函数的奇偶性与对称性分析
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性对于函数而言，它的对称性和奇偶性是一种重要的性质，可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。
在数学中，对称性指的是函数在某种变换下保持不变的性质，而奇偶性则是函数在自身的对称轴上的性质。
本文将重点讨论函数的对称性和奇偶性。
1. 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的图像能够保持不变。
常见的函数对称性包括中心对称和轴对称。
1.1 中心对称性中心对称性是指函数的图像以某个点为对称中心，对称轴上的任意两点关于对称中心对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有中心对称性。
例如，函数f(x) = x^2是一个具有中心对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一个抛物线，以原点为对称中心，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的。
1.2 轴对称性轴对称性是指函数的图像以某条直线为对称轴，对称轴上的任意两点关于对称轴对称。
形式化地说，对于函数f(x)，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，则函数f(x)具有轴对称性。
举个例子，函数f(x) = sin(x)是一个具有轴对称性的函数。
我们可以将其图像想象成一条波浪线，其对称轴为x轴，任意一点关于x轴的对称点的函数值是相等的。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身的对称轴上的性质。
奇函数和偶函数是两种常见的奇偶性。
2.1 奇函数奇函数是指函数在自身的原点上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
奇函数的图像关于原点对称。
举个例子，函数f(x) = x^3是一个奇函数。
我们可以观察到，任意一点关于原点的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于原点对称。
2.2 偶函数偶函数是指函数在自身的对称轴上具有对称性，即对于任意的x，有f(-x) = f(x)。
偶函数的图像关于对称轴对称。
例如，函数f(x) = x^2是一个偶函数。
我们可以观察到，任意一点关于y轴的对称点的函数值是相等的，而且函数的图像关于y轴对称。
函数的对称性与奇偶性的判定
函数的对称性与奇偶性的判定函数是数学中的重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在函数的研究中，对称性和奇偶性是两个常见的性质。
函数的对称性可以告诉我们函数在某个坐标轴或者某个点上是否对称，而奇偶性则指函数在自身点上的性质。
本文将介绍函数对称性和奇偶性的判定方法。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个坐标轴或者某个点上保持不变的性质。
常见的对称性有关于x轴、y轴以及原点的对称性。
1. 关于x轴的对称性如果函数f(x)在x轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于x轴对称。
这意味着函数图像关于x轴对称，即将函数图像沿x轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
2. 关于y轴的对称性如果函数f(x)在y轴上对称，即对于任意x，有f(x) = f(-x)，那么称函数f(x)关于y轴对称。
这意味着函数图像关于y轴对称，即将函数图像沿y轴翻转180度后，图像与原图像完全一致。
3. 关于原点的对称性如果函数f(x)在原点上对称，即对于任意x，有f(x) = -f(-x)，那么称函数f(x)关于原点对称。
这意味着函数图像关于原点对称，即将函数图像绕原点旋转180度后，图像与原图像完全一致。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自身点上的性质，即函数在(-x, f(-x))和(x, f(x))两点上的关系。
根据函数的奇偶性，可以将函数分为奇函数和偶函数。
1. 奇函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。
换言之，奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。
2. 偶函数如果函数f(x)满足对于任意x，有f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。
换言之，偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
三、对称性与奇偶性的判定方法1. 对称性的判定方法对于函数的对称性判定，可以通过以下步骤进行：Step 1：将函数f(x)与f(-x)进行比较，判断是否相等。
函数奇偶性对称性周期性知识点总结
函数奇偶性对称性周期性知识点总结函数的奇偶性、对称性和周期性是数学中经常研究的重要性质。
它们描述了函数的特征和性质，对于理解函数的行为和解决问题都具有重要意义。
下面将分别对这三个概念进行总结。
一、函数的奇偶性1.奇函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数为奇函数。
即函数在原点关于y轴对称。
奇函数的特点：-奇函数的图像关于原点(0,0)对称。
-当函数的定义域包括0时，即使x等于0，函数值仍然等于0。
常见的奇函数有：- 正弦函数sin(x)。
-奇数次幂的多项式函数，如x^3、x^5等。
2.偶函数：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数为偶函数。
即函数在原点关于x轴对称。
偶函数的特点：-偶函数的图像关于x轴对称。
-当函数的定义域包括0时，对于任意的x，f(0)=f(-x)=f(x)。
常见的偶函数有：- 余弦函数cos(x)。
-偶数次幂的多项式函数，如x^2、x^4等。
3.奇偶性的判断方法：-对于已知函数，可以通过代数运算证明是否满足奇偶性的定义。
-函数图像的轴对称性可以直接判断奇偶性。
-对于周期函数，可以利用周期性的性质判断奇偶性。
二、函数的对称性1.关于y轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=f(x)，那么称该函数关于y轴对称。
