信号与系统7第七章
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信号与系统第七章 系统函数
=
K
N1N 2 " N m e j(ψ1+ψ2 +"ψm ) M1 M2 " Mn ej(θ1+θ2 +"θn )
H (jω)
=
K
N1N2 " Nm M1M2 "Mn
ϕ (ω) = (ψ1 +ψ2 + "ψm ) − (θ1 +θ 2 + "θ n )
当ω 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都
①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。
③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应 均趋于∞。
第 19 页
三、由系统函数零、极点分布 决定频响特性
v1(t ) −
R
+
C v2(t )
−
写出网络转移函数表达式
H (s)
=
V2 (s) V1 (s )
=
1 RC
⎜⎛ ⋅⎜ ⎜⎜⎝
s
1 +1
RC
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
1 RC
1 M1 ejθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
M1
θ1
−1 RC
jω
O
σ
第 28 页
频响特性
jω
M1
V2 1 V1 1
2 θ1
−1 RC
O
σ
O1 RC
( ) H
jω
=
1 RC
1 M1 e jθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
信号与系统7-1连续信号的傅里叶变换分析课件
程序
t=linspace(-2,4,400); w=linspace(-15,15,400); f=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)') F=fourier(f); F=simple(F) f1=subs(f); Fv=subs(F); F1=abs(Fv); P1=angle(Fv)*180/pi; subplot(3,1,1),plot(t,f1,'linewidth',2); grid;ylabel('f(t)'); subplot(3,1,2),plot(w,F1,'linewidth',2); grid;ylabel('|F(j\omega)|'); subplot(3,1,3),plot(w,P1,'linewidth',2); grid;ylabel('\angleF(j\omega)(度)');xlabel('\omega (rad/sec)')
Fn
1 T0
T0
2 f (t) e jn0t dt
T0 2
F (
j)
lim
T0
FnT0
f (t) e jt dt
傅里叶变换
f (t) 1 F ( j)e jt d
2
傅里叶反变换
简记：F(j) =F [ f (t)] 称频谱函数；
f (t) = F -1[F(j)] 称为原函数。
或记为： f (t) F( j)
周期信号非周期信号 功率信号能量信号
傅里叶级数傅里叶变换 傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例， 而傅里叶变换是傅里叶级数的推广。
2
拉普拉斯变换与傅里叶变换
t=linspace(-2,4,400); w=linspace(-15,15,400); f=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)') F=fourier(f); F=simple(F) f1=subs(f); Fv=subs(F); F1=abs(Fv); P1=angle(Fv)*180/pi; subplot(3,1,1),plot(t,f1,'linewidth',2); grid;ylabel('f(t)'); subplot(3,1,2),plot(w,F1,'linewidth',2); grid;ylabel('|F(j\omega)|'); subplot(3,1,3),plot(w,P1,'linewidth',2); grid;ylabel('\angleF(j\omega)(度)');xlabel('\omega (rad/sec)')
Fn
1 T0
T0
2 f (t) e jn0t dt
T0 2
F (
j)
lim
T0
FnT0
f (t) e jt dt
傅里叶变换
f (t) 1 F ( j)e jt d
2
傅里叶反变换
简记：F(j) =F [ f (t)] 称频谱函数；
f (t) = F -1[F(j)] 称为原函数。
或记为： f (t) F( j)
周期信号非周期信号 功率信号能量信号
傅里叶级数傅里叶变换 傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例， 而傅里叶变换是傅里叶级数的推广。
2
拉普拉斯变换与傅里叶变换
信号与系统课件第七章离散时间系统
