构造法求数列通项公式

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构造法求数列通项公式

——构造法（待定系数法）
作者：刘高峰 2016.10 北京师范大学东莞石竹附属学校
复习回顾
一、观察法：如数列二、公式法：
1, 1 , 1 , 1 , 1 , 3579
1、等差数列：an a1 (n 1)d
2、等比数列：an a1qn1
3、an Sn Sn1 (n 2) ——（作差法）
巩固练习
练习2：已知数列{an }中，a1

3 2
，2an

an1

6n

3，
求an .
课后思考
1、形如 an1 pan an2 bn c 如何求通项公式？已知数列{an} 满足：a1 1, an1 2an 3n2 4n 5，求an .
2、形如 an1 pan qn 如何求通项公式？已知数列{an}满足：a1 1, an1 3an 2n ，求 an .
课后作业
1、已知数列an中，a1 1 ，an1 2an 3，求 an .
2、已知数列an 中，a1 1, an 4an1 n 1, (n 2)，
求 an .
再见！
巩固练习
练习1：已知数列{an }中，a1

2
，an1

1 2
an

1 2
，
求数列的通项an .
知识延伸
例2、已知数列{an} 中，a1 ， 1 an1 3an 2n ，求 an .
规律总结
an1 pan kn b
an1 x(n 1) y p(an xn y)
问题探究
例1、已知数列{an}满足：a1 1 ，且an1 2an 1 ，（1）证明：数列{an 1} 是等比数列；（2）求 an .

(完整版)用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。

但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。

而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。

对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。

下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。

例如：中，若求a n }{n a 数列),(411,211N n a a a nn ∈+==++4,n n nn b b a b ==+1,1则设即＝４，n n b b -+1｝是等差数列。

n b {∴可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{ a n }的通项。

n b 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足求a n),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+2)数列{ a n }中，求a n 通项公式。

,22,111+==+n nn a a a a 3)数列{ a n }中,求a n .),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且二．构造形如的数列。

2n n a b =例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，,),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-求数列{ a n }的通项公式。

(完整版)数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

例1 在数列{}n a 中，1a =12，133n n n a a a +=+（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由313n n a n a a ++=得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131，设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知，数列｛b n ｝是首项b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。

解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1222-n n S S 得，S n -S n-1=1222-n n S S ，变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-11-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴S n =121-n (n ≥1) 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=121-n -321-n =-38422+-n n ，n=1不满足此式， ∴a n ={21138422≥=+--n n n n二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f （n+1）=Af （n ）（其中A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义知)(n f 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

高考数学构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析版)

构造法求数列通项的八种技巧(二)【必备知识点】◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧.模型一：a n +1=nn +1⋅a n 左右同乘n +1 (n +1)a n +1=n ⋅a n ,构造b n =n ⋅a n ,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型二：a n +1=n +1n ⋅a n 左右同除n +1 a n +1n +1=a n n ,构造b n =a n n,则b n +1=b n ,b n 为常数数列.模型三：a n +1=n +2n ⋅a n 左右同除n +2 n +1 a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1),构造b n =a n n (n +1),则b n +1=b n,b n 为常数数列.模型四：na n +1=2(n +1)a n 左右同除n n +1a n +1n +1=2a n n ,构造b n =an n,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型五：a n +1=n +2n ⋅S n ⇒S n +1-S n =n +2n ⋅S n ⇒S n +1=2n +2n ⋅S n 左右同除n +1 S n +1n +1=2S n n,构造b n =S nn ,则b n +1=2b n ,b n 为等比数列.模型六：a n +1=n +1n ⋅a n +n +1左右同除n +1 a n +1n +1=a n n +1,构造b n =a n n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型七：a n +1=2a n +2n +1左右同除2n +1a n +12n +1=a n 2n +1,构造b n =a n 2n,则b n +1=b n +1,b n 为等差数列.模型八：a n -a n +1=a n a n +1左右同除a n a n +11a n +1-1a n =1,构造b n =1an ,则b n +1-b n =1,b n 为等差数列.看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将n +1和a n +1,n 和a n 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=23,a n +1=nn +1⋅a n,求a n . 【解析】因为a n +1=nn +1a n,所以(n +1)a n +1=na n .令b n =na n ,则b n =b n +1,即b n 是常数数列,所以b n=b 1,即na n =1×a n =23,a n =23n.【经典例题2】已知数列a n 中,a n +1=nn +2a n且a 1=2,求数列a n 的通项公式.【解析】因为a n +1=nn +2a n,所以(n +2)a n +1=na n ,(n +1)(n +2)a n +1=n (n +1)a n .令b n =n (n +1)a n ,则b n +1=b n ,即b n 是常数数列,所以b n =b 1.因此n (n +1)a n =1×2×2,a n =4n (n +1).【经典例题3】已知数列a n 中,na n +1=2(n +1)a n +n (n +1)且a 1=1,求数列a n 的通项公式.【解析】na n +1=2(n +1)a n +n (n +1),等式两侧同除n (n +1),形成a n +1n +1=2a n n +1,令b n =an n,则b n +1=2b n +1,这又回到了构造一的形式,所以b n +1+1=2(b n +1),b n +1 是以2为首项,2为公比的等差数列,即b n +1=2×2n -1=2n , b n =2n -1,所以a nn=2n -1,a n =n (2n -1).【经典例题4】已知a 1=1,且na n +1=(n +2)a n +n ,求数列a n 的通项公式.【解析】等式两侧同除n (n +1)(n +2),得a n +1(n +1)(n +2)=a n n (n +1)+1(n +1)(n +2),即a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)(n +2),a n +1(n +1)(n +2)-a n n (n +1)=1(n +1)-1(n +2),另b n =a n n (n +1)，所以b n +1-b n =1(n +1)-1(n +2),接下来就是叠加法发挥作用的时候了b 2-b 1=12-13b 3-b 2=13-14b 4-b 3=14-15⋯⋯b n -b n -1=1n -1(n +1)叠加得b n -b 1=12-1(n +1),b 1=a 12=12,所以b n =1-1(n +1)=n n +1，即a n n (n +1)=nn +1，a n =n 2.【练习1】已知数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则a 10=()A.28B.128C.-28D.-128【答案】B【解析】数列a n 满足a 1=1,a n -a n +1=3a n a n +1,则:1a n +1-1a n=3(常数)则：数列1a n 是以1a 1=1为首项,3为公差的等差数列。