即函数的图像左右对称。
2.关于x轴对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于x轴对称。
即函数的图像上下对称。
3.关于原点对称：如果对于函数f(x)，对任意的x，都有f(-x)=-f(x)，那么称该函数关于原点对称。
即函数的图像关于原点对称。
三、函数的周期性1.周期函数：如果存在一个正实数T，对于函数f(x)，对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，那么称该函数为周期函数，T为函数的周期。
周期函数的特点：-周期函数在一个周期内的函数值是相同的。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是一种数学工具，用于描述两个变量之间的关系。
函数的对称性与奇偶性是函数的重要性质之一，它们可以帮助我们简化函数的分析和计算。
下面将介绍函数的对称性与奇偶性的概念和特点，并通过实例来说明其应用。
1. 对称性的定义和性质函数的对称性是指函数在某种变换下保持不变的性质。
常见的对称性包括轴对称（即关于某一条轴的对称性）和中心对称（即关于某一中心点的对称性）。
1.1 轴对称性对于轴对称函数，其图像相对于某一条轴对称，也就是说，图像在镜像之后仍然保持不变。
轴对称函数可以表示为f(x) = f(-x)。
常见的轴对称函数有偶函数和周期为2π的周期函数。
1.2 中心对称性对于中心对称函数，其图像相对于某一中心点对称，也就是说，图像在中心点旋转180°之后仍然保持不变。
中心对称函数可以表示为f(x) = -f(-x)。
常见的中心对称函数有奇函数。
2. 奇偶性的定义和性质函数的奇偶性是指函数在代入负数或正数时的表现特点。
奇函数与轴对称性相关，而偶函数与中心对称性相关。
2.1 奇函数奇函数满足f(-x) = -f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值也取反。
奇函数的图像关于原点对称，具有轴对称性。
奇函数的常见特点是在原点处取值为零，而且在自变量为正负相等的情况下函数值相等。
2.2 偶函数偶函数满足f(-x) = f(x)，也就是说，当自变量取反时，函数值不变。
偶函数的图像关于y轴对称，具有中心对称性。
偶函数的常见特点是在y轴处取值为零，而且在自变量为相反数的情况下函数值相等。
3. 对称性和奇偶性的应用对称性和奇偶性是函数分析中常用的工具之一，它们可以帮助我们简化函数的计算和图像的绘制。
3.1 推导函数的性质通过对函数的奇偶性进行分析，我们可以推导出函数的其他性质。
例如，偶函数的奇次幂项的系数为零，奇函数的偶次幂项的系数为零。
这些推导可以帮助我们更快地分析函数的特点。
3.2 简化函数的计算对于奇函数，当我们需要计算积分、求解方程等操作时，可以从负数到正数的范围内进行计算，然后将结果乘以2即可。
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。
3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用来描述函数在某种变换下的性质。
本文将介绍函数的对称性和奇偶性的概念和性质，并举例说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数图像在某个变换下具有不变性。
常见的对称性有关于x轴对称、y轴对称和原点对称。
下面分别介绍这三种对称性：1. 关于x轴对称当一个函数的图像在x轴上下对称时，我们称之为关于x轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(x,-y)，那么这个函数就是关于x轴对称的。
例如，函数y = x^2就是关于x轴对称的。
当x取任意值时，对应的y值都是相等的，即对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(x,-y)。
2. 关于y轴对称当一个函数的图像在y轴左右对称时，我们称之为关于y轴对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,y)，那么这个函数就是关于y轴对称的。
例如，函数y = sin(x)就是关于y轴对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,y)。
3. 关于原点对称当一个函数的图像在原点对称时，我们称之为关于原点对称。
具体来说，如果对于函数中的任意一个点(x,y)，该函数还包含另一个点(-x,-y)，那么这个函数就是关于原点对称的。
例如，函数y = x^3就是关于原点对称的。
对于任意一个点(x,y)，图像上还存在一个对称的点(-x,-y)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在x轴上对称和y轴对称的性质。
具体来说，如果函数在关于y轴的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,y)相等，那么这个函数就是偶函数。
而如果函数在关于原点的对称下，即对于任意的x值，函数中的点(x,y)和(-x,-y)相等，那么这个函数就是奇函数。
例如，函数y = x^2是一个偶函数，因为对于任意的x，y = x^2和y = (-x)^2是相等的。
函数的对称性与奇偶性的判断
函数的对称性与奇偶性的判断函数是数学中的一个重要概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
在研究函数的性质时，对称性和奇偶性是两个常见的概念。
本文将就函数的对称性和奇偶性进行详细的介绍和判断方法。
一、对称性的概念和判断方法对称性是指函数在定义域内关于某个中心对称轴对称的性质。
对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。
常见的对称性有偶对称和奇对称两种。
1. 偶对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = f(-x)，即函数在关于y轴对称的情况下，称为偶对称函数。
判断函数是否具有偶对称性，可以通过以下步骤：(1) 将函数中所有的x换成-x；(2) 然后化简这个新的表达式；(3) 若化简后的表达式与原函数完全相同，则函数具有偶对称性。
例如，对于函数f(x) = x^2，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^2 = x^2。
与原函数表达式相同，因此该函数具有偶对称性。
