第二节二重积分的计算

性质: 设函数 f (x,y) 在闭区域上连续, 域 D 关于x 轴
对称 , D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 y
( 1 )f(x , y ) f(x ,y )则,
Байду номын сангаас
D1
Df(x,y)d2D 1f(x,y)d oD x
( 2 )f( x , y ) f( x ,y )则,Df(x,y)d0
(x,y)dy
a
1(x)
如果积分区域 D 为：1(y)x2(y),cyd.
［Y－型区域］
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d.x
D
c 1(y)
Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
当被积函数 f (x,y) 在D上变号时, 由于
D
D1
(x2 y)d(yx2)d
D2
D1D2
D3
1 dx x 2 (x 2 y )d y 1 d1 x (y x 2 )d y 11 .
1 0
1 x 2
15
3. 计算二重积分
I (x2xyex2y2)dxdy,
D
其中
D由直线 y x ,y 1 ,x 1围成 .
解:积分域如图, 添加辅助线 yx,将D 分为 D1, D2 ,
则有 Df(x,y)dxdy
b
dx
a
2(x) f(x,y)dy
1(x)
d
dy
2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
y d
y2(x)
xyc1(yy)D1x(x)2(y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
d yy2
f(x,y)d x
2a
2a
a
2a
dy
f(x,y)d.x
0
a a2y2
例 8 求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y 2 d 无 法 用 y 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
x2ey2dxdy 1dyyx2ey2dx
0xy
(改变积分 ,按次 先 x后序 y积分次序 ) 计算
I
1 y si ny
dy
dx
0
y y2
1siny(yy2)dy 0y
1
1
0sin ydy0ysin ydy
1 c1 o (s c 1 s o 1 i )s n 1 s1 i .n
由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为 简便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的 特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被 积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分 区域和被积函数的特点。
00
00
2I
11
1
dx f(x)f(y)dy d
x
x
f(x)f(y)dy
0x
0
0
1
dx
1
f
1
1
(x)f(y)dy f(x)dx f(y)dy
A2
00
0
0
2 计 y 算 x 2 d .其 D : 1 中 x 1 ,0 y 1 . D
解 先去掉绝对值符号，如图
yx2d
D3
y4x2, y3x,x1所围成. 解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
y 3x
oD 2
1x
x 1
I xln y (1 y2)d x d y D 1
D
c 1(y)
（在积分中要正确选择积分次序）
思考与练习
1. 设 f(x) C [0,1 ],且
1
f(x)dxA,
0
求
11
I dx f(x)f(y)dy.
0x
解: 交换积分顺序后, x , y互换
y
1
y yx ox 1 x
I
1y
1x
dy f(x)f(y)dx dx f(y)f(x)dy
f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)
2
2
f1(x, y)
f2(x,y) 均非负
D f (x ,y )d x d y D f 1 (x ,y )d x d y
D f2(x,y)dxdy
因此上面讨论的二次积分法仍然有效 .
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
I dx exdy
1 2
x2
y x2
1x(eex)dx 1 2
3e1 e. 82
以上各例说明
化二重积分为二次积分时选择积分次序的重 要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差 别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题 目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出 来.
另外交换二次积分的次序：先由二次积分找 出二重积分的积分区域，画出积分区域，再交换积 分次序，写出另一种次序下的二次积分.
利用对称性 , 得
y
I x2dxdy xyex2y2dxdy
D
D1
xyex2y2dxdy D2
yx
o D2 D1
1x
1 yx
1x2dx
x
dy00
1 x2(x1)dx
1
1
1
0 1x2dx2
1
3
4. 设f(x)在[a,b]上连 ， 续 证明
bf(x)d x2(ba)bf2(x)d x
D
点 分 别 为 (0,0) ， ( ,0)，( , ) 的 三 角 形 闭 区 域 .
3 、 将 二 重 积 分 f ( x , y )d ,其 中 D 是 由x 轴 及 半 圆 周
D
x 2 y2 r 2( y 0)所 围成 的闭 区域,化 为先 对 y 后 对 x 的 二 次 积 分 ,应 为 _____________________.
D1
D D 1D 2D 3
D3
o
x
例1 计算二重 I 积 (x2分 2y)d, y D 其中 D由yx2,y0,x1所.围
y x2
解1. 将D看作X–型区域, 则
I 1dxx2(x22y)dy 00
o
01(x2yy2)|0x2 dx
12x4dx
0
2 .
5
1x
解2. 将D看作Y–型区域, 则
xlny ( 1y2)dxdy0 D 2
例11. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为
x2y2R2, x2z2R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
z R x2y2R2
其曲顶柱体的顶为 z R2x2
oR
(x,y)D: 0 0 xy RR2x2
则所求体积为
D
y
x x2z2R2
有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
例5. 交换下列积分顺序
2 x 2
22 8 x 2
I 0 d x 0 2f(x ,y )d y 2 d x 0 f(x ,y )d y
解: 积分域由两部分组成:
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
注意两种积分次序的
I
11
dy
(x22y)dx
0
y
计算效果！
1(1x32xy)|1 dy 1(12y7y3/2)dy
03
y
03
3
(1yy214y5/2)1 2.