构造法求数列通项公式专题讲座ppt课件

令 1 1 ( 1 ), 则 3 , 3
an1
2 an
22
1 3 1 ( 1 3), 又 1 3 5
an1
2 an
a1
2
1 an
3
是首项为 5
2
1 公比为 2 的等比数列
1 3 5 ( 1 )n1, 1 3 5 ( 1 )n1
an an
3
22 1 5 (1)n1
1 2
,
1 an
是首项为
1 2
公差3的等差数列。
1 an
1 (n 1) 3 3n 5
2
2
6n 2
5
,
a
n
2 6n 5
例6数列 an
中，a1
2, an1
2an 1 3an
，求 an
解： an1
2an 1 3an
1 ,
an1
1 3an 2an
3 11
2 2 an
构造法的定义
• 所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。
类型1形如 an1 pa nq p 1, p 0,q 0 的递推式
• 基本思路：可用待定系数法,设an1 pan
•bn p(an An2 Bn C) ;
• (2)本题也可由 an 3an1 2n 1 • , an1 3an2 2(n 1) 1
• （ n 3 ）两式相减得
an an 1 3(an 1 an 2 ) 2
• 转化为 bn2 pbn1 qbn 求之.
练习1 数列 an 前 n 项和为 Sn

高考数学构造法求数列通项的八种技巧(三)(解析版)