2. 奇对称性：若对于函数的定义域内的任意x，都有f(x) = -f(-x)，即函数在关于原点对称的情况下，称为奇对称函数。
判断函数是否具有奇对称性，可以通过以下步骤：(1) 将函数中所有的x换成-x；(2) 然后将新表达式中的符号取相反数；(3) 若化简后的表达式与原函数完全相反，则函数具有奇对称性。
例如，对于函数f(x) = x^3，将x替换成-x得到f(-x) = (-x)^3 = -x^3。
化简后的表达式与原函数的相反数相同，因此该函数具有奇对称性。
二、奇偶性的概念和判断方法奇偶性是指函数在定义域内的某个位置对应的函数值的正负关系。
奇函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意非零x，f(-x) = -f(x)。
偶函数指函数在原点对应的函数值为0以及对任意x，f(-x) = f(x)。
判断函数的奇偶性，可以通过以下步骤：1. 判断函数在原点的函数值是否为0，若为0，则函数具有奇偶性，否则需继续下一步判断。
2. 将函数中所有的x换成-x，然后比较新表达式与原函数的关系。
函数的对称性与奇偶性的判断
函数的对称性与奇偶性的判断函数是数学中的重要概念，它描述了一种关系，将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
在函数的研究中，对称性与奇偶性的判断是一个常见且重要的问题。
本文将探讨函数的对称性与奇偶性的判断方法，并对其进行详细解释。
1. 函数的对称性对称性是指某个变量的改变是否引起函数图像的变化。
常见的对称性有以下几种：轴对称、中心对称和旋转对称。
1.1 轴对称轴对称即函数图像相对于某个轴做镜像之后与原图像完全重合。
对于轴对称函数，可以将其图像分为两部分，其中一部分关于轴对称，另一部分与之相同但关于轴的一侧。
以函数f(x)为例，若满足f(x) = f(-x)，则表示函数具有轴对称性。
1.2 中心对称中心对称即函数图像相对于某个点做镜像之后与原图像完全重合。
对于中心对称函数，可以将其图像分为两部分，其中一部分关于中心对称，另一部分与之相同但关于中心的异侧。
以函数f(x)为例，若满足f(x) = f(-x)，表示函数具有中心对称性。
1.3 旋转对称旋转对称即函数图像绕某个点旋转180°之后与原图像完全重合。
对于旋转对称函数，其图像在不同的角度上具有相同的形状。
以函数f(x)为例，若满足f(x) = -f(-x)，则表示函数具有旋转对称性。
2. 函数的奇偶性奇偶性是指函数的性质，也是函数的一种对称性。
奇函数与偶函数是函数奇偶性的两种基本类型。
2.1 奇函数奇函数是指满足f(x) = -f(-x)的函数。
奇函数的特点是函数图像关于原点对称，也即以原点为对称中心，左右对称。
奇函数具有以下几个特性：- 在原点处取值为0，即f(0) = 0；- 若f(x)是奇函数，则f(-x)也是奇函数；- 奇函数的奇次幂项系数为0，即只包含奇次幂项。
例如：f(x) =x^3 + 2x。
2.2 偶函数偶函数是指满足f(x) = f(-x)的函数。
偶函数的特点是函数图像关于y轴对称，也即以y轴为对称轴，左右对称。
函数的奇偶性与对称性
函数的奇偶性与对称性函数在数学中起着非常重要的作用，它通过各种数学运算将一个数对映到另一个数。
在这篇文章中，我们将讨论函数的奇偶性与对称性。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在变量值取正和负时的性质是否一致。
具体而言，若对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则函数被称为奇函数；若对于任意的x，有f(-x)=f(x)，则函数被称为偶函数；若对于某些x，有f(-x)≠±f(x)，则函数既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数具有对称中心为原点的特点，也就是说当将函数关于原点对称时，图像不变。
例如，f(x)=x^3就是一个简单的奇函数。
当x取正值和负值时，函数的值相反，而且当将其图像沿y=x对称时，图像仍然保持不变。
偶函数则具有关于y轴的对称性，也就是说当将函数关于y轴对称时，图像不变。
例如，f(x)=x^2就是一个典型的偶函数。
当x取正值和负值时，函数的值相同，而且当将其图像沿y轴对称时，图像仍然保持不变。
二、函数的对称性与函数的奇偶性相关的是函数的对称性。
函数的对称性有三种：关于x轴的对称性、关于y轴的对称性和关于原点的对称性。
关于x轴的对称性是指当将函数关于x轴翻转时，图像不变。
例如，f(x)=sin(x)就是一个具有关于x轴对称性的函数。
当x取正值时，函数值是正的，而当x取负值时，函数值是负的，因此函数在x轴上关于原点具有对称性。
关于y轴的对称性是指当将函数关于y轴翻转时，图像不变。
例如，f(x)=cos(x)就是一个具有关于y轴对称性的函数。
当x取正值时，函数值相同，而当x取负值时，函数值也相同，因此函数在y轴上关于原点具有对称性。
关于原点的对称性是指当将函数关于原点翻转时，图像不变。
例如，f(x)=tan(x)就是一个具有关于原点对称性的函数。
当x取正值和负值时，函数的值相反，因此函数在原点上具有对称性。
三、实际应用函数的奇偶性与对称性在实际问题中有广泛应用。
在物理学中，奇函数常用于描述对称的场景，例如电流的方向或磁场的分布。
函数的对称性和奇偶性
函数的对称性和奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中的重要概念，可以帮助我们研究函数的性质和特点。
在本文中，我们将探讨函数的对称性和奇偶性，并讨论它们在解题中的应用。
一、函数的奇偶性在数学中，如果对于函数 f(x)，满足 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
换句话说，函数的图像关于 y 轴对称。
相反地，如果对于函数f(x)，满足 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
也就是说，函数的图像关于原点对称。
函数的奇偶性可以通过解方程 f(x) = 0 来判断。
如果解方程 f(-x) = f(x) = 0，则函数是偶函数；如果解方程 f(-x) = -f(x) = 0，则函数是奇函数。
此外，对于一些简单的函数，我们也可以通过观察函数的表达式来判断其奇偶性。
比如，多项式函数 f(x) = x^n（n为正整数）是奇函数当且仅当 n 是奇数，是偶函数当且仅当 n 是偶数。
奇偶函数的性质也非常有趣。
如果函数 f(x) 是奇函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = -f(-a)。
这意味着奇函数在原点对称，即通过原点的直线上的函数值相等。
