不等式组的概念、性质及解法同步.docx

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4不等式不等式组

不等式不等式组1不等式的概念：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。

2不等式的性质：（1）不等号的两边同时加上或减去相同的数，不等号的方向不变（2）不等号的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变（3）不等号的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变3一元一次不等式：（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫一元一次不等式（2）一元一次不等式在数轴上的直观表示例1解不等式：1123≤-≤-x 并把解集表示在数轴上例2解关于x 的不等式b ax ≤4一元一次不等式组:（1）几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫一元一次不等式组（2）一元一次不等式组的解集求法是先求出各个不等式的解，再用数轴求出它们的公共部分，口诀是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小没法找”例3解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-+x x x x 357131513 并把解集表示在数轴上例4用得不等式组的四句口诀及数轴解决下列问题（1）关于x 的不等式组⎩⎨⎧+≤-≥112m x m x 有唯一解，则m 的值（2）关于x 的不等式112+≤≤-m x m 无解，则m 的范围（3）关于x 的不等式112+≤-m x m 有解，则m 的范围5一元二次不等式1、一元二次不等式的一般式是：ax 2+bx+c(a ＞0)或ax 2+bx+c ＜0(a ＞0) 2、一元二次不等式的解集表：记忆图分类△＞0△=0△＜0 ax 2+bx+c ＞0 (a ＞0)的解集（－∞，x 1）∪（x 2,＋∞）（－∞，x 0）∪（x 0，＋∞）Rax 2+bx+c ＜0 (a ＞0)的解集(x 1，x 2)3、一元二次不等式的解法步骤是：（1）.化为一般式ax 2+bx+c ＞0 (a ＞0)或ax 2+bx+c ＜0 (a ＞0)。

这步可简记为“使a ＞0”。

（2）.计算△=b 2－4ac ，判别与求根：解对应的二次方程ax 2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。

(完整版)第九章不等式和不等式组知识点归纳

第九章不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

不等号主要包括：＞、＜、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。

4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。

规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ；不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

用字母表示为：如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)；不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，的方向改变。

用字母表示为：如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x >a 或x ＜a 的形式。

(完整word版)不等式概念及性质知识点详解与练习(2),推荐文档

不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念πφ 1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。

a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b 。

（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x 2﹤0②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。

（3）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

（4）常见不等式基本语言的含义：①若x ＞0，则x 是正数；②若x ﹤0，则x 是负数；③若x ≥0，则x 是非负数；④若x ≤0，则x 是非正数；⑤若x-y ＞0，则x 大于y ；⑥若x-y ﹤0，则x 小于y ；⑦若x-y ≥0，则x 不小于y ；⑧若x-y ≤0，则x 不大于y ；⑨若xy ＞0（或yx ＞0），则x ，y 同号；⑩若xy ﹤0（或yx ﹤0），则x ，y 异号；（5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

第九章不等式和不等式组

第九章不等式和不等式组第九章不等式与不等式组9.1.1不等式及其解集一、不等式的概念“>”、“用不等号连接起来的式子叫做不等式。

有些不等式不含未知数，有些不等式含有未知数。

类似于一元一次方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

注意：分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式，这一点与一元一次方程类似。

二、不等式的解和解集能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解.一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫做解不等式．注意:1.实心点表示包括这个点,空心点表示不包括这个点；2、步骤：画数轴,定界点,走方向。

、9.1.2不等式的性质（1）性质1不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。

即如果a＞b，那么a±c＞b±c.性质2不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a/c＞b/c).性质3不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a/c＜b/c).9.1.2不等式的性质（2）二、不等式的解法解一元一次不等式的步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。

9.1.2不等式的性质（3）三角形中任意两边之差小于第三边。

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

第九章不等式复习一（9.1）一、双基回顾1、不等式：用等号（＜、≤、＞、≥）连接起来的式子，叫做不等式。

2、不等式的解和解集使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

注意：解集包括解，所有的解组成解集；解是一个数，解集是一个范围。

3、一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

4、不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.即如果a＞b，那么a±c＞b±c.（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a/c＞b/c).（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a/c＜b/c).注意：①不等式的性质与等式的性质有相通之处，又有不同之点；②不等式的性质是解不等式的依据。

