求最值常用的24种方法(附例题),建议所有高中生都要收藏!!
求最值的10种方法【可编辑】
满足
y
x,
x 1 .
画出可行域，如图所示．
由条件，得A (2,2)，|O A |=2 2 ； B (1,3)，|O B |= 10 ；C (1,1)，|O C |= 2 . 故|O P |的最大值为 10，最小值为 2 .
故填2 10.
点评 本题求解，先要把问题化为线性规划问题，再
利用线性规划方法求解最值．对类似的问题我们都可
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例2】 已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，
a≠0)，求函数y的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
解析 由|x＋1|≥|x－2|，
常运用，就一定能够熟练掌握这些方法，并将它们灵
活用于解决函数的最值问题之中．
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以借助线性规划方法求其最值．如已知实数x，y满足 y
y= 1x2，求函数 x 2 的最值．可先画出可行域， 即以原点为圆心，以1为半径的上半圆，这样问题就
转化为求半圆上的点与点(-2,0)连线斜率的最值问
题．可求得函数 y 的最值为0， 3 .
x2
以上给出的是求解函数最值问题时常常使用的十
种方法，只要我们在复习中仔细研读，把握要点，经
得(x+1)2≥(x-2)2，所以x≥ 1 . 2
所以
f
(x)
| |
x x
1|, x 2 |, x
1, 2 1,
2
其图象如图所示 .
由图形易知 ,当x 1时,函数有最小值 , 2
所f(以 x)mi n f(1 2)1 212 3.故2 3填 .
(建议下载)高中数学函数最值问题的常见求解方法
解析：由于本题中 a 、 b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可
以令 a 1 t ， b 1 t ，( t R )，则
2
2
a 4 b4 (a 2 b2 )2 2a 2b2 [(1 t)2 ( 1 t)2 ]2 2( 1 t)2 ( 1 t)2
3
4
当 m [0 ，1] 时， ymax 3 4m ， ymin 1 2m2 ．
在群众中挑拨离间,拨弄是非,真是卑鄙无耻。 勿忘国耻，珍爱和平。作为年轻一代，我们并不应该只有仇恨，而是应该在各个方面提高我们自
当 m [1 ， ) 时， ymax 3 4m ， ymin 3 4m ．本课件可以编辑修改.
值．
例 2.若 x 、 y R 且满足： x 2 y 2 2xy x y 0 ，则 xmax =
， ymin =
.
解析：由已知，变形得： y 2 (2x 1) y (x 2 x) 0 ， y R ，则 0 ，即有
解析：设 t 1 2x ( t 0 )，则由原式得 y 1 (t 1)2 1 1 当且仅当 t 1 即 x 0 时取 2
值．
解析：因 a 、 b 是不相等的正数， cos x 与 sin x 不能同时为０，故 y 0 ．
y 2 a b 2 (a b)2 sin 2 2x ab 4
当 sin 2
2x
1时，
y2 max
2(a b) ， ymax
2(a b)
例 9：已知 sin 2 sin 2 sin 2 1( 、 、 均为锐角)，那么 cos cos cos 的最大
三、换元法
(一)局部换元法
x y 1 cos 6 sin 1 10 sin( ) ，
高中数学函数求最值常用方法总结
高中数学中的函数最值求解问题是学习中的难点，在解决函数最值问题的时候要经过全方位的考虑，结合函数的定义域，将各种可能出现的结果进行分析，最终求得准确的计算结果。
在数学学习的过程中活跃的数学思维非常重要，它不仅可以改善学习方法，而且可以帮助学生掌握更多的解题技巧，进而提高解题速度和学习效率。
本文总结了一些求函数最值的常用方法如下：一、利用一次函数的单调性【例题1】 已知 x , y , z 是非负实数，且 x + 3y + 2z = 3 , 3x + 3y + z = 4 ,求函数 w = 2x - 3y + z 的最值 .解：得 y = 5/3 （1 - x）, z = 2x - 1∴ w = 9x - 6又 x , y , z 非负，依一次函数 w = 9z - 6 的单调性可知当 x = 1/2 时，Wmin = -3/2 ,当 x= 1 时，Wmax = 3 .注：再求多元函数的条件最值时，通常是根据已知条件消元，转化为一元函数来解决问题.对于一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 的最值，关键是指出自变量的取值范围，即函数的定义域，当一次函数的定义域是闭区间时，其最值在闭区间的端点处取得 .二、利用二次函数的性质【例题2】 设 α , β 是方程 4x^2 - 4kx + k + 2 = 0 的两个实数根，当 k 为何值时 α^2 + β^2 有最小值？解：∵ α , β 为方程的两个实数根，∴ α + β = k , αβ = 1/4 ( k + 2 ) ,令 y = α^2 + β^2 , 则有又由原方程由实数根可知，∴ k ≤ -1 或 k ≥ 2 .而二次函数的顶点 （1/4，-17/16）不在此范围内，根据二次函数的性质知，y 是以 k = 1/4 为对称轴，开口向上的，定义域为 （-∞，-1]∪[2，+∞）的抛物线，比较 k = -1 及 k = 2 时 y 的值知，当 k = -1 时，有 ymin = 1/2 .注：利用二次函数的性质求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得 . 首先要求出函数的定义域，然后在看顶点是否在函数的定义域内，最后再根据函数的单调性来判定 . 【例题3】 如图所示，抛物线 y = 4 - x^2 与直线 y = 3x 交于 A , B 两点，点 P 在抛物线上由 A 运动到 B，求 △APB 的面积最大时点 P 的坐标 .分析：由于 A , B 为定点，所以 AB 长为定值，欲使 △APB 的面积最大，须使 P 到 AB的距离最大 .解：设 P 点坐标为 （x0 , y0）,∵ A , B 在直线 y = 3x 上，∴联立抛物线与直线方程，可得xA = -4 , xB = 1 ,∴ -4 ≤ x0 ≤ 1 ,则有∴当 x = -3/2 时，d 取最大值，△APB 面积最大，此时 P 点坐标为 （-3/2 , 7/4）.注：在解决实际问题时要注意确定自变量取值范围的方法，本题是由直线与抛物线的交点来确定的，这样才能确定定义域内的最值 .三、利用二次方程的判别式欲求函数 y = f(x) ( x ∈ R ) 的极值，如果可以把函数式整理成关于 x 的二次方程， 注意到 x 在其定义域内取值，即方程有实根，所以可以通过二次方程的判别式 △ ≥ 0 来探求 y 的极大值与极小值 .【例题4】 已知 0 ≤ x ≤ 1 , 求的最值 .