构造法求数列通项公式

创作编号：

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创作者： 凤呜大王*

构造法求数列通项公式

求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。

一、构造等差数列求数列通项公式

运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

例1 在数列{}n a 中，1a =

12

，1n a +=33n n a a +（n N +

∈），求数列{}n a 通项公

式.

解析：由a n+1=33+n n

a a 得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=

-+n n a a

11

13

1

，

设b n =n a 1

，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差d=31的等差数列，

根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35

∴数列通项公式为a n =53

+n

评析：本例通过变形，将递推公式变形成为

A a a n

n =-

+1

11

形式，应用等差数列的通项公式，先求出

n

a 1

的通项公式，从而求出n a 的通项公式。

例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =

1

2

22-n n S S (n ≥2)，求S n

与a n 。

解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1

2

22-n n S S

得，S n -S n-1=

1

222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1=

S n S n-1两边除以S n S n-1得，n

S 1-11-n S =2，∴｛

n

S 1

｝是首相为1，公差为2的等差数列 ∴

n

S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =

121

-n (n ≥2),n=1

也适合，∴S n =

1

21-n (n ≥1)

当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -3

21-n =-

3

8422

+-n n ，n=1不满足此式，

∴a n =

{

2

11

3

8422

≥=+--n n n n

评析：本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(，先求出)(n f 的通项公式，

再求出原数列的通项公式，条件变形是难点。

二、构造等比数列求数列通项公式

运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成

为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出

n a 的通项公式。

例3在数列｛a n ｝中，a 1=2，a n =a n-12(n ≥2)，求数列｛a n ｝通项公式。

解析：∵ a 1=2，a n =a n-12(n ≥2)＞0，两边同时取对数得，lg a n =2lg a n-1

∴1

lg lg -n n a a

=2， 根据等比数列的定义知，数列｛lg a n ｝是首相为lg2，公比为2的等

比数列，根据等比数列的通项公式得lg a n =2n-1lg2=1

22lg -n

∴数列通项公式为a n =1

22

-n

评析：本例通过两边取对数，变形成1log 2log -=n n a a 形式，构造等比数列

{}log n a ，先求出n a log 的通项公式，从而求出n a 的通项公式。

例4在数列｛a n ｝中，a 1=1，a n+1=4a n +3n+1，求数列｛a n ｝通项公式。

解析：设a n+1+A （n+1）+B=4（a n +An+B ），（A 、B 为待定系数），展开得a n+1=4a n +3An+3B-A ，与已知比较系数得

{

133

3=-=A B A ∴{

3

21==B A

∴a n+1+（n+1）+

32

=4（a n +n+32）

，根据等比数列的定义知，

数列｛a n +n+

32｝是首项为38，公比为q=3的等比数列，∴a n +n+32

=

3

8×3n-1

∴数列通项公式为a n =

3

8

×3n-1

-n-32

评析：待定系数法是构造数列的常用方法。

例5 在数列｛a n ｝中，a 1=1 ，a n+1a n =4n ，求数列｛a n ｝通项公式。

解析：∵a n+1a n =4n ∴a n a n-1=4 n-1 两式相除得

1

1-+n n a a =4 ，

∴a 1，a 3，a 5……与a 2，a 4 ，a 6 ……是首相分别为a 1，a 2 ，公比都是4的等比数列，

又∵a 1=1，a n+1a n =4n ，∴a 2=4 ∴a n =

{

n

n n n 2

214

4

-

练习：1.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 解：由条件知1

1+=+n n

a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即

1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n

n 1

433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=

a ，n

a n 32

=∴ 解：由条件知1

1+=+n n

a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即

1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n

n 1

433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=

a ，n

a n 32

=∴ 2. 数列{a n }满足a 1=1，a n =

2

1

a 1-n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。 解：由a n =21a 1-n +1（n ≥2）得a n －2=2

1

（a 1-n －2），而a 1－2=1－2=－1，

∴数列{ a n －2}是以21

为公比，－1为首项的等比数列

∴a n －2=－（21）1-n ∴a n =2－（2

1）1

-n