相反地，如果函数 f(x) 是偶函数，那么对于任意实数 a，有 f(a) = f(-a)。
这意味着偶函数在 y 轴上的函数值相等。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他种类的对称性。
常见的对称性包括轴对称、中心对称和旋转对称。
1. 轴对称如果函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有轴对称性。
这条直线称为对称轴。
对称轴可以是 x 轴、y 轴，也可以是其他直线。
在解题中，我们可以根据函数的性质和方程来确定函数的对称轴。
比如，对于一般函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，则对称轴为直线 x = a。
2. 中心对称如果函数的图像关于某个点对称，则称该函数具有中心对称性。
这个点称为中心点。
常见的中心对称函数有圆和椭圆。
在解题中，我们可以通过观察函数的表达式和图形来确定函数的中心对称性。
函数对称性周期性和奇偶性规律总结
函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组一、同一函数的函数的奇偶性与对称性：奇偶性是一种特殊的对称性1、奇偶性:1 奇函数关于0,0对称,奇函数有关系式0)()(=-+x f x f2偶函数关于y 即x=0轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f =-2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性1函数的轴对称：函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+,则函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==,即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称;得证;说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ,纵坐标相等;∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称,∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称,∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)2()(x a f x f -=∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称,∴函数)(x f y =关于a x =对称⇔)2()(x a f x f +=-2函数的点对称：函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 若写成：c x b f x a f =-++)()(,函数)(x f y =关于点)2,2(c b a + 对称证明：设点),(11y x 在)(x f y =上,即)(11x f y =,通过b x f x a f 2)()2(=+- 可知,b x f x a f 2)()2(11=+-,所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称 得证;说明: 关于点),(b a 对称要求横坐标之和为2a ,纵坐标之和为2b ,如())a x a x +-与（ 之和为 2a ;3函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称,即关于任一个x 值,都有两个y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于b y =对称;但在曲线cx,y=0,则有可能会出现关于b y =对称,比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称;4复合函数的奇偶性的性质定理：性质1、复数函数y ＝fgx 为偶函数,则fg －x ＝fgx;复合函数y ＝fgx 为奇函数,则fg －x ＝－fgx;性质2、复合函数y ＝fx ＋a 为偶函数,则fx ＋a ＝f －x ＋a ；复合函数y ＝fx ＋a 为奇函数,则f －x ＋a ＝－fa ＋x;性质3、复合函数y ＝fx ＋a 为偶函数,则y ＝fx 关于直线x ＝a 轴对称; 复合函数y ＝fx ＋a 为奇函数,则y ＝fx 关于点a,0中心对称;总结：x 的系数一个为1,一个为-1,相加除以2,可得对称轴方程总结：x 的系数一个为1,一个为-1,fx 整理成两边,其中一个的系数是为1,另一个为-1,存在对称中心;总结：x 的系数同为为1,具有周期性;二、两个函数的图象对称性1、()y f x =与()y f x =-关于X 轴对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以()y f x =-经过点11(,)x y -∵11(,)x y 与11(,)x y -关于X 轴对称,∴11()y f x =与()y f x =-关于X 轴对称. 注：换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=,即它们关于2、()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以()y f x =-经过点11(,)x y - ∵11(,)x y 与11(,)x y -关于Y 轴对称,∴()y f x =与()y f x =-关于Y 轴对称;注：因为11(,)x y -代入()y f x =-得111(())()y f x f x =--=所以()y f x =-经过点11(,)x y -换种说法：)(x f y =与()()y g x f x ==-若满足)()(x g x f -=,即它们关于0=x 对称;()(())()g x f x f x -=--=3、()y f x =与(2)y f a x =-关于直线x a = 对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以(2)y f a x =-经过点11(2,)a x y -∵11(,)x y 与11(2,)a x y -关于x a =轴对称,∴()y f x =与(2)y f a x =-关 于直线x a = 对称;注：换种说法：)(x f y =与()(2)y g x f a x ==-若满足)2()(x a g x f -=,即它们关于a x =对称;4、)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以)(2x f a y -=经过点11(,2)x a y -∵11(,)x y 与11(,2)x a y -关于y a =轴对称,∴)(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称.