单因素随机区组设计的方差分析
方差分析公式总结 1
单因素完全随机设计:变来源DF SS MS F SE处理间DF t=k－1SS t=∑T i2/n-C MS t=SS t/DF t MS t/MS e SE误差DF e=k(n－1)SS e=SS T-SS t MS e=SS e/DF e总变异DF T=nk－1SS T=∑y2-C单因素随机区组设计变来源DF SS MS F SE 区组间DF R=n－1SS R=∑T r2/k-C MS R/MS e处理间DF t=k－1SS t=∑T i2/n-C MS t/MS e SE 误差DF e=(n－1)(k－1)SS e=SS T-SS R-SS t总变异DF T=nk－1SS T=∑y2-C二因素完全随机设计变来源DF SS MS F SE 组合 ab－1SS t=∑T ij2/n-CA因素 a－1SS A=∑T i2/bn-C MS A/MS e SE=B因素 b－1SS B=∑T j2/an-C MS B/MS e SEAB互作(a－1)(b－1) SS AB=SS t-SS A-SS B MS AB/MS e SE 误差 ab(n－1)SS e=SS T-SS t总变异 abn－1SS T=∑y2-C二因素随机区组设计变来源DF SS MS F SE 区组r-1SS=∑T r2/ab-CR组合ab-1SS=∑T AB2/n-CtA a-1 SS A=∑T A2/bn-C SS A/DF A MS A/MS e SE=B b-1 SS B=∑T B2/an-C SS B/DF B MS B/MS e SE=A×B (a-1)(b-1) SS AB=SS t-SS A-SS B SS AB/DF AB MS AB/MS e SE=误差(r-1)(ab-1) SS=SS T-SS R-SS te总变异rab-1SS=∑y2-CT裂区设计变异来源DF SS MS F SE 处理DFt=ab-1 SSt=∑T AB2/r-C主区部分区组DFR= r-1 SS R=∑T r2/ab-CA DFA= a-1 SS A=∑T A2/rb-C MS A F A=MS A/MS Ea误差a DFEa= (r-1)(a-1) SS Ea=SS M-SS R-SS A MS Ea主区总变异DF M= ra-1 SS M=∑T M2/b-C副区部分B DFB= b-1 SS B=∑T B2/ra-C MS B F B=MS B/MS EbA×B DFAB= (a-1)(b-1) SS AB=SS t-SS A-SS B MS AB F AB=MS AB/MS Eb误差b DFEb=a(r-1)(b-1)SS Eb=SS T-SS M-SS B-SS ABMS Eb总变异rab-1 SS T=∑y2-C拉丁方设计变来源DF SS MS F SE 横行区组DF R=k-1 SS R=∑T r2/k-C纵行区组DF C=k-1 SS C=∑T c2/k-C处理DF t=k-1 SS t=∑T t2/k-C MS t MS t/MS eSE误差DF e=(k-1)(k-2)SS e=SS T-SS R-SS C-SS t 总变异DF T=k2-1SS T=∑y2-C组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析(C=T2/∑n i)22 01i iin n nn k-=-∑∑∑()()()变异来源DF SS MS F误差DF e=∑n i－k SS e=SS T-SS t总变异DF T=∑n i－1SS T=∑y2-C巢式设计变异来源DF SS MS F SE 组间DF t=l-1 SS t=∑T i2/mn-C MS t MS t/MS e1亚组间DF e1=l(m-1) SS e1=∑Tij2/n-∑T i2/mnMS e1MS e1/MS e2亚组内DF e2=lm(n-1) SS e2=∑y2-∑T ij2/nMS e2总变异DF T=lmn-1 SS T=∑y2-CSESE无互作单个观测值正交试验资料的方差分析(C=T 2/n,SE A =SE B =SE C )变异DF SSMSFSEB DF B =b-1SS B =∑T B 2/rb-C SS B /DF B MSB /MS e CDF C =c-1SSC =∑T C 2/rc-C SS C /DF C MS C /MS e 误差 DF e =DF T -DF A -DF B -DF C SS e =SS T -SS A -SS B -SS C 总变 异DF T =n-1SS T =∑y 2-C无互作有重复观测值正交试验资料的方差分析变异来源 DF SS MS F SE 区组 n-1 SS R =∑T r 2/k-C 处理 k-1 SS t =∑T t 2/n-CA a-1 SS A =∑T A 2/ra-C SS A /DF A MS A /MS e (2)B b-1 SS B =∑T B 2/rb-C SS B /DF B MS B /Mse (2) Cc-1SS C =∑T C 2/rc-CSS C /DF C MS C /MS e (2)模误e1 DF t -DF A -DF B -DF C SS e1=SS t -SS