2018年云南省高中毕业生复习统一检测

2018年云南省高中毕业生复习统一检测文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2A x x =>，()(){}130B x x x =--<，则AB =（ ）A ．∅B ．{}23x x << C ．{}2x x > D ．{}3x x ≥ 2.已知复数()()221z i i =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模z =（ ） A．3 C ．4 D ．53.若x ，y 满足30,20,0.x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩则2z y x =-的最大值为（ ）A ．5B ．1-C ．3-D ．7- 4.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，tan 2α=-，则cos α=（ ） A ．35-B ．25-C.． 5.已知函数()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ） A ．()y f x =的一个周期为πB ．()y f x =的图像关于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. ()y f x =的图像关于直线6x π=对称 D ．()y f x =在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 6.执行下图所示的程序框图，为使输出M 的值大于9，则输入的正整数t 的最小值为（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．57.在我国古代数学名著《九章算术》中，“堑堵”指的是底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，网络图中小正方形的边长为1，图中粗实线画出的是某堑堵的正视图与俯视图，则该堑堵的表面积为（ ）A ．2+B ．6 C.6+．108.在正方体1111ABCD A BC D -中，点P 是线段1BC 上任意一点，则下列结论中正确的是（ ） A ．1AD DP ⊥ B ．1AP B C ⊥ C. 1AC DP ⊥ D ．11A P B C ⊥ 9.平面内到两个定点的距离之比为常数()1k k ≠的点的轨迹是阿波罗尼斯圆.已知曲线C 是平面内到两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离之比等于常数()1a a >的阿波罗尼斯圆，则下列结论中正确的是（ ）A ．曲线C 关于x 轴对称B ．曲线C 关于y 轴对称 C. 曲线C 关于坐标原点对称D ．曲线C 经过坐标原点 10.已知函数()ln 1f x x =-，则下列结论中正确的是（ ）A ．()()10f f f e e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()10f e f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C. ()()10f f e f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D ．()()10f f f e e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭11.定义：{},,min ,,.a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩在区域02,0 3.x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(),P x y ，则点(),P x y 满足{}min 21,11x y x y x y -++-=+-的概率为（ ）A ．12 B ．16 C.18 D ．11212.已知定义在R 的函数()f x 满足()()22f x f x -=--，且当2x ≥-时，()23xf x =-.若函数()f x 在区间(),1k k +()k Z ∈上有零点，则k 的值为（ ） A ．1或6- B ．0或5- C. 0或6- D ．1或5-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()2,1a =-，()3,b m =，若向量a b +与a 垂直，则m = ．14.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos sin bC C a=-，a =1c =，则角C = ．15.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过焦点2F 的直线交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y 两点.若1AF B ∆内切圆的面积为2π，且124y y -=，则该椭圆的离心率是 ．16.已知函数()()2221,0,log 1,0,x x x f x x x ⎧+->⎪=⎨⎪+<⎩若()()2f f a ≤，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列{}n a 满足12a =，12n n n a a +-=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21222log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18. 某公司为了解所经销商品的使用情况，随机问卷50名使用者，然后根据这50名的问卷评分数据，统计得到如图所示的频率布直方图，其统计数据分组区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100.（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值； （Ⅱ）求这50名问卷评分数据的中位数；（Ⅲ）从评分在[)40,60的问卷者中，随机抽取2人，求此2人评分都在[)50,60的概率. 19. 如图，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为直角梯形，FA AB ⊥，1AD AF FE ===，2AB =，AD BE ⊥.（Ⅰ）求证：BE DE ⊥； （Ⅱ）求点F 到平面CBE 的距离.20. 已知分别过抛物线()220x py p =>上点A 、B 的两条切线交于点M ，直线AB 与x 轴不平行，线段AB 的中点为N ，抛物线的焦点为F . （Ⅰ）求证：直线MN 与y 轴平行；（Ⅱ）若点F 线段AB 上，点N 的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，求抛物线的方程. 21. 设函数()()223x f x e ax a a R =-+∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a >时，对于x R ∀∈，都有()5f x a ≥成立. （ⅰ）求a 的取值范围； （ⅱ）证明：()()*1111ln 123n n N n++++>+∈. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是3cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若A ，B 分别为曲线C 上的两点，且OA OB ⊥，求证：2211OAOB+为定值.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x x x =-++. （Ⅰ）求不等式()5f x ≤的解集；（Ⅱ）若不等式()f x x m ≥-的解集为R ，求m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BDBCD 6-10:CCBAD 11、12：AA 二、填空题13.1 14.6π 15.216.