缓冲包装动力学计算题

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Lijie CAO
河北联合大学机械工程学院 包装工程系
例5解：(续完)
3) 此阻尼系统振动周期：
Td ? t3 ? t 2 ? 3.2 ? 3 .1 ? 0.1( s )
4) 此阻尼系统的固有频率：
?d
?
2?
Td
? 2? ? 62 .832 (rad
0.1
/ s)
5) 无阻尼下的固有频率：
?n ?
例1.有三个完全相同的缓冲垫装置，若已测出它们叠 置在一起后，每压缩 1cm需施加1kN，求每个缓冲垫的 系数？ ? 由已知得 k1=k2=k3 ，假设叠置后的等效刚度为 k。 ? k=F/X=1kN/cm=100kN/m 。
? 由公式得 1 ? 1 ? 1 ? 1 k k1 k2 k3
? 则k1=k2=k3 =300kN/m 。
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例2解：可简化为一个单自由度无阻尼系统。悬臂梁自由端在物 块重力作用下的挠度相当于弹簧的静变形。
1) 梁的截面惯性矩：
I ? bh 3 ? 10 ? 53 ? 104 (mm4 ) ? 104 ? 10 ?12 (m4 ) 12 12
2) 悬臂梁自由端在物块重力作用下的挠度：
(1)k ? k1 ? k2
? n ? k ? k1 ? k2
m
m
fn ?
?n 2?
?
1
2?
k1 ? k2 m
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(2)k
?
k1k 2 k1? k2
?n? k ?
k1k 2
m m(k1 ? k2)
fn ? ? n ? 1
k1k 2
2? 2? m(k1 ? k2)
9.8 0.017 ? 10 ? 3
? 759 (rad
/ s)
fn
?
?n 2?
?
759
2?
? 120 .8(Hz )
4) 物块在垂直方向自由振动的周期：
T ? 2? ? 2? ? 0.0083(s) ? n 759
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例3. 下左图示为由两根弹簧并联而组成的振动系统。右图为由两根弹簧串联 而组成的振动系统。试求这两种系统的固有频率。
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例4. 木箱内悬挂有一个物块弹簧系统，如下图示。设木箱自高 度H处自由跌落，木箱落地后静止不动，不计木箱与地板的变形， 试求木箱落地后箱内物块的运动规律。
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4. 例题。
例5. 同课本P26页例3-1。已知单自由度小阻尼系统在第三个峰
? 262.5? 657 262.5 ? 657
? 172.4625 919.5
? 0.187561174 N / m ? 187.561174 kN / m
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例1. 有很多产品是不允许倾翻的。如图示为用传送带 或汽车运输电冰箱。已知电冰箱宽为 b，高为h，假定 电冰箱均质，为保证电冰箱不致翻倒，问起动时加速 度a最大不得超过多少？
①求此后物体的运动。
②如果阻尼系数减小到c=0.98 N·S/cm，求对数衰减率，并 估计振幅减小到初始值的1%时所需要的振动次数和振动时间。
W
k
c
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例6解: (一)由已知条件可知，此系统为单自由度包装系统的有阻 尼自由振动。
1) 时间t=0时，x0=1cm，v0=0。
?s
?
mgl 3 3 EI
?
0.5 ? 9.8 ? 63 ? 10 ?6 3 ? 200 ? 10 9 ? 104 ? 10 ?12
?
0.017 ? 10 ? 3 (m)
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例2解：(续完) 3) 物块在垂直方向自由振动的固有频率：
?n?
g?
?s
2) 阻尼因子：
?? c ? c ?
5.9
? 5.9 ? 5.9 ? 5.9 ? 0.596
ccr 2 k ?m 2 245 ? 98
2 ? 24.5 2 ? 4.95 9.9
9.8 ? 100
3) 系统无阻尼下的固有频率：
利用A点的力矩平衡方程： ? mA(F ) ? 0
W ?b 2
?
????Wg
?a
?????h2
?
0
可知加速度a需满足如下关系： a ? b ?g h
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例2. 图示为一根钢制矩形截面的悬臂梁，横截面宽 b=10mm，厚度h=5mm，梁的长度 l=6cm，钢的弹性 模量E=200GPa ，梁的自由端固定有一物块，其质量 m=0.5kg ，试求物块在垂直方向作自由振动的固有频 率与固有周期。
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例2. 有3个缓冲垫如图排列，k1=175N/cm , k2=87.5 N/cm , k3=657N/cm ,求等效弹簧刚度？
k ? (k1 ? k2)k3 (k1 ? k2) ? k3
? (175 ? 87.5)? 657 (175 ? 87.5) ? 657
值时间t3= 3.2s时对应的振幅比第二个峰值时间t2= 3.1s时对应 的振幅降低20%。试计算该系统的阻尼因子和固有频率。
例5解：由已知条件得：
1) 振幅对数衰减率：
? ? ln A2 ? ln A2 ? 0.2231
A3
0.8 A2
2) 阻尼因子：? ?
?
? 0.035503
4? 2 ? ? 2
?d ? 1? ?2
62 .832
? 62 .872 ( rad /来自百度文库s)
1 ? 0.035503 2
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例6. 图示振动系统中，若弹簧刚度K=245N/cm，系统线性阻尼 系数C=5.9N·S/cm，产品重量W=98N。设将物体从平衡位置拉 下1cm 后，无初速度地自由释放。
b
h 冰箱
a
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例1解：以冰箱为研究对象，进行受力分析。
b
当加速度a达到冰箱欲翻而又未倾翻 的临界值时，传送带或汽车车厢地板对 a
Fg
hW
B
A
冰箱B点的反力NB=0，只有NA，及重
NA
力W两个作用于冰箱上的真实力。应用达朗贝尔原理，在冰箱重 心上加入假想惯性力Fg = -ma = aW/g。