A -SS B -SS C试误e2 DF T -DF R -DF tSS e2=SS T -SS R -SS t合误 DF e SS e 总 变 异 rab-1SS T =∑y 2-C有互作的正交试验资料的方差分析变异来源 DFSSMS F SE区组 r -1 SS R =∑T r 2/n-C 组合 ab-1 SS t =∑T AB 2/r-CA a-1 SS A =∑T A 2/ra-C MS A /MS e ;MS A /MS e2B b-1 SS B =∑T B 2/rb-C MS B /MS e ;MS B /MS e2 C c-1 SS C =∑T C 2/rc-C MS C /MS e ;MS C /MS e2A ×B (a-1)(b-1) SS AB =∑T AB 2/rab-C MS AB /MS e ;MS AB /MS e2 B ×C (b-1)(c-1) SS BC =∑T BC 2/rbc-CMS BC /MS e ;MS BC /MS e2模误DF t -DF A -DF B -D F C -DF AB -DF BC SS e1=SS t -SS A -SS B -SS C -SS AB -SS BC试误 DF T -DF R -DF t SS e2=SS T -SS R -SS t 合误 DF e SS e 总变 rab -1SS T =∑y 2-CB SEC SE 12e e MS F MS =A SE B SE C SE AB SE缺区处理（1）随机区组设计缺1区（2）随机区组设计缺2区n1,n2计算方法是：同一区组内，若比较的两处理都不缺区，则各记为1；若一处理缺区，另一处理不缺区，则缺区处理记0，不缺区处理记(k-2)/(k-1)，其中k 为试验的处理数目。
9-随机区组设计的方差分析
12.2 10.5 16.8 14.1 10.1 14.4 11.8 14 小麦品比试验田间排列和产量结果
区组
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
A 10.9 9.1 12.2
B 10.8 12.3 14
C 11.1 12.5 10.5
SSt SSA SSB SSAB
dfT dft dfr dfe
dft dfA dfB dfAB
二因素试验结果的分析
SST SSA SSB SSAB SSr SSe
dfT dfA dfB dfAB dfr dfe
自由度与平方和的分解
修剪方式
区组
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
A（对照） 25 23 27 26
B
32 27 26 31
C
21 19 20 22
D
20 21 18 21
随机区组设计的方差分析
试验设计 试验设计方法与步骤 特点及适用条件
单因素试验结果的分析 二因素试验结果的分析
二因素试验结果的分析
SST SSt SSr SSe
总变异自由度 dfT abn 1 A因素自由度 df A a 1 B因素自由度 dfB b 1 AB互作自由度 dfAB (a 1)(b 1) 处理间自由度 dft ab 1 区组间自由度 dfr n 1 误差自由度 dfe (ab 1)(n 1)
自由度与平方和的分解
误差
总变异
单因素范例
有一小麦品比试验，共有8个品种，用A、B、C、 D、E、F、G、H作为品种代号，其中A为标准品种 （对照），试验采用随机区组设计，设置三次重复， 田间排列及小区计产结果（kg40m-2），试作方差 分析。
用spss20进行可重复单因素随机区组、两因素随机区组、两因素裂区试验设计的方差分析
一、可重复单因素随机区组试验设计8个小麦品种的产比试验，采用随机区组设计，3次重复，计产面积25平米，产量结果如下，进行方差分析和多重比较。
表1 小麦品比试验产量结果（公斤）4 3 10.15 3 16.86 3 11.87 3 14.18 3 14.41、打开程序把上述数据输入进去。
2、执行：分析-一般线性模型-单变量。
3、将产量放进因变量，品种和区组放进固定因子。
4、单击模型，选择设定单选框，将品种和区组放进模型中，只分析主效应。
5、在两两比较中进行多重比较，这里只用分析品种。
可以选择多种比较方法。
6、分析结果。
主体间效应的检验因变量: 产量源III 型平方和df 均方 F Sig. 校正模型61.641a 9 6.849 4.174 .009 截距3220.167 1 3220.167 1962.448 .000 区组27.561 2 13.780 8.398 .004 品种34.080 7 4.869 2.967 .040 误差22.972 14 1.641总计3304.780 24校正的总计84.613 23a. R 方 = .729（调整 R 方 = .554）这里只须看区组和品种两行，两者均达到显著水平，说明土壤肥力和品种均影响产量结果。
下面是多重比较，只有方差分析达到显著差异才进行多重比较。
二、两因素可重复随机区组试验设计下面是水稻品种和密度对产量的影响，采用随机区组试验设计，3次重复，品种3个水平，密度3个水平，共27个观测值。
小区计产面积20平米。
表2 水稻品种与密度产比试验1、输入数据，执行：分析-一般线性模型-单变量。
