2014北京朝阳高考二模数学理解析

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试（理工类) 2014．5

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合}{|230A x x =∈-R ≥，集合}{

2|320B x x x =∈-+

B =（ ）．

A ．3|2x x ⎧⎫⎨⎬⎭

⎩

≥ B ．3|22

x x ⎧⎫<⎨⎬⎭

⎩

≤ C ．}{|12x x << D ．3|22

x x ⎧

⎫<<⎨⎬⎭

⎩

2．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是（ ）．

A ．33log log a b <

B ．11()()44a b >

C ．11

a b

< D ．22a b <

3．执行如右图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a 的可能取值的集合是（ ）．

A ．}{1,2,3,4,5

B ．}{1,2,3,4,5,6

C ．}{2,3,4,5

D ．}{2,3,4,5,6

4．已知函数π

()si n(

)(0,0,)2

f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则ϕ=

（ ）．

A ．π6-

B ．π6

C ．π3-

D ．π3

5．已知命题:p 复数1i

i

z +=

在复平面内所对应的点位于第四象限；命题:q 0x ∃>，cos x x =，则下列命题中为真命题的是（ ）．

A ．()()p q ⌝∧⌝

B ．()p q ⌝∧

C ．()p q ∧⌝

D ．p q ∧

6．若双曲线2

2

21(0)y x b b

-=>的一条渐近线与圆22(2)1x y +-=至多有一个交点，则双曲线离心率的取

值范围是（ ）．

A ．(1,2]

B ．[2,)+∞

C ．(1,3]

D ．[3,)+∞

(P )

M N

D C

B

A

7．某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．

煤（吨）

电（千度）

纯利润（万元）

1箱甲产品 3

1 2

1箱乙产品

1 1 1

若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是（ ）． A ．60万元 B ．80万元 C ．90万元 D ．100万元

8．如图放置的边长为1的正P M N △沿边长为3的正方形ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动．当

P M N △沿正方形各边滚动一周后，回到初始位置时，点P 的轨迹长度是

（ ）．

A ．8π3

B ．16π3

C ．4π

D ．5π

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9．已知平面向量a ，b 满足1=a ，2=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2+=a

b __________．

10．5(12)x -的展开式中3x 项的系数为___________．（用数字表示）

11．如图，AB 为圆O 的直径，2AB =，过圆O 上一点M 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过

点M 作MD AB ⊥于点D ，若D 是OB 中点．则•AC BC =___________．

O

D

M

C

B

A

12．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是________；表面积是

_________．

13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24n n S a =-*()n ∈N ，则n a =_________；数列{}2log n a 的前

n 项和为_____________．

14．若存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()≤f x M ，则称函数()f x 在(1,)+∞上是有界函

数．下列函数

① 1()1f x x =-；②2()1x f x x =+；③ln ()x

f x x

=；④()sin f x x x =，

其中“在(1,)+∞上是有界函数”的序号为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2π3A =，3b =，ABC △的面积为1534

． （I ）求边a 的边长；

（II ）求cos 2B 的值．

16．（本题满分13分）

某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（I ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （II ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．