不等式组_精品文档

不等式组1. 引言不等式组是数学中一个重要的概念，它由一组不等式组成。

不等式是数学中用于描述数值之间大小关系的工具，而不等式组则可以用于描述多个数值之间的复杂关系。

本文将介绍不等式组的定义、解法以及其在应用中的一些常见场景。

2. 不等式组的定义不等式组是由多个不等式组成的集合，每个不等式可以是大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）或小于等于（≤）等符号连接的数学表达式。

一个不等式组的一般形式可表示为：{不等式1,不等式2,...不等式n}其中，每个不等式可以包含一或多个变量，表示了变量之间的大小关系，或者变量与常数之间的关系。

3. 不等式组的解法不等式组的解是使得每个不等式都成立的变量的取值范围。

要解决一个不等式组，可以通过以下步骤进行：- 确定每个不等式中的变量个数和类型。

- 找到每个不等式中变量的取值范围。

可以通过移项、合并同类项、因式分解等方法将不等式转化为形式更简单的不等式。

- 根据不等式符号的特性进行取值范围的确定。

例如，对于大于（>）或小于（<）的不等式，变量的取值范围应排除等号右侧的值；对于大于等于（≥）或小于等于（≤）的不等式，变量的取值范围应包括等号右侧的值。

- 根据每个不等式的取值范围求解整个不等式组的解。

可以通过求交集或并集的方式得到最终的解集。

4. 不等式组的表示方法不等式组可以用不等式图形表示法、解集表示法或区间表示法来表示，具体的表示方式取决于问题的要求和解的形式。

不等式图形表示法是通过绘制每个不等式的图形并表示它们的交集或并集来表示不等式组。

解集表示法是通过写出每个不等式的解集并表示它们的交集或并集来表示不等式组。

区间表示法是用数轴上的区间表示不等式组的解集。

5. 不等式组的应用不等式组在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：- 经济领域：不等式组可以用于描述供需关系、利润最大化问题等经济学中的问题。