解： 原式可化为∵ x ∈ R ,∴解得 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，即函数 y 的值域为 y ≤ 1/4 或 y ≥ 9/16 ，∴ y极大 = 1/4，y极小 = 9/16 .当 y = 1/4 时，代入原函数解析式得 x = 1 ∈ [ 0 , 1 ] ;当 y = 9/16 时，代入原函数解析式得 x = -1 [ 0 , 1 ] .又 x = 0 时 ， y = 2/3 ,∴ 当 x = 0 时，y 取极大值 2/3 .注：① 由判别式确定的是函数的值域，由值域得到的是函数的极值而不是最值；② 对有些函数来说，极值与最值相同，而有的函数就不一定，如本题中的极大值比极小值还小，这是因为极值是就某局部而言；③ 若要求函数在给定的定义域内的最值，一定要注意极值是否在此定义域内取得， 即要注意验根 .四、利用重要不等式【例题5】 设 x , y , z ∈ R+ , 且 2x + 4y + 9z = 16 .求 6√x + 4√y + 3√z 的最大值 .解：令 u = 6√x + 4√y + 3√z ,∴ u ≤ 4√23 ,( 其中当 9/x = 1/y = 1/9z 时，即当 x = 144/23 , y = 16/23 , z = 16/207 时取等号) 故注：这里是应用柯西不等式，在应用公式时，如何构造出已知条件等式 2x + 4y + 9z = 16，颇具技巧性和解题意义 .五、利用三角函数的有界性对于三角函数的极值，通常是利用三角函数的有界性来求解问题的，如正、余弦函数的最大（小）值很明显：y = asinx + bcosx （a , b ≠ 0）引入辅助角 θ，则其最值也一目了然 . 而对于其它的类型或用同角关系式、或用万能公式、或用正余弦定理作转化，变为二次函数问题来求解 .【例题6】 求的最值 .解法一： （利用降幂公式）解法二： （用判别式法）注： 本例还可以用万能公式等方法来求解 .六、利用参数换元对于有些函数而言，直接求极值比较复杂或不方便，这时可根据题目的特点作变量代换，然后运用前面的几种方法来解决问题.在换元时，一定要注意新的变量的取值范围 . 【例题7】 求函数 y = x + √( 1 - x ) 的极值 .解：原函数变为∵ t = 1/2 ∈ [ 0 , +∞ ) ,∴ 当 t = 1/2 ，即 x = 3/4 时，ymax = 5/4 .注： 这种换元虽然十分简单，但具有代表性 .七、利用复数的性质【例题8】 已知复数 z 满足 | z | = 2 , 求 | 1 + √3 i + z | 的极值 . 解法一：设 z = 2（cosθ + isinθ） （∵ | z | = 2）故 | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .解法二：依据 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | ,有 | 1 + √3 i | - | z | ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ | 1 + √3 i | + | z | ，即 2 - 2 ≤ | 1 + √3 i + z | ≤ 2 + 2 ，∴ | 1 + √3 i + z |max = 4 , | 1 + √3 i + z |min = 0 .注：求复数模的最值通常可用代数法，三角法（解法一），复数模的性质及其公式 | z1 | - | z2 | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 | , 此外还有数形结合方法等，但以上两种方法最为简捷.八、利用数形结合有些代数和三角问题，若能借助其几何背景，予以几何直观，这时求其最值常能收到直观、明快，化难为易得功效.【例题9】 求的最值 .解： 将函数式变形为其几何意义是在直角坐标系中，动点 P（cosx , sinx）和定点 A（-2 ，-1）连线的斜率，动点 P 的轨迹为单位圆，如下图所示：知 kAB 最小，kAC 最大，显然 kAB = 0 ,又 tgθ = |OB|/|AB| = 1/2 ,tg∠A = tg2θ = 2tgθ/（1 - tg^2 θ）= 4/3 ,即 kAC = 4/3 ,故 ymin = 0 , ymax = 4/3 .注：形如 [f(x) - a] / [g(x) - b] 的函数式，通常都可视作点 （g(x) ，f(x) ） 与点 （b , a）的连线的斜率 .运用数形结合的思想解题，关键是要进行合理的联想和类比，将代数式通过转化、变形、给予几何解释，通常这种转化与变形的过程常是一种挖掘和发现的过程，如本例需要挖掘 .。
高三复习-高中数学函数的最大值和最小值怎么求
高中数学函数的最大值和最小值怎么求函数的最值问题是考试中经常出现的题型，那么遇到这类问题时我们应该怎么做呢？高中函数求最值的方法1、配方法:形如的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法:形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。
由于，∴≥0，求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。
4、利用均值不等式，形如的函数，及≥≤，注意正，定，等的应用条件，即:a，b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。
5、换元法:形如的函数，令，反解出x，代入上式，得出关于t的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。
还有三角换元法，参数换元法。
6、数形结合法形：如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，在同一坐标系作出它们的图象，观察其位置关系，利用解析几何知识求最值。
求利用直线的斜率公式求形如的最值。
7、利用导数求函数最值：首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x)，偶函数；若f(x)=-f(-x)，奇函数。
函数最值简介一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。
最小值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。
使得f(x0)=M，那么，我们称实数M是函数y=f(x)的最小值。
最大值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。
使得f(x0)=M，那么，我们称实数M是函数y=f(x)的最大值。
高中数学求数列最值的12种题型(含答案)
