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不等式（组）的概念、性质及解法知识讲解

不等式的概念

1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：

52, a 3 1 4, x 1 0,a2 1 0, x 0,3 a 5a 等都是不等式．

2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．

注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．

3.不等号“ ”和“ ”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向

改变成与其相反的方向，如：“ ”改变方向后，就变成了“”。

【例 1】用不等式表示数量的不等关系．

（1）a是正数

（2）a是非负数

（3）a的相反数不大于 1

（4）x与y的差是负数

（5）m的 4 倍不小于 8

（6）q的相反数与q的一半的差不是正数

（7）x的 3 倍不大于x的

1

3

（ 8） a 不比0大

【巩固】用不等式表示：

⑴x 的1

与 6 的差大于 2 ；⑵y 的

2

与 4 的和小于x ；53

⑶ a 的 3倍与 b 的1

的差是非负数；⑷x 与 5 的和的 30% 不大于 2 ．2

【巩固】用不等式表示：

⑴ a 是非负数；⑵ y的3倍小于2；

⑶ x与1的和大于0；⑷ x与4的和大于1

不等式基本性质

基本性质１：不等式两边都加上( 或减去 ) 同一个数 ( 或式子 ) ，不等号方向不变．

如果 a b ，那么 a c b c

如果 a b ，那么 3 x2 a ( x 1)

基本性质２：不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变．

如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或a

b )

c c

如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或a

b )

c c

基本性质３：不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变．

如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或a

b )

c c

如果 a b ，并且 c0 ，那么 ac bc (或 ax b )

不等式的互逆性：如果a b ，那么 b a ；如果 b a ，那么 a b ．

不等式的传递性：如果a b ， b c ，那么a c ．

易错点：① 不等式两边都乘( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变．

②在计算的时候符号方向容易忘记改变．

【例 2】⑴如果a b ，则 2 a a b ，是根据；

⑵如果 a b ，则 3a3b ，是根据；

⑶如果 a b ，则 a b ，是根据；

⑷如果 a 1 ，则a2 a ，是根据；

⑸如果 a 1 ，则 a2 a ，是根据．

【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．

⑴若a b ，则 2a _______ 2b ；⑵ 若a b ，则4a ______4b ；

⑶若

3 x 6 ，则x______4；⑷ 若 a b， c 0，则ac______bc；

2

⑸若x0 ， y 0 ， z 0 ，则 ( x y ) z _______ 0 ．

【巩固】若 a b ，用“ ”或“ ”填空

⑴ a 2 _____ b 2 ；⑵ a 2 _____ b2

⑶1

a ______

1

b ；⑷ a ____b 33

【巩固】若 a b ，则下列各式中不正确的是（）

A. a 8 b 8

B. 1

a 1

b C. 1 2 a 1 2b D. a 2 b 2 88

【例 3】已知a b ，要使bm am 成立，则m 必须满足()

A ．m0B．m0C．m0D．m为任意数

【巩固】如果关于 x 的不等式 ( a1) x a 1 的解集为 x 1 ，那么 a 的取值围是（）

A. a 0

B. a0

C. a1

D. a 1

【巩固】若 a b0 ，则下列不等成立的是()

A ．1

1 B ．ab b 2C．a2ab D ．| a | | b |

a b

【巩固】如果 a b ，可知下面哪个不等式一定成立()

A ．a b B．1

1C． a b 2b D．a2ab a b

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【巩固】如果 x 2 ，那么下列四个式子中：①x 2 2 x ② xy 2 y③ 2 x x ④11

正确的式子的个数

x2共有()

A ．4个B．3个C．2个 D ．1个【巩固】根据 a b，则下面哪个不等式不一定成立()

A ．a c2 b c 2

B．

a c 2

b c2

C．

ac 2bc 2

D．

a

1 c2

b

c21

不等式的解集

1.不等式的解：

使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如： 4 ， 2 ，0， 1 ， 2 都是不等式x 2 的解，当然它的解还有许多．

2.不等式的解集：

能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．

不等式的解集是一个围，在这个围的每一个值都是不等式的解．

不等式的解集可以用数轴来表示．

不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，

而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括

了每一个解．

在数轴上表示不等式的解集( 示意图 ) ：

不等式的解集在数轴上表示的示意图不等式的解集在数轴上表示的示意图

x a x a

x

a x a

x a

x x a

a a x 【例 4】下列说法中错误的是（）

A. 不等式 2 x 8 的解集是x 4 ；

B.40 是不等式 2 x8 的一个解