任意角的三角函数ppt

任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的 终边上的位置无关.
练习 1、已知角 求

的终边过点
P 12,5 ，

的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x y
2 2
12
2
52 13
y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12
3、已知角的终边在直线y 2x上，求角的sin ,cos , tan 的值.
解： 1当角的终边在第一象限时，
在角的终边上取点1, 2 ，则r= 12 22 5 2 2 5 1 5 2 sin , cos , tan 2 5 5 1 5 5
① ②
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
的横坐标，正切就是交点的纵坐标与
横坐标的比值.
（2） 正弦、余弦总有意义.当
横坐标等于0，tan
y 无意义，此时 k (k z ). x 2
的终边在 y 轴上时，点P 的
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
cos tan
k ( k Z ) 2
R
2.确定三角函数值在各象限的符号
y （+） + o x （ - ）（ - ）
sin
y （ - ）（ + ） o x （ - ）（ + ） cos
y （ -） （+ ） o x （ +） （ - ） tan
OP0 (3) 2 (4) 2 5
y
M0
M
M 0 P0 4
OM0 3 OMP ∽ OM 0 P0
OM x MP y
O
P x, y
x
P0 3,4
4 0 于是， sin y y | MP | M 0 P ; 1 OP OP 5 0 OM 0 x OM 3 cos x ; 1 OP OP 5 0 y sin 4 tan x cos 3
练习 求下列三角函数值
19 tan 3
3
31 tan( ) 4
1
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
5 1 cos 3 2
1 3 ( , ) 2 2
7 3 tan 6 3
例2 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 的正弦、余 弦和正切值 . 解:由已知可得 设角 的终边与单位圆交于 P( x, y ) ， M 0 P0 分别过点 P 、 P0 作 x 轴的垂线 MP、
2当角的终边在第三象限时，
在角的终边上取点 1, 2 ，则r
1 2 5
2 2
2 2 5 1 5 2 sin , cos , tan 2 5 5 1 5 5
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域 定义域 （弧度制） 三角函数 R sin
那么:（1）y 叫做
的正弦，记作 sin ，即 sin y ； （2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ； y y tan （3） 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)
x
x
y
﹒ Px, y

O
A1,0 x
所以，正弦，余弦，正切都 是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.
19 tan 3
cos 4 sin 12 tan 6 3 6 3
cos

3
sin

6
tan
Hale Waihona Puke 31 1 3 1 3 2 2
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一. 2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点， 点 P 与原点的距离 r
x2 y2 0
y y 那么① 叫做 的正弦，即 sin r r x x ② r 叫做 的余弦，即 cos r y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x
sin cos 250（2）tan( 672)（3） （ 1） 4
练习 确定下列三角函数值的符号 4 17 16
cos

5

sin(

3
)
tan(

8
)
例5 求下列三角函数值：
9 （1） cos 4
11 ) （2） tan( 6
9 2 cos cos( 2 ) cos 解：（1） 4 4 4 2 11 3 tan( ) tan( 2 ) tan tan （2） 6 6 6 6 3
攸县一中
汤庆平
1.2任意角的三角函数
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ P c
a
sin
O

b
cos
tan
M
a c b c a b
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y

b
M
x
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 其中 : MP b sin OM a OP r MP b OM a cos 2 2 OP r a b OP r
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例4 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan48， 而 48 是第一象限角，所以 tan(672) 0 ； sin （3）因为 是第四象限角，所以 4 0 . 4
y
﹒Pa, b

MP b tan OM a
o
﹒
M
x
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
OMP ∽ OM P
MP sin OP
OM cos OP
﹒
M

O
M
x
MP tan OM
M P OP OM OP M P OM
例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角.
证明： 因为①式sin 0 成立,所以 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 又因为②式 tan 0 成立，所以角 的终边可能位于 第一或第三象限.
sin 0 tan 0
1 若a 0则r 17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
2 若a 0则r -17a, 于是
8a 8 15a 15 8a 8 sin , cos , tan 17a 17 17a 17 15a 15
3.锐角三角函数（在单位圆中）
若OP r 1 ，则
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆.
y
P(a, b)
1
MP sin OP
x
b

o
M
OM cos OP
a b MP tan OM a
2.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )
导学案 习题1.2 A组 1、2、6、
x 12 cos r 13
2、已知角的终边上一点P 15a,8a a R且a 0，
求角的sin ,cos , tan 的值.
解：由于x -15a, y 8a,
所以r
15a 8a 17 a a 0
2 2
任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数 sin
b a b , cos , tan r r a
直角坐标系中定义锐角三角函数 sin
b a b , cos , tan r r a
单位圆中定义锐角三角函数
b sin b, cos a, tan a
y sin y, cos x , tan x
单位圆中定义任意角的三角函数
求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ，易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 例1 的终边与单位圆的交点坐标为
，
3
，
5 3 所以 sin 3 2 y
5 3
o