两序列的样值 ======= 新序列
2）相乘：z(n) x(n) y(n)
逐项对应相加
两序列的样值 ======= 新序列
3）延时：z(n) x(n m)
逐项对应相乘
原序列 ============ 新序列
2016/1/21 信号与系统 11
逐项依次左移或右移m位
离散信号的运算
4）反褶：z(n) x(n)
1 n 0 u ( n) 0 n 0
n=0,其 值=1
u (n i )
n
1 n i u (n i ) 0 n i
n
3 2 1 0
1
i
u ( n) ( n k ) k 0 (n) u (n) u (n 1)
序列：信号的时间函数只在某些离散瞬时nT 有定义值,即x(nT )
其中T为均匀的离散时刻之间隔隔; nT 称函数的宗量, n 0, 1, 2,
样值：离散信号处理的非实时性 x(n)表示序列
其中n表示各函数值在序列中出现的序号
某序列n的函值x(n)=== 在第n个样值的“样值”
2016/1/21 信号与系统 9
2016/1/21 信号与系统 30
五、离散、时间系统的数学模型联系
离散、连续模型之间联系 差分方程与 微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
2016/1/21
x ( n)
6
3
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
n
x(2n)
6 4 2
信号与系统奥本海姆课件第7章
如果采样时，不满足采样定理的要求，就一定
会在 xp (t)的频谱周期延拓时出现频谱混（Aliasing）
的现象。 此时，即使通过理想内插也得不到原信号。但
是无论怎样，恢复所得的信号 xr (t)与原信号 x(t)在
采样点上将具有相同的值。
xr (nT ) x(nT )
24
7.3 The Effect of Under-Sampling :Aliasing (混叠)
t
2T T 0 T 2T
11
在频域由于 p(t) P( j) 2 ( 2 k)
T n
T
所以
X p(
j)
1
2
X(
j) P( j)
1
2
X ( j) 2
T
( ks )
k
1 T
k
X
(
j(
ks ))
s
2
T
（Sampling Frequency）
可见，在时域对连续时间信号进行冲激串采
xr t xt cos0t
28
Chapter 7
Sampling
a s 60
29
Chapter 7
b
0
s
3
s
30
xr t xt cos0t
H j
Sampling
s
s
0
0
0 s
s
2
2
Figure (b)
30
Chapter 7
c
0
2s
3
s
3 2
0
xr t coss 0 t x t
X r ( j) X ( j)
t F
信号与系统：第七章 离散信号与系统时域分析
k 0 k 0
推广： 1)
U (k
j)
0, k 1, k
j j
2) AU (k), AU (k j)
性质：
f
(k)U
(k)
f
(k) 0
k 0 k 0
可见，U(k)作用类似于U(t)，
但二者有较大差别：
U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； U(k)：非奇异信号，可实现信号。
(k)与U(k)关系： (k) U(k) U(k 1)
y(k+1)Ey(k)
y(k-N)E-N y(k) y(k+N)EN y(k)
E-1 : 单位延迟算子
17
（2）算子形式的差分方程
1) uk 2 2a 1uk 1 u(k) 0 (E2 2a 1 E 1)u(k) 0
a
a
2） y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k)
[1-(1+a)E-1 ]y(k)=f(k)
周期：N 20 无周期
13
7-2 离散时间系统基本概念
一、定义： 二、分类：
激励、响应均为离散时间信号的系统。
线性系统 非线性系统
时不变系统 时变系统
因果系统 非因果系统
线性系统： f1(k) y1(k) f2 (k) y2 (k) af1(k) bf2(k) ay1(k) by2(k)
k
y(k) f (i) i
y(k)
k
f1(i)
i
0 k 0
1.5 2.5
k 0 k 1
2 k 2
5
5.差分: 序列与其移序序列的差而得到一个新序列。
y(k)=f(k)-f(k-1)
（后向差分）
信号与系统chapter 7离散时间信号与系统的Z域分析
由此可见，位移特性Z域表达式中包含了系统的起始条 件，把时域差分方程转换为Z域代数方程，因此，可以方便 求出Z域的零输入响应和两状态响应。
式（7.3）又称为左移序性质，与拉普拉斯变换的时域 微分特性相当。式（7.4）又称右移序性质，与拉普拉斯变 换的时域积分特性相当。
进一步，对于因果序列 x ( n ) , x ( 1 ) 0 ,x ( 2 ) 0 , ,则
Z [nx(n)u(n)]zdd zn∞ 0znx(n)zdd zX(z)
求下列序列的Z变换。
(1) n 2 u ( n )
n(n 1)
(2)
u(n)
解：(1 )Z[n2 u(n)] zd d z 2zz 1 zd d z2 zd d z zz 1
dz