构造法求数列通项的八种技巧(三)【必备知识点】◆构造六:取对数构造法型如a n +1=ca n k ,a n =ca n -1k或者a n +b =c (a n -1+b )k ,b 为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.【经典例题1】数列a n 中, a 1=2,a n +1=a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以a 1=2为底的对数(不能取c 为底,因为c =1,不能作为对数的底数),得到log a n +12=log an22,log a n +12=2log a n2,设b n =log a n2,则有b n +1=2b n ,所以b n 是以b 1=log a 12=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n =2n -1,所以log a n2=2n -1,a n =22n -1.【经典例题2】数列a n 中,a 1=1,a n +1=2a n 2,求数列a n 的通项公式.【解析】取以2为底的对数(这里知道为什么不能取a 1=1为底数的对数了吧),得到log a n +12=log 2a n22,log an +12=log 22+2log a n2,log a n +12=1+2log a n2设b n =log an2,则有b n +1=1+2b n ,这又回归到构造二的情况,接下来的步骤大家应该都记得吧,由于这道题较为简单,所以直接可看出b n +1+1=2(b n +1),所以b n +1 是以b 1+1=1为首项,2为公比的等比数列,所以b n +1=2n -1,所以b n =2n -1-1,log a n2=2n -1-1,a n =22n -1-1.【经典例题3】已知a 1=2,点a n ,a n +1 在函数f x =x 2+2x 的图像上,其中n ∈N *,求数列a n 的通项公式.【解析】将a n ,a n +1 代入函数得a n +1=a n 2+2a n ,a n +1+1=a n 2+2a n +1=a n +1 2,即a n +1+1=a n +1 2两边同时取以3为底的对数,得log a n +1+13=log a n+123⇒log a n +1+13=2log a n+13(为什么此题取以3为底的对数呢,大家思考下,新构造的数列首项为log a 1+13,a 1+1=3,所以应当取以3为底,这样计算会简单很多,当然如果你计算能力较强,也可以取其他数作为底数).所以log a n+1 3 是以1为首项,2为公比的等比数列,即log a n+1 3=1×2n -1,a n +1=32n -1,a n =32n -1-1.【经典例题4】在数列a n 中, a 1=1,当n ≥2时,有a n +1=a n 2+4a n +2,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=a n 2+4a n +2,得a n +1+2=a n 2+4a n +4,即a n +1+2=a n +2 2,两边同取以3为底的对数,得log a n +1+23=log a n+223,即log a n +1+23=2log a n+2 3,所以数列log a n+2 3是以1为首项,2为公比的等比数列,log a n+23=2n -1,a n +2=32n -1,即a n =32n -1-2.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于a n +1=Aa n +Ba n -1的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为a n +1-a n =(A -1)a n -a n -1 ,利用a n +1-a n 成等比数列,以及叠加法求出a n .还有一小部分题型可转化为a n +1+a n =(A +1)a n +a n -1 ,利用a n +1+a n 成等比数列求出a n .【经典例题1】已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3,a n +2=3a n +1-2a n n ∈N * ,求数列a n 的通项公式.【解析】由a n +1=3a n -2a n -1⇒a n +1-a n =2a n -a n -1 ,故a n +1-a n 是以a 2-a 1=2为首项,2为公比的等比数列,即a n +1-a n =a 2-a 1 2n -1=2n ,接下来就是叠加法啦,a n -a n -1=2n -1...a 2-a 1=2全部相加得:a n -a 1=2n-2,所以a n =2n -1.【经典例题2】已知数列a n 中,a 1=1,a 2=2,a n +2=23a n +1+13a n ,求数列a n 的通项公式。

何海力. 用构造法求数列通项公式

｛
ａ．ｎ）
是以ａ公比为２ ∴ 数列｛ａａａｎ＋１－ｎ｝２－１＝２为首项，的等比数列．
ｎ－１ｎ ∴ ａａ＝２．ｎ＋１－ｎ＝２×２２ｎ－１，， …， ∴ ａ－ａ＝２ａ－ａ＝２ａａ．２１３２ｎ－ｎ－１＝２
２【】，例７满足ａａａａｎ≥ 设正项数列｛ｎ｝１＝１ｎ＝３ｎ－１（
），求数列｛的通项公式．２ａｎ｝ｒ），分析：对于ａ一般是两边ａａ０ｐｐ＞０，ｎ＋１＝ｎ型（ｎ＞取以ｐ为底的对数．
２解： ∵ ａａｎ＝３ｎ－１，２ ∴ ｌｏａｌｏ３ａ＝ｌｏ３＋２ｌｏａｇｇｇｇ３ｎ＝３（ｎ－１）３３ｎ－１．（） ∴ ｌｏａｏａｇｇ３ｎ＋１＝２ｌ３ｎ－１＋１．
ｎ－１ｎ－１， ∴ ｂ ∴ ｌｏａ．ｇｎ＝１×２３ｎ＋１＝２
），求数列｛的通项公式．２ａｎ≥２ａｎ－１（ｎ｝分析：若ｐ＋则构造为ａａａｑ≠１，ｑｐ（ｎ＋２＋ｎ＋１＝ｎ＋１＋
ａ．ｑｎ），解：设ａａａａ ∴ｐ－ｑｐ（ｑｑ＝１，ｐｑ＝ｎ＋２＋ｎ＋１＝ｎ＋１＋ｎ）
解： ∵
ａｎ，ａ１ａ２ …，ａｎ＋１２３ｎ＝ ∴ ＝，＝，＝ａａｎ＋１ａ２ａ３ｎ１２ｎ－１
ｎ－１．ｎａ１以上ｎ－１个式子左右两边分别相乘得ｎ＝．ａｎ１