3
15 0 5
例2. 计算 D xyd, 其中D 是抛物线 y2 x 及直线
yx2 所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 2 y2 x
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时,
仍有类似结果. 如 ,D 1为D 圆 :x2y 域 2 1 在第一象限部分, 则有
(x2y2)dxdy 4 (x2y2)dxdy
D
D1
D(xy)dxdy D xdxdyD ydxdy 0
例10. 计算 I xln y ( 1y2)dxdy, 其中D 由 D
x2
2
x x 2
d y2
D
1dx1 x
dy y2
2 x2 x ( ) dx
2
(x3 x)dx
1
y1
1
D
x
9 .
4
例4 计算二重I积 分 Dsiynyd,
y
1
其中 D由y x, yx所围 .
yx y x
解 I(按 先 1dy后 xx积 x si分ny次 dy序计) 算积不出o的积分，无1法计算x。
第二节 二重积分的计算 一、利用直角坐标计算二重积分
如果积分区域 D 为： 1(x)y2(x),axb.
［X－型区域］
y2(x)
D
y1(x)
y2(x)
D
y1(x)
a
b
a
b
其中函数1(x)、2(x) 在区间 [a,b]上连续.
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直
线与区域边界相交不多于两个交点.
根据二重积分的几何意义,当 f(x ,y)0 ,(时x ,,y) D
D
00
e1 y2
y3 dy
0
3
e 1 y2 y2dy2
0
6
1 6
1ueudu 1(1 2).
0
6e
例 9
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
解
y
ex d不 x 能 用 初 等 函 数 表 示
yx
先 改 变 积 分 次 序 .
y
1
x
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D
1
D
2
o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
I
2
f(x,y)dxdy d y
8y2
f (x,y)dx
D
0
2y
例 6 改变积分
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
解: 积分域由两部分组成:
D1
0
2 a x2
解
0x2a,
D:
2ax x2y
2a,x
D2
将积D 分 分D 区 1 成 ,D 2及 域 D 3三部 , 分
D 1:2 ya 2xaa2y2,0ya;D 1
D3
y2 D 2:2ax2a,ay2a;
D3:a
a2y2 x2a,
0ya;
故I
a
d
0
a
yy2
a2y2
2a
2a
f(x,y)d x a
a
a
证:左端
b
b
f(x)dx f(y)dy
f(x)f(y)dxdy
a
a
D
1 [f2(x)f2(y)d ]xdy 2D
D:aaxybb
1 bd ybf2 (x )d x bd xbf2 (y )d y
2a a
aa
babf2(x)dxbf2(y)dy
2a
a
(ba) bf2(x)dx a
则
y2 x y2 D:
1 y2
oD
1
4x yx2
2
y2
xyd dy
D
1
y2
xydx
2 1
1 2
x2
y
y2 y2
dy
1 2[y(y2)2y5]dy 2 1
1 y44y32y21y6 2 45
24 3
6 1 8
例3 计算 x2d.其D 中 由 yx,y1,x2
y2
D
x
围成．
解 X-型 D:1yx,1x2. x
5. 证明：f设 (x)为正的连续函数，则
b
b
f (x)dx
1
dx(ba)2.
a
a f (x)
证:左端
b
b
f(x)dx
1
dy
f (x) dxdy
a
a f(y)
D f (y)
D
f f
(y) (x)
dxdy
D:aaxybb
1 f(x) f(y)
2D [f(y)f(x)]dxdy
D
f(x) f(y)
f(x,y)d等于 D为 以底，z以 f(x,曲 y)为 面 顶
D
曲顶柱体的体积．
应用计算“平行截
z
zf(x,y)
面面积为已知的立 y2(x)
体求体积”的方法,
得
y
A( x)
A(x) 2(x)f(x,y)dy 1(x)
D
ax b x
f(x,y)dxdy D
b
a A(
x)d
x
b
dx
2(x)
f
y1(x)
V8
R2x2dxdy8 R R2x2dx
R2 x2
dy
D
0
0
8 R(R2x2)dx 16 R 3
0
3
例 12 求由下列曲面所围成的立体体积，
z x y，z xy， x y 1， x 0， y 0.
解 曲面围成的立体如图. 所围立体在 xoy 面
上的投影是
0xy 1 , xyx,y
体积V
( x
D
y
xy)d
0 1d0 x 1x(xyx)d yy
0 1[x(1x)1 2(1x)3]dx 274 .
小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f(x ,y)db dx 2(x)f(x ,y)d.y ［X－型］
D
a 1(x)
f(x ,y)ddd y 2(y)f(x ,y)d［.x Y－型］
ff((xy))dxdyD 1dxdy(ba)2
一 、填 空题:
练习题
1 、 ( x 3 3 x 2 y y 3 )d ________________. 其 中
D
D : 0 x 1,0 y 1.
2 、 x cos( x y )d _ _ _ _ __ _ _ __ _ _ _ __ . 其 中 D 是 顶
:0
y 2xx2, 0x1
0 y2x
D2 :
1 x2
将 DD1D2视为Y–型区域 , 则
D:1 1y2 x2y, 0y1
原式
1
2 y
dy
0
1
1 y2
f ( x, y)dx.
y2x y 2xx2
D1 D2
例7 更换I 积 2 ad分 x 2 axf次 (x ,y)d序 .(y a 0 )