注意区组作为随机因子。
2、选择模型。
注意模型中有三者的主效和品种与密度的交互。
3、分析结果。
注意自由度的分解。
使用一个误差（0.486）计算F值。
主体间效应的检验因变量: 产量源III 型平方和df 均方 F Sig. 截距假设1496.333 1 1496.333 1035.923 .0014、语句。
方差分析
方差分析（一）单因素方差分析例1：某职业病防治院对31名石棉矿工中的石棉肺患者、可疑患者及非患者进行了用力肺活量（L ）测定，结果见表1，问三组石棉矿工的用力肺活量有无差异？表1 三组石棉矿工的用力肺活量（L ）石棉肺患者 可疑患者 非患者 1.8 2.3 2.9 1.4 2.1 3.2 1.5 2.1 2.7 2.1 2.1 2.8 1.9 2.6 2.7 1.7 2.5 3.0 1.8 2.3 3.4 1.9 2.4 3.0 1.8 2.4 3.4 1.8 3.3 2.03.5 n11 9 11 31 x1.792.313.082.4表2 成组设计方差分析的计算公式变异来源 离均差平方和SS 自由度υ 均方MSF 总 SS 总=∑-2)(x xN-1组间 SS 组间=2)(x xn ii-∑k-1 SS 组间/υ组间MS 组间/MS 组内 组内SS 组内=2)(i ijx x-∑N-kSS 组内/υ组内SS 总=SS 组间+SS 组内 υ总=υ组间+υ组内 F= MS 组间/MS 组内如果三种人群的用力肺活量没有差别的话，则组间变异与组内变异程度应相等，即F=1，但由于抽样误差的存在，F 值可能不正好为1，但F 值不会偏离1太多；相反，如果三种人群用力肺活量有差异，则组间变异一定要大于组内变异程度，此时F ＞1，那么大多少才能确定有差异呢？此F 界限值可按自由度查F 界值表。
即F ≥F α,υ时，p ≤α，认为三种人群用力肺活量有显著性差异。
（二）随机区组设计的方差分析例2：四个种系未成年雌性大白鼠各三只，每只按一种剂量注射雌激素，一段时间后，解剖称量子宫重量。
数据见表3：表3 不同剂量雌激素注射对不同种系大鼠子宫重的影响rats dosagen j j x0.2 0.4 0.8 A 106 116 145 3 122.33 B 42 68 115 3 75.00 C 70 111 133 3 104.67 D 42 63 87 3 64.00 n i 4 4 4 1291.50i x65.089.5120.0问：注射雌激素对大鼠子宫重量有无影响？不同种系的大鼠对雌激素的反应是否相同？表4 随机区组设计方差分析的计算公式 变异来源 离均差平方和SS 自由度υ均方MS F 总SS 总=∑-2)(x xN-1 处理组间 SS 处理=2)(x xn ii-∑k-1 SS 处理/υ处理MS 组间/MS 误差 区组间 SS 区组=2)(x x n jj -∑ m-1 SS 区组/υ区组MS 区组/MS 误差 误差SS 误差=SS 总-SS 处理-SS 区组N-k-m-1SS 误差/υ误差如果区组因素没有显著性差异，则将SS 区组与SS 误差合并，作为SS 误差，再计算F值。
随机区组方差分析
计方法相结合的方法，以便更全面地分析具有区组设计的数据。这有助
于更深入地理解数据结构和处理复杂的研究问题。
感谢您的观看
THANKS
统计和心理学等。研究可以探索该方法在不同数据特征和不同实验设计
下的适用性和局限性。
02
改进分析方法
可以考虑开发更先进的随机区组方差分析方法，以更好地处理复杂的区
组设计数据。例如，可以研究如何处理非正态分布数据、缺失数据和异
常值等问题。
03
与其他方法的整合
探索将随机区组方差分析与混合效应模型、广义线性模型和其他高级统
随机区组方差分析
目录
• 引言 • 随机区组方差分析的基本概念 • 随机区组方差分析的步骤 • 随机区组方差分析的实例 • 随机区组方差分析的局限性 • 结论与展望
01
引言
定义与目的
定义
随机区组方差分析是一种统计分 析方法，用于比较不同组之间的 平均值是否存在显著差异。
目的
通过比较不同组之间的方差，判 断各组之间的差异是否由随机误 差引起，还是由于某种处理或条 件差异所导致。
04
随机区组方差分析的实例
实例一：教育水平对工资的影响
研究目的
数据收集
探讨不同教育水平对工资的影响，以了解 教育程度与工资水平之间的关系。
收集不同教育水平（如小学、中学、大学 等）的工资数据，同时记录被试者的年龄 、性别、工作经验等作为控制变量。
数据分析
结果解释
使用随机区组方差分析方法，将教育水平 作为自变量，工资作为因变量，分析不同 教育水平对工资的差异。
区组设计
区组设计的定义
01
区组设计是一种实验设计方法，它将总体分成若干个区组，每
单因素方差分析
计算组间均方：组间均方是各组均值与总均值之差的平方和除以自由度， 用于衡量各组均值之间的离散程度。
计算组内均方：组内均方是各组观测值与组均值之差的平方和除以该组 的自由度，用于衡量观测值在各组内部的离散程度。
计算F值
检查数据是否符合正态分布
确定数据类型：连续型、离 散型或混合型
判断数据是否存在异常值 了解数据分布的对称性
检验数据是否满足前提假设