- 工程领域：不等式组可以用于描述工程中的约束条件，如最大承载能力、最短路径等。

初中数学解不等式组

初中数学解不等式组解不等式组是初中数学中一个重要的知识点，它要求我们找到一组使不等式组成立的解。

本文将从基础概念、解法步骤和实例演绎三个方面来探讨初中数学解不等式组的方法。

一、基础概念不等式组由两个或多个不等式构成，解不等式组即要找到使这些不等式同时成立的解。

我们首先来了解几种常见的不等式关系。

1. 等于号：a = b表示a和b相等。

2. 不等于号：a ≠ b表示a不等于b。

3. 大于号：a > b表示a大于b。

4. 小于号：a < b表示a小于b。

5. 大于等于号：a ≥ b表示a大于等于b。

6. 小于等于号：a ≤ b表示a小于等于b。

二、解法步骤解不等式组的步骤如下：1. 将不等式组简化：将不等式组进行合并，消去冗余的不等式。

2. 分析不等式关系：根据不等式关系确定变量的范围。

3. 解单个不等式：按照不等式关系解出单个不等式的解。

4. 求解不等式组：结合前面解出的单个不等式解，找出满足所有不等式的解集。

三、实例演绎下面通过一个实例演绎的方式，详细说明解不等式组的步骤。

例题：解不等式组 {2x - 5 > 0, 3x + 1 ≤ 7}Step 1: 将不等式组简化为{2x > 5, 3x ≤ 6}，去掉冗余的不等式。

Step 2: 分析不等式关系。

由第一个不等式 2x > 5 可得 x > 2.5；由第二个不等式3x ≤ 6 可得x ≤ 2。

Step 3: 解单个不等式。

由第一个不等式 2x > 5 可得 x > 2.5，解集为(2.5, +∞)；由第二个不等式3x ≤ 6 可得x ≤ 2，解集为 (-∞, 2]。

Step 4: 求解不等式组。

根据第一个不等式 x > 2.5 和第二个不等式 x ≤ 2，可得解集为 (2.5, 2]。

通过此实例，我们可以清晰地看到解不等式组的具体步骤和解答方式。

在解答过程中，我们需要注意合理运用不等式的性质和数学运算的法则。

不等式(组)的概念、解集、解法

不等式与不等式组一、不等式的定义：1、常用不等式的符号：（读法）2、不等式的表示：（1）5x 与4的和是负数（2）x 小于它的相反数（3）y 的41与x 的51的和不大于0（4）两数a 、b 的和的平方不小于这两数积的2倍二、不等式的性质：1、性质：①不等式的两边都加（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变即()c b c a c b c a b a ->-+>+>或则若（其中c 是数或整式）②不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变即⎪⎭⎫⎝⎛>>>>c b c a bc ac c b a 或，则，且若0③不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 2、练习：（1）设m<n ，用“>”或“<”号填空①21__21--n m ；② 3__3nm ；③n m 5___5--；③0___44m n -；⑤n n m ___2-（2）根据不等式的基本性质，把下列各式化为a x >或a x <的形式：①11<-x ； ② 167->x x ； ③541>x ； ③53-<-x三、不等式的解及其解集1、在数轴上表示下列不等式的解集（1）3-≥x ；（2）4<x ；（3）31<<x ；（4）53≤≤-x2、用关于x 的不等式表示各图所表示的x 的取值范围（1）；（2）（3）；（4）3、求不等式062≤-x 的解集和正整数解，并在数轴上表示出解集四、一元一次不等式：1、下列哪些是一元一次不等式：()2412+>+-y y y ；()12≥-x x ； 613121>+； 21+<+x x ； 43<-z2、解不等式：353435x x -<- 732122x x --+<3、当x 取哪些正整数时，代数式413--x 的值不小于代数式()823+x 的值？五、当堂达标：1、解不等式：3273248x x +-->（拓展）关于x 的方程()()5213=---a x x 的解大于3，求a 的取值范围。

不等式与不等式组

不等式与不等式组在数学中，不等式是描述数之间关系的一种表达方式。

不等式可以用于求解线性方程组、判断函数的增减性以及解决许多实际问题。

本文将介绍不等式及不等式组的概念、性质和解法。

1. 不等式的定义和性质不等式是用符号>、<、≥或≤表示数值之间相对大小关系的数学表达式。

其中，>表示大于，<表示小于，≥表示大于等于，≤表示小于等于。

例如，对于两个实数a和b，若a>b，则称a大于b，记作a>b。

不等式满足如下的性质：（1）传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。

（2）反对称性：如果a>b且b>a，那么a=b。

（3）加法性：如果a>b，那么a+c>b+c，其中c为任意实数。

（4）乘法性：如果a>b且c>0，那么ac>bc。

2. 不等式的解法要求解一个不等式，需要确定不等式的解集。

解集是满足不等式条件的所有的实数集合。

（1）一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程相类似。

例如，对于不等式2x+3<7，我们可以按照如下步骤解题：2x+3<72x<4x<2因此，解集为x<2。

（2）一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程相类似。

例如，对于不等式x^2-5x+6>0，我们可以按照如下步骤解题：(x-2)(x-3)>0根据零点的性质，我们可以得出两个解为x<2或x>3。

（3）不等式组的解法不等式组是由多个不等式组成的方程组。

解不等式组的方法与解方程组类似，需要找到所有满足所有不等式条件的解。

例如，考虑以下不等式组：x+y>32x-y<2我们可以通过图像法或代入法求解不等式组。

最终我们得到解集为x>1，y>2。

3. 不等式的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。

不等式与不等式组

不等式与不等式组引言：不等式是数学中一种重要的表达式，它可以描述数值之间的大小关系。

而不等式组则是多个不等式的集合，通过不等式组可以更准确地描述多个数值之间的关系。

本文将介绍不等式的基本概念、解不等式的方法以及解不等式组的方法，并通过实例进行详细说明。

一、不等式的基本概念1.1 不等式的定义不等式是数学中一种比较两个数值大小关系的表达式。

常见的不等式符号包括大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

1.2 不等式的性质不等式有以下基本性质：（1）任意数与自身的不等关系是等式关系，即a = a；（2）如果a > b，那么b < a；（3）如果a > b，且b > c，则a > c（传递性质）；（4）两个不等式可以通过加法、减法、乘法和除法进行运算，运算的结果仍然是不等式。

二、解不等式的方法解不等式的方法主要有图解法、试值法和换元法。

下面将对这三种方法进行详细介绍。

2.1 图解法图解法是通过将不等式转化为图形进行分析和求解的方法。

以一元不等式为例，画出数轴并标出关键点，再根据不等式的符号来判断解的范围，从而得到不等式的解集。

2.2 试值法试值法是通过选择一些特定的数值，代入不等式进行验证，找出满足不等式的数值范围，进而得到不等式的解集。

2.3 换元法换元法是通过引入新的变量，将原不等式转化为一个更简单的形式进行求解。

常用的换元方法有代换法、平方取非负法等。

三、解不等式组的方法不等式组是由多个不等式组成的集合，解不等式组需要判断每一个不等式的解集并进行求交集的操作。

下面介绍两种解不等式组的方法。

3.1 图解法图解法也适用于解不等式组。

以二元不等式组为例，将每个不等式转化为平面直角坐标系上的图形，并找出所有满足条件的交集区域，便得到了整个不等式组的解集。

3.2 代入法代入法是通过将不等式组的某个解代入原不等式组进行验证，从而找出满足全部不等式的解集。

初一数学不等式与不等式组

初一数学第九讲不等式与不等式组✍知识网络1.不等式、一元一次不等式的概念用“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数。

