连续小波变换CWT以及MA LB例程

2.尺度与频率之间的关系
设a为尺度，fs为采样频率，Fc为小波中心频率，则a对应的实际频率 Fa为
Fa＝Fc×fs/a
(1)
显然，根据采样定理，为使小波尺度图的频率范围为(0,fs/2)，尺度范 围应为(2*Fc,inf),其中inf表示为无穷大。在实际应用中，只需取尺度足够 大即可。
3.尺度序列的确定
a,
(t)
|
a

|
1 2

(
t

a
), b

R,
a

R

{0}
从定义可以看出：小波变换和傅立叶变换 一样，也是一种变换，WTf (a, ) 为小波变换 系数。
也可见其与傅立叶变换的区别。
逆变换
若小波满足容许条件，则连续小波变换存
在着逆变换。
容许条件：
C
| () |2 d
R ||
逆变换公式：f (t) 1
C
da 0 a2

WTf (a, ) a, (t)d
1
C
da 0 a2

WTf (a, )
1 (t )d
aa
说明：
（1）必须满足“容许条件”，反变换才存 在。
（2）在实际应用中，对基本小 (波t) 的要求往 往不局限于满足容许条件()，对 还要施加 所谓“正则性条件”，使 在频域上表现 出较好的局域性|W能Tf (。a,为) | 了在频域上有较好 的局域性，要求 (t) 随a的减小而迅速 减小，所以这就要求 的前n阶原点距为0，
2.2 几种常用的小波
小波分类的标准 （1） (t)、 ()、(t)、() 的支撑长度，
即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一 个有限值收敛到0。 （2）对称性。它在图像处理中可以有效的 避免移相。
（3） (t)和(t) 的消失矩阵数。这对于压缩 非常有用。
（4）正则性。它在对信号或图像的重构获 得较好的平滑效果作用上是非常有用的。
2.1.2 连续小波变换的定义和性质
1.连续小波变换的定义
将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下 展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变 换（CWT）。其表达式为：
WTf (a, ) f (t), a, (t)
1 f (t) (t )dt
aR
a

其中：
clc;
fs=1024;
%采样频率
f1=100;
f2=200;
t=0:1/fs:1;
s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %两个不同频率正弦信号合成的仿真信号
由式(1)可以看出，为使转换后的频率序列是一等差序列， 尺度序列必须取为以下形式：
c/totalscal,...,c/(totalscal-1), c (2)
其中，totalscal是对信号进行小波变换时所用尺度序列的长 度(通常需要预先设定好)，c为一常数。
下面讲讲c的求法。
根据式(1)容易看出，尺度c/totalscal所对应的实际频率应 为fs/2，于是可得
具有对称性的小波不易产生相位畸变；具 有好的正则性的小波，易于获得光滑的重 构曲线和图像，从而减小误差。
常用的小波
1.Haar小波。

(t)

1,0 t 0,1其, 12他 t
1 2
1

2.Daubechies（dbN）小波
N 1
令P( y) C N 1k yk，其中，C N 1k为二项式的系数，
2.4 尺度和频率之间的关系
Fa

Fc a
a为尺度；△为采样间隔；Fc为小波的中心 频率； Fa为伪频率。
2.5 应用实例
例已知一信号f(t)＝3sin(100t)＋2sin(68t)＋5cos(72t)，且该信号 混有白噪声，对该信号进行连续小波变换。小波函数取db3，尺度为1、 1.2、1.4、1.6、…、3。其MATLAB程序如下：
c=2×Fc×totalscal
(3)
将式(3)代入式(2)便得到了所需的尺度序列。
4.时频图的绘制
确定了小波基和尺度后，就可以用cwt求小波系数coefs（系数是复数 时要取模），然后用scal2frq将尺度序列转换为实际频率序列f，最后结 合时间序列t，用imagesc(t,f,abs(coefs))便能画出小波时频图。
图1.11
小波变换的系数用图所示的 灰度值图表征，横坐标表示变换 系数的系号，纵坐标表示尺度， 灰度颜色越深，表示系数的值越 大。
绘图原理 1.需要用到的小波工具箱中的三个函数 cwt（），centfrq（），
scal2frq（）
COEFS = cwt(S,SCALES,‘wname’) 说明：该函数能实现连续小波变换，其中S为输入信号，SCALES为 尺度，wname为小波名称。
且n值越 t p高 (越t)d好t 。0, p 1 ~ n,且n值越大越好。
即：
3. 连续小波变换的再生核
尺度和位移的连续变化的连续小波基函数构成了一组非正
交的过渡完全基，小波展开系数之间有相关关系，采用如
下描述
K (a, ; a, )
1 C
a, (t)a, (t)dt
注意：直接将尺度序列取为等差序列，例如1:1:64，将只能得到正确 的尺度－时间－小波系数图，而无法将其转换为频率－时间－小波系数 图。这是因为此时的频率间隔不为常数。 。
下面给出一实际例子来说明小波时频图的绘制。所取仿真信号是由频率分别为100Hz和
200Hz的两个正弦分量所合成的信号。
clear;
连续小波变换（CWT）
以及MATALB例程
2.1连续小波变换及其性质
2.1.1 连续小波基函数
小波，即小区域的波，是一种特殊的长度 有限、平均值为零的波形。
小波的可容许条件：
^
C

| () |2 R ||

小波特点：
（一）“小”。即在时域都具有紧 支集或近似紧支集。
（二）正负交替的“波动性”。即 直流分量为零。
（3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积
保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是
相互制约的，不可能同时得到提高。