数据的独立性：确保各组数据之间相互独立，无关联性。 数据的正态性：各组数据应符合正态分布，满足方差分析的前提假设。 数据的方差齐性：各组数据的方差应大致相等，满足方差分析的前提假设。 数据的完整性：确保所有数据均已收集并可用于分析，无缺失值。
原理：比较不同组的均值是 否存在显著差异
前提条件：数据符合正态分 布、方差齐性、独立性等
结果解释：通过F检验和p值 判断各组间是否存在显著差
异
前提假设
每个观察值都是独立的 每个观察值来自随机样本 每个观察值服从正态分布 每个观察值的方差相等
Part Three
单因素方差分析的 步骤
观察数据分布情况
单因素方差分析的 应用场景
不同组间均值比较
不同产品在不同 地区的销售量比 较
不同品牌汽车在 不同行驶距离下 的油耗比较
不同学历人群的 工资水平比较
不同治疗方法对 同一病症的治疗 效果比较
不同处理效果比较
农业实验：比较 不同施肥处理对 农作物产量的影 响
医学研究：分析 不同药物治疗对 疾病疗效的差异
F检验的局限性
前提假设：数据需要满足正态分布、独立同分布等前提假设 样本量：样本量过小可能导致检验效能不足 异常值：异常值可能对F检验的结果产生影响 多重比较：F检验只能比较两组数据，无法进行多重比较
随机区组设计的方差分析
SS区组=[S]-[Y]=25.875
SS残差=SS总变异-SSA-SS区组=52.875
单因素随机区组实验的方差分析表
变异来源
1.处理间 2.A（生字 密度）
平方和
190.125 190.125
自由度
df=p-1=3 df=p-1=3
均方
F
63.375
25.17**
3.处理内
4.区组（智力） 5.残差 6.合计
27 22 202
2.各种基本统计量的计算
∑∑Yij =3+6+…+11=202
；
(∑∑Yij)2 /np=[Y]=2022/(8)(4)=1275.125
∑∑Yij2=[AS]=32+62+…+112=1544
j 1
p
( Yij) 2
i 1
n
=[A]=352/8+312/8+…+802/8=1465.25
1.单因素随机区组设计
2.两因素随机区组设计
单因素随机区组设计
适用条件 ： 研究中有一个自变量，自变量有2个或多个水平，还有一个 无关变量，也有2个或多个水平，并且自变量的水平与无关变量 的水平之间没有交互作用。当无关变量是被试变量时，一般将被 试在这个无关变量上进行匹配，然后将它们随机的分配给不同的 实验处理。这样区组内的被试在此无关变量上更加同质，他们接 受不同的处理水平时可看作不受无关变量的影响，主要受处理的 影响，而区组之间的变异反映了无关变量的影响，用方差分析区 分出这一部分变异，以减少误差变异，获得对处理效应的更精确 的估计。
随机ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组设计的优缺点
• 随机区组设计的优点是在许多情景中比完全随机试验设计更加有 效。这是由于研究者从总变异中分离出了一个无关变量的效应， 从而减小了实验误差可获得对处效应的更加精确的估计。可以使 用于含任何处理水平数的实验中，并且区组的数量也不受限制， 具有较好的灵活性。 • 缺点：实验中含有多种处理水平会给形成同质区组、寻找同质被 试带来困难，且限制条件比较多，如，使用随机区组设计的前提 假设是实验中的自变量与无关变量之间无交互作用。如果交互作 用是存在的，设计是不合适的。这也限制了它的应用。
随机区组试验设计与分析
第一节 完全随机实验设计及分析
本试验中，水平数m＝3，重复r=5，共进行35＝15次试验。 此15次试验先做哪一个呢？ 试验的先后顺序必须随机确定。随机化方法可采用抽签的方 法，也可用随机数字表确定试验顺序。 现在采用查随机数字表确定试验顺序 （1）对所有试验编号 （2）确定读取随机数字的起始点，并读取相应数目的随机数字。 （3）根据随机数字的大小确定试验的先后顺序。
然后分别在各区组内，用随机的方法将各个处理逐个安排于各供试 单元中。
第二节 随机区组试验设计方法
由于同一区组内的各处理单元的排列顺序是随机而定的，故这 样的区组叫做随机区组。 随机区组设计是一种适用性较广泛的设计方法。既可用于单因素试 验，也适用于多因素试验。
第二节 随机区组试验设计方法
随机区组试验设计方法安排单因素试验
除杂方法（Ai） 平均值 xt
差异显著性
a=0.05
a=0.01
A4
28.4
a
A
A2
27.5
ab
A
A3
27.0
b
A
A1
25.2
c
B
A5
21.3
d
C
第二节 随机区组试验设计方法
2.1 设计方法
实验设计五原则中，其中的一条就是区组的原则。 随机区组试验设计是一种随机排列的完全区组的试验设计。 其方法是： 根据局部控制的原理，将试验的所有供试单元先按重复划分成非处 理条件相对一致的若干单元组，每一组的供试单元数与试验的处理数 相等。
雌鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 … 39 40
随机数字 09 47 27 96 54 49 17 46 … 03 10
余数
1 3 3 4 2 1 1 2 …3 2
第六章 方差分析3——单因素随机区组设计
• 缺点：区组的划分难度较大，同质性不好把握。
SPSS的数据格式
