为AB＝BA，故k＝3. 答案：32．已知A＝1000，B＝－1001，C＝－100 －1，计算AB，AC.解：AB＝1000－1001＝－1000，AC＝1000－100－1＝－1000.考点一二阶矩阵的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知A＝12121212，B＝11－1－1，计算A2，B2.解：A2＝1212121212121212＝12121212.B2＝11－1－111－1－1＝0000.2．(2014·江苏高考)已知矩阵A＝－121x，B＝112－1，向量α＝2y，x，y为实数．若Aα＝Bα，求x＋y的值．解：由已知，得Aα＝－121x 2y＝－2＋2y2＋xy，Bα＝112－12y＝2＋y4－y.因为Aα＝Bα，所以－2＋2y2＋xy ＝2＋y4－y，故－2＋2y＝2＋y，2＋xy＝4－y.解得x＝－12，y＝4.所以x＋y＝72.3．已知矩阵A＝1012，B＝－434－2且α＝34，试判断(AB)α与A(Bα)的关系．解：因为AB＝1012－434－2＝－434－1，所以(AB)α＝－434－134＝8，因为Bα＝－434－234＝4，A(Bα)＝10124＝8.所以(AB)α＝A(Bα)．[谨记通法]1．矩阵的乘法规则两矩阵M，N的乘积C＝MN是这样一个矩阵；(1)C的行数与M的相同，列数与N的相同；(2)C的第i行第j列的元素C ij由M的第i行与N的第j列元素对应相乘求和得到．[提醒]只有M的行数与N的列数相同时，才可以求MN，否则无意义．2．矩阵的运算律(1)结合律(AB)C＝A(BC)；(2)分配律A(B±C)＝AB±AC，(B±C)A＝BA±CA；(3)λ(AB)＝(λＡ)B＝A(λＢ)．考点二平面变换的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝22－222222对应的变换将曲线C 变为曲线C ′，求曲线C ′的方程．解：设曲线C 上一点(x ′，y ′)对应于曲线C ′上一点(x ，y)，所以22－222222x ′y ′＝x y，所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y.所以x ′＝x ＋y 2，y ′＝y －x 2，所以x ′y ′＝x ＋y 2×y －x 2＝1，所以曲线C ′的方程为y 2－x 2＝2.[由题悟法]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1)已知曲线C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法)求解．(2)已知曲线C ′是曲线C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵，常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组)求解．[即时应用]已知圆C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝a 00b(a>0，b >0)对应的变换作用下变为椭圆x 29＋y24＝1，求a ，b 的值．解：设P(x ，y)为圆C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为另一个点P ′(x ′，y ′)，则x ′y ′＝a 00bx y，即x ′＝ax ，y ′＝by.又因为点P ′(x ′，y ′)在椭圆x 29＋y 24＝1上，所以a 2x 29＋b 2y24＝1. 由已知条件可知，x 2＋y 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4.因为a>0，b >0，所以a ＝3，b ＝2. 考点三变换的复合与矩阵的乘法重点保分型考点——师生共研[典例引领]在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝k 001，N ＝011，点A ，B ，C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1，B 1，C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解：由题设得MN ＝k 0010110＝0k 10，由0k 1000＝00，0k 1－20＝0－2，0k 1－21＝k－2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k|，则由题设知：|k|＝2×1＝2. 所以k 的值为2或－2.[由题悟法]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[即时应用]已知圆C ：x 2＋y 2＝1，先将圆C 作关于矩阵P ＝1002的伸压变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°，求所得曲线的方程．解：绕原点逆时针旋转90°的变换矩阵Q ＝0－110，则M ＝QP ＝0－111002＝0－21.设A(x 0，y 0)为圆C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点A ′(x 0′，y 0′)，则x 0′y 0′＝0－21x 0y 0，即x 0′＝－2y 0，y 0′＝x 0，所以x 0＝y 0′，y 0＝－x 0′2.