我们把那些类似于一元一次方程，含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

补充说明：用“≥”和“≤”表示不等关系的式子也是不等式。

2.解一元一次不等式：一元一次不等式的基本形式：ax>b不等式的解：1）当a>0时，不等式的解为:x>ab 2）当a<0时，不等式的解为：x<a b 3）当a=0时，若b ≥0，不等式无解；若b ≤0，不等式的解可取任何实数。

3.不等式的解与解不等式：含有未知数的不等式中，能使不等式成立的值，叫做不等式的解；而这个不等式的所有解的集合组成了它的解集。

求解不等式的解集的过程叫做解不等式．4.解含有绝对值符号的不等式：当a>0时，|x|<a 的解是：-a<x<a ；|x|>a 的解是：x>a 或x<-a5.不等式的性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等式的方向不变；②不等式的两边同时乘以或者除以同一个正数，不等式的方向不变；③不等式的两边同时乘以或者除以同一个负数，不等式的方向改变；✍例题精选例1.不等式4-3x ＞0的解集是（）A ．34->x B ．34>x C ．34-<x D ．34<x 例2.在数轴上表示不等式x ≥－2的解集。

例3.不等式组26053x x -<⎧⎨+>-⎩ 的解集是__________.例4．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧+〈-≥-122b a x b a x 的解集为3≤x ＜5，则a b 的值为（） A ．－2 B ．－ 21 C ．－4 D ．－41例5.若不等式组⎩⎨⎧+>+<236x x m x 的解集是x<2，则m 的取值范围是（） A 、m ≥2 B 、m<2 C 、m=2 D 、m ≤2课堂练习一、选择题1、下列数中是不等式x 32>50的解的有（） 76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60 Ａ、５个Ｂ、６个Ｃ、７个Ｄ、８个2、下列各式中，是一元一次不等式的是（）Ａ、５＋４>８Ｂ、12-x Ｃ、x 2≤５Ｄ、x x31-≥０ 3、若b a ，则下列不等式中正确的是（）Ａ、b a +-+-33 Ｂ、0 b a - Ｃ、b a 3131Ｄ、b a 22-- 4、用不等式表示与的差不大于2-，正确的是（）Ａ、2-- e d Ｂ、2-- e d Ｃ、e d -≥2- Ｄ、e d -≤2-5、不等式组⎩⎨⎧22 x x 的解集为（） A 、x >2- B 、2-<x <2 C 、x <2 D 、空集6、不等式86+x >83+x 的解集为（）A 、x >21B 、x <0C 、x >0D 、x <21 7、不等式2+x <6的正整数解有（） A 、1个 B 、2个 C 、3 个 D 、4个8、下图所表示的不等式组的解集为（） -234210-1A 、x 3B 、32 x -C 、 2- xD 、32 x -二、填空题9、“x 的一半与2的差不大于1-”所对应的不等式是10、不等号填空：若a<b<0 ，则5a - 5b -；a1 b 1； 12-a 12-b11、当a 时，1+a 大于212、直接写出下列不等式（组）的解集①42 -x②105 x -③ ⎩⎨⎧-21 x x 13、不等式03 +-x 的最大整数解是14、某种品牌的八宝粥，外包装标明：净含量为330g ±10g ，表明了这罐八宝粥的净含量x 的范围是三、解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

不等式组和不等式方程组

不等式组和不等式方程组
一、不等式组
1、不等式的定义：用不等号连接表示不等关系的式子，叫做不等式
2、不等号：＞、＜、≥、≤、≠
3、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