“分析”——“一般线性模型”——“单变量”
SPSS结果
结果分析
• 方差分析的结果表明，不同的教学方法会 对作文成绩产生显著影响。
实验结果
实验处理
教学方法
区组
1
2
15
10
区组1：优良
9
6
12
11
3
4
20
12
18
15
25
17
10
15
区组2：中等
18
19
12
12
25
20
30
15
18
18
2
6
10
6
区组3：一般
6
3
7
8
5
7
13
11
分析
• 这是一个单因素随机区组设计。 – 因变量：作文平均数提高的成绩。 – 自变量：教学方法，它有4个水平。 – 区组变量：不同的被试组，它有3个水平。 – 控制变量：自变量的呈现顺序。
• 区组效应显著表明区组设计是合理的。 • 进一步的多重比较发现，教学方法Ⅲ条件
下的作文成绩显著高于其它3种条件下的成 绩；教学方法Ⅳ条件下作文成绩显著高于 Ⅰ和Ⅱ条件下的成绩；教学方法Ⅰ和Ⅱ之 间的作文成绩不存在显著性差异。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方差分析——
单因素随机区组设计
举例
• 某教师为了研究四种不同的写作训练方法中， 哪种方法更有效，选择了36名高一学生。按 照前一学期历次作文成绩的平均分数将36名 学生划分为优良、中等、一般三个写作水平， 每个水平均有12名学生，而12名学生被随机 分到各实验处理。经一学期的写作训练后进 行写作能力测试，计算出每一学生的得分比 前一学期历次作文平均分提高的分数。结果 如下。
随机区组方差分析
适用条件：
各样本是相互独立的随机样本； 各样本来自正态分布；
各样本方差相等（方差齐性检验） 。
21名要求持续镇痛的病人被随机分到四组，接受同剂量的 吗啡，6小时后测量血中游离吗啡水平（u mol/L），问四 组之间有无差别？
均数
静脉点滴 12 10
7 8 9 14 10
问题：如何用前面方法解决？
方差分析
45
方差分析
46
原理：在医学研究中，有时尽管只考察一个处
理因素的作用，但常控制一个非处理因素，以使 各处理组间的基本条件更相近，减少/分析个体间 差异对研究结果的影响，比成组设计更容易检验 出处理因素间的差别，提高了研究效率。这种研 究设计也称配伍组设计或随机区组设计 （randomized block design)
95% Confidence Interval for M ea n
Lower Bound Upper Bound
7.2634
12.7366
10.4683
17.13223
11.4777
8.9115
11.6599
M in i mu m 7.00
10.00 6.00 8.00 6.00
肌肉注射 12 16 15 10 16
13.8
皮下注射 9 7 6 11 7
8
口服 12
8 8 10 9
9.4 10.3
列举存在的变异及意义
1、总变异：全部的21个数据之间大小不等，与总体 均数也不同，这种变异称为总变异。
2、组间变异：四个组均数不等，与总体均数也不相 同，存在变异：反映不同给药方式的效果和随机 误差。
N 6 5 5 5
21
Descriptiv es
单因素完全随机随机区组方差分析SPSS
2023.01
4
➢ 数据格式 n行2列 （指标变量、分组变量）
2023.01
5
➢ 检验环节
Analyze →Compare Means →One-Way ANOVA
2023.01
6
One-Way ANOVA 对话框
2023.01
多重比较
选项
7
Post Hoc Multiple Comparisons 对话框
单原因方差分析旳SPSS实现
2023.01
1
SPSS单原因方差分析过程名
完全随机设计方差分析： Analyze Compare Means
One－Way ANOVA
随机单位组设计方差分析： Analyze General Linear Models
Univariate
2023.01
2
1. 完全随机设计资料旳方差分析One-Way ANOVA
2023.01
3
表1 三组战士的第一秒用力肺活量(L)
对照组 锻炼组 药物组 合计 3.25 3.66 3.44 3.32 3.64 3.62 3.29 3.48 3.48 3.34 3.64 3.36 3.16 3.48 3.52 3.64 3.20 3.60 3.60 3.62 3.32 3.28 3.56 3.44 3.52 3.44 3.16 3.26 3.82 3.28
例1 某高原研究组将籍贯相同、年龄相同、身高 体重接近旳30名新战士随机分为三组，甲组为对 照组，按常规训练，乙组为锻炼组，每天除常规 训练外，接受中速长跑与健身操锻炼，丙组为药 物组，除常规训练外，服用抗疲劳药物，一月后 测定第一秒用力肺活量(L)，成果见表。试比较 三组第一秒用力肺活量有无差别。
单因素随机区组实验设计
单因素随机区组实验设计一、单因素随机区组实验设计的基本特点心理和教育科学研究中，被试的个体差异是误差变异的重要来源。
它常常会混淆实验处理的效应，因此是无关变异。
随机区组设计使用区组方法减小误差变异，即用区组方法分离出由无关变量引起的变异，使它不出现在处理效应和误差变异中。