又因为点A(x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，所以(y 0′)2＋－x 0′22＝1.故所得曲线的方程为x 24＋y 2＝1. 1．设M ＝0110，N ＝112，求MN . 解：MN ＝01110012＝01210.2．(2016·南京三模)已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝121所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．解：设曲线C 上的任意一点P(x ，y)，P 在矩阵A ＝121对应的变换下得到点Q(x ′，y ′)．则1210x y＝x ′y ′，即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2.代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2x ′－y ′22＝1，即x ′2＋y ′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2. 3．(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋y －2＝0在矩阵A ＝1a 12对应的变换作用下得到直线x ＋y －b ＝0(a ，b ∈R)，求a ＋b 的值．解：设P(x ，y)是直线x ＋y －2＝0上任意一点，由1a 12x y＝x ＋ay x ＋2y ，得(x ＋ay)＋(x ＋2y)－b ＝0，即x ＋a ＋22y －b2＝0.由条件得a ＋22＝1，－b2＝－2，解得a ＝0，b ＝4，所以a ＋b ＝4.4．已知M＝1－223，W＝2－1－31，试求满足MZ＝W的二阶矩阵Z.解：设Z＝a bc d，则MZ＝1－223a bc d＝a－2c b－2d2a＋3c2b＋3d.又因为MZ＝W，且W＝2－1－31，所以a－2c b－2d2a＋3c2b＋3d ＝2－1－31，所以a－2c＝2，b－2d＝－1，2a＋3c＝－3，2b＋3d＝1.解得a＝0，b＝－17，c＝－1，d＝37.故Z＝0－17－137.5．(2016·苏锡常镇一调)设矩阵M＝1002，N＝1201，试求曲线y＝sin x在矩阵MN变换下得到的曲线方程．解：由题意得MN＝10021201＝1202.设曲线y＝sin x上任意一点P(x，y)在矩阵MN变换下得到点P′(x′，y′)，则x′y′＝1202xy，即x′＝12x，y′＝2y，得x＝2x′，y＝12y′.因为y＝sin x，所以12y′＝sin 2x′，即y′＝2sin 2x′.因此所求的曲线方程为y ＝2sin 2x.6．(2017·苏锡常镇调研)已知变换T 把平面上的点(3，－4)，(5,0)分别变换成(2，－1)，(－1,2)，试求变换T 对应的矩阵M.解：设M ＝a b cd，由题意，得a bcd 3－4＝2－1，a b cd 50＝－12，所以3a －4b ＝2，3c －4d ＝－1，5a ＝－1，5c ＝2.解得a ＝－15，b ＝－1320，c ＝25，d ＝1120.即M ＝－15－1320251120.7．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，设点A(－1,2)在矩阵M ＝－1001对应的变换作用下得到点A ′，将点B(3,4)绕点A ′逆时针旋转90°得到点B ′，求点B ′的坐标．解：设B ′(x ，y)，依题意，由－1001－12＝12，得A ′(1,2)．则A ′B ―→＝(2,2)，A ′B ―→＝(x －1，y －2)．记旋转矩阵N ＝0－11，则0－11022＝x －1y －2，即－22＝x －1y －2，解得x ＝－1，y ＝4，所以点B ′的坐标为(－1,4)．8．已知M ＝1002，N ＝10－11，求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程．解：MN＝100210－11＝10－22，设P(x′，y′)是曲线2x2－2xy＋1＝0上任意一点，点P在矩阵MN对应的变换下变为点P′(x，y)，则有xy＝10－22x′y′＝x′－2x′＋2y′，即x＝x′，y＝－2x′＋2y′，于是x′＝x，y′＝x＋y 2 .代入2x2－2xy＋1＝0得xy＝1，所以曲线2x2－2xy＋1＝0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy＝1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．(2)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.(3)利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵A＝a bc d，当ad－bc≠0时，矩阵A可逆，且它的逆矩阵A－1＝dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.3.