求数列最值的12种题型题型一：递推问题1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=3+a n2.(1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(3)若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项和,试证明：S n <52.解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n2=a n ,又依a 1>0,可以得a n >0并解出：a n =32.a n =-1(舍)即a 1=32（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n 2-3+a n-12=a n -a n-12(3+a n 2+3+a n-12)(n ≥2)注意到：2(3+a n 2+3+a n-12)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<32.（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得当a 1>32时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.因此当a 1=4时,a n +1-a n <0∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1又：a n +2<a n +1即3+a n+12<a n+1,可得a n +1>32,故S n <4-32=52.题型二：最值问题2、已知数列{a n }满足：a 1=1,a n +1=a n2a n +1(*n N ∈),数列{b n }的前n 项和S n =12-12(23)n (*n N ∈).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设nn nb C a =,是否存在*m N ∈,使9m C ≥成立？并说明理由.解答：（1）由1111221n n n n na a a a a ++=⇒=++,∴112(1)21n n n a =+-=-,*1()21n a n N n =∈-.由21212()3n n S =-⋅及1121212()(2)3n n S n --=-⋅≥,可得124()(2)3n n n n b S S n -=-=⋅≥,令1n =,则11121212()43b S ==-⋅=也满足上式,∴124()(*)3n n b n N -=⋅∈.1122(2)(21)4()4(21)(33n n n n n b C n n a --==-⋅=-,设m C 为数列{}n C 中的最大项,则12111224(21)()4(23)()33224(21)()4(21)()3327(21)23322521(21)32m m m m m mm m m m C C C C m m m m m m m m ----+⎧-≥-⎪≥⎧⎪⇒⎨⎨≥⎩⎪-≥+⎪⎩⎧⎧-⋅≥-≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪-≥+⋅≥⎪⎪⎩⎩,∴3m =.即3C 为{}n C 中的最大项.∵2328020(939C ==<,∴不存在*m N ∈,使9m C ≥成立.题型三：公共项问题3、设A n 为数列{a n }的前n 项的和，A n ＝32(a n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝4n ＋3。
高中物理最值问题的求法-最新年精选文档
高中物理最值问题的求法中学物理中经常涉及到一些求最值的问题,使有的同学感到十分棘手。
其原因是,此类问题的综合性较强、灵活性大。
本文对求解最值问题的方法归纳如下,供参考。
一、运用二次函数的极值求解此方法主要根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x=-■时,有极值ym=■,其中当a0时,ym为最小值。
例1.平直公路上一汽车A以20m/s的速度行驶,现发现前方200m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶,A车司机立即以最大加速度0.5m/s2刹车,求A、B车间的最小距离。
解析:数学方法,写出经过时间t,A、B两车距离的表达式d=sB+200-sA=6t+200-(20t-0.25t2)=200-14t+0.25t2 讨论其最值即可,即:d=4+0.25(t-28)2≥4所以当t=28s时,A、B间的最小距离为4m。
物理方法,通过定性分析可得:共速前A快,距离减小;共速后B快,距离增大,所以共速时距离最小。
sA=■=■=364m,sB=6×■=168mdmin=sB+200-sA=4m二、运用均值不等式求解此方法主要根据均值不等式a+b≥2■,a>0,b>0;当a=b时取等号,对不等式的左边有最小值,对右边有最大值。
例2. 如图1所示,为一稳压电路,电源电动势为E,内阻为r,负载电阻为R,求当R取何值时电源的输出功率为最大值,并求出最大值。
解析:设电源的输出功率为P,则有P=(■)2R=■因为(r2/R)?R=r2(定值),故当时(r2/R)=R,即R=r时,(r2/R)+R有最小值2r,这时P为最大值Pmax,即Pmax=■三、运用三角公式asinθ+bcosθ=■sin(θ+Φ)求解此方法主要根据三角函数sin(θ+Φ)=±1时,asinθ+bcosθ有最值,且tgΦ=b/a。
例3. 如图2所示,用力F拉一物体在水平地面上匀速前进,物体的质量为m,物体与地面间的动摩擦因数为μ,欲使F为最小,则F应与竖直方向成多大的夹角?最小的力为多大?解析:设F与竖直方向的夹角为θ,物体匀速前进则有Fsinθ=μ(mg-Fcosθ)即F=■=■其中tgΦ=μ,当θ=90°-Φ=90°-arctgμ时,F有最小值FminFmin=■四、运用判别式法求解此方法主要根据一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac来确定各物理量之间的相互关系进行求解。
求最值方法--高考数学复习(20200618122042)
1、如何求解线性规划中最值问题？
答：在线性约束条件下目标函数最值问题求解步骤：
1）
作图 --- 画出约束条件下 （不等式组） 所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的
任意一条直线 2）平移 ------ 将直线平行移动 , 以确定最优解所对应点的位置 3）求值 —解有
关的方程组求出最优点的坐标 , 再代入目标函数 , 求出目标函数的最值。 （例题在 115 页）
, 2）利用平面内两点
4、立体几何求最值可用的公理和定义有哪些？ 答：1）两点之间线段最短 2）分别在两异面直线上的两点的连线中 如何求解与立体几何动点有关的最值问题
Байду номын сангаас
, 它们的公垂线最短。 /5、
答：建立目标函数法 , 将动态问题转化为目标函数最值问题。 解析几何最值问题
