一点应力状态概念及其表示方法

一点应力状态概念及其表示方法

凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。因为受力构件同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；

图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。

２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。如图8-3是通过轴向拉伸杆件点不同（方向）截面上

的应力情况（集合）

３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件围绕点截取的两种微元体。

特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。

§8-２平面应力状态的工程实例

１．薄壁圆筒压力容器

为平均直径，为壁厚

由平衡条件

得轴向应力：（8-1a）

图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）

由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b）

2．球形贮气罐（图8-6）

由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：

得（8-2）

3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴

4．受横向载荷作用的深梁

§8-3平面一般应力状态分析——解析法空间一般应力状态

如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。

1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。由剪应力互等定理，有：

，

，

。2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。

3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。

2．平面一般应力状态斜截面上应力

如图8-10所示，斜截面平行于轴且与面成倾角，由力的平衡条件：和

可求得斜截面上应力，：

（8-3a）

(8-

3b)

注意到：1）

图8-10b中应

力均为正值，

并规定倾角

自轴开

始逆时针转

动者为正，反

之为负。2）式中均为面上剪应力，且已按剪应力互等定理将换成。3．正应力极值——主应力

根据（8-3a）式，由求极值条件，得

即有（8-4a）

为取极值时的角，应有，两个解。

将相应值，分别代入(8-3a)，(8-3b)即得：

（8-4b）; (8-4c)

说明：1）当倾角转到和面时，对应有，，其中有一个为极大值，另一个为极小值；而此时，均为零。可见在正应力取极值的截面上剪应力为零（如图8-11a）。

2）定义：正应力

取极值的面（或

剪应力为零的

面）为主平面，

主平面的外法线

方向称主方向，

正应力的极值称

主应力，对平面一般应力状态通常有两个非零主应力：，，故也称平面应力状态为二向应力状态。

4．剪应力极值——主剪应力

根据(8-3b)式及取极值条件，可得：（8-5a）

为取极值时的角，应有，两个解。将相应值，分别代入(8-3b)，(8-3a)即得：

(8-5b) ；

说明：1）当倾角转到和面时，对应有，，且二者大小均为，方向相反，体现了剪应力互等定理，而此两面上正应力大小均取平均值（如图8-11b）。

2）定义：剪应力取极值的面称主剪平面，该剪应力称主剪应力。注意到：

；或

因而主剪平面与主平面成夹角。

平面一般应力状态分析——应力圆法

1．应力圆方程

由式（8-3a）和(8-3b)消去，得

到(8-6)

此为以，为变量的圆方程，以为横坐标轴，为纵坐标轴，则此圆圆心

坐标为，半径为，此圆称应力圆或莫尔（Mohr）圆。

2．应力圆的作法

应力圆法也称应力分析的图解法。作图8-12a所示已知平面一般应力状态的应力圆及求倾角为的斜截面上应力，的步骤如下：

1）根据已知应力，，值选取适当比例尺；

2）在坐标平面上，由图8-12a中微元体的1-1，2-2面上已知应力作1（，），2（，-）两点；

3）过1，2两点作直线交轴于点，以为圆心，为半径作应力圆；4）半径逆时针（与微元体上转向一致）转过圆心角得3点，则3点的横坐标值即为，纵坐标值即为。

3．微元体中面上应力与应力圆上点的坐标的对应关系

1）=，= 的证明：

=

已知：

；

则，让，对照上式与式（8-3a），可知= 。

对照上式与式（8-3b），可知= 。

2）几个重要的对应关系

；

（即式（8-5b））

主平面位置：应力圆上由1点顺时针转过到点。

，（即式（8-4a）），对应微元体从面顺时针转过角（面）。

应力圆上继续从点转过到，对应微元体上从面继续转过到面，此时（即式（8-4c））

建议读者对，点（对应主剪应力）作同样讨论。

空间应力状态的主应力与最大剪应力

1．主应力

对于空间一般应力状态（如图8-9a），可以证

明，总可将微元体转到某一方位，此时三对微

面上只有正应力而无剪应力作用（如图8-13）。

此三对微面即主平面，三个正应力即主应力（正

应力极值）。空间一般应力状态一般具有三个

非零的主应力，故也称三向应力状态。

约定：三个主应力按代数值从大到小排列，即。

例8-1 式（8-1a），(8-1b)所示薄壁圆筒为二向应力状态，有两个主应力

，