高中立体几何解题技巧

αl l αβ

βαβαα//,////⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊂且相交m l m l m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβαγm

βαl 高考文科数学立体几何解题技巧

1.判定线面平行的方法

定义：如果一条直线和一个平面没有公共点。 （1）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。

ααα////l l m m l ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊄⊂

（2）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂

（3）平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面。 （4）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面。 2.判定面面平行的方法

（1）如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行。

（2）垂直于同一直线的两个平面平行。

（3）平行于同一平面的两个平面平行。

3.面面平行的性质

（1）两平行平面没有公共点。

（2）两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面。

（3）垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面。

（4）两平

行平面被第三个平面所截，则两交线平

行。

m l

αm βαl

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l ,//a a αββα⎫⇒⊥⎬⊥⎭

,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭

4.判定线面垂直的方法

定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直。

（1）如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直。

（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。

αα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥b a b a // （3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

（4）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面。

（5）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面。

5.判定两线垂直的方法

(1)直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直。

(2)平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

A B C αl β a α a β l α α a b

a PA POA PA POA a a OA a PO ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊥⊃⊥平面平面αα

【高考

真题】 1.（2018全国卷1文）如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥．

（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；

（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23

BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．

2.（2017全国卷2文）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面

ABCD ，12

AB BC AD ==

，90BAD ABC ∠=∠=。 （1）证明：直线//BC 平面PAD ；

（2）若PCD ∆的面积为27P ABCD -的体积。

3.（2017全国卷1文）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=，四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积。

4.（2016全国卷2文）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别在AD ，CD 上，AE =CF ，EF 交BD 于点H ，将DEF 沿EF 折到'D EF 的位置.（I ）证明：'AC HD ⊥；(II)若55,6,,'224

AB AC AE OD ===

=,求五棱锥'ABCEF D -体积.