特征值与特征向量的定义设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称第11 页共21 页为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义设A＝a bc d是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc称为A的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设λ是二阶矩阵A＝a bc d的特征值，α为λ的特征向量，求λ与α的步骤为：第一步：令矩阵A的特征多项式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0，求出λ的值．第二步：将λ的值代入二元一次方程组λ－a x－by＝0，－cx＋λ－d y＝0，得到一组非零解x0y0，于是非零向量x0y0即为矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量．6．A nα(n∈N*)的简单表示(1)设二阶矩阵A＝a bc d，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A nα＝λnα(n∈N*)．(2)设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，α，β是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设γ＝t1α＋t2β(其中t1，t2为实数)，则A nγ＝t1λn1α＋t2λn2β(n∈N*)．[小题体验]1．矩阵M＝16－2－6的特征值为__________．解析：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－1 －62λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f(λ)＝0，得M的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.答案：－2或－32．设23是矩阵M＝a232的一个特征向量，则实数a的值为________．解析：设23是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则a23223＝λ23，。
选修4-2矩阵与变换第二节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量分析
第二节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量［主匸離构］< O O Q <定义［距阵的逆矩阵、辐征值与特征向员». _________________________________________________匸杏征值与I怖向址1 .矩阵的逆矩阵(1)—般地，设p是一个线性变换，如果存在线性变换0,使得6严p齐I，则称变换p可逆，并且称O是p的逆变换.(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B,使得BA= AB = E，则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵.(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A_I.-1 - 1 -(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB) = B A2.二阶行列式与方程组的解I—｛二阶行列式与方禅丽城i<⑸二阶矩阵A =, -d 可逆，当且仅当 det A= ad — bc^ 0时，A 1 = 工d」det A—edet A对于关于x ，y 的二元一次方程组ax+ by= m ， cx+ dy= n ，我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为 det A =a b记为D ，m b 记为D x ，a m c dn dc n i=ad - be. de 若将方程组中行列式记为D y ，则当D 丰0时,D x x =D y y=3. 矩阵特征值、特征向量的相关概念宅 b"l(1) 定义：设矩阵A = J ，如果存在实数 入以及非零向量 匕使得A E=入,，则称入是jc d 」 矩阵A 的一个特征值，E 是矩阵A 的属于特征值 入的一个特征向量.(2) —般地，设E 是矩阵A 的属于特征值 入的一个特征向量，则对任意的非零常数 k, K E也是矩阵A 的属于特征值 入的特征向量.⑶一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线=0为矩阵A 的特征方程.4. 特征向量的应用(1) 设A 是一个二阶矩阵，a 是矩阵A 的属于特征值 入的任意一个特征向量，则A na=fa n *€ N ).(2) 性质1设兀h 是二阶矩阵A 的两个不同特征值，&, &是矩阵A 的分别属于特征 值入，h 的特征向量，对于任意的非零平面向量 a,设a= b E i + t 2 ^2(其中t i , t 2为实数)，则对任意的正整数n,有A na=2jjj 2.加石测］＜ o o oo答案：152 1 - a 2解析：由题意|A | =2 2=2 x (a + 1) — 1 x (1 — a ) = a + 2a + 1 = 0 ,「a = — 1.h — a — bh — a — b A = ,称 f (h =为矩阵A 的特征多项式，方程£ d_ —c — d—c h — d(4)设矩阵2.