4、不等式的解集：一个含的未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

5、解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。

二、不等式组的性质
1、不等式的性质1：不等号两边同时加上或减去同一个数（或同一个式子），不等号的方向不变。

2、不等式的性质2：不等号两边同时乘或除以同一个正数（或同一个大于0的式子），不等号的方向不变。

3、不等式的性质3：不等号两边同时乘或除以同一个负数（或同一个小于0的式子），不等号的方向改变。

三、一元一次不等式：
1、一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的一般形式：
ax+b＞0或ax+b＜0（a、b为常数，且a≠0）
3、一元一次不等式的最简形式：
ax＞b或ax＜b（a、b为常数，且a≠0）
四、一元一次不等式组：
1、一元一次不等式组的定义：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

2、一元一次不等式组的解集：在一个一元一次不等式组中，所有一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、解不等式组：求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、一元一次不等式组的解的情况：。

不等式及不等式组

不等式及不等式组不等式及不等式组知识网络一、不等式与不等式的性质1、不等式：表示不等关系的式子。

（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。

2、不等式的性质：（l）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a＞ b， c为实数 a＋c＞b＋c （2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a＞b， c＞0 ac＞bc。

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a＞b，c＜0 ac＜b二、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（l）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．(2)一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况，如下图所示：(1) 如图中所示：(2) 如图中所示：(3) 如图中所示：(4) 如图中所示：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号( ， )画实心点，无等号(，)画空心圈．(3)解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将项的系数化为1．注意：解不等式时，上面的五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照顺序解，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤．2、一元一次不等式组：（l）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。

注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

不等式组解集的确定方法:若ab,则有:(1) 的解集是xa,即“同小取小”.(2) 的解集是xb,即“同大取大”.(3) 的解集是axb,.(4) 的解集是无解,即“一大一小中间找”。

不等式(组)的概念、性质及解法-教师版

同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法不等式的概念1.不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 252,314,10,10,0,35a x a x a a -<-+>-++≤+>≥≠等都是不等式．2.常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立． 3.不等号“>”和“<”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“>”改变方向后，就变成了“<”。