1、求解解析几何最值问题有哪些方法？ 答： 1）结合定义 , 转化为平面几何知识求解 , 利用三角形两边之和大于第三边 , 或三角形两 边之差小于第三边； 点到直线的垂线最短等 2）不等式组求解法： 列出参数适合的不等式组 , 通过解不等式组得出参数范围； 3）函数值域求解法 4）构造一个二次方程 , 利用根的判别 式/
f ( x), g( x) 有相同的单调性 , 可利用单调性求 h(x) 在 [ m.n] 上的最值。
1
8、如何求三次及三次以上函数的最值？ 答：用导数法求 , 利用函数的单调性； 9、如何求二次函数与指数、对数函数通过四则运算构成的函数 答：用导数法求单调性 , 利用单调性求最值 10、如何求含绝对值的函数的最值？ 答:1）去掉绝对值 , 转化为分段函数后求最值 /11、如何求含参数的函数最值 答： 1）利用导数求最值 , 2）根据参数的取值范围 , 用分类讨论思想求解 12、如何求指数 , 对数函数最值？ 答：利用换元法 , 转化成整式函数最值问题 , 注意换元后函数定义域的变化。
高中数学几何最值问题求法例举学法指导.doc
高中数学几何最值问题求法例举最值问题是平面解析几何中的一个既典型又综合的问题．求最值常见的方法有两种：代数法和几何法．若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．若题目条件和结论能明显体现某种函数关系，则可先建立目标函数，再求函数的最值，这就是代数法．一、几何法利用平面几何性质求解最值问题，这种解法若运用得当，往往显得非常简洁明快．例1、已知P （x,y ）是圆01x 4y x 22=+-+上的一点，求xy 的最大值与最小值。
【分析】x 0y x y --=，于是问题就可以转化为在以A （2，0）为圆心，以3为半径的圆上求点P ，使它与原点连线的斜率为最大或最小。
由示意图可知，当OP 与此圆相切时，其斜率达到最大值或最小值。
由OA=2，AP 1=AP 2=3，且AP 1⊥OP 1，AP 2⊥OP 2，OP 1=OP 2=1，且∠AOP 1=∠AOP 2=60°，得3x y ,3x y minmax -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛。
二、代数法用代数法求最值常用的方法有以下几种：1、利用判别式法求最值、利用此法求最值时，必须同时求得变量的范围，因为方程有解，Δ≥0所指的是在（+∞-∞,）范围内方程有解，这一点应切记．例2、（同例1）【分析】 设k xy =，将y=kx 代入圆方程得01x 4x )k 1(22=+-+。
x 为实数，方程有解，0≥∆，解得3k 3≤≤-，故3k ,3k min max -==。
即3x y ,3x y minmax -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛。
2、利用二次函数性质求最值．用此法求最值时，必须注意变量的取值范围． 例3、已知椭圆98y 2x 22=+及点P （0，5），求点P 到椭圆上点的距离的最大值与最小值．【分析】以（0，5）为圆心，若内切于椭圆的圆半径为r 1，则r 1为点P 到椭圆上点的距离的最小值；若外切于椭圆的圆半径为r 2，则r 2为点P 到椭圆上点的距离的最大值． 因9852022<⨯+，故点P （0，5）在椭圆内部．设以（0，5）为圆心的圆方程为222r )5y (x =-+，与椭圆方程联立消去x 2，得)7y 7(148)5y (r 22≤≤-++-=。
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：222a b ab+≥逆用就是222a bab+≤，2a b+≥(0,0)a b>>逆用就是2()2a bab+≤等．两个变形：(1) 2112a ba b+≤≤≤+(,)a b R+∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b=时取等号）(2)222()22a b a bab++≤≤(,)a b R∈（当且仅当a b=时取等号)．三个注意“一正、二定、三相等”的忽视．【解题方法技巧举例】1、添、减项（配常数项）例1 求函数221632y xx=++的最小值.222221620,32163(2)6266x y xxxx+>=++=++-+≥=解：当且仅当22163(2)2xx+=+，即22x=时,等号成立. 所以y的最小值是6.2、配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y>>，且满足3212x y+=，求lg lgx y+的最大值.分析lg lg lg()x y xy+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326x y⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.3、 裂项例3已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.()()141110,14(1)5519x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+>=+=+++≥+=解：当且仅当411x x +=+，即1x =时，取等号.所以min 9y =.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解 由102x <<，得10x +>，120x ->.221(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当且仅当31211x xxx -=++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求.分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.222222222((62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：当且仅当222(1)3y x =+，即32x =，2y =时， 等号成立.故的最大值是评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为.6、 换元（整体思想）例6求函数y =的最大值.分析t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +的最小值.这时可逆用条件，即由191x y =+，得19()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()1010169,4,12.16.x y x y y xx y x y x y x yy x x y x yx y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，要求19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为9、 消元例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为【例题解析】 例1 求函数()()yx x x=++49的最值.