注：换种说法：)(x f y =与()2()y g x a f x ==-若满足a x g x f 2)()(=+,即它们关于a y =对称;5、)2(2)(x a f b y x f y --==与关于点a,b 对称;证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以2(2)y b f a x =--经过点11(2,2)a x b y --∵11(,)x y 与11(2,2)a x b y --关于点a,b 对称,∴)2(2)(x a f b y x f y --==与关于注：换种说法：)(x f y =与()2(2)y g x b f a x ==--若满足b x a g x f 2)2()(=-+,即它们关于点a,b 对称;(2)2(2(2))2()g a x b f a a x b f x -=---=-6、)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2b a x +=对称; 证明：设()y f x =上任一点为11(,)x y 则11()y f x =,所以()y f a x =-经过点11(,)a x y -,()y f b x =-经过点11(,)b x y +,∵11(,)a x y -与11(,)b x y +关于直线2b a x +=对称, ∴)(x a f y -=与()y f x b =-关于直线2b a x +=对称; 三、总规律：定义在Ｒ上的函数()x f y =,在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中,只要有两条存在,则第三条一定存在;一、 同一函数的周期性、对称性问题即函数自身一、函数的周期性：对于函数)(x f y =,如果存在一个不为零的常数T,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期;如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期;1、周期性：1函数)(x f y =满足如下关系式,则T x f 2)(的周期为A 、)()(x f T x f -=+B 、)(1)()(1)(x f T x f x f T x f -=+=+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或)(1)(1)2(x f x f T x f +-=+等式右边加负号亦成立 D 、其他情形2函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+,则可推出 )](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以 得到)(x f y =的周期为2b-a,即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称,则函数一定是周期函数”3如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T,且可以推出对称 轴为kT T x 22+=)(z k ∈,根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为 )0(kT ，)(z k ∈以上0≠T如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为)0,22(kT T +)(z k ∈,根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ 以上0≠T4如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+0≠T ,则函数)(x f y =是 以4T 为周期的周期性函数;如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+ 0≠T ,则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数;定理1：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(,且()x b f x b f -=+)(其 中b a ≠,则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理2：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(,且()x b f x b f --=+)( 其中b a ≠,则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(,且()x b f x b f --=+)(其 中b a ≠,则函数()x f y =以()b a -4为周期.定理4：若函数fx 的图像关于直线x=a 和x=b 都对称,则fx 是周期函数,2b-a 是它的一个周期未必是最小正周期;定理5：若函数fx 的图像关于点a,c 和b,c 都成中心对称,则fx 是周期函数,2b-a 是它的一个周期未必是最小正周期;定理6：若函数fx 关于点a,c 和x=b 都对称,则fx 是周期,4b-a 是它的一个周期未必是最小正周期;定理7：若函数fx 满足fx-a=fx+aa>0,则fx 是周期函数,2a 是它的一个周期;定理8：若函数fx 满足fx+a=-fxa>0或fx+a=)(1x f 或fx+a=－)(1x f 则fx 周期函数,2a 是它的一个周期; 定理9：若函数)0,1)(()(1)(1)(>≠-+=+a x f x f x f a x f ,则fx 是周期函数,4a 是它的一个周期;若fx 满足)0,1)(()(1)(1)(>≠+-=+a x f x f x f a x f ,则fx 是周期函数,2a 是它的一个周期;。
函数的奇偶性与对称性分析
函数的奇偶性与对称性分析在数学领域中，函数的奇偶性以及对称性是重要的概念。
通过分析函数的奇偶性和对称性，我们可以推导出函数的性质和特点，进而解决一些相关的问题。