z2 z
z [
]
, z 1
zlnz1 1ln1 zzlnzz1,z1
（2）因为
Z1
u(n 1) , z 1 z 1
根据Z域积分特性，可得
∞1
X(z)
x 1dx∞
1
z dxln ,z1
2
z x1
z x(x1 )
z1
§ 6. 卷积和定理
若 x1(n)u(n) ZX 1(z),z Rx;x2(n)u(n) ZX2(z),z Rx，则 ：
第七章 离散时间信号与系统的Z域分析
7.1引言 7.2 Z 变换 7.3 Z 变换的性质 7.4 反变换 7.5离散时间系统的 Z 域分析 7.6离散时间系统的系统函数与系统特性 7.7离散时间系统的模拟
7.1 引 言
按照与连续时间信号与系统相同的分析方法，本章将
讨论离散时间信号与系统的 z 域分析。
§ 4. Z域微分特性
信号与系统分析——宗伟 7
4．离散时间与离散频率的傅里叶变换(DFS) 离散时间与离散频率的傅里叶变换(DFS)
离散周期时间信号 x ( k ) 的傅里叶变换 X ( n ) 也是离 散周期, 与 构成一对傅里叶变换对, 散周期, x ( k ) X ( n )构成一对傅里叶变换对,又称 为离散傅里叶级数. 为离散傅里叶级数. 傅里叶级数对为
D F T [ x1 ( k )] = X 1 ( n ), D F T [ x 2 ( k )] = X 2 ( n ),
则
D F T [ x1 ( k ) ⊗ x 2 ( k )] = X 1 ( n ) X 2 ( n )
证明: 证明
D F T [ x1 ( k ) ⊗ x 2 ( k )] = D F T [ ∑ x1 ( i ) x 2 (( k − i )) N G N ( i )]
N
)k
的离散傅里叶变换
W 40 W 40 W 40 x (0) 1 1 1 1 0 0 W 41 W 42 W 43 x (1) 1 − j − 1 j 1 − 2 j = = 2 4 6 W 4 W 4 W 4 x (2) 1 − 1 1 − 1 0 0 3 6 9 x (3) 1 j − 1 − j − 1 2 j W4 W4 W4
频域:周期 连续 频域 周期,连续 周期
综合以上三对傅里叶变换的规律可以得出: 综合以上三对傅里叶变换的规律可以得出 一个域中的连续性对应于另一个域中的非周期 性;一个域中的周期性对应于另一个域中的离散 一个域中的周期性对应于另一个域中的离散 性. 除了以上三种变换外,还有第四种变换存在,时 除了以上三种变换外,还有第四种变换存在, 域中周期离散函数对应于频域中离散周期函数, 域中周期离散函数对应于频域中离散周期函数, 即时域频域之间的傅里叶变换规律4: 即时域频域之间的傅里叶变换规律4: 时域:离散, 时域:离散,周期 DFS 频域:周期, 频域:周期,离散
chapter 7信号与系统 奥本海默 华科 电信系 英文 课件
1/3 1/2
1 3/2
Re
z
1 2
Example 7.4 n 1 Consider the signal x[n] 3 sin 4 n u[n].
x[n]
The z-transform of this signal is n n 1 1 1 j / 4 1 1 j / 4 1 X ( z) 3 e z 2 j 3 e z 2 j n 0 n 0
7.1 THE Z-TRANSFORM
The z-transform of a general discrete-time signal x[n] is defined as
X ( z)
n
x[n]z n
where z is a complex variable.
z re j , Expressing the complex variable z in polar form as
Example 7.2 Determine the z-transform of
X ( z ) a nu[n 1]z n
n
x[n] a nu[n 1].
a z
n
1
n n
a z
n n 1
n
1 (a z )
1 1 j / 4 1 1 e u[n] e j / 4 u[n] 2j3 2j3
n
n
1 1 1 1 Im j / 4 1 2 j 1 1 e z 2 j 1 1 e j / 4 z 1 3 3
信号与系统分析图文 (7)
第7章 系统的信号流图及模拟
开通路： 前向通路： 环路： 通路的终点就是起点，并且与任何其他节点相
不接触环路： 前向通路增益： 在前向通路中，各支路增益的乘积。 环路增益： 由图7-3可以总结几点信号流图的特性：
第7章 系统的信号流图及模拟
(1) 节点有加法器功能，并把和信号传送到所有输出支 路。
第7章 系统的信号流图及模拟
系统的信号流图实际上是对s域或z域模拟框图的简化， 用有方向的线段表示信号的传输路径，有向线段的起始点 表示系统中变量或信号，将起点信号与终点信号之间的转 移关系标注在有向线段箭头的上方。将加法器省略掉并用 一个节点表示。我们将图7-2所示的连续系统和离散系统的 模拟框图转化为对应的信号流图，如图7-3所示。
第7章 系统的信号流图及模拟
第7章 系统的信号流图及模拟
7.1 系统的信号流图 7.2 系统的信号流图模拟
第7章 系统的信号流图及模拟
7.1 系统的信号流图