解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y ， 当且仅当xx=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->xx0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.例2已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.例4 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.例5已知x，y为正实数，且2212yx+=，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a bab+≤.12，==下面将x=2212222yx++≤4=当且仅当x=2212yx+=，即2x=，2y=时，等号成立.所以的最大值为4.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）A.2B.23C.4D.433.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（）A ．174B ．2C ．265D ．以上均不对 4，若，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5，若且，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a6. 设x>0,则的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1 7，设的最小值是( ) A. 10 B.C.D.8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ）Ａ最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．10.下列函数中最小值为4的是( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ11、已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)12、已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．913．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.1514． 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．15．若，则的最小值为（ ）A ．8 B ．C ．2D ．417.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 285C.5D.6 18．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4xx x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （ ）A 、最大值为1B 、最小值为1C 、最大值为2D 、没有最大、小值 20、 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值.21、已知0,0a b >>，328a b +=，求函数的最大值.。
求最值的16种方法
求最值的16种方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在日常生活和工作中，我们经常会遇到需要求最值的问题，比如找出最大的数值、最小的数值或者最优的解决方案。
有些时候，在求最值的过程中，我们可以通过简单的比较得出结果，但有时候需要一些专门的方法和技巧来解决问题。
本文将介绍16种常见的求最值的方法，希望对大家有所帮助。
一、直接比较法直接比较法是最简单的一种求最值的方法，即通过逐一比较每个元素，找出最大值或最小值。
这种方法适用于小规模的数据和简单的比较需求，代码实现简单易懂，但效率较低。
二、排序法排序法是一种常见的求最值方法，通过对数据进行排序，可以很容易地找到最大值或最小值。
排序的复杂度通常为O(nlog(n))，适用于中等规模的数据。
三、遍历法四、分治法分治法是一种高效的求最值方法，将数据集分成若干个子问题，递归地求解子问题，最后合并得到最值。
这种方法通常用于大规模数据的求解，具有较高的效率。
五、动态规划法动态规划法是一种求解优化问题的经典方法，通过定义状态转移方程和递推关系，逐步求解问题的最优解。
这种方法适用于复杂的问题，如背包问题、最长公共子序列等。
六、贪心算法贪心算法是一种求最值的常用方法，通过每一步选择局部最优解，并最终达到全局最优解。
这种方法通常适用于局部最优解能直接推导到全局最优解的场景。
七、分支界限法分支界限法是一种搜索最优解的方法，通过逐步扩展搜索树，剪枝不满足条件的分支，从而快速找到最值。
这种方法适用于带约束条件的最优解问题。
动态规划法是一种通过子问题的解来求解原问题的方法，通常适用于规模较小且具有重叠子问题的情况。
九、蒙特卡罗法蒙特卡罗法是一种通过大量的随机模拟来求解问题的方法，通过估计解的概率分布来找出最值。
十、模拟退火法模拟退火法是一种基于物理学原理的求解最优解的方法，通过模拟金属退火过程，寻找全局最优解。
十一、遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的求解方法，通过选择、交叉和变异等操作，不断优化解的质量。
一题多解专题12：求最值常用的基本方法
一题多解专题十二：求最值常用的基本方法例：已知1=+y x ，求22y x +的最小值。
分析1 虽然所求函数的结构式具有两个字母y x 、，但已知条件恰有y x 、的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。
解法1 .1,1x y y x -=∴=+设22y x z +=，则.122)1(222+-=-+=x x x x z二次项系数为,02>故z 有最小值。
∴ 当21222=⨯--=x 时，.212421242＝）－（－＝最小值⨯⨯⨯z ∴ 22y x +的最小值为.21分析2 已知的一次式1=+y x 两边平方后与所求的二次式22y x +有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。
解法2 ,1)(,12=+∴=+y x y x 即.2122xy y x -=+).(1,2222222y x y x y x xy +-≥+∴+≤ 即 ,2122≥+y x 当且仅当21==y x 时取等号。
