安徽省淮南第二中学2020-2021学年高二上学期文科数学第八次周练试卷含答案

得等号． 5．D
因为点 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得 PF1 PF2 2a ，
又
PF1
4
PF2
，所以 3 PF2
2a ，即
PF2
2a
，则
3
PF1
8a ， 3
因为双曲线中， PF1 PF2 F1F2 ，
10a
即
2c ，则
c
5
，即 e
5
，
3
a3
3
又双曲线的离心率大于1，所以1 e 5 . 3
10.
已知点
P(0,1)
为椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a b
0) 上一点，且直线 x 2 y 2
0过
椭圆 C 的一个焦点．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）不经过点 P(0,1) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，记直线 AP, BP 的斜率分别
为 k1, k2 ，若 k1 k2 2 ，直线 l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定
圆圆心的轨迹方程为
.
三、解答题
9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 的焦点为 (0, 3) 、 (0, 3) ，实轴长为
2 2. （1）求双曲线 C 的标准方程； （2）过点 Q(1,1) 的直线 l 与曲线 C 交于 M ， N 两点，且恰好为线段 MN 的中点，求 线段 MN 长度.
点，说明理由．
2
1．D
参考答案
解：曲线 x2 y2 1表示焦点在 x 轴上，长轴长为 10，短轴长为 6，离心率为 4 ，焦
25 9
5
距为 8．
曲线
x2 25
k
y2 9k
1(k
9) 表示焦点在
x 轴上，长轴长为 2
25 k ，短轴长为 2
9k ，
4
离心率为
，焦距为 8．
25 k
对照选项，则 D 正确．
2
C． 7 4
D． 13 4
1
二、填空题
7．双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的右焦点为 F
3, 0 ，且点 F 到双曲线 C 的一条
渐近线的距离为 1，则双曲线 C 的离心率为
.
8．一个动圆与圆 C1 : x2 ( y 3)2 1 外切，与圆 C2 : x2 ( y 3) 81 内切，则这个动
而 b2 c2 a2 3 2 1，
双曲线 C 的标准方程 y2 x2 1；
6分
2
（2）设点 M (x1 ，y1) ，N (x2 ，y2) ，点 Q(1,1) 恰好为线段 MN 的中点，即有 x1 x2 2 ，
y1 y2 2 ，
又
y12 2 y22 2
x12 x22
1
，两式相减可得
45 则 PA PB 的最小值为（ ）
A．9
B． 2 5 4
C．8
D．7
5．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
=1 a
0, b
0
的左､右焦点分别为
F1 ，
F2
，点
P
在双曲线的
右支上，且 PF1 4 PF2 ，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
5 3
,
2
B．
5 3
,
C． 1, 2
D．
1,
5 3
13
，故椭圆的离心率为
e
c a
13 ， 4
7. e c 3 2 a4
因为双曲线的右焦点为 F 3, 0 ，即 c 3，
双曲线 x2 a2
y2 b2
1 的渐近线方程为 bx ay
0；
又点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1，
所以
3b b2 a2
1 ，即 3b c
1 ，所以 b 1，则 a
6．D
由椭圆定义可得 PF1 PF2 2a ，即 QF1 QP PF2 2a ，因为 PT PQ ，所以
QF1 TP PF2 2a ，即 TF2 2a QF1 2a 4 ，又 SF1 QF1 TF2 ，故 2a 4 4 ，
也即 a 2 ，由于 b2 3 c
42 3
18
分
6
7
6．如图，焦点在 x 轴上的椭圆
x2 a2
y2 3
1（ a
0 ）的左、右焦点
分别为 F1 ， F2 ， P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线 F2 P 与 y 轴的正半轴交于 A 点， APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q ，
若 F1Q 4 ，则该椭圆的离心率为（ ）
1
A．
4
1 B．
1
1 2
( y1
y2 )( y1
y2 )
( x1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x2 )(x1
x2 ) ，
y1 y2 x1 x2
2，
直线 l 的斜率为 k 2 ，其方程为 y 1 2(x 1) ，即 y 2x 1，
由
y 2x 1
y
2
2x2
，即
2
2x2
4x
1
0
，可得
x1x2
1 2
，
12 分
则 MN 1 22 · (x1 x2 )2 4x1x2 5 4 2 30 .