对于系统的描述方法，在前面章节中已经讨论过了。 连续系统和离散系统都可以用模拟框图来描述，即由一 些模拟器件组成，如加法器、乘法器、积分器、延迟单 元等。在研究了系统的复频域和z域分析之后，系统的模 拟框图除了时域形式之外，还有复频域的框图(连续系统) 和z域框图(离散系统)。图7-1所示为s域和z域中的模拟器 件模型，图7-2是s域和z域的系统模拟框图的例子。由模 拟框图可以写出这两个系统的系统函数来。
其中L1
第7章 系统的信号流图及模拟
(2) 前向通路只有一条，其增益为g1=H1H2H3H4, 相应的余子式为Δ1=1 (3) 按梅森公式即得系统函数
第7章 系统的信号流图及模拟 【例7-2】求图7-5信号流图的系统函数。
图 7-5 【例7-2】的信号流图
信号与系统课后习题答案第7章
143
第7章 离散信号与系统的Z域分析 144
第7章 离散信号与系统的Z域分析
题图 7.7
145
第7章 离散信号与系统的Z域分析 146
第7章 离散信号与系统的Z域分析
题解图 7.31
147
第7章 离散信号与系统的Z域分析
(2) 由H(z)写出系统传输算子: 对应算子方程和差分方程为
148
7.25 已知一阶、二阶因果离散系统的系统函数分别如下， 求离散系统的差分方程。
111
第7章 离散信号与系统的Z域分析 112
第7章 离散信号与系统的Z域分析 113
第7章 离散信号与系统的Z域分析 114
第7章 离散信号与系统的Z域分析
7.26 已知离散系统如题图7.5所示。 (1) 画出系统的信号流图； (2) 用梅森公式求系统函数H(z)； (3) 写出系统的差分方程。
① 或者
② 容易验证式①、②表示同一序列。
57
第7章 离散信号与系统的Z域分析 58
第7章 离散信号与系统的Z域分析 59
第7章 离散信号与系统的Z域分析 60
第7章 离散信号与系统的Z域分析 61
第7章 离散信号与系统的Z域分析
也可以将Yzs(z)表示为
再取Z逆变换，得 ②
自然，式①、②为同一序列。
44
第7章 离散信号与系统的Z域分析 45
第7章 离散信号与系统的Z域分析 46
第7章 离散信号与系统的Z域分析
7.10 已知因果序列f(k)满足的方程如下，求f(k)。
47
第7章 离散信号与系统的Z域分析 48
第7章 离散信号与系统的Z域分析
(2) 已知K域方程为
49
信号与系统课后答案郑君里第7章
信号与系统课后答案：郑君里第7章简介本文是《信号与系统》课程的第7章课后答案，该章节由著名作者郑君里所撰写。
本章主要介绍了信号与系统的离散傅里叶变换（DFT）和离散时间傅里叶变换（DTFT）。
信号处理是一门研究如何用数学方法描述和处理各种信号的科学。
信号是信息的载体，而系统是对信号进行处理的载体。
离散傅里叶变换和离散时间傅里叶变换是信号与系统理论中最基本的工具之一，它们具有广泛的应用。
理解离散傅里叶变换和离散时间傅里叶变换的原理和性质对于理解信号与系统的基本原理和实际应用非常重要。
第7章课后题答案第1题根据定义，离散傅里叶变换（DFT）的计算公式如下：$$ X(k) = \\sum_{n=0}^{N-1} x(n) \\cdot e^{-j\\frac{2\\pi}{N} nk} $$其中，N表示信号的长度，N(N)表示输入信号的离散采样值，N(N)表示变换结果中的频谱系数。
根据公式，我们可以计算出给定信号的DFT变换。
第2题离散傅里叶变换的逆变换公式如下：$$ x(n) = \\frac{1}{N}\\sum_{k=0}^{N-1} X(k) \\cdot e^{j \\frac{2\\pi}{N} nk} $$逆变换可以将频域表示的信号转换回时域表示。
第3题离散时间傅里叶变换（DTFT）的计算公式如下：$$ X(e^{j\\omega}) = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} x(n)\\cdot e^{-j\\omega n} $$DTFT是连续的频域表示，它不仅适用于周期信号，也适用于非周期信号。
第4题DTFT的逆变换公式如下：$$ x(n) = \\frac{1}{2\\pi} \\int_{-\\pi}^{\\pi}X(e^{j\\omega}) \\cdot e^{j\\omega n} d\\omega $$逆变换可以将频域表示的信号转换回时域表示。
第5题离散时间傅里叶变换的频谱无法在计算机中实现，因为DTFT变换结果是连续的函数。
《信号与系统》第二版第七章：离散信号、离散系统
《信号与系统》
第七章：离散信号、离散系统
第七章：离散信号、离散系统
§7.1 基本概念（《信号与系统》第二版（郑君里）7.1，7.2，7.3，7.5）
离散时间信号——序列：
9 定义：自变量（宗量）为离散点的信号（函数），记为 f (n), n ∈ Z 。
f
(i)
⎧⎪(离散)
⎨ ⎪⎩
信号或采样或采后信号（取值无限精确）
图 7-5
2
《信号与系统》
9 求和：
第七章：离散信号、离散系统
9 相乘： 9 分支：
图 7-6 图 7-7
图 7-8 9 一步延迟（一步右移）算子： z−1
图 7-9
z−1x (n) = x (n −1)
图 7-10
3
（7-9）
《信号与系统》
第七章：离散信号、离散系统
