图上作业法专题

图上作业法专题
一、图上作业法
在运输中，若使用同一种运输工具，则运费的 计算往往仅与运送物资的多少及里程有关。因 此，在求最佳的运输方案时，用吨公里作为度 量的标准比用运费作为度量标准更加方便、实 用。 在求解最佳运输方案时，用吨公里作为度量单 位，还可以在已经画出的交通图上进行，操作 起来较为简单、方便、直观、快捷。 在铁路、公路等交通部门经常使用这种方法决 策最优运输问题，这种方法被称为图上作业法。
(10) 甲 20
(20) 10 乙
10
10
10
乙
(10)
图 4-4
图 4-5
（2）不合理的现象2：迂回
（2）迂回：当收点与发点之间的运输线路有两 条或两条以上时（即交通图成圈），如果运送的 货物不是走最短线路，则称这种运输为迂回运输。 注：当交通图成圈时，如果流向图中内圈流向的 总长（简称内圈长）或外圈流向的总长（简称外 圈长）超过整个圈长的一半就称为迂回运输。例 如某物资流向图如图4-6、4-7所示。
B2
7
案例分析
口诀：抓各端，各端供需归邻站 即：先满足端点的要求，逐步向中间逼近，直至 收点与发点得到全部满足为止。
B1 3
（3） （4） （10） （ 2） （3） （4）
A1
（3）
2 4
6 B3
8 A3
5 A4
1 A5
4 B4
A2
（7）
B2
7 图 4-8
练一练
答案
2、交通图有圈情形
（2）图上作业法
【例3】有某物资7t，由A1，A2，A3发出，发量 分别为3，3，1（t），运往收点B1，B2，B3， B4，收量分别为2，3，1，1（t），收发量平衡 ，交通图如图4—1所示，问应如何调运，才使 t· km最小。
。
7 3 5
1
3
1
4
4
1
3 2
2
4
3
3
38
1、破圈求初始解
1 1 3 1 4 5 3 2 4 1 3 2 2 3 4 1
47
B4 7 A1
A3 3
B3 4
1
1
1
3
5 B1 4 B2
4
2
2
3
3 A2
3
在上图的基础上做一个无对流的流向图。
B4 3
(1)
1
A13 5
(3)
B1
2
(1)
注意：与表上作业法类似，表上 作业法要求有调运量的格子数应 A3 B3 该是收点数+发点数-1。图上作 1 1 业法要求在流向图上的箭头数（ 有调运量的边数）也应为收点数 +发点数-1。这一要求也可以等 (1) 2 4 价地表述为：在去线破圈后得到 的不成圈的交通图上，要求每边 都应该有流向。 (2) B2
A3 3 6 4 4 B2 3 7 A1 6 B4 2 4 B5
5 7
B1
4 2
8 B3 5 8 A2
4
第二步：在无圈的交通图上作流向图。 原则：先外后内，先端点后中间点，要求 每个边都有流向。当某条边无流向时，必 须填上运输量为零的虚流向。
第二步：作流向图
A3 3
（5）
5 7
B1
（4）
2 4 6
7*1+2*5+1*4+3*2=27
2
41
7
代表仓库
代表需求
4 7
9
3
5
5 4
7
8 8 4 5 5 6 6 6
42
最短路问题
3 B 0 A 4 C 3 5 D 7 3 5 4 E 2、分析还没有P标号的各点，比较T(j)和 P(1)+l1j，l1j为V1到Vj的弧长。将Vj的新标号 取较小者，即T(j)=min[T(j),P(1)+l1j]。如果 [P(1)+l1j]<T(j)，则用P(1)+l1j代替T(j)作为Vj点 的新的T标号。 T(B)=min[T(B),P(A)+l12]=min[∞,0+3]=3 T(C)=min[T(C),P(A)+ l13]=min[∞,0+4]=4
第六步：对方案进行调整。 方法：找出有迂回圈的流量最小的边（去掉的边 除外），改此边为丢掉的边（边A1B3），并补上 原来丢掉的边（边B1A3），得到新的交通图。在 此交通图上做新的流向图。
第六步：调整方案
A3 3
（4）
5 7 （1）
B1
（3）
2 4 6
（2）
B5
4 2
B4
（2）
4
8 B3
• 作出一个无对流的初始可行方案； • 检验有无迂回 • 若无，结束； • ������ 否则，调整，直到最优。
三、图上作业法的求解过程
1、无圈的交通图 2、有圈的交通图
方法：供需归邻站
1、交通图无圈情形
【例1】求最优调运方案
B1 3
A1