∴ 22y x +的最小值为.21 分析3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的。
解法3 设.22y x z += .2121)21()21(1,12222≥+-+-=+--+=∴=+y x y x y x z y x ∴ 当21==y x 时，.21＝最小z 即22y x +的最小值为.21 分析4 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发。
解法4 如图4－2－2，1=+y x 表示直线,l 22y x + 表示原点到直线l 上的点),(y x P 的距离的平方。
显然其中以原点到直线l 的距离最短。
),(y x P1 1 O xyl 图4－2－2此时，,222|100|=-+=d 即.22)(22＝最小y x + 所以22y x +的最小值为.21注 如果设,22z y x =+则问题还可转化为直线1=+y x 与圆z y x =+22有交点时，半径z 的最小值。
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
求函数最值的方法总结
求函数最值的方法总结求函数最值的常用以下方法：1．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．例1 设a>1，函数f(x)＝log a x在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________.【思路】先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值．【解析】∵a>1，∴函数f(x)＝log a x在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为log a2a，log a a＝1.∴log a2＝12，a＝4.故填4.【讲评】解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m，n]上的最值：若函数f(x)在[m，n]上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．例2 (1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________．【解析】方法一：设1－x＝t(t≥0)，∴x＝1－t2，∴y＝x＋21－x＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，∴当t＝1即x＝0时，y max＝2.方法二：f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－11－x，由f′(x)＝0得x＝0.0＜x≤1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．x＜0时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．∴当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝2. (2)求函数y ＝x ＋4－x 2的值域．【解析】 换元法：由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴设x ＝2cos θ(θ∈[0，π])，则y ＝2cos θ＋4－4cos 2θ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin(θ＋π4)，∵θ＋π4∈[π4，5π4]∴sin(θ＋π4)∈[－22，1]，∴y ∈[－2,22]．3.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法． 例3 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值． 【思路】 将函数表达式按e x ＋e －x 配方，转化为关于变量e x ＋e －x 的二次函数． 【解析】 y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2 ＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2. 令t ＝e x ＋e －x ，f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.∵t ≥2，∴f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，∴当a≤2且a≠0时，y min＝f(2)＝2(a－1)2；当a<0时，y min＝f(a)＝a2－2.【讲评】利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．4．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；a＋b2≥ab(a≥0，b≥0)；ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22(a，b为实数)．例4 设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为________．【思路】先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．【解析】 因为x －2y ＋3z ＝0，所以y ＝x ＋3z2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz4xz.又x ，z 为正实数，所以由基本不等式，得y 2xz ≥6xz ＋6xz4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．故y 2xz的最小值为3.故填3. 【讲评】 本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．5．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例5 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14 B.12 C.22D.32【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}． 又两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3 ＝4＋2－xx ＋.