z−mx(n) = x(n − m)
pN
(n)
=
⎧⎪1 , ⎨⎪⎩0 ,
n n
≤ >
N N
（7-2） （7-3）
图 7-4
pN (n) = u (n + N ) − u ⎡⎣n − ( N +1)⎤⎦
9 正弦序列：
x(n)
=
sin
nω0
=
sin
nT
2π T0
9 复指数序列：
( ) ( ) x n = e jnω0 = x n ejarg⎡⎣x(n)⎤⎦
h(n) = h(n)u(n)
因果信号：
f (n) = f (n)u(n)
BIBO 稳定：
5
（7-16） （7-17） （7-18） （7-19）
（7-20） （7-21）
第七章：离散信号、离散系统
第七章：离散信号、离散系统
§7.1 基本概念（《信号与系统》第二版（郑君里）7.1，7.2，7.3，7.5）
离散时间信号——序列：
9 定义：自变量（宗量）为离散点的信号（函数），记为 f (n), n ∈ Z 。
f
(i)
⎧⎪(离散)
⎨ ⎪⎩
信号或采样或采后信号（取值无限精确）
图 7-5
2
《信号与系统》
9 求和：
第七章：离散信号、离散系统
9 相乘： 9 分支：
图 7-6 图 7-7
图 7-8 9 一步延迟（一步右移）算子： z−1
图 7-9
z−1x (n) = x (n −1)
图 7-10
3
（7-9）
《信号与系统》
第七章：离散信号、离散系统
z−mx(n) = x(n − m)
pN
(n)
=
⎧⎪1 , ⎨⎪⎩0 ,
n n
≤ >
N N
（7-2） （7-3）
图 7-4
pN (n) = u (n + N ) − u ⎡⎣n − ( N +1)⎤⎦
9 正弦序列：
x(n)
=
sin
nω0
=
sin
nT
2π T0
9 复指数序列：
( ) ( ) x n = e jnω0 = x n ejarg⎡⎣x(n)⎤⎦
h(n) = h(n)u(n)
因果信号：
f (n) = f (n)u(n)
BIBO 稳定：
5
（7-16） （7-17） （7-18） （7-19）
（7-20） （7-21）
第7章_系统函数
j1
n
a m ( z p i )
i1
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
一、系统函数的零、极点分布图
极（零）点的分布类型：
✓ 一阶实极（零）点：位于 s 或 z 平面的实轴上
✓ 一阶共轭虚极（零）点：位于 s 或 z 平面虚轴上，且对称于实轴
✓ 一阶共轭复极（零）点：位于 s 或 z 平面上，并且对称于实轴
i 1
H(j
)bmB1B2 amA 1A2
Bej(12 m) m
Aej(12 m) m
H(j) bmB1B2 Bm
其中
amA1A2 Am
() (1 2 m ) - (1 2 m )
据模、辐角随 的变化，可绘出幅频特性曲线和相频特性曲线。
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
7.2 系统的因果性与稳定性
二、系统的稳定性
例 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1) 若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。 (2) 若为稳定系统，求h(k).
解 H ( z ) 1 1 .5 z z 1 1 z 2 z 2 1 z . 5 z 1 ( z 0 .5 z )z ( 2 ) z 0 .4 0 z . 5 z 0 . 4 2 z
称 B() 0 的根 1,2, n为系统函数 H ( ) 的零点 。
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
一、系统函数的零、极点分布图
系统函数可以写为：
m
H (s) B (s) A(s)
bm
(s j)
j1 n
a m ( s p i )
i1
m
H ( z)
B(z)
n
a m ( z p i )
i1
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
一、系统函数的零、极点分布图
极（零）点的分布类型：
✓ 一阶实极（零）点：位于 s 或 z 平面的实轴上
✓ 一阶共轭虚极（零）点：位于 s 或 z 平面虚轴上，且对称于实轴
✓ 一阶共轭复极（零）点：位于 s 或 z 平面上，并且对称于实轴
i 1
H(j
)bmB1B2 amA 1A2
Bej(12 m) m
Aej(12 m) m
H(j) bmB1B2 Bm
其中
amA1A2 Am
() (1 2 m ) - (1 2 m )
据模、辐角随 的变化，可绘出幅频特性曲线和相频特性曲线。
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
7.2 系统的因果性与稳定性
二、系统的稳定性
例 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1) 若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。 (2) 若为稳定系统，求h(k).