本文将介绍函数的奇偶性和对称性，并讨论它们对函数图像、奇偶函数的性质以及对称轴的位置等方面的影响。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的性质，即在自变量取相反数时，函数的值是否相等。
如果函数满足$f(-x) = f(x)$，则称该函数为偶函数；如果函数满足$f(-x) = -f(x)$，则称该函数为奇函数。
1. 奇函数的性质奇函数具有以下性质：- 奇函数在原点处对称，即图像关于原点对称。
- 当函数的定义域包含原点时，奇函数的值为零$f(0)=0$。
- 奇函数的图像在第一象限和第三象限中对称，即对于任意$x>0$，有$f(x)=-f(-x)$。
2. 偶函数的性质偶函数具有以下性质：- 偶函数在y轴上对称，即图像关于y轴对称。
- 当函数的定义域包含原点时，偶函数的值为零$f(0)=0$。
- 偶函数的图像在第一象限和第二象限中对称，即对于任意$x>0$，有$f(x)=f(-x)$。
二、函数的对称性函数的对称性是指函数的图像相对于某个轴线或点具有对称关系。
1. 关于y轴的对称性如果函数满足$f(-x) = f(x)$，则函数的图像关于y轴对称。
在坐标系中，可以通过将x坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于y轴对称。
2. 关于x轴的对称性如果函数满足$f(x) = f(-x)$，则函数的图像关于x轴对称。
在坐标系中，可以通过将y坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于x轴对称。
3. 关于原点的对称性如果函数满足$f(-x) = -f(x)$，则函数的图像关于原点对称。
在坐标系中，可以通过将x和y坐标取相反数，观察函数值是否相等来判断函数是否关于原点对称。
三、函数图像的绘制1. 偶函数的图像对于偶函数，可以仅绘制一侧的图像，然后通过关于y轴的对称性得到整个图像。
函数的奇偶性与对称性研究
函数的奇偶性与对称性研究函数的奇偶性和对称性是高等数学中的一个重要概念，它们对于研究函数的性质和性质之间的关系具有重要的指导作用。
本文将对函数的奇偶性和对称性进行探讨，并说明它们在不同数学领域和实际问题中的应用。
1. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内满足某种对称关系。
具体而言，如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
奇函数的特点在于曲线关于坐标原点对称，即如果(x, y)为曲线上的点，则(-x, -y)也为曲线上的点。
相反，偶函数的特点在于曲线关于y轴对称，即如果(x, y)为曲线上的点，则(-x, y)也为曲线上的点。
在实际问题中，奇函数和偶函数的性质常常可以简化问题的分析和求解过程，如对称性的应用可以减少计算量和推导步骤。
例如，在对称图形的面积、重心和质心等问题中，通过利用函数的奇偶性和对称性，可以将问题简化为计算某个部分的面积或质心，然后根据对称性得到整个图形的性质。
2. 函数的对称性函数的对称性是指函数的图像或曲线在某个特定轴线上满足某种对称关系。
常见的函数对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
关于x轴对称的函数具有特点：如果(x, y)为函数图像上的点，则(x, -y)也为函数图像上的点。
这种对称性常常存在于椭圆函数、二次函数等曲线图像中。
关于y轴对称的函数具有特点：如果(x, y)为函数图像上的点，则(-x, y)也为函数图像上的点。
这种对称性常常存在于正弦函数、余弦函数等曲线图像中。
关于原点对称的函数具有特点：如果(x, y)为函数图像上的点，则(-x, -y)也为函数图像上的点。
这种对称性常常存在于指数函数、对数函数等曲线图像中。
3. 奇偶性与对称性的应用举例奇偶性和对称性不仅在数学领域有广泛应用，也在物理、工程等实际问题的分析中发挥着重要作用。
以下是一些具体的例子：3.1 函数的简化通过利用函数的奇偶性和对称性，可以将复杂的函数化简为简单的形式。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在数学中，函数可以具有对称性和奇偶性。
函数的对称性和奇偶性是函数图像的特征，它们能够提供有关函数行为的重要信息。
一、函数的对称性函数的对称性指的是函数图像相对于某一基准轴的镜像对称关系。
常见的对称形式包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
1. 关于x轴对称的函数如果一个函数的图像关于x轴对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(x, -y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(x) = -f(-x)，则该函数关于x轴对称。
常见的对称函数包括y = x^2 和 y = sin(x)。
2. 关于y轴对称的函数如果一个函数的图像关于y轴对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(-x, y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(x) = f(-x)，则该函数关于y轴对称。
常见的对称函数包括y = x^3 和 y = cos(x)。
3. 关于原点对称的函数如果一个函数的图像关于原点对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(-x, -y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则该函数关于原点对称。
常见的对称函数包括y = x^4 和 y = tan(x)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性指的是函数的输入为正数或负数时的输出表现。
函数可以是奇函数、偶函数或者既不奇也不偶。
1. 奇函数若对于函数f(x)，当对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则该函数为奇函数。
奇函数的特点是关于原点对称，即对于函数图像中的任意一点(x, y)，对应的点(-x, -y)也在图像上。
常见的奇函数包括y = x 和 y = sin(x)。
2. 偶函数若对于函数f(x)，当对于任意实数x，有f(-x) = f(x)，则该函数为偶函数。
初中数学知识归纳函数的对称性与奇偶性分析
初中数学知识归纳函数的对称性与奇偶性分析初中数学知识归纳：函数的对称性与奇偶性分析函数是数学中的重要概念，通过研究函数的特性和性质，我们可以更好地理解和应用数学知识。
