无穷级数必考经典习题(附答案).pdf

无穷级数同步测试

一、单项选择题

1．下列结论中，错误的是（ ）

()A 若lim 0→∞

≠n n u ，则级数2

1

∞

=∑n n u 发散.

()B 若级数1∞=∑n n u 绝对收敛，则21

∞

=∑n n u 收敛.

()C 若级数1∞

=∑n n u 收敛，则21

∞

=∑n n u 收敛.

()D 若级数21

∞

=∑n n u 收敛，则lim 0→∞

=n n u 收敛.

2．已知幂级数

1

(1)

∞

=−∑n

n n a x 在0=x 处收敛，在2=x 处发散，则该级数的收敛域（ ）

()[0,2)

()(0,2]

()(0,2)

()[0,2]A B C D

3．已知幂级数1∞

=∑n

n n a x 的收敛半径1=R ，则幂级数0!

∞

=∑n n n a x n 的收敛域为（ ）

()(1,1)

()[1,1)

()(1,1]()(,)−−−−∞+∞A B C D

4. 设常数0>x ，则级数

1

1

(1)sin ∞

−=−∑n n x n （ ）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 收敛性与x 有关

二、填空题

5. 级数

1

1()2∞

=∑n

n n 的和为 .

6．2

!

lim

(!)→∞=n n n .

7．已知级数22116π∞

==∑n n ，则级数21

1

(1)∞

=−=∑n n n .

8．幂级数

21

01!

∞

+=∑n n x n 的和函数()=S x . 三、解答题

9.判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在，并给出正确解法.

级数

∞

=n n .

又由于0=n

，但=

n u 不是单调递减的，由此得出该级数不

满足莱布尼茨定理的第二个条件，故级数发散.

10.讨论级数2

1(0)(1)(1)

(1)

∞=≥+++∑n

n n x x x x x 的敛散性.

11.求级数

11

(21)2

∞

=+∑n

n n n 的和. 12.将2

()ln(3)=−f x x x 展开为1−x 的幂级数. 13.求极限23

13521

lim()2222→∞

−+

+++

n

n n . 14.验证函数369

3()1()3!6!9!

(3)!

=++++

++−∞<<+∞n x x x x y x x n 满足微分方程

()()()'''++=x

y x y x y x e ，并求幂级数30

(3)!∞

=∑n

n x n 的和函数.

第九章 多元函数微分法及其应用同步测试B 答案及解析

一、单项选择题

答案详细解析

1. 解 利用级数的性质.

若lim 0→∞

≠n n u ，则2

lim 0→∞

≠n

n u ，因此级数2

1

∞

=∑n n u 发散， ()A 正确；

若1∞

=∑n n u 绝对收敛，即1∞

=∑n n u 收敛，则lim 0→∞=n n u ，2lim lim 01→∞→∞

==<

n

n n n n

u u u

根据正项级数的比较审敛法知2

1

∞

=∑n n u 收敛，()B 正确；

若级数2

1

∞

=∑n n u 收敛，则2lim 0lim 0→∞→∞

=⇒=n

n n n u u ，()D 正确； 故选()C .事实上，令(1)

=−n

n u ，则1∞=∑n n u 收敛，但2

111∞∞===∑∑n n n u n

发散. 『方法技巧』 本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法. 『特别提醒』 比较审敛法只限于正项级数使用.

2.解 由于幂级数1(1)∞

=−∑n n n a x 在0=x 处收敛，则该级数在以1为中心，以

0和1之间的距离1为半径的开区间11−

11−>x ，即0x 内，级数发散.因此级数的收敛区间（不含端点）为(0,2)，则收敛域为[0,2)，故选()A .

『方法技巧』 本题考查幂级数的阿贝尔定理.

『特别提醒』 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中，要求大家熟练掌握它.

3. 解 由于1

∞

=∑n n n a x 的收敛半径1=R ，则有1

lim

1→∞

+=n

n n a a . 幂级数0!∞

=∑n

n n a x n 的收敛半径为 1

1

!lim lim (1)(1)!

→∞→∞++'==+=+∞+n

n n n n n a a

n R n a a n ，因此收敛

域为(,)−∞+∞，故选()D .

『方法技巧』 本题考查幂级数的收敛半径和收敛域. 由于级数是标准的幂级数，直接代入公式即可求出收敛半径=+∞R .

4. 解 由于存在充分大的n ，有

,sin 02π<>x x

n n

，所以从某时刻开始，级数1(1)sin ∞

−=−∑k k n

x

k 是交错级数，且满足 sin sin ,limsin 01→∞≤=+k x x x k k k ，即满足莱布

尼茨定理的条件，所以此交错级数收敛，而前有限项（1−n 项）不影响级数的敛

散性，因此原级数11

(1)sin ∞

−=−∑n n x

n 收敛.

又由于sin

lim 01→∞=>n x

n x n

，因此级数11

1(1)sin sin ∞∞

−==−=∑∑n n n x x n n 发散，所以原级

数11

(1)sin ∞

−=−∑n n x

n 条件收敛，故选()B .

『方法技巧』 本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛、条件收敛的概念和级数的性质.

『特别提醒』 解题中需要说明，此级数可能不是从第一项就是交错级数，从某项以后为交错级数，而前有限项不影响级数的敛散性. 二、填空题 5. 2 6. 0 7. 2

12

π− 8. 2

x xe

答案详细解析

5. 解 考查幂级数1∞

=∑n n nx ，其收敛域为(1,1)−.