解 H ( z ) 1 1 .5 z z 1 1 z 2 z 2 1 z . 5 z 1 ( z 0 .5 z )z ( 2 ) z 0 .4 0 z . 5 z 0 . 4 2 z
称 B() 0 的根 1,2, n为系统函数 H ( ) 的零点 。
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
一、系统函数的零、极点分布图
系统函数可以写为：
m
H (s) B (s) A(s)
bm
(s j)
j1 n
a m ( s p i )
i1
m
H ( z)
B(z)
信号与系统第七章(3)信号流图
7.3 信号流图
本节主要内容：
一、信号流图 1、信号流图的术语 2、信号流图的基本性质 3、信号流图化简的基本规则 二、梅森公式
本节重点、难点
重点：
一、信号流图 二、梅森公式
难点: 梅森公式的应用
§.3 信号流图
一、信号流图的概念
如图 （a）的框图，
它表征了输入 F () F(s) 与输出Y (的) 关系，
由方程211sususcsi????322sususcsi????433sususcsi????212sisirsu????323sisirsu????34srisu??可画出信号流图scscscscscscrrrrru1u2u3u4i1i2i3scscscscscscrrrrru1u2u3u4i1i2i322求转移电压比14susush??32314651scrscrscrscrsusush??????????33求输入阻抗11sisuszin??先求1111susisusisyin????scu1scscscscscrrrrru2u3u4i1i2i31i1scu1scscscscrrrru2u3u4i1i2i31i132211651341scrscrscrscrscrscsusisyin??????????????34165123211scrscrscscrscrscrsisuszin??????????????本节小结一掌握信号流图的基本概念性质和系统的信号流图表示方法
x2
（2）当结点有多个输入时，该结点将所有输
入支路的信号相加，并将和信号传输给所有与该结
点相连的输出支路。
x4 ax1 bx2 cx3
x5 dx4 dax1 bx2 cx3 x6 ex4 eax1 bx2 cx3
浙江大学信号与系统7
于慧敏教授
7.1 双边Z变换
Z变换收敛：信号 x
nr n的傅立叶变换收敛。
Z变换的收敛域：存在着某一z值的范围，使Z变换X(z)收敛。
对于某一具体的信号（序列），除了给出Z变换的表达式外， 必须同时给出明确的收敛域。
信号与系统
于慧敏教授
例 7.1
【例7.1】求序列 x(n) a n un 的Z变换。
故Z变换为 X ( z )
1 1 az
1
z za
于慧敏教授
za
信号与系统
例 7.1
对于 0 a 1 ，例7.1的收敛域如图所示
图7-1 当 0 a 1 时，例7.1的零极点和收敛域
信号与系统 于慧敏教授
例 7.2
【例7.2】设序列 x(n) a nu n 1 ，求其Z变换。
信号与系统 于慧敏教授
例 7.3
【例7.3】设双边序列 xn b
解：
X ( z)
n n n n a u [ n ] z a z n 0
n
a 1 n a z lim n a n 0 z 1 z
n 1
a 1 ，即 z a 为使 X ( z ) 收敛，必须满足 z
信号与系统 于慧敏教授
7.2 Z变换收敛域
为使Z变换收敛，就要求信号 x[n]r n 的傅立叶变换收敛。 因此，它的Z变换的 ROC就是由这样一些 z re j 值所组成，在 x[n]r n 绝对可和，即： 这些Z值上，
n x [ n ] r
n
因此，收敛域仅决定于 r z ，而与 无关。 由此可得，若某一具体的Z值是在ROC内，那么位于以原点为圆 心的同一圆上的全部Z值（他们具有相同的模）也一定在该ROC 内，这就保证了X(z)的ROC是由以原点为中心的圆环组成。
信号与系统王明泉第七章习题解答
第7章离散时间系统的Z域分析7.1 学习要求（1）深刻理解z变换的定义、收敛域及基本性质，会根据z变换的定义和性质求解一些常用序列的z变换，能求解z反变换，深刻理解z变换与拉普拉斯变换得关系；（2）正确理解z变换的应用条件；（3）能用z域分析分析系统，求离散系统的零状态响应、零输入响应、完全响应、单位样值响应；（4）深刻理解系统的单位样值响应与系统函数H(z)之间的关系，并能用系统函数H(z)求解频率响应函数，能用系统函数的分析系统的稳定性、因果性。
7.2 本章重点（1）z变换（定义、收敛域、性质、反变换、应用）；（2）z域分析（求解分析系统）；（3）系统的频率响应函数。