所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22； 当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，∴选C【讲评】 对于形如y ＝a －cx ＋cx ＋b 的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y 2＝(a ＋b )＋2a －cx cx ＋b 的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．6．数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．例6 对a ，b ∈R ，记max |a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max ||x ＋1|，|x －2||(x ∈R)的最小值是________．【思路】 本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解． 【解析】由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，所以x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图像如图所示．由图形易知，当x ＝12时，函数有最小值，所以f(x)min＝f(12)＝|12＋1|＝32.7．导数法设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．例7 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．【思路】先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值．【解析】因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝1(舍去)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.【讲评】(1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．8．线性规划法线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法．线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：(1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值．例8 已知点P (x ，y )的坐标同时满足以下不等式：x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，如果点O 为坐标原点，那么|OP |的最小值等于________，最大值等于________．【思路】 本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值．【解析】由题意，得点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1.画出可行域，如图所示．由条件，得A(2,2)，|OA|＝22；B(1,3)，|OB|＝10；C(1,1)，|OC|＝ 2.故|OP|的最大值为10，最小值为 2.。
求函数最值的方法总结
求函数最值的常用以下方法：1．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．例1 设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.【思路】 先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a 的值． 【解析】 ∵a >1，∴函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴函数在区间[a,2a ]上的最大值与最小值分别为log a 2a ，log a a ＝1.∴log a 2＝12，a ＝4.故填4.【讲评】 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m ，n ]上的最值：若函数f (x )在[m ，n ]上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．例2 (1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________．【解析】方法一：设1－x＝t(t≥0)，∴x＝1－t2，∴y＝x＋21－x＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，∴当t＝1即x＝0时，y max＝2.方法二：f(x)的定义域为{x|x≤1}，f′(x)＝1－11－x，由f′(x)＝0得x＝0.0＜x≤1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．x＜0时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．∴当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝2.(2)求函数y＝x＋4－x2的值域．【解析】换元法：由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，则y＝2cosθ＋4－4cos2θ＝2cos θ＋2sin θ＝22sin(θ＋π4)，∵θ＋π4∈[π4，5π4]∴sin(θ＋π4)∈[－22，1]，∴y ∈[－2,22]．3.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法． 例3 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值． 【思路】 将函数表达式按e x ＋e －x 配方，转化为关于变量e x ＋e －x 的二次函数． 【解析】 y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2 ＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2. 令t ＝e x ＋e －x ，f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.∵t ≥2，∴f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，∴当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2； 当a <0时，y min ＝f (a )＝a 2－2.【讲评】 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．4．