2 4
6 B3
8 A3
5 A4
1 A5
4 B4
A2
【例2】求最优调运方案
5 7 4 2 4 B2 3 7 A1 6
B1
A3 3 6 4 B4
2 4
B5
8 B3 5 8 A2
4
图 4-9
解题步骤：
第一步：变有圈为无圈。 方法：“丢边破圈”。即丢掉一条边，破 去一个圈。 注意：丢边时，往往是丢掉圈中长度最大 的边。如图所示
第一步： “丢边破圈”
7 3
3
1
②检查有无迂回，方法水对流想 图中的各圈进行检查，侃侃有无 迂回。如果没有迂回，即该圈总 长的一半均大于内流长和外流长， 这个初始方案就是最优方案，如 果其中某一圈有迂回，这个方案 就不是最优方案，需要改进。 在图中，圈A1B1B2A3B4的总长 为23km，外流长为5+4+3=12km， 大于圈长的一半，因而需要调整。 在看圈B2A2B3A3其总长为13km， 圈中内流长为3km，外流长为 2km，都小于圈长的一半，因此 此圈不必调整。
39
方案调整
1 3
7
3
1
1 4
4
1 1
3 2
5 3
2 4 1 3
2
3
对圈A1B1B2A3B4的调整 方法是：在外圈的个流量 中，减去外圈的最小流量 1t；然后在内圈的个流量 中加上1t，在此圈中，因 无内流量，所以无处可加； 另外，在无流量的线段上， 新添上内圈流量1t，这样 得出新的流量图。
1 1 4 2 3 2 3
2、流向图
2、流向图
含有圈的流向图的补充规定
顺时针方向的流向必须画在圈的内侧，称为内圈 流向 逆时针方向的流向必须画在圈的外侧，称为外圈 流向
内圈流向、外圈流向举例
6
6 （4） 4 4 4 2 2 图：4-6 （4） 图：4-7 4
二、对流向图的检验
在物资运输中，把某种物资从各发点调到各收点 的调运方案是很多的，但我们的目的是找出吨 — 公里数是最小的调运方案。这就要注意在调运中 不要发生对物流运输和迂回运输，因此，我们在 制定流向图时，就要避免它的出现。
迂回运输的判断
6
6 （4） 4 4 4 2 2 图：4-6 （4） 图：4-7 4
显然：图4-6为迂回运输
（3）、正规（最优）流向图
正规（最优）流向图：一个最优的调运方 案，它的流向图必是无对流、无迂回的流 向图，称这种流向图为正规流向图。 物资调运的图上作业法就是寻找一个无对 流、无迂回的正规流向图。 步骤如下：
4
3
3 A2
3
因此，某一边无流向时，必须在这一边上添上调运量为0的虚流向，和 其它流向同样对待。按照这一要求，应在A3边上添上虚流向。于是，再 补上去掉的边，得下图：
B4 3
(1) (0)
A3
B3
1
A1 3
5
(3)
1
4
(2) (1)
1
2
B1
2
(1)
4
B2
3
3
A2
3
(2)检查有无迂回 方法：对流向图中只有一边没有流向的各圈进行 检查。如果没有迂回，即已到最优调运方案。如 果有迂回，则需要进行调整。 首先分别计算线路的全圈长、内圈长和外圈长 （圈长即指里程数），如果内圈长和外圈长都分 别小于全圈长的一半，则该方案即为最优方案； 否则，即为非最优方案，需要对其进行调整 A1B1B2A3B4外圈长5+4+3＝12，大于全圈长23的1/2
4
4
F
45
3 B 0 A 4 C 4 3 5 8 D 7 3
10 E 5 F
4
4
T（E）=3+8=11 T（F）=8+4=12 T（E）=3+7=10 其中T（E）=10最小 令P（E）=10
46
3 B 0 A 4 C 4 3 5 8 D 7 3
10 E
5 4
4
F 12
T（F）=10+5=15 T（F）=12 其中T（F）=12最小， 则令P（F）=12 最短路为12 A-B-D-F A-C-D-F
（6）
4
B2 3
（7）
4 6 7 A1
5 8 A2
图 4-12
可验证：此方案中无迂回现象。即为最优方案。 发 收 A1 A2 B1 3 B2 4 4 2 2 B3 B4 B5 发货量 7 8
A3
收货量
1
4 4 4
4
6 2
5
练一练
答案
图上作业法
【例1】 有某物资7t，由发出点A1,A2,A3发出，发量分别 为3,3,1(t)，运往收点B1,B2,B3,B4，收量分别为 2,3,1,1(t)，收发量平衡，交通图如下图，问应 如何调动，才使t〃km最小？