7.3 本章的知识结构7.4 本章的内容摘要7.4.1 Z变换（1）定义∑∞-∞=-=n nzn x z X )()( 表示为：)()]([z X n x Z =。
（2）收敛域 1.有限长序列12(),()0,x n n n n x n n ≤≤⎧=⎨⎩其他 （1）当0,021>>n n 时，n 始终为正，收敛条件为0>z ； （2）当0,021<<n n 时，n 始终为负，收敛条件为∞<z ；（3）当0,021><n n 时，n 既取正值，又取负值，收敛条件为∞<<z 0。
2.右边序列11(),()0,x n n n x n n n ≥⎧=⎨<⎩ （1）当01>n 时，n 始终为正，由阿贝尔定理可知，其收敛域为1x R z >，1x R 为最小收敛半径；（2）当01<n 时，)(z X 分解为两项级数的和，第一项为有限长序列，其收敛域为∞<z ；第二项为z 的负幂次级数，由阿贝尔定理可知，其收敛域为1x R z >；取其交集得到该右边序列的收敛域为∞<<z R x 1。
3．左边序列2(),()0,x n n n x n n ≤⎧=⎨⎩其他（1）当02<n ，n 始终为负，收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径； （2）当02>n ，)(z X 可分解为两项级数的和，第一项为z 的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径；第二项为有限长序列，其收敛域为0>z ；取其交集，该左边序列的收敛域为20x R z <<。
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14
§
7.3 欠采样的效果：混叠现象
Under sampling and Aliasing 如果对带限信号采 样时，采样频率不够高或 采样间隔过大，就会出现 频谱的混迭，这一现象就 称为欠采样。 欠采样使信号发生 了频谱的交叉。 但欠采样并不是 百害而无一利的，在 实际应用中，利用欠 采样可利用。
n
x(nT )h(t nT )
内插示意图
10
可见要将连续时间信号离散化，然后又恢复 出原始的连续信号必须满足三个条件：
即：
1. 2. 3.
带限于M 。 s>2M M< c<（s M）。可取c＝ s /2.
11
零阶保持采样
当然，在实际实现信号采样时，理想采样是做不到的， 通常采用的是零阶保持采样。
X (e j )
Y (e j )
31
s M M s 2 M
这就是时域采样的约束条件。
6
*采样定理
设 x (t ) 是某一个带限信号，在||> M时，X（j）=0。 如果采样频率 s>2 M ，其中 s ＝2/T, 那末 x(t )就唯 一地由其样本x(nT ) 所确定。
已知这些样本值，我们能用如下办法重建：让采样后的
即：一个连续时间信号必须在某一种条件下才能 由其样本来表示。 2
二、理想采样
理想采样就是以周期性冲激串来对连续时间信号进行 采样。 其原理图如下：
x (t )
p(t )
x p (t )
n
(t nT )
T--采样间隔，s=2/T为采样频率。
3
﹡时域分析：
x p (t ) x(t ) p(t )
15
时域理想采样的傅立叶变换
时 域 采 样
相 乘
相 卷
频 域 周 期 重 复
16
非理想采样信号的傅立叶变换
乘
卷
17
时域的离散性 时域的周期性
频域的周期性 频域的离散性
时域非时限
时限信号
带限信号
频域非带限
18
§ 7.4 连续时间信号的离散时间处理 The discrete processing of continuous time signal 随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必 要将连续信号转化为离散信号处理。
§ 7.1 用信号样本表示连续时间信号:采样定理
一、采样的概念
（Theorem of Sampling ）
1. 采样 ——从连续时间信号中提取离散样本的过程。
采样若按采样间隔来分，可分为均匀采样与 非均匀采样。
2. 采样的必要性
对连续信号而言，随着数字处理技术的发展，越 来越迫切地要求连续信号的离散化。
抽取又称为减采样, 内插又称为增采样。
减采样使信号的频带扩展，但提高了数据的传输率。 增采样虽降低了信息的传输率，但节省了传输频带。 对 xc (t )以T采样再以N抽取，则相当于对 xc (t )以NT为间隔 来抽取。
30
例：某一离散时间序列 x(n)，其傅立叶变换如图a所示。现采用 抽取、内插等手段对信号进行处理，欲使处理后信号 y ( n) 的频 谱如图b所示，请给出信号处理过程的系统框图，并画出各处相 应的频谱图。
8
§
7.2 利用内插由样本重建信号
带限内插
X r ( j ) X p ( j ) H ( j )