构造法求递推数列的通项公式

巧用构造法求递推数列的通项公式蒋明权利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。

本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。

一、构造等差数列法例1.在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项公式a n 。

解：对原递推式两边同除以n n n ()()++12可得：a n n a n nn n +++=++12112()()()① 令b a n nn n =+()1② 则①即为b b n n +=+12，则数列{b n }为首项是b a 1111132=+=()×，公差是b b n n +-=12的等差数列，因而b n n n =+-=-3221212()，代入②式中得a n n n n =+-12141()()。

故所求的通项公式是a n n n n =+-12141()() 二、构造等比数列法1.定义构造法利用等比数列的定义q a a n n=+1，通过变换，构造等比数列的方法。

例2.设在数列{a n }中，a a a a n n n 112222==++，，求{a n }的通项公式。

解：将原递推式变形为a a a n n n++=+12222()① a a a n n n+-=-12222()② ①/②得：a a a a n n n n +++-=+-1122222[]，即lg lg[]a a a a n n n n +++-=+-1122222③ 设b a a n n n =+-lg[]22④ ③式可化为a a n n +=12，则数列{b n }是以b 1＝lg[]lg lg()a a 11222222221+-=+-=+为首项，公比为2的等比数列，于是b n n n =+=+-22122211lg()lg()×，代入④式得：a a n n +-22＝()212+n ，解得a n n n=+++-221121122[()]()为所求。

构造法求数列通项公式

构造法求数列通项公式求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。

一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。

例1 在数列{}n a 中，1a =12，1n a +=33n n a a +（n N +∈），求数列{}n a 通项公式.解析：由a n+1=33+n n a a 得，a n+1a n =3a n+1-3a n =0，两边同除以a n+1a n 得，=-+n n a a11131，设b n =n a 1，则b n+1-b n =31，根据等差数列的定义知，数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差d=31的等差数列，根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31n ＋35∴数列通项公式为a n =53+n评析：本例通过变形，将递推公式变形成为A a a nn =-+111形式，应用等差数列的通项公式，先求出na 1的通项公式，从而求出n a 的通项公式。

例2在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1222-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。

特殊数列求通项公式4构造法

an1 A2(n1) 3(an A2n ) 3A2n - A2n1 2n A 1 解：an1 3an 2n an1 2(n1) 3(an 2n )
{an 2n}是以a1 2 3为首项，以3为公比的等比数列
an 2n 3.3n1 3n an 3n 2n
例：在数列an 中， a1 1，an 3an1 2 3n
an1 A(n 1) B 3(an An B)
2An 2n {
A B 3B
A {B
1 1
2
解：an1
3an
2n
a
1) 2
{an
n
12}是以a1
1
1 2
5 2
为首项，以3为公比的等比数列
an
n
1 2
5 2
.3n1
an
5 .3n1 2
n
1 2
变式2：已知a1 1, an1 3an 2n (n 1)，求an
例题：已知 a1 1, an1 3an 2(n 1)，求an
解： an 3an1 2 ① an1 3an 2 ②
an1 an a2 a1 3n1 4 3n1
② ①可得： an1 an 3 an an1
an an1 4 3n2
an1 an是公比为 3 的等比数列
析：设 an 3 an1 即an 3an1 2
对比an 3an1 2 ，可得 1
an 1 3 an1 1 an 1 是公比为3 的等比数列
解：an 1 3 an1 1
an 1 是公比为3 的等比数列
an 1 a1 1 3n1
an 2 3n1 1
变式1：已知a1 1, an1 3an 2n(n 1)，求an
已知递推公式求通项公式 4构造法

用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用例1:（06年福建高考题）数列{}=+==+n n n n a a a a a 则中12,1,11 ( )A ．n 2B ．12+nC ．12-nD ．12+n 解法1：121+=+n n a a 又211=+a{}1+n a 是首项为2公比为2的等比数列12,22211-=∴=⋅=+-n n n n n a a ,所以选C解法2归纳总结：若数列{}n a 满足q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。

例2：数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。

解：)(2112n n n n a a a a -=-+++212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。

112--=-n n n a a ，（n>1）n>1时显然n=1时满足上式小结：先构造{}n n a a --1等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式，例3：已知数列{}n a 中)3(,32,2,52121≥+===--n a a a a a n n n 求这个数列的通项公式。

解：2132--+=n n n a a a又{}121,7-+=+n n a a a a 形成首项为7，公比为3的等比数列，则2137--⨯=+n n n a a ………………………①又)3(3211-----=-n n n n a a a a ，13312-=-a a ，{}13--n n a a 形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列则21)1()13(3---⋅-=-n n n a a ………………………② ①+⨯3② 11)1(13374---⋅+⨯=n n n a小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。