（4）品质因素
Q

0
不随尺度变化而变化。
“恒Q性质”：
假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中 心为0，有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在 窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应 地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/aD/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于小波 来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD。
aa
的窗口中心为at0+τ，窗
口宽度为a·△t。
即信号限制在时间窗内：[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
定量分析-频域
同样，对于小波母函数的频域变换，其频域 窗口中心为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的 连续小波的傅立叶变换为：

a,
(
)

a
1 2
e

j
(a)

其频域窗口中心为： a, 窗口宽度为： 1

1 a
0
a

信号在频域窗内：[
1 a
0

1 2a

,
1 a
0

1 2a

]
从上面的时频域的讨论可见，连续小波的 时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸 缩 面，积如，果则我：们称△ta,t· △aω, 为a窗 口t 1a函 数 的窗口
它是高斯包络下的单频率复正弦函数
t2
(t) Ce 2 cos(5x)
C是重构时的归一化常数。
2.3 连续小波变换的步骤
（1）选择小波函数及其尺度a值。 （2）从信号的起始位置开始，将小波函数和
信号进行比较，即计算小波系数。 （3）沿时间轴移动小波函数，即改变参数b，
在新的位置计算小波系数，直至信号的终点。 （4）改变尺度a值，重复（2）、（3）步。
FREQ = centfrq(‘wname’) 说明：该函数能求出以wname命名的母小波的中心频率。
F = scal2frq(A,‘wname’,DELTA) 说明：该函数能将尺度转换为实际频率，其中A为尺度，wname为小 波名称，DELTA为采样周期。 注：这三个函数还有其它格式，具体可参阅matlab的帮助文档。
k
k
k 0
则有：
|
m0
()
|2

(cos2

2
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
P(sin
2

2
)
式中，m0 ()
1 2
2 N 1
hk e jk
k 0
3.Mexican Hat(mexh)小波
其函数为Gauss函数的二阶导数：

(t
)

(1

t
2
)e

t2 2
()
2

2e

2
2
4.Morlet小波
可见：连续小波基函数的窗口面积不随参 数的变化而变化。
几点结论：
（1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。
（2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 与短时傅立叶变换中的基 g, (t) g(t )e jt 不同。
伸缩和平移的含义
1.尺度伸缩 2. 时间平移
由于小波基函数在时间、频率域都具有有 限或近似有限的定义域，显然，经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性的。
小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸 缩，当a逐渐增大时，基函数的时间窗口也 逐渐增大，而其对应的频域窗口逐渐减小； 反之亦然。
Haar小波
R
1.CWT系数具有很大的冗余，计算量比较大 2.利用冗余性可以实现去噪和数据恢复的目的。
重建核方程
Wf (a0,0 )
da 0 a2

W

f
(a,
)K
(a0
,
0
;
a,
)d
4. 连续小波变换具有以下重要性质： (1)线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的 小波变换之和。
②小波变换的核函数即小波函数a，b(t)存在许多可能的选择(例如，
它们可以是非正交小波、正交小波、双正交小波，甚至允许是彼此线性 相关的)。
小波变换在不同的(a，b)之间的相关性增加了分析和解释小波变换 结果的困难，因此，小波变换的冗余度应尽可能减小，它是小波分析中 的主要问题之一。在MATLAB中，可以用cwt函数实现对信号的连续小波 变换。
1
(t)


1
0
0 t 1/2 1/2 t 1
其它
1 (t)
01
1
2
1
ˆ () i 4 ei /2 sin2 / 4

定量分析-时域
假定小波母函数窗口宽度为△t，窗
口中心为t0，则相应可求出连续小波
a, (t)
1 (t )
(5)冗余性：连续小波变换把 一维信号变换到二维空间，因此 在连续小波变换中存在信息表述 的冗余度(redundancy)。小波变 换的逆变换公式不是唯一的。
小波变换的冗余性事实上也是自相似性的直接反映，它主要表现在 以下两个面：
①由连续小波变换恢复原信号的重构分式不是唯一的。也就是说， 信号f(t)的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而傅里叶变换与傅 里叶反变换是一一对应的。
(2)平移不变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)，则f(t－)
的小波变换为
Wf (a，b－)
(3)伸缩共变性：若f(t)的小波变换为Wf (a，b)，则f(ct)的 小波变换为
1 c
W
f
(ca, cb)
c0
(4)自相似性：对应不同尺度 参数a和不同平移参数b的连续小 波变换之间是自相似的。
信号可分解为一系列由同一个母小 波函数经平移与尺度伸缩得到的小 波函数的叠加。
将小波母函数 (t) 进行伸缩和平移，就可 以得到函数：
a, (t)
1 (t ), a, R; a 0
aa
小波函数基，它们是由同一母函数 (t) 经伸
缩和平移后得到的一组函数序列。
t＝0：0.01：1； f＝3*sin(100*pi*t)＋2*sin(68*pi*t)＋5*cos(72*pi*t)＋randn(1， length(t))； coefs＝cwt(f，［1：0.2：3］，db3，plot)； title(对不同的尺度小波变换系数值)； Ylabel(尺度)； Xlabel(时间)； 程序输出结果如图所示。