【例1】用不等式表示数量的不等关系．（1）a 是正数（2）a 是非负数（3）a 的相反数不大于1 （4）x 与y 的差是负数（5）m 的4倍不小于8（6）q 的相反数与q 的一半的差不是正数（7）x 的3倍不大于x 的13（8） a 不比0大【答案】⑴0a >；⑵0a ≥；⑶1a -≤；⑷0x y -<；⑸48m ≥；⑹102q q --≤；⑺133x x ≤；⑻0a ≤．【巩固】用不等式表示：⑴ x 的15与6的差大于2； ⑵ y 的23与4的和小于x ；⑶ a 的3倍与b 的12的差是非负数； ⑷ x 与5的和的30%不大于2-．【答案】⑴ 1625x ->；⑵ 243y x +<；⑶ 1302a b -≥；⑷ 30%(5)2x +≤-．【巩固】用不等式表示：⑴a 是非负数； ⑵y 的3倍小于2； ⑶x 与1的和大于0；⑷x 与4的和大于1不等式（组）的概念、性质及解法知识讲解同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法【解析】注意表示不等关系的关键词语，如“非负数”、“不大于”、“不小于”、“大于或等于”、“小于或等于”【答案】⑴0a ≥；⑵32y <；⑶10x +≤；⑷41x +>不等式基本性质基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果a b >，那么a c b c ±>± 如果a b <，那么32(1)x a x +≥-基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果a b >，并且0c >，那么ac bc >(或a bc c >) 如果a b <，并且0c >，那么ac bc <(或a b c c<) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．【例2】 ⑴ 如果a b >，则2a a b >+，是根据；⑵ 如果a b >，则33a b >，是根据；⑶ 如果a b >，则a b -<-，是根据； ⑷ 如果1a >，则2a a >，是根据； ⑸ 如果1a <-，则2a a >-，是根据．【答案】⑴ 不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变；⑵ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； ⑶ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变； ⑷ 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法⑸ 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．【巩固】利用不等式的基本性质，用“＜”或“＞”号填空．⑴ 若a b <，则2a _______2b ； ⑵ 若a b >，则4a -______4b -； ⑶ 若362x ->，则x ______4-；⑷ 若a b >，0c >，则ac ______bc ；⑸ 若0x <，0y >，0z <，则()x y z -_______0．【答案】⑴ ＜；⑵ ＜；⑶ ＜；⑷ ＞；⑸ ＞．【巩固】若a b <，用“>”或“<”填空⑴2_____2a b ++； ⑵2_____2a b -- ⑶11______33a b ； ⑷____a b -- 【答案】⑴“<”、⑵“<”、⑶“<”、⑷“>”【巩固】若a b <，则下列各式中不正确的是（）A.88a b -<+B.1188a b < C. 1212a b -<- D.22a b -<-【答案】C【例3】已知a b >，要使bm am -<-成立，则m 必须满足( )A ．0m >B ．0m =C ．0m <D ．m 为任意数【解析】0m -<，0m >．选择A ．【答案】A【巩固】如果关于x 的不等式(1)1a x a +>+的解集为1x <，那么a 的取值范围是（）A.0a >B.0a <C.1a >-D.1a <-【答案】D【巩固】若0a b <<，则下列不等成立的是( )A ．11a b< B ． 2ab b < C ． 2a ab > D ． ||||a b < 【答案】C【巩固】如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立( )A ． a b ->-B ．11a b< C ． 2a b b +> D ． 2a ab > 【答案】C【巩固】如果2x >，那么下列四个式子中：①22x x > ②2xy y > ③2x x > ④112x <正确的式子的个数共有 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】①、③、④正确，所以选择B 【答案】B【巩固】根据a b >，则下面哪个不等式不一定成立( )A ． 22a c b c +>+B ． 22a c b c ->-C ． 22ac bc >D ．2211a bc c >++ 【解析】选择C ，正确应为22ac bc ≥．【答案】C不等式的解集1.不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．2.不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：不等式的解集在数轴上表示的示意图不等式的解集在数轴上表示的示意图【例4】下列说法中错误的是（）A.不等式28x -<的解集是4x >-；B.40-是不等式28x <-的一个解C.不等式6x <的正整数解有无数多个D.不等式6x <正整数解有无限个【答案】C【例5】在数轴上表示下列不等式的解集：⑴1x <； ⑵2x ≥-； ⑶2x <-或1x ≥； ⑷21x -≤<【答案】如图【巩固】在12-、1-、2-、0、3-、12、32-中，能使不等式32x +<成立的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【巩固】下列不等式：①76->-；②a a >-；③1a a +>；④0a >；⑤210a +>，其中一定成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】③、⑤ 【答案】B一元一次不等式的解法1.一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b <或ax b >的形式，其中x 是未知数，,a b 是已知数，并且0a ≠，这样的不等式叫一元一次不等式．④③②①0123123012312301231233213210x a >x a ≥x a <x a ≤xa xa xa a x同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法ax b <或ax b >(0a ≠)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b <或ax b >形式)→系数化一(化成b x a >或bx a<的形式)【例6】求不等式3(1)5182x x x +-+>-的解集．【解析】对本例，首先应去分母，化成标准形式求解．去分母，得()()831845x x x ++>-- 去括号，得8338420x x x ++>-+ 移项，得8348203x x x ++>+-合并同类项，得1525x > 系数化为1，得53x >【答案】53x >【巩固】解不等式：5192311236x x x +--+≤【答案】9837x ≥【巩固】解不等式2110155364x x x ++--≥，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】2x ≤．在数轴上表示解集如图所示．【巩固】解不等式2(1)34(1)5x x x +->++【解析】采用整体思想，2(1)3(1)24(1)x x x +-+->+，易得75x <-．【答案】75x <-2o同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法【巩固】当x 为何值时，代数式2113x +-的值不小于354x+的值？【解析】解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解．依题意，得2135134x x++-≥∴()()42112335x x +-+≥ 8159124x x -+-≥ 717x -≥∴177x -≤ 所以，当177x -≤时，代数式2113x +-的值不小于354x+的值．【答案】177x -≤【例7】求不等式4512x -＜1的正整数解．【解析】对于求不等式的正整数解，应先不考虑这一限制条件，按解一元一次不等式的方法求解后，再研究限制条件，便可达到目的．去分母，得4512x -< 移项，合并，得417x < 系数化为1，得174x <∵求原不等式正整数解．∴1234x =，，，为原不等式正整解．【答案】1234x =，，，【巩固】不等式132x x +>的负整数解是_______．【答案】5-，4-，3-，2-，1-【巩固】不等式111326y y y +---≥的正整数解为__________．【解析】解得3y ≤，故正整数解为1，2，3．【答案】1，2，3．同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法【巩固】求不等式12123x x +-≥的非负整数解．【解析】首先解这个不等式，然后在不等式的解集中找出符合题意的解．12123x x +-≥，()()31221x x +-≥，33x x +≥4-2，5x --≥，5x ≤．所以满足这个不等式的非负整数解为x =0，1，2，3，4，5．【答案】x =0，1，2，3，4，5．一元一次不等式组的解法1.一元一次不等式组和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集 2.解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点； ②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解 3.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：不等式组（a b <）图示解集口诀x a x b ≥⎧⎨≥⎩x b ≥ 同大取大x ax b ≤⎧⎨≤⎩x a ≤同小取小x ab b ≥⎧⎨≤⎩a xb ≤≤ 大小，小大中间找x ax b ≤⎧⎨≥⎩空集小小，大大找不到ba a ba ba b同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法【例8】解不等式组31422x x x ->-⎧⎨<+⎩，并把它的解集表示在数轴上．【解析】31422x x x ->-⎧⎨<+⎩12x x >-⎧⇒⎨<⎩12x ⇒-<<.∴原不等式组的解集是12x -<<. 在数轴上表示为：【答案】12x -<<【巩固】求不等式组2(2)43251x x x x -≤-⎧⎨--⎩＜ ①②的整数解．【解析】由①得 12x ≥-；由②得 2x <．∴ 此不等式组的解集为122x -≤<．∴ 此不等式组的整数解为0，1．【答案】0，1【例9】解不等式：32122x--<≤；【答案】解，由题意得，32123222x x -⎧-<⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得5212x x ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，∴1522x -≤<【巩固】解不等式：2312142x x -≤≤+ 【解析】原不等式相当于：23241212x x -⎧≤⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得1122x ≤≤．【答案】1122x ≤≤【例10】解不等式组：11141010372x x x x x ⎧-+>+⎪⎪--⎨⎪+>+⎪⎩；0123123同步课程˙不等式（组）的概念、性质及解法【解析】原方程组的解为5108x x x >=⎧/⎨>⎩且，综合得8x >且10x =/；【答案】8x >且10x =/【巩固】解不等式组：323(1)12123x x x x x +≥--⎧⎪-+⎨->-⎪⎩【答案】0x ≥【例11】解不等式组：2(20)203(34)2521623x x x x x -+≥-+⎧⎪-+⎨<⎪⎩【答案】2x ≤【巩固】解不等式组：734342555(4)2(4)3x x x x x -+⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+-≤-⎪⎩【答案】无解.【例12】解不等式组()121123621[41]43x x x x x x x --+⎧->-⎪⎪⎨⎪---⎪⎩①≥②。