构造法求递推数列的通项公式

构造法求递推数列的通项公式递推数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项都通过前面的若干项来定义。

在求递推数列的通项公式时，可以使用构造法来寻找规律并给出通用的表示方式。

本文将通过生动的例子和详细的步骤，介绍构造法求递推数列的通项公式。

首先，让我们来了解一下什么是递推数列。

递推数列是一种数列，它的每一项都可以通过前面的一些项来计算得到。

比如，斐波那契数列就是著名的递推数列，它的定义如下：F(1) = 1,F(2) = 1,F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n>2).在构造法求递推数列的通项公式时，我们可以通过观察一些已知项之间的关系，来寻找递推规律。

下面，我们以斐波那契数列为例，阐述具体的步骤。

首先，我们可以列出斐波那契数列的前几项：1, 1, 2, 3, 5,8, ...然后，我们观察第n项与前面的一些项之间的关系，看是否能找到递推规律。

在斐波那契数列中，我们可以发现每一项都是前两项之和，即 F(n) = F(n-1) + F(n-2)。

接下来，我们将这个关系式写成通用的形式，即 F(n) = F(n-1)+ F(n-2) (n>2)。

再进一步，我们可以将这个递推式转化为通项公式，即找到一个表达式，可以直接计算出第n项的值。

为此，我们假设斐波那契数列的通项公式为 F(n) = k^n (k为待确定的常数)。

代入递推式，我们得到以下等式：k^n = k^(n-1) + k^(n-2) (n>2).现在，我们需要解这个等式，以确定常数k的值。

经过一些代数操作和化简，我们得到：k^2 - k - 1 = 0.这是一个关于k的二次方程，可以使用求根公式解得。

经过计算，我们得到两个根：k₁≈ 1.61803 和 k₂≈ -0.61803。

由于数列是有实际含义的，我们可以排除k₂≈ -0.61803。

因此，斐波那契数列的通项公式为：F(n) = k₁^n ≈ 1.61803^n.这个公式可以用来直接计算任意项的值，从而避免逐项递推的麻烦。

用构造法求数列通项公式

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一，一１ａ１
）构造成等比数列再求通项公式．，解：口一２将ａ＋５化为ａ＋￡（）展开＝２ａ＋，
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用累乘法求解．
解。ｎ＇丢ａ号… 一：ａ — ．，一，，．Ｔ ’Ｉ．．＝３亳
以上竹个式子左右两边分别相乘得“ 一÷．一１，１ｆ
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２２１ … ，ｎ一 — ２ｎ１－１ × — ，ｎ一１（－），
是高考重点考查的内容之一．下面介绍几种常见的用构造法求数列通项公式的类型．
— １（型 — ｎ＋一口一厂）
｛的通项公式．ａ）分析：ｎ一把ａ转化为
％，求
【１已知数列｛中，，ｎｌｎ１例】ｎ｝口：Ｏａ＋＝ｎ＋２－，
求数列｛的通项公式．ａ）分析：ｎ＝口＋２－１把ｎ转化为ａＪａ＝厂）＝（，＝然后用累加法求通项公式．
解：’ １２－１．ａ一口 — ２ — １吼一２ ‘口＋一口－ｎ，．２１ ×１，．。
ＺＨＯＮＧＸＪＡＵＥＣＮＫＡＵＥＩＯＸＡＯ
用构造法求数列通项公式
广西南宁市邕宁高级中￣（３２０何海力５００）
数列历年来是高考命题的热点，数列通项公式史求