若矩阵 3可逆，则k 的值不可能是k方程组的解为 1.矩阵—1的逆矩阵是 03.若矩阵A =可逆，则实数 a 的值为答案：—1x 3+ m 一4.对任意实数x,矩阵］总存在特征向量，则m的取值范围是___________2 — m 2k- x — 3 — m 解析：由条件得f( k=m— 2 — 2=(入一x)(入一2) — (m— 2)( — 3— m)2 » …一=入一(x+ 2) H 2x+ (m+ 3)(m— 2) = 0 有实数根，2 2所有A i= (x+ 2) — 4(2x + m + m— 6) > 0对任意实数 x恒成立,2所以A2= 16 + 4(4m + 4m — 28)<0,解得m的取值范围是一3< m W 2.答案：—3< m W 2.例1 求矩阵A= 3 2的逆矩阵.2 1【解析】法一：设矩阵A的逆矩阵为|x y\丄 W —5.已知矩阵M的特征值k= 8及对应的一个特征向量e i= £ l并有特征值k= 2及对应的一个特征向量e2= — 2则矩阵M =a解析：设M =JJDa +b =8, 故|c+ d = 8,a — 2b= 2,故|c— 2d=—788?'=.-1」-8」联立以上两个方程组解得 a = 6, b= 2, c= 4, d = 4,故M = f 2热点考向一求逆矩阵L— F ——― 1［求逆矩阵］公式3x+ 2z 3y+ 2w I 即 2x+ z 2y+ w 3x+ 2z= 1, 故2x+ z= 0,解得 x=— 1, z= 2, y = 2, w = — 3,【点评】 方法一是待定系数法；方法二是公式法.£变式训练1.已知变换矩阵 A 把平面上的点 P(2, — 1)、Q(— 1,2)分别变换成点 P i (3, — 4)、Q i (0,5).(1)求变换矩阵A ;—1(2)判断变换矩阵 A 是否可逆，如果可逆，求矩阵 A 的逆矩阵A理由.—1 —1 —23■ — 1 —1丿 f 1/- 3:A-1■— 1 21 卩1! 2 一=匸卜r 2a — b = 3,i< a= 2, 2c — d =— 4,b= 1,解得：j—a+ 2b = 0,c=—1,即a b c d-- y w3y+ 2w = 0,2y+ w = 1, 从而矩阵A 的逆矩阵A —1=■— 1 -23 2= •A法,.°det A = — 1.:如不可逆，请说明I I，依题意，可得l a£X z2 13N ►Hu贝_2 1-所以所求的变换矩阵2] ⑵'.det A = 2X 2- (— 1) X 1 = 5, ••A 可逆—11、 1551 |5—5A -1=1 = 1— u — n2 I 1 255丿‘5 5丿热点考向二 利用矩阵解二兀一次方程组步骤-求|a 1 b订的逆矩阵-求方程组的解 ---- 卫2 b 2」 -----------[例2 （1）求矩阵A = f J 的逆矩阵; （2）利用逆矩阵知识,2x+ 3y — 1 = 0, x+ 2y — 3= 0.【解析】 （1）法一：设矩阵A 的逆矩阵为A -1= r b 1,x d 」2a + 3c= 1,a = 2,b =— 3, c=— 1, d = 2.知 2b + 3d = 0， a+ 2c= 0, b+ 2d =1. ••|A |= 4— 3 = 1 ,解方程组:】=I ：解之得2 Z3|1 1 | f 3- 3【I-1 2-1 2-1 1 -二 31⑵二元一次方程组的系数矩阵为 A = I c，-1 2」由(1)知A- J 2 - 3]二 1 2一[2x+ 3y= 1,因此方程[x+ 2y= 3有唯一解即x=-7,|y= 5.有无数解或无解.2x+ y= 8,2.用矩阵方法求解二元一次方程组4x- 5y= 2.解析：原方程组可以写成『==I8 ',4- 5」®」-2」3 1记M = ,114 — 5a1x+ b1y= C1【点评】二兀一次方程组(a1, b1不同时为零,a2x+ b2y= C2(a1 b[系数矩阵为A= |42 b2，只有当|A|工0时，方程组有唯一解A-1|C1a2, b2不同时为零)的，若A l= 0,则方程组|x L A-1=2 X (— 5) — 1 X 4 =— 14工 0,(1)求A 的特征值4 ⑵求A B .【解析】 (1)设A 的一个特征值为 入由题意知: "X — 1 — 2~\=0,即(入一 2)( X — 3) = 0,解得 X= 2, X= 3,44 44一故 A B = A ( a+ a )= (2 a )+ (3 a )= 16 a+ 81 a =【点评】 求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点,题首先要利用行列式求出特征 徝，然后求出相应的特征向量. 请注意每一个特征值对应无数 个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算〔一11豊.'M —1=1 14r =M -11 '=! i 4，，即方程组的解为‘=3,■1X= 2时，由厂1I X L 2j，得A 属于特征值2的特征向量a 1= I 2E=3f，得A 属于特征值3的特征向量(2)由于 B = 13 L ?!711=a 1 + a .