[]112⎡⎤-⎣⎦，三、解答题17.解：（Ⅰ）∵()1122n n a a a n ---=≥，∴()12222222n n nn a n --⎡⎤=++++=≥⎣⎦.当1n =时，12a =.∴数列{}n a 的通项公式为2n n a =. （Ⅱ）∵()212221log log log 122n n n n b a a a n +=+++=+++=， ∴()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭. ∴11111122121223111n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得()0.0040.01560.02320.02320.028101a +++++⨯=， 解得0.006a =.（Ⅱ）由频率分布直方图，可设中位数为m ，则有()()0.0040.0060.023210700.0280.5m ++⨯+-⨯=， 解得中位数76m =.（Ⅲ）由频率分布直方图，可知在[)40,50内的人数：0.00410502⨯⨯=， 在[)50,60内的人数：0.00610503⨯⨯=. 设在[)40,50内的2人分别为1a ，2a ，在[)50,60内的3人分别为1B ，2B ，3B ，则从[)40,60的问卷者中随机抽取2人，基本事件有()12,a a ，()11,a B ，()12,a B ，()13,a B ，()21,a B ，()22,a B ，()23,a B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共10种；其中2人评分都在[)50,60内的基本事件有()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共3种， 故所求概率为310P =.19.解：（Ⅰ）证明：如图，连接AE .由题设可知，AE BE ==.∵222AE BE AB +=， ∴AE BE ⊥. 而AD BE ⊥，AE AD A =，∴BE ⊥平面ADE . ∵DE ⊂平面ADE ， ∴BE DE ⊥.（Ⅱ）如图，连接CF ，BF .∵CB AB ⊥，又AD BE ⊥，//AD CB ， ∴CB BE ⊥. 又ABBE B =，∴CB ⊥平面ABE ，即CB ⊥平面BEF .∴111113326C BEF BEF V S CB -∆=⨯=⨯⨯=，1122CBE S ∆=⨯=. 设点F 到平面CBE 的距离为d ，由C BEF F CBE V V --=，得1163CBE S d ∆=⨯⨯，解得2d =.∴点F 到平面CBE 20.解：（Ⅰ）证明：设(),M x y ，()00,N x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，∵A 、B 两点在抛物线上，故2112x py =，2222x py =， 两式相减得22121222x x py py -=-.化简得1212122y y x x p x x -+=⋅-，即0AB x p k =⋅.①∵切线MA 的斜率为1MA x k p=， ∴切线MA 的方程为()111x y y x x p-=-.② 同理得切线MB 的方程为()222x y y x x p-=-.③ 由②-③，化简得()2112211y y x x x x x p--=---，即()012AB k x x p -=-.④由①，④求解得0x x =，故直线MN 与y 轴平行. （Ⅱ）由点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，N 为AB 中点， 则F 、A 、B 、N 四点共线，故AB FN k k =.由①知0AB x k p=，则0002FN py x k x p -==，22002p x y p =-.又2N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则222p p =-⎝⎭，解得1p =.∴抛物线的方程为22x y =. 21.解：（Ⅰ）∵()()'22x fx e a x R =-∈，∴当0a ≤时，易知()'0fx >.∴()f x 的(),-∞+∞上单调递增.∴当0a >时，由()'0f x >，得ln x a >，由()'0fx <，得ln x a <，∴()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 在(),ln a -∞上单调递减.（Ⅱ）（ⅰ）∵x R ∀∈，()5f x a ≥都成立， ∴()min 5f x a ≥.由（Ⅰ）知，当0a >时，()()min ln 2ln 5f x f a a a a ==-+， 由2ln 55a a a a -+≥，得ln 0a a -≥. ∴01a <≤.∴a 的取值范围是(]0,1.（ⅱ）由（ⅰ）知，当1a =时，()5f x a ≥，即2235xe x -+≥.∴1xe x ≥+.∴当1x >-时，()ln 1x x ≥+. 令()*1x n N n =∈，则11ln n n n +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭. 且1n =时，1ln 2>. ∴11123411ln ln ln ln 23123n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2341ln 123n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭()ln 1n =+，∴()1111ln 123n n++++>+. 22.解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程3cos ,2sin .x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）消去参数ϕ后得曲线C 的直角坐标方程为22194x y +=. 将cos ,sin .x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入后化简，得曲线C 的极坐标方程为222364cos 9sin ρθθ=+.（Ⅱ）由于OA OB ⊥，可设()11,A ρθ，21,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭. 则212211364cos 9sin ρθθ=+，222211364sin 9cos ρθθ=+. 于是22221211111336OA OB ρρ+=+=. ∴2211OAOB+为定值.23.解：（1）由已知得()31,1,3,11,31, 1.x x f x x x x x +>⎧⎪=+-≤≤⎨⎪--<-⎩①1141431533x x x x x >⎧>⎧⎪⇒⇒<≤⎨⎨+≤≤⎩⎪⎩；②111111352x x x x x -≤≤-≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨+≤≤⎩⎩；③11213152x x x x x <-<-⎧⎧⇒⇒-≤<-⎨⎨--≤≥-⎩⎩；∵{}{}44|1|11|21|233x x x x x x x x ⎧⎫⎧⎫<≤-≤≤-≤<-=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， ∴不等式()5f x ≤的解集为4|23x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）不等式()f x x m ≥-解集为()R m f x x ⇔-≤-恒成立，设()()g x f x x =-，则()21,1,3,11,41, 1.x x g x x x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪--<-⎩①当1x >时，()213g x x =+>； ②当11x -≤≤时，()3g x =；- 11 - ③当1x <-时，()413g x x =-->.∴()min 3g x =.∵()m g x -≤恒成立()min m g x ⇔-≤，由3m -≤，得3m ≥-.∴m 的取值范围是[)3,-+∞.。