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)；a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)；ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．例4 设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．【思路】 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值． 【解析】 因为x －2y ＋3z ＝0， 所以y ＝x ＋3z2，所以y 2xz＝x 2＋9z 2＋6xz4xz.又x ，z 为正实数，所以由基本不等式， 得y 2xz ≥6xz ＋6xz 4xz ＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．故y 2xz的最小值为3.故填3.【讲评】 本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．5．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例5 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.32【思路】 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决．【解析】由题意，得⎩⎨⎧1－x ≥0，x ＋3≥0，所以函数的定义域为{x |－3≤x ≤1}． 又两边平方，得y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋21－xx ＋3.所以当x ＝－1时，y 取得最大值M ＝22；当x ＝－3或1时，y 取得最小值m ＝2，∴选C【讲评】 对于形如y ＝a －cx ＋cx ＋b 的无理函数的最值问题，可以利用平方法将问题化为函数y 2＝(a ＋b )＋2a －cx cx ＋b 的最值问题，这只需利用二次函数的最值即可求得．6．数形结合法数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图像求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，又可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．因此，在学习中，我们对这种方法要细心研读，认真领会，并正确地应用到相关问题的解决之中．例6对a ，b ∈R ，记max |a ，b |＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max ||x ＋1|，|x －2||(x ∈R )的最小值是________．【思路】 本题实质上是一个分段函数的最值问题．先根据条件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解． 【解析】由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，所以x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图像如图所示． 由图形易知，当x ＝12时，函数有最小值， 所以f (x )min ＝f (12)＝|12＋1|＝32. 7．导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．例7 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是________．【思路】先求闭区间上的函数的极值，再与端点函数值比较大小，确定最值．【解析】因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝1(舍去)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.【讲评】(1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一，求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存在的点及其端点．8．线性规划法线性规划法，是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法．线性规划法求解最值问题，一般有以下几步：(1)由条件写出约束条件；(2)画出可行域，并求最优解；(3)根据目标函数及最优解，求出最值．例8 已知点P(x，y)的坐标同时满足以下不等式：x＋y≤4，y≥x，x≥1，如果点O为坐标原点，那么|OP|的最小值等于________，最大值等于________．【思路】本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值．【解析】由题意，得点P (x ，y )的坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1.画出可行域，如图所示．由条件，得A (2,2)，|OA |＝22； B (1,3)，|OB |＝10；C (1,1)，|OC |＝ 2.故|OP |的最大值为10，最小值为 2.。
求最值的10种方法
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
那么|O P |的最小值等于________，最大值等于 ________．
分析 本题实质上可以视为线性规划问题，求解时， 先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值
解析 由题意，得点P (x， y)的坐标
x y 4,
满足
y
x,
x 1.
画出可行域，如图所示．
由条件，得A (2,2)，|O A |=2 2 ； B (1,3)，|O B |= 10 ；C (1,1)，|O C |= 2 . 故|O P |的最大)的最大值．
这些命题中，真命题的个数是(
A．0
B．1
C．2
) D．3
解析 根据函数的最大值的定义知，①是假命题：虽 然满足最大值定义中的任意性，但不满足存在性，故 ①错误．②、③正确：实质上，它们是等价命题，都 满足最值定义中的两个条件．故选C. 点评 利用定义解决函数最值的相关问题时，其重要 的一点就是要把握定义的内涵，准确地加以应用．需 要注意的是：函数一定有值域，但不一定有最值，如 函数f(x)＝1的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但它
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0，
1
1
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