单因素随机区组设计适用于这样的情境：研究中有一个自变量，自变量有两个或多个水平(P ≥2)，研究中还有一个无关变量，也有两个或多个水平(n ≥2)，并且自变量的水平与无关变量的水平之间没有交互作用。
当无关变量是被试变量时，一般首先将被试在这个无关变量上进行匹配，然后将他们随机分配给不同的实验处理。
这样，区组内的被试在此无关变量上更加同质，他们接受不同的处理水平时，可看作不受无关变量的影响，主要受处理的影响而区组之间的变异反映了无关变量的影响，我们可以利用方差分析技术区分出这一部分变异，以减少误差变异，获得对处理效应的更精确的估价。
另外，环境因素也是潜在可考虑的区组变量，例如，每天的时间、每年的季节、地点、仪器等方面的因素也可以进行区组，以减少误差变异，时间是一个特别有效的区组变量，因为它常常还会带来一些附加的变量，如身体的生理周期、疲劳等等。
单因素随机区组实验设计适合检验的假说有两个： (1)处理水平的总体平均数相等，即：0.1.2.:P H μμμ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=或处理效应等于0，即：0:0j H a =(2)区组的总体平均数相等，即：0.1.2.:n H μμμ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=或区组效应等于0，即：20:0i H π=图中可以看出实验中有一个自变量，自变量有4个水平。
实验中还有一个无关变量，将16个被试在无关变量上进行匹配，分为4个区组，每个区组内4个同质被试，随机分配每个被试接受一个处理水平。
二、单因素随机区组实验设计与计算举例(一)研究的问题与实验设计我们仍然利用第一节中文章的生字密度对阅读理解影响的研究做例子。
随机区组设计的方差分析
随机区组设计的基本原则
随机化原则
确保每个受试对象被随机分配到不同的处理组中， 减少系统误差。
区组同质性原则
确保区组内的对象具有较高的同质性，以减少区 组间的变异。
平衡原则
尽量平衡不同处理组中的区组数量和对象数量， 以提高实验的准确性和可靠性。
02
方差分析原理
方差分析的定义与意义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个组之间的平均值差异是否显著。它通过分析 数据的变异源，将数据变异分解为组内变异和组间变异两部分，从而评估不同组之内变异的差异， 可以判断处理因素或实验条件对总体 平均值的影响是否显著。如果组间变 异显著大于组内变异，则说明处理因 素或实验条件对总体平均值产生了显 著影响。
方差分析的适用条件
数据的分布 方差分析要求数据呈正态分布或 近似正态分布。如果数据不符合 正态分布，可能会导致错误的结 论。
样本量确定
根据实验目的和研究问题，确定适当 的样本量，以确保实验结果具有足够 的代表性和可靠性。
实验单位选择
根据实验目的和实验因素的性质，选 择适当的实验单位，如个体、群体或 组织等。
实验设计的随机化与重复性
随机化原则
在实验过程中，应遵循随机化原则，确保每个实验单位被随机分配到不同的处理组，以减少系统误差和偏倚。
随机区组设计的特点包括：能够控制和减少 实验误差、提高实验效率、适用于小样本实
验等。
生物统计中随机区组设计的实例分析
以植物生长实验为例，将不同品种的植物分成若干组，每组内的植物接受不同的肥料处理，通过方差分析等方法比较不同处 理对植物生长的影响。
在动物实验中，可以将不同年龄、性别或体重的动物分成若干组，每组内的动物接受不同的药物处理，通过方差分析等方法 比较不同药物对动物生理指标的影响。
单因素随机化区组设计的方差分析例子
例子：研究者想考察三种背景音乐（摇滚乐、爵士乐和古典音乐）对英语单词记忆效果的影响。
从同一班级中挑选了45人参加实验，事先对他们的智商、英语基础等方面进行了评定，按照评定情况以及其他特点对被试进行了配伍，每三人一伍。
在进行实验时，每个配伍组的三个被试分别分配给一种背景音乐，在该背景音乐中学习40个陌生的英语单词。
30分钟后进行测试，要求被试根据中文意思默写出刚才学习过的单词，写对一个积一分。
被试的成绩如表12章-数据1所示。
问：不同的背景音乐对英文单词的记忆效果是否有显著影响？。
方差分析的应用范围单因素完全随机设计,随机化区组设计,拉丁方
方差分析(ANOVA)方差分析的应用范围单因素完全随机设计, 随机化区组设计,拉丁方设计多因素析因设计,裂区设计,交叉设计,正交设计多变量多元方差分析回归方程的假设检验第一节完全随机设计与资料分析方差分析目的：根据多个组间样本均数的差别推断总体均数是否存在差别。
一、方差分析的基本思想：表12.2 红细胞沉降率(mm/h)抗凝剂红细胞沉降率niX S2Σx Σx2甲17, 16, 16, 15 4 16.0 0.67 64 1026 乙10, 11, 12, 12 4 11.3 0.92 45 509 丙11, 9, 8, 9 4 9.3 1.58 37 347 合计12 12.2 3.17 146 1882观察值之间有变异，这变异可以用离均差平方和表示。