如何构造辅助数列求数列的通项公式

构造法是解答数学问题的重要方法，也是解答复杂数列通项公式问题的常用方法.有些数列的递推式较为复杂，我们很难快速求得数列的通项公式，此时，可转换思考问题的角度，通过构造辅助数列，将问题转化为熟悉的等差或等比数列的通项公式问题来求解，这样能化难为易、化繁为简，使问题顺利得解.一、引入参数，构造辅助数列对于形如a n+1=pa n+q（p,q为非零常数）的递推式，可引入参数t，将递推式转化为a n+1+t=p()a n+t的形式，通过对比系数，求得t的值，便可构造出等比数列{}an+t，根据等比数列的通项公式求得数列{}an+t的通项公式，即可得到数列{}a n的通项公式.例1.在数列{}a n中，a1=1，a n+1=2a n+5，求数列{}an的通项公式.解：设a n+1+t=2()a n+t，得a n+1=2a n+t，由a n+1=2a n+5得t=5，则数列{}an+5是以a1+5=6为首项，2为公比的等比数列.可得an+5=6∙2n-1，所以a n=3∙2n-5.仔细观察递推式a n+1=2a n+5，可知数列{}a n既非等差数列，又非等比数列，形如a n+1=pa n+q，于是引入参数t，构造出等比数列{}an+5，即可根据等比数列的通项公式解题.例2.（2020年全国Ⅲ卷理科，第17题）已知数列{}an中，a1=3，a n+1=3a n-4n，求数列{}a n的通项公式.解：设a n+1+p()n+1+q=3()a n+pn+q，化简得，a n+1=3a n+2pn+()2q-p，由a n+1=3a n-4n可得，{2p=-4，2q-p=0，解得{p=-2，q=-1，所以数列{}an-2n-1的每一项都为0，可得a n-2n-1=0，所以a n=2n+1.此题中的递推式形如a n+1=pa n+qn，需引入两个参数，以便构造出新数列{}an通过求{}an-2n-1的通项公式，间接求得数列{}a n的通项公式.二、通过取倒数，构造辅助数列对于形如a n+1=pa n qa n+r（p,q,r为非零常数）的递推式，在求数列的通项公式时，需在递推式的左右同时取倒数，得到1a n+1-q p∙1a n=r p，然后引入参数t，将其变形为1a n+1+t=q p∙æèçöø÷1an+t的形式，从而构造出辅助数列{}1a n+t，通过求数列{}1a n+t的通项公式求得数列的通项公式.例3.在数列{}a n中，a1=1,a n+1=2a nan+2，求数列{}an的通项公式.解：在a n+1=2a nan+2的两边同时取倒数，得1an+1=1an+12，移项得1an+1-1an=12，所以数列{}1a n是以1a1=1为首项，12为公差的等差数列.可得1a n=1+12()n-1=n+12,所以a n=2n+1.观察题中所给的递推式a n+1=2a nan+2，可以发现，等式右边的分子、分母中均含有a n，且分母较复杂，于是在递推式的左右同时取倒数，以便将右边的分式分离成整式和分式，从而构造出等差数列{}1a n，最后根据等差数列的通项公式求解即可.例4.已知数列{}a n中，a1=15,a n=a n-13a n-1+2，求数列{}a n的通项公式.解：在a n=a n-13a n-1+2的两边同时取倒数，得1an=2an-1+3（*），设1a n+t=2æèçöø÷1an-1+t，方法集锦44即1a n =2a n -1+t ，将与（*）式对比得t =3，所以数列{}1a n +3是以1a 1+3=8为首项，2为公比的等比数列，即1a n+3=8∙2n -1=2n +2，所以a n =12n +2-3.该递推式形如a n +1=pa nqa n +r ，在其左右同时取倒数，即可构造出等比数列{}1a n+t，便能根据等比数列的通项公式来解题.