其行列式例3 给定矩阵 A = I入，h 及对应特征向量 a, a;[113 ^97解决此类问简单、方便.ion一、填空题71 3_11•已知A = | 可逆，则实数a 的取值范围是 _________________a 6」 解析：矩阵A 可逆当且仅当det(A)丰0,•'a 的取值范围为(一a, 2) L(2 ,+s ). 答案：(一a, 2) U (2 ,+a )_3，则矩阵M 的特征向量可以是- 23.已知矩阵A =3,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为 d属于特征值1的一个特征向量，求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵.解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=I ：可得, 一仁即 c + d= 6;-3] 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量a= 2 ,解得* 2,d = 4P 31 ，即 A = 2 4 .2•设矩阵 可得P即 3c — 2d= — 2,A 的逆矩阵是解析：矩阵M的特征多项式由于f （为=0得矩阵M 的特征值为 入=1 , ?2=— 1.经计算可得，矩阵M属于特征值x=1的一个特征向量为^3的一个特征向量为1（空3答案：「厂I —;3「ac 3,ab+ 3a = 1答案：2 —2 3丄 2 _2x — 2y =— 1， 解析：因为方程组---的矩阵形式是2x+ 2 y= 1,3 •设可逆矩阵A =J|a 3的逆矩阵A -1-4 5」解析：由AA - 1= E 得 ab + 3a ac — 3I71占b+ 5a 4c —5，而属于特征值匕-1 4b+ 5a= 0, 即4c — 5 =解方程组得a= 2, b= — 2 c= 3 2.承―韵=—1,4.已知二元一次方程组 ,呼x+%= 1 ,从线性变换的角度求解时应把向量—1_ 1绕原点作顺时针旋转的旋转变换.方程组就是把向量：1［绕原点作顺时针旋转沪旋转变换答案：n1+、321- .3 2答案:6. 现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为:解析：因为A =『4，所以det A = I14= 2工0,42->0 2对应信息为good”.n 变换得到—1，所以解4一i一1 - 2〕所以A -1=1，而密码矩阵为 ? 1 一B = I 67J3031 8_1 故明码矩阵X= A - 1B =-21 1 2 -31] 7 15]=I , 8」-15 4」[1 - 15A = _0，则 A -11解析：A =_01- 3 •41='X 1-丄X 區1工02 2 2 •4 11, b T 2,…，Z T 26,双方约定的矩阵为1 4，发送方传递的密码为67,30,31,8,此组密码所发信息为—P2答案：good--1 5[7. 矩阵M = 5 __________________________ 的特征值与特征向量分别为勺3一5 2=(入+ 1)( X — 3) — (— 2)( — -)= f — 2 - 8 = 0，得矩阵值为 X = 4, X = — 2.&= — 2的一个特征向量.答案: &已知矩阵A = f — 1, B =『—1，,则满足方程AX = B 的二阶矩阵X =_— 4 3 _— 3 1年-11解析：・.A =「4 3 一2 — 1.•|A |== 2 X 3 — (— 1) X (— 4) = 2 工 0.—4 3 3 1 1•■A — 1=2 2:：AX = B ,.・・X = A —1B ,5 1 -解析:M 的特征设属于特征值 ,则它满足方程(X+ 1)x+ (— 2)y= 0, 即卩 5x — 2y =0•故可取属于特征值 4的一个特征向量.设属于特征值 h= — 2的特征向量为x+ 2y = 0•故可取 -2为属于特征值量为综上所述，矩阵a-灯 属于■— 1 2〔有两个特征值 ?2=— 2的一个特征向量为 ?1= 4, ?2=— 2,属于入=4的一个特征向X = 4的特征向量为02\ = 4, a = || ■和 &=—2, J 5」而 A - 1AXB-B - 1= EXBB -1因为A - 1=- 3_2所以 X = A - 1CB「2 - 3110.已知矩阵A =6 2(1) 求矩阵A 的特征值及对应的特征向量; (2) 计算矩阵A n.当f= 8时，A 属于f 的特征向量为9一25-11AS2 ]7 317A = J ，B =,C =I- 2 -3」】12- 〕1C , 所以 1(A - A )XB B -1=A -1CB -19.已知矩阵 解析：AXB = 1，求满足AXB = C 的矩阵X . 0=X ( BB -1) = X , 所以 X = A - 1CB -1B -1=2 -31解析: (1)矩阵A 的特征方程为入一6=(—6)( — 4) — 8 = f - 10 入 + 16 = 0.得矩阵 A 的特征值为 f = 8, f= 2.当?2= 2时，A属于h的特征向量为⑵设A n =n n n nA a i = 8 a i, A a= 2 a,(1)求证：M和N互为逆矩阵；⑵求证：向量a同时是M和N的特征向量；(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值.