67.105)(112..=-=∑∑==GinjijTixxSS进一步分析，总变异中有两类变异：1. 组内变异，指各组内观察值的差异50.9)1()(12112.=-=-=∑∑∑===GiiiGinjiijWsnxxSS i2. 组间变异，指各组间样本均数与总均数的差异17.96)(12...=-=∑=GiiiBxxnSS由于组内变异完全是个体间的差异，因此可以认为是随机误差。
而组间变异反映组间均数的差异，其可能仅仅包含随机误差，这时零假设成立。
也可能除随机误差外，还包含处理的效应，这时则备择假设成立。
组间变异和组内变异的自由度不同，无可比性。
计算均方，再进行比较：37.4506.109.489/50.92/17.96)/()1/(====--=WBWBMSMSGnSSGSSF二、方差分析的基本步骤1. 方差分析的基本条件a. 各组观察值分别服从总体均数为μi的正态分布。
b. 各组观察值总体方差相等。
多组间的方差齐性检验检验假设：H0：σ21=σ22=…=σ2G，H1：σ2i不全相等，α=0.150.0])(111[)1(311)ln()1()/ln()(12122=----+---=∑∑==Gi iiGiicGnnGSnGSGnχ查表得p>0.75，差异无统计学意义，故认为各组间方差不齐。
单因素随机区组试验设计的方差分析
N-K法，也称q检验
q
(X X )
1
2
MS e
(
1
1
)
2nn
1
2
q值表的自由度为误差项的自由度
LSD法—最小有意义差法
H : H :
0
i
j
1
i
j
Y Y
i
j
~t
11
( df3 )
MS ( )
en n
i
j
自由度为误差项自由度
适用情况 研究中有两个试验变量，变量有两个或
多个水平 研究中还有一无关变量，也有两个或多
个水平 并且试验变量的水平和无关变量的水平
之间没有交互作用。
数据结构
A1 B1 A1 B2 A1 B3
区组一 X111… X121… …
X11r
X12r
A2 B1
A2 B2
A2 B3
X161… X16r
是不同的区组。
数据结构
A1
A2
A3
A4
区组一 x11
x12
x13
x14
区组二 x21
x22
x23
x24
区组三 x31
x32
x33
X34
区组四 x41
x42
x43
x44
研究假设H :1. 00j2. 0 为区组效应
i
i
H : , 不全为零
1
ji
x
ij
j
i
ij
双因素随机区组试验设计的方 差分析
多重比较法有许多种
几种常用多重比较方法
N-K法，也称q检验，由Newman-Keul提 出
LSD法—最小有意义差法 Bonfenomi不等式—a large number of
近来关于随机区组和被试内实验设计以及对应的方差分析的问题
一、随机区组的被试分配：a1 a2区组 b1 b2 b1 b21 1 4 7 102 2 5 8 113 3 6 9 12是个2*2随机区组设计，3个区组。
如何分配被试？首先，随机区组的每个区组的被试应该是有差异的，否则就不需要分区组了，直接完全随机就可以了。
因此随机区组的前提是：区组间异质，而区组内的被试尽可能同质。
被试有以下几个情况：第一分配方式：假设该实验的被试总个数为24个，每个区组的被试为8个。
他可以有两种分配方式1、将每组中的任意每2个被试随机接受一种处理，2*4=82、8人同时接受所有的处理，1*8=8需要注意的三个问题：1、一般都用第一种情况，第二种不用，因为区组内的这8个人本来就是理论上的同质的，所以只要把他们分开，随机接受不同的处理就能说明问题，这样可以省时，省钱，还能避免每个人由于重复测量导致的额外变量的增加。
2、它强调了区组内的被试随机接受不同的实验处理，也因此叫随机区组。
3、它要求每个区组的被试单位应该是实验处理水平的整数倍。
如8/4=2第二种分配方式：假设该实验的被试一共是3个，就是说，一个被试为一个区组。
那么每个区组的这个被试全部接受实验的4个不同水平的处理。
这个时候就需要平衡实验的顺序，防止一个人不短的被实验而出现的顺序效应，如何平衡，一般用“ABBA”或所谓的“拉丁方”。
第三种分配方式：当一个大团体（如学校）为一个区组的时候，而大团体中又有小团体的时候（如学校中的班级），通常让一个小团体接受一种处理。
例如：ABC分别是不同的三个学校，他们各自为一个区组，那么A学校是区组一，A学校就要抽四个班级出来，每个班级随机接受一种实验处理。
注意：传统的观点认为上述“第二种方式”----一个被试为一个区组的情况不叫区组，叫被试内设计，就是因为每个被试都接受了不同的实验处理，因此没有随机可言。
其具体的方差分析和随机区组的方差分析也有所差别。
表现在SS残差的是否细分。
具体往下看。
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MSr Fr MSe MSb Fb MSe
变异来源 组间 区组
平方和 SSB SSR
自由度 k-1 n-1
均方 MSB MSR
F F=MSB/MSE F=MSR/MSE
p <0.05 或>0.05
误差
总变异
SSE
SST
（k-1）(n-1)
nk-1
MSE
例9-6：为研究听、触觉刺激对视觉的干扰效 果，随机抽取5名被试分别在5种不同的干扰下读
组内变异源于组内被试间的差异和实验误差，怎样
将被试间差异引起的变异从组内变异中分离出来，
从而提高F检验的精确度和灵敏度？