三、通过取对数，构造辅助数列一般地，当遇到a n =pa rn （r 为常数，r ≠0）型的递推式时，可以在递推式的左右两边同时取对数，将其转化为lg a n +1=r lg a n +lg p 的形式，然后引入参数t ,将其变形为lg a n +1+t =r ()lg a n +t ，从而构造出辅助数列{}lg a n +t ，求得辅助数列{}lg a n +t 的通项公式，即可求得数列{}a n 的通项公式.例5.在数列{}a n 中，a 1=4，且a n +1=()a n -12+1，求数列{}a n 的通项公式.解：在a n +1-1=()a n -12的左右两边取对数，得，lg ()a n +1-1=2lg ()a n -1，即lg ()a n +1-1lg ()a n -1=2，所以数列{}lg ()a n -1是以lg ()a 1-1=lg 3为首项、2为公比的等比数列，可得lg ()a n -1=2n -1lg 3，因此a n -1=32n -1，所以a n =32n -1+1.将递推式移项后，可发现a n +1-1等于a n -1的平方，于是在递推式的两边同时取对数，便可构造出等比数列{}lg ()a n -1，从而顺利求得数列{}a n 的通项公式.四、除以一个数（式），构造辅助数列对于递推式中含有a n a n +1的数列通项公式问题，可以考虑在递推式的左右两边同时除以a n a n +1，构造出辅助数列{}1a n ，将问题转化为求数列{}1a n的通项公式.例6.已知数列{}a n 中，a 2=13，a n =a n +1+2a n a n +1，求数列{}a n 的通项公式.解：在a n =a n +1+2a n a n +1的左右两边同时除以a n a n +1，得1a n +1-1a n =2，a 1=a 2+2a 1a 2，可得a 1=1，所以数列{}1a n 是以1a 1=1为首项，2为公差的等差数列，则1a n=1+2()n -1=2n -1，所以a n =12n -1.该递推式中出现了a n a n +1，于是在递推式的两边同时除以a n a n +1，即可构造出等差数列{}1a n，根据等差数列的通项公式求解即可.对于a n +1=pa n +qr n（p ,q ,r 为非零常数）型的递推式，在求数列的通项公式时，往往可以在递推式的左右两边同时除以r n +1，得到a n +1r n +1=p r ∙a n r n +qr ，然后引入参数t ，将其变形为a n +1r n +1+t =p r ∙æèçöø÷a n r n +t 的形式，这样便构造出辅助数列{}a nrn +t ，根据等比数列的通项公式或利用累乘法，即可求得数列的通项公式.例7.已知数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=3a n +3∙2n，求数列{}a n 的通项公式.解：在a n +1=3a n +3∙2n的左右两边同时除以2n +1，得，a n +12n +1=32∙a n 2n +32，(*)设æèçöø÷a n +12n +1+t =32æèçöø÷a n 2n +t ，则a n +12n+1=32∙a n 2n +12t ，由(*)可得，t =3，所以数列{}a n 2n +3是以a 12+3=72为首项，32为公比的等比数列.即a n 2n +3=72∙æèöø32n -1，所以a n =7∙3n -1-3∙2n .在递推式a n +1=3a n +3∙2n的左右同时除以2n ，即可构造等比数列{}a n2n+3，根据等比数列的通项公式求得其通项公式，即可解题.可见，对于较为复杂的递推式，运用构造法求数列的通项公式比较奏效.而运用构造法解题，往往需仔细研究数列的递推式，将其进行合理的变形，如引入参数、取倒数、取对数、除以一个数（式），以便构造出辅助数列，通过求辅助数列的通项公式，间接求得数列的通项公式.（作者单位：哈尔滨师范大学教师教育学院）方法集锦45。