-2 — 1-j,3 — 3,2 们；1 0]解析：(1)证明：因MN = J = J ,.1 2〜2」J 1」-—3 2na + b= 8c+ d= 8n即a — 2b= 2nc-2d=— 2 2n解得a=n ^n2X 8 + 2n8 —2n8n+ 2n+i2 X 8n—2n+1c=故A n=2 X 8n+ 2n 8n—2nI 3 32 X 8n—2n+18n+ 2n+ 13 311.给定矩阵21，向量02 =且 NM = I 2所以M 和N 互为逆矩阵.(2)证明：因为M%因为故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值. ① 若a= 2, b= 3，求M 的逆矩阵② 若曲线C: x 2+ y 2= 1，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线2C'： x+ y 2= 1,求 a, b 的值.4•'2x 1= 1,2y 1= 0,3x 2= 0,3y 2= 1. 1 1即 x = 2，y 1 = 0, X 2= 0, y 2 = 3ax= x' by= y'-0 1J所以 a 是N 的特征向量.所以 a 是N 的特征向量.-1 |⑶由⑵知，M对应于特征向量―的特征值为1, N 对应于特征向量|彳 一 1的特征值也12. (2011年福建)设矩阵M =打0( b*其中 a>0, b>0) M T ；解析：①设M -1= -| y1.X2 y2则 MM -1= I 1-0 0'又 M =[1 - J) 3JO0：y 1 y 2-0 1②设C 上任一点P(x, y)，在M 作用下得点P' (x' , y')2 2即亍+ b 2y~ 1为曲线C 的方程.|a= 2,又a>0, b>0,所以[b= 1.卫答案：「1又点P'（X’，y'）在C'上，所以2・+ y' 2= 1.又C 的方程为x 2+ y 2= 1,a 2= 4,b 2= 1._1X= 3时，由.1• -1 =。
【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第2节 逆矩阵、特征值与特征向量课件 理 苏教版选修4-2
(3)对于一个二阶矩阵，它的特征向量是唯一的．( (4)它的特征向量由它的特征值来确定．( )
[解析] (1)中只有矩阵 A 存在逆矩阵时成立，故错；(2)中应 有(AB) 1＝B 1A 1，故错；因为一个二阶矩阵的特征向量是由它的
－ － －
特征值来确定，故(3)错(4)对．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
令 β＝mα1＋nα2，得 m＝4，n＝－3. M6β＝M6(4α1－3α2)＝4(M6α1)－3(M6α2)
1 2 913 ＝4×3 －3(－1) · ＝ . 1 －1 2 919
61
6
【规律方法】 1．本题是求出矩形 M 的特征值 λ1，λ2，对应的特征向量 α1、 α2，同时把
1 故 a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2， －1 从而 A 的逆矩阵为 A－1＝ 0 －1 ∴A－1B＝ 0 0 1 1 0 2
2 －1 ＝ 6 0
0 1， 2 －2 . 3
【规律方法】 1．逆矩阵的求法有两种：一是利用待定系数法．二是利用公 式法． 2．若 A，B 两个矩阵均存在可逆矩阵时，则有(AB)－1＝B－1A－
1 ， 0
1 ＝－2≠0，矩阵 M 可逆， 0 －1 －2 0 ＝ 1 1 －2 1 2 . 1 －2
0 －2 －1 故 M ＝ －2 －2
考向 1 二阶矩阵的逆矩阵 【典例 1 】
1 0
(2013· 江苏高考 ) 已知矩阵
4．(2014· 扬州中学月考试题)已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝8
1 及对应的一个特征向量 e1＝ 并且矩阵 M 对应的变换将点(－1,2) 1，
高中数学 第三讲 逆变换与逆矩阵 3.1 逆变换与逆矩阵课件 新人教A版选修42
123
10
名师点拨 1.有些矩阵是不可逆的,如二阶矩阵 A=
00 10
就找不到二阶矩阵B,使 BA=AB=E2 成立,即矩阵 A=
00 不可逆.
2.设 A 是一个二阶可逆矩阵,对应的线性变换为 ρ,由矩阵与线 性变换的对应关系可以看出,A 的逆矩阵就是 ρ 的逆变换所对应的 矩阵.
123
10
【做一做 2】 已知 A=
题型一 题型二 题型三 题型四
题型二
逆矩阵
【例 2】 从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,如 果存在,求出其逆矩阵.
1 -2
(1)A=
;
01
11
(2)B=
2 1
2 1
.
22
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)矩阵 A 对应的是切变变换,它存在逆变换,所以矩阵 A 存
ab
在逆矩阵.设逆矩阵 A-1=
123
11
01
【做一做 3】 已知 A=
,B=
, 求(AB)-1.
11
解:∵AB=
10
20
01
21
=
,
10 20 ab
01
设(AB)-1=
,
cd
123
21 ab
2a + c 2b + d
则(AB)(AB)-1=
=
=
10
01 cd
c
d
,
01
2������ + ������ = 1,
∴
2������ + ������ ������ = 0,
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
逆变换