认识简单的不等式与不等式组

认识简单的不等式与不等式组一、不等式的定义与性质1.1 不等式的定义不等式是比较两个数或者表达式大小关系的数学陈述。

通常以符号“>”、“<”、“≥”、“≤”表示。

不等式中的未知数称为变量，而不等式本身会根据变量的取值范围来判断真假。

1.2 不等式的性质不等式具有如下性质：（1）若两个数相等，则它们之间没有大小关系；（2）若a>b，则b<a；（3）若a>b而b>c，则a>c；（4）若a>b，则a+c>b+c（其中c为任意数）；（5）若a>b而b>0，则ab>0；（6）若a>b而c<0，则ac<bc。

二、一元一次不等式2.1 不等式的解集表示一元一次不等式通常以形如ax+b>c或ax+b≥c的形式呈现。

解集是满足该不等式的一切实数的集合。

解集的表示方法有以下几种：（1）解集用区间表示。

例如，不等式2x+1>7的解集为x>3，可以表示为解集是区间(3, +∞)。

（2）解集用不等式表示。

例如，不等式3x-5≥4的解集为x≥3/3，可以表示为x≥1。

（3）解集用图像表示。

例如，不等式4x-1≤3的解集为x≤1，可以表示为解集是数轴上小于等于1的所有点。

2.2 不等式的求解方法一元一次不等式的求解方法与方程类似，根据不等式的性质进行推导和变形，最终得到解集。

以下是一些常用的求解方法：（1）加减法法则。

对不等式两边同时加减一个相同的值，不等号的方向保持不变。

（2）乘除法法则。

对不等式两边同时乘除一个相同的正数，不等号的方向保持不变；若两边乘除一个负数，不等号的方向需要交换。

（3）绝对值法则。

对包含绝对值的不等式，分别考虑取正数和负数来消除绝对值，并根据不等式性质合并解集。

三、一元一次不等式组3.1 不等式组的定义不等式组是由多个不等式组成的集合，其中的每个不等式可以是不等于号、“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号。