巧妙运用构造法，快速求解数列的通项公式

之间的联系，明确其中的规律，利用f（97）=97的结论来求得第二个问题的答案.例3.在（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n+1的展开式中，含x2项的系数是a n，则a8=_____；若对任意的n∈N*，λ·2n-a n≥0恒成立，则实数λ的最小值是_____．分析：根据题目条件中展开式的特征，可知a8表示的是当n=8时展开式中x2的系数，根据二项式定理和二项展开式的通项公式可求得a8的值.对于第二个空，需通过分离参数，将不等式恒成立问题转化为数列问题，根据第一个问题的结论构造出数列{b n}，通过作差，判断出数列的单调性，进而求得数列{b n}的最大项，从而求得最小的实数λ．解：由题意可得a8=C22+C23+…+C29=C310=120；而a n=C22+C23+…+C2n+1=C3n+2=(n+2)(n+1)n6，由λ·2n-a n≥0恒成立可得λ≥a n2n=n(n+1)(n+2)6·2n恒成立，设b n=n(n+1)(n+2)6·2n，则b n+1-b n=(n+1)(n+2)(3-n)3·2n+1，当n=1，2时，b n+1－b n>0，即b n+1>b n；当n=3时，b4-b3=0，即b4=b3；当n≥4时，b n+1-b n<0，即b n+1<b n；所以b n的最大项为b4=b3=3×4×56·23=54，则实数λ的最小值是54；故所填答案为：120；54．解答“递进式”双空题，需找出第一、二个问题、结论之间的联系，在第一问题的基础上进行推理、运算，运用从特殊到一般的思想，建立两个问题、两个空之间的联系，逐步进行推理、运算，从而求得问题的答案.总之，解答双空题，要仔细审题，把握两个空之间的逻辑关系.若是并列关系，可以将其看作两个常规填空题进行求解；若是递进关系，需将第一个问题的结论作为第二个问题的求解依据进行思考.（作者单位：福建省永春第一中学）求数列的通项公式问题比较常见，通常要求根据已知递推式求数列的通项公式.由于递推式的形式多变，所以求数列的通项公式的方法多种多样.对于一些结构较为复杂的递推式，采用构造法来求解比较有效.运用构造法，可将复杂的问题转化为简单的、易于计算的问题，这样能有效地降低解题的难度，提升解题的效率.下面主要谈一谈如何用构造法由下列几类递推式求数列的通项公式.一、形如a n+1=ca n+d的递推式若遇到形如a n+1=ca n+d(c≠0，a1=a)的递推式，往往需采用构造法来求数列的通项公式.首先要将递推式变形为a n+1+X=c(a n+X)的形式，再求出X，便可构造出等比数列{a n+X}，最后根据等比数列的通项公式进行求解即可.例1.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1,求{a n}的通项公式.解：∵a n+1=3a n+1，∵a n+1+12=3a n+32=3(a n+12).∵a1+12=32，考点透视39∴数列{a n+12}是首项为32，公比为3的等比数列，∴a n+12=3n2，∴数列{a n}的通项公式为a n=3n-12.对于形如a n+1=ca n+d(c≠0，a1=a)的递推式，有时很难直接将其变形为a n+1+X=c（a n+X），此时需引入待定系数X，然后将其与原递推式中的各项进行对比，从而建立关于X的方程，解方程即可求得X的值，便可构造出辅助数列.二、形如a n+1=pa n+q n的递推式对于形如a n+1=pa n+q n(p、q为实常数，且n≠0、1)的递推式，也需采用构造法来求数列的通项公式.首先要将递推式变形为a n+1+X·q n+1=p（a n+X·q n）的形式，然后求出X，从而构造出等比数列{a n+X·q n}，再根据等比数列的通项公式来求出数列{a n}的通项公式.例2.已知数列{a n}满足a1=5，a2=5，a n+1=a n+6a n-1（n≥2）.求数列{a n}的通项公式.解：∵a n+1=a n+6a n-1（n≥2），∴a n+1+2a n=a n+6a n-1+2a n=3(a n+2a n-1)（n≥2）.∵a1=5，a2=5，∴2a1+a2=15，∴a n+2a n-1≠0，∴a n+1+2a nan+2a n-1=3（n≥2）.∴数列{a n+1+2a n}是以15为首项，3为公比的等比数列.可得a n+1+2a n=15×3n-1=5×3n，∵a n+1-3n+1=-2（a n-3n），∵a1=5，∴a1-3=2，∴a n-3n≠0，∵数列{a n-3n}是以2为首项，-2为公比的等比数列.∵a n-3n=2×（-2）n-1，即a n=-（-2）2+3n（n∈N*）.本题中的递推式较为复杂，递推式中a n+1、a n-1的系数都不是1，需先将递推式配成a n+1+2a n=3（a n+2a n-1）,这样便构造出等比数列{a n+1+2a n}，再根据等比数列的通项公式进行求解.例3.数列{a n}满足：a1=1，a n＋1=2a n+2n，则数列{a n}的通项公式为_____．解：∵a1=1，a n＋1=2a n+2n，∴a n+12n+1=a n2n+12，∴数列{}a n2n是首项为a12=12，公差为d=12的等差数列，∴a n2n=12+(n-1)×12=12n，即a n=n·2n－1.对于形如a n+1=pa n+q n的递推式，还可以在递推式的左右同时除以q n，将递推式转化为形如a n+1=ca n+d(c≠0，a1=a)形式，再通过构造出辅助数列，求得数列的通项公式.三、形如a n+1=a b n的递推式形如a n+1=a b n(b≠0，且为常数)的递推式中含有指数幂，较为复杂，需作降幂处理，可在递推式的左右两边同时取对数，将递推式变形为lg a n+1=lg a b n的形式，再通过变形得到lg a n+1=lg a2n=2lg a，从而构造出等比数列{lg a n}，最后根据等比数列的通项公式或累乘法求得数列{a n}的通项公式.例4.在数列{a n}中，已知a1=9，且a n+1=a2n，求数列{a n}的通项公式.解：∵a n+1=a2n，∴lg a n+1=lg a2n=2lg a n，∵{lg a n}是首项为lg9，公比为2的等比数列.∵lg a n=lg9·2n-1=lg32n，∴a n=32n.仔细观察递推式a n+1=a2n，可发现其中含有指数式，该递推式形如a n+1=a b n，需采用构造法求解.在递推式的两边取对数可得lg an+1=lg a2n=2lg a n，这样就构造出等比数列{lg a n}.可见，运用构造法求数列的通项公式，需根据递推式的结构特征进行合理的变形，以构造出辅助数列，通过求辅助数列的通项公式来求得数列的通项公式.有时通过猜想、试探、类比等方式也可以构造出辅助数列，然后对其进行验证，就能达到解题的目的.（作者单位：甘肃省平凉市灵台县第一中学）考点透视40。