在初中数学中，对称性和奇偶性是探究函数性质的一种重要方式。
本文将详细介绍函数的对称性和奇偶性，并分析它们在数学中的应用。
一、函数的对称性函数的对称性是指函数在某个特定情况下具有保持不变的性质。
常见的对称性包括：轴对称、中心对称和旋转对称。
1. 轴对称性轴对称性是指函数关于某条直线对称。
具体来说，若对于函数中的任意一点(x, y)，关于直线x=a对称的另一点为(x', y')，则函数满足轴对称性。
例如，对于函数y=f(x)，若满足f(a+x) = f(a-x)，则该函数关于直线x=a轴对称。
2. 中心对称性中心对称性是指函数关于某个点对称。
具体来说，若对于函数中的任意一点(x, y)，关于点(x0, y0)对称的另一点为(x', y')，则函数满足中心对称性。
例如，对于函数y=f(x)，若满足f(x0+x)=f(x0-x)，则该函数关于点(x0, y0)中心对称。
3. 旋转对称性旋转对称性是指函数关于某个点旋转180°后仍然不变。
具体来说，若对于函数中的任意一点(x, y)，经过旋转180°后的点为(x', y')，则函数满足旋转对称性。
例如，对于函数y=f(x)，若满足f(-x)=f(x)，则该函数具有旋转对称性。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数中的变量替代为相反数后函数值的变化性质。
根据函数的奇偶性，函数可以分为奇函数和偶函数。
1. 奇函数奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。
也就是说，将函数中的自变量替换为相反数后，函数值的正负号会发生变化。
例如，对于函数y=f(x)，若满足f(-x)=-f(x)，则该函数为奇函数。
2. 偶函数偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数的对称性与奇偶性在数学中是非常重要且常见的概念。
它们在函数的图像、性质与求解等方面都具有重要的意义和应用。
本文将介绍函数的对称性与奇偶性的概念、特性及其在数学中的应用。
首先，让我们来了解函数的对称性。
对称性指的是函数关于某一特定轴或点存在的一种对应关系。
根据对称轴或对称点的不同，可以分为平移对称、轴对称和中心对称等几类。
平移对称：当函数 f(x) 满足 f(x) = f(x + a) 时（其中 a 为常数），即函数的图像关于 x 轴平移 a 个单位后仍能重合，则可以说函数具有平移对称性。
轴对称：当函数 f(x) 满足 f(x) = f(-x) 时，即函数的图像关于 y 轴对称时，可以说函数具有轴对称性。
中心对称：当函数 f(x) 满足 f(x) = -f(-x) 时，即函数的图像关于原点对称时，可以说函数具有中心对称性。
其次，奇偶性是函数对称性的一种特殊情况。
如果函数 f(x) 具有轴对称性，那么称其为偶函数；如果函数 f(x) 具有中心对称性，那么称其为奇函数。
对于奇函数，满足以下性质：1. 在原点处取值为零，即 f(0) = 0；2. 在增区间内，函数值的符号与对应自变量的符号相同，即若 x > 0，则 f(x) > 0，若 x < 0，则 f(x) < 0；3. 在奇函数的定义域内，若x ≠ 0，则有 f(-x) = -f(x)，即在任意一点x 处的函数值与对应点 -x 处的函数值关于原点对称。
对于偶函数，满足以下性质：1. 在原点处的函数值与对应自变量的符号相同，即 f(0) = f(-0) = f(0+ 0) = f(0) = f(0 - 0)；2. 在增区间内，函数值的符号相同，即若 x > 0，则 f(x) > 0，若 x < 0，则 f(x) > 0；3. 在偶函数的定义域内，对于任意一点 x 处的函数值，有 f(-x) =f(x)，即在任意一点 x 处的函数值与对应点 -x 处的函数值关于 y 轴对称。
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是数学中的重要概念，它描述了一个变量与其自变量之间的关系。
在函数的研究中，对称性和奇偶性是两个重要的性质。
本文将从函数的对称性和奇偶性的概念入手，深入探讨它们的特点及应用。
一、对称性的概念对称性是一种几何性质，它指的是某个物体在某种操作下，不发生变化或者发生不变的性质。
在函数中，对称性指的是函数图像关于某条直线或某个坐标轴的对称性。
1.1 关于y轴对称当函数图像关于y轴对称时，称为关于y轴对称函数。
对于任意一点(x, y)在函数图像上，对应点(-x, y)也在函数图像上。
这种对称性可以通过判断函数的公式是否关于x的偶函数来确定。
1.2 关于x轴对称当函数图像关于x轴对称时，称为关于x轴对称函数。
对于任意一点(x, y)在函数图像上，对应点(x, -y)也在函数图像上。
这种对称性可以通过判断函数的公式是否关于x的奇函数来确定。
1.3 关于原点对称当函数图像关于原点对称时，称为关于原点对称函数。
对于任意一点(x, y)在函数图像上，对应点(-x, -y)也在函数图像上。
这种对称性可以通过判断函数的公式是否关于x的奇函数且关于y的奇函数来确定。
二、奇偶性的概念奇偶性是函数的一种性质，它描述了函数的对称性和曲线在坐标系中的位置关系。
奇函数和偶函数是两种特殊的函数类型，它们对应不同的对称性。
2.1 奇函数奇函数满足以下两个条件：一是在函数定义域内，f(-x) = -f(x)，即函数图像关于原点对称；二是在函数定义域内，f(x) = f(-x)，即函数图像关于y轴对称。
2.2 偶函数偶函数满足以下两个条件：一是在函数定义域内，f(-x) = f(x)，即函数图像关于y轴对称；二是在函数定义域内，f(x) = f(-x)，即函数图像关于x轴对称。
2.3 常见函数的奇偶性常见的函数中，指数函数和正弦函数是奇函数，而幂函数和余弦函数是偶函数。
这些函数的奇偶性可以通过函数的公式来判断。
三、对称性与奇偶性的应用对称性和奇偶性在函数的研究与应用中有着广泛的用途。
函数的对称性和奇偶性
函数的对称性和奇偶性函数的对称性和奇偶性是数学中重要的概念，用于描述函数的性质和特点。
通过研究函数的对称性和奇偶性，我们可以更深入地了解函数的行为和图像的形状。
本文将详细介绍函数的对称性和奇偶性的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、对称性的定义和性质函数的对称性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。
常见的对称性包括关于y轴的对称、关于x轴的对称和关于原点的对称。
下面将分别介绍这三种对称性的定义和性质。
1. 关于y轴的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)，则称函数关于y 轴对称。