随机区组设计
单因素随机区组设计的方差分析
主要内容
随机区组设计（重点） 方差分析（重点）
1 随机区组设计
某研究要探讨文章的生字密度对学生阅读理解的影响， 生字密度有4个水平。由于考虑到学生的智力可能对阅读 理解测验分数产生影响，在实验实施之前，研究者首先 给32个学生做了智力测验，并按智力测验的分数将学生 分为8个区组，然后随机分配每个区组内的4个同质被试 分别阅读一种生字密度的文章，并回答阅读理解测验中 有关文章内容的问题。
k
( X ) 2
i 1
nj
nj
利用样本统计量进行方差分析（
SSB n ( X j X t )
j 1 k 2
X
k
2 ， ，n j ） S j j
SSB n j ( X j X t ) 2
j 1
SSW ( X ij X j ) n s 2 j
SST X
j 1 i 1
nj
k
nj
2
2
( X ) 2
j 1 i 1
k
nj
N
N=
n
j 1 k
k
j
SS
B j 1
kห้องสมุดไป่ตู้
( X )
i 1
n
nj
( X )
j 1 i 1
k
n
2
j
N
2 k
N=
n
j 1
j
SSW SST SSB X
j 1 i 1 j 1
密度1 区组1 区组2 … 区组8 密度2 密度3 密度4
S11 S21
…
S12 S22
…
S13 S23
…
S14 S24
…
S81
S82
S83
S84
随机区组设计是指为了减少被试间个别差异对结果
的影响，在实验中将实验对象按一定的标准划分为
几个区组，使每个区组内的被试尽量保持同质,每 个区组均接受所有实验处理，但组中的每个被试只 随机地接受一种实验处理。由于同一区组接受所有 实验处理，使实验处理之间有相关，因此又称为相
英文字母。结果如下。试分析听、触刺激的干扰
对视觉是否有显著影响？
例9-6
区组 强声 弱声
SS t X X
2
2
nk
重压
轻压
控制 ∑R
∑R2 2293 2159
1
2 3
21
22 14
22
16 14
20
23 23
22
19 24
22
23 20
107 103
95
129 73
1897
2 t
个别差异
实验误差
S S S S
2 b 2 r
2 e
SSR
R 1
n
( X )
j 1
k
2
k
( X )
j 1 i 1
k
n
2
nk
2.2 分析过程
① 平方和
总的： 处理：
SS t X X nk
2 2
SSb
区组：
SSr
R R
提高方差分析的效率。
缺点：划分区组比较困难，如果不能保证同一区
组内尽量同质，则有可能出现更大的误差。
2 方差分析
在随机区组实验设计中，用方差分析法对多个相关 样本平均数差异所进行的显著性检验，称之为随机 区组设计的方差分析。
2.1 原理
S S S
2 t 2 b
2 w
误差变异 Se 2
区组变异 Sr2
2
2
n
nk
1022 912 1042 2 1062 5072 SSb 29.64 5 5 5
2
X X
2
2
n
nk
2
k
nk
误差：
② 自由度
SSe SSt SSb SSr
dft nk 1
dfb k 1
MSr SSr dfr
MSe SSe dfe
④ F值
dfr n 1
dfe dft dfb dfr
③ 均方
MSb SSb dfb
2 j 1 i 1 j 1
k
n
k
SSW ( X ij X j ) 2 n j s 2 j
j 1 i 1 j 1
k
nj
k
在单因素完全随机设计的方差分析中，当组间变异
确定的情况下，F值的大小就取决于组内变异量的
大小。组内变异越大，F值就越小，组间变异就越 有可能达不到显著性水平，这样就有可能掩盖本来 存在的研究变量的影响效应。
关组设计。
一般格式：
处理1 区组1 被试11…
处理2 被试12…
… …
处理k 被试1k…
区组2
… 区组n
被试21…
… 被试n1…
被试22…
… 被试n2…
…
… …
被试2k…
… 被试nk…
步骤： 先分析被试间哪个变量的差异会造成实验中测量数
据的不同，根据此变量将被试划分为几个区组，使
得每个区组内被试尽量同质。 将每个区组内的被试随机地分配到各种实验处理中 接受测量。对某一区组而言，它应该接受全部实验 处理。
3353 1071
4
5
29
16
24
15
24
14
24
15
28
13
∑X
102
2
91 104 104 106
2
507 10773
10773
2 2
∑X2 2218 1737 2330 2222 2366
SSb
X X
n nk
SSr
R R
k nk
（1）方差齐性检验
（2）假设
Ho：各刺激效果不显著，即不存在处理效应；
5个区组的总体平均数是相同的，即不存在区组效
应。 （3） 计算F值 ①平方和
SS t X X nk
2 2
507 SSt 10773 497.04 5 5
2
SSb
X X
每个区组内被试人数的分配情况：
每个区组内被试人数是实验处理数的整数倍；
1个被试作为一个区组（重复测量实验设计）； 区组内的基本单位不是个别被试，而是以一个团 体为单位。
总之，每一区组应接受全部实验处理，每一种实验
处理在不同区组中重复的次数也应完全相同（各区
组内人数相同）。
优点：可以将个别差异从组内变异中分离出来，