2020 年淮南二中高二上学期文科数学第八次周练
一、单选题
1．曲线 x2 y2 1与曲线 x2 y2 1(k 9) 的 (
)
25 9
25 k 9 k
A．长轴长相等
B．短轴长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
2．双曲线 y2 x2 1的离心率为 3 ，则其渐近线方程是（ ）
4m
2
A． y 5 x 4
B． y 4 x 5
C． y 5 x 2
D． y 2 5 x 5
3．设
F1
，F2
是双曲线
C
:
x2
y2 b2
1 的两个焦点，P 是 C 上一点，若
PF1
PF2
6，
且 △PF1F2 的最小内角为 30 ，则双曲线 C 的焦距为（ ）
A． 2
B． 2 2
C． 3
D． 2 3
4．已知 A3,0 ，B 是圆 x2 y 42 1上的点，点 P 在双曲线 x2 y2 1的右支上，
y kx m
联立方程
x2 5
y2
，消
1
y
可得 1 5k 2
x2 10kmx 5m2 5 0 ，
则
x1
x2
10km 1 5k 2
，
x1x2
5m2 5 1 5k 2
，
12
分
所以 k1 k2
y1 1 x1
y2 1 x2
kx1 m 1 x2 kx2
x1x2
m 1x1
2，
整理可得 2k 2 x1x2 m 1 x1 x2 0 ，
且焦点坐标为 C2 (0,3）和 C1(0, 3），其中 2a 10, a 5 , 2c | C1C2 | 6, c 3 ， 所以 b2 =a2 c2 25 9 16 ， 故椭圆轨迹方程为: x2 y2 1，
16 25
9.（1）双曲线 C 的焦点为 (0, 3) 、 (0, 3) ，实轴长为 2 2 ，则 a 2 ， c 3 ，
c2 b2 2 2 ，
因此 e c 3 2 . a4
8. x2 y2 1 16 25
设动圆半径为 r ，圆心为 M ，根据题意可知， C2 (0, 3）和 C1(0, 3）， |MC1| 1+r ， |MC2| 9 r ，|C1C2| 3 (3) 6
4
|MC1|+|MC2| 9 r 1+r 10 6 ，故动圆圆心的轨迹为焦点在 y 轴上椭圆，
2. D
双曲线 y2 x2 1，即 a 2,b m ，所以 c 4 m ， 4m
由离心率为 3 ，所以 c 4 m 3 ，
2
a22
解得 m 5 ，
所以双曲线 y2 x2 1， 45
则渐近线方程为 y a x 2 x 2 5 x ，
b
5
5
3．D
因为 F1 ， F2 是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足 PF1 PF2 6 ，
18
分
10.（1）点 P(0,1) 为椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
上一点，
1
则
b2
1，解得 b 1，
直线 x 2 y 2 0 过椭圆 C 的一个焦点，
令 y 0 ，可得 x 2 ，即 c 2 ，
所以 a2 b2 c2 1 4 5 ，
5
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 . 5
即 4 4c2 16 2 2c 4 3 ， c2 2 3c 3 0 ， c 3 ， 2
所以 F1F2 2c 2 3 .
4．C
3
如图所示：设圆心为 C ，双曲线右焦点为 A3, 0 ，且 PB PC 1，PA PA 4 ，
所以 PB PA PC PA 3 AC 3 8 ，当且仅当 A ， B ， C 三点共线时取
不妨设 P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知 PF1 PF2 2a 2，
所以 PF1 4 ， PF2 2 ，因为 a c ， a 1 ，所以 F1F2 PF2 2 ，
所以 PF2 为 △PF1F2 最小边， △PF1F2 的最小内角 PF1F2 30 ，
由余弦定理可得， PF2 2 F1F2 2 PF1 2 2 F1F2 PF1 cos PF1F2 ，
6分
（2）当直线 l 的斜率不存在时，
设 A x0, y0 ， B x0, y 0 ，（ 5 x0 5 且 x0 0 ），
则 k1 k2
y0 1 x0
y0 1 x0
2 ，解得 x0
1，直线恒过点 1, 1 ；
8
分 当直线的斜率存在时，设直线方程为 y kx m ，
直线与椭圆的交点 A x1, y1 ， B x2, y 2 ，
14
分
所以 k
1
m2 1 1 5k 2
km m 1
1 5k 2
，
即 m 1k m 1 0 ，
因为直线 l 不过点 P(0,1) ，所以 m 1， 所以 k m 1 0 ，即 m k 1，
直线 y kx m kx k 1 k x 1 1，
当 x 1 时，则 y 1，
所以直线恒过定点 1, 1