9
内插恢复的时域分析
xr (t ) x p (t ) h(t )
x p (t )
n
x(nT ) (t nT )
第一个过零点的值＝/c=T
xr ( t )
j
x (nT) (t nT)
c
n
T
x[n] xc (nT )
X d (e ) X P ( j / T )
21
1 X P ( j ) X c ( j ( k s )) T k
1 X d (e j ) X c ( j ( 2k ) / T ) T k
xc (t )
1
X c ( j )
x p (t )
0 T 2T 3T
1
X p ( j )
2 T
22
0
x[n]
0 1 2 3
1
X d (e j )
0
2
二、D/C转换
y d [ n]
从离散时间序列 到冲激串的转换
y p (t )
S 2
T
S 2
yc (t )
x c (t )
连续时间到 离散时间转换
xd [ n ]
离散时间系统
yd [n]
连续时间到 离散时间转换
y c (t )
C/D
D/C
xd [n] xc (nT)
yd [n] yc (nT)
19
xc (t )
C/D 转换
xd [n] xc (nT )
离散时间系统
yd [ n] yc (nT )
0
27
1 X p (e ) P(e j ) X (e j ( ) )d 2 2 N 1 2 P(e j ) ( k s )
j
N
k 0
N 1 1 X p (e j ) X (e j ( k s ) ) N k 0
1
2
p(t )
n
(t nT )
n
x p (t ) x(t ) p(t ) x(t ) (t nT )
n
x(nT ) (t nT )
4
﹡频域分析
x(t ) X ( j )
2 P( j ) T 2 ( k ) T k
x(t )
零阶保持
x0 (t )
x(t )
x p (t )
h0 (t )
x0 (t )
T
12
0
p(t )
零阶保持电路
x(t )
x p (t )
h0 (t )
x0 (t )
T
hr (t ) H r ( j )
r (t )
0
p(t )
零阶保持内插恢复
H 0 j
2 sin T / 2
M
0
M
2
0
s
( N 1)s
0
s
( N 1)s
2 28
二、离散信号抽取与内插
1。抽取——从序列中提取每第N个点上样本的过程。
x[n] x p [n] xb [n] x p [nN] x[nN]
X b (e )
j
n
x [n]e
b p
j
,
c
0 ,
2
0
c
c
Hc ( j )
c
0
c
c
c
2
25
由 H c ( j ) H d (e j ) 可得， T j H d (e ) j T
H d (e )
j
c
s
2
时
H d (e j )
2
c
0
D/C(t )
x p (t )
从冲击串到 序列
x[n] xc (nT )
p(t )
n
(t nT )
20
C/D转换
时域分析
频域分析
x p (t ) xc (t ) p(t )
p(t )
n
X P ( j )
1 X ( j ) P ( j ) X P ( j ) 2 1 X P ( j ) X ( j ( k s )) T k
5
这表明：对连续时间信号在时域理想采样， 就相当于在频域以采样频率s为周期进行延拓， 幅值减小1/T。要使频谱不混迭，就必须使信 号带限，且
例如：数字通信系统，微处理器系统对连续时间信号 的处理
1
采样: Sampling
在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过程称为 采样，在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样 所得到的样本序列不能唯一地确定原来的连续时间信号。
此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不时也会 得 到不同的样本序列。
H 0 j H r j H j
e j T / 2 H j H r j 2 sin T / 2
e j T / 2
13
在很多情况下，宁可恢复恢复的信号 的准确性要差一些，但是要采用简单一些 的内插滤波器。例如，零阶保持就可以看 成是样本值之间进行内插的一种形式，此 时的内插滤波器的单位冲击响应就是上面 所述的 h0 (t )。
(t nT )
X d (e )
c
j
n
x (nT)e
c
jnT
x p (t ) xc (t ) p(t ) xc (t ) (t nT )
n
n
x [n]e
d jn
jn
n
x (nT )e
0
2
26
§ 7.5 离散时间信号采样： Sampling of discrete time signal 一. 脉冲采样
x[n]