也就是说，函数图像相对于y轴是对称的。
例如，函数y = x^2就是关于y轴对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^2 = x^2。
2. 关于x轴的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(x) = -f(-x)，则称函数关于x轴对称。
也就是说，函数图像相对于x轴是对称的。
例如，函数y = sin(x)就是关于x轴对称的，因为对于任意x值，都有sin(x) = -sin(-x)。
3. 关于原点的对称性如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数关于原点对称。
也就是说，函数图像相对于原点是对称的。
例如，函数y = x^3就是关于原点对称的，因为对于任意x值，都有(-x)^3 = -x^3。
对于一个函数而言，可能同时具有以上三种对称性，也可能只具有其中一种对称性。
在实际应用中，我们可以根据函数的对称性来简化计算和分析。
二、奇偶性的定义和性质函数的奇偶性是指函数在某些变换下具有不变性的性质。
奇函数和偶函数是最常见的具有奇偶性的函数。
下面将分别介绍奇函数和偶函数的定义和性质。
1. 奇函数如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。
也就是说，奇函数关于原点对称。
例如，函数y = sin(x)就是奇函数，因为对于任意x值，都有sin(-x) = -sin(x)。
函数的奇偶性及对称性
函数的奇偶性及对称性函数是数学中的重要概念，用于描述变量之间的关系。
在实际问题的建模和解决中，经常会遇到需要研究函数的性质和特征的情况。
其中，函数的奇偶性及对称性是我们常见且重要的性质之一。
一、函数的奇偶性在研究函数的奇偶性之前，我们先来了解一下奇数和偶数的定义。
奇数指的是不能被2整除的整数，例如1，3，5，7等；而偶数指的是能被2整除的整数，例如2，4，6，8等。
1.1 定义对于定义在实数集上的函数f(x)，若对任意的实数x，函数满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
同样地，若对任意的实数x，函数满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数。
1.2 性质（1）奇函数的图像关于原点对称，即对于函数y=f(x)，会关于原点O对称。
（2）奇函数在原点处取值为0，即f(0) = 0。
（3）奇函数的奇次幂项系数为0，即f(x)中只包含奇次幂的项。
（4）奇函数的乘积仍为奇函数。
二、函数的对称性除了奇偶性，函数还可以具有其他类型的对称性，比如轴对称、中心对称等。
2.1 轴对称当函数的图像关于某一直线对称时，称该函数具有轴对称性。
常见的轴对称有关于y轴和x轴的对称。
2.2 中心对称当函数的图像关于某一点对称时，称该函数具有中心对称性。
该点称为对称中心。
三、应用举例接下来，我们通过一些具体的函数来深入了解函数的奇偶性及对称性的应用。
3.1 奇函数的例子我们以f(x) = x^3作为奇函数的例子来说明。
（1）对于任意的实数x，有f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，满足奇函数的定义。
（2）图像关于原点O对称，过原点的直线y=x是该函数的斜渐近线。
（3）该函数在原点处取值为0。
（4）该函数的乘积仍为奇函数，例如f(x)g(x)= (x^3)(x^5) = x^8。
3.2 偶函数的例子我们以f(x) = x^2作为偶函数的例子来说明。
（1）对于任意的实数x，有f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)，满足偶函数的定义。
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苏州市学案 函数的奇偶性与对称性一、课前准备： 【自主梳理】1.奇偶函数的定义：一般地，对于函数()f x 的定义域内的________一个x ，都有____________，那么()f x 就叫做奇函数．对于函数()f x 的定义域的________一个x ，都有______________，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇偶函数的性质：⑴具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_________对称．（2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于__________对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于__________对称．（3）若奇函数)(x f 的定义域包含0，则=)0(f ___________．（4）定义在R 上的任意函数)(x f 都可以表示成一个奇函数=)(x g _____________和一个偶函数=)(x h ______________的和．（5）在定义域的公共部分内，两个奇函数之积（商）为___________；两个偶函数之积（商）为____________；一奇一偶函数之积（商）为_____________（注：取商时应使分母不为0）． 3．函数图像的对称性：（1）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于_________对称．（2）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于_________对称． 【自我检测】1．对于定义在R 上的函数)(x f ，下列判断正确的是__________．①若(2)(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数；②若(2)(2)f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③若(2)(2)f f -=，则函数()f x 不是奇函数．2．给出4个函数：①241()3x f x x +=-；②()25f x x =-+；③1()lg 1x f x x -=+；④1()1x f x x -=+． 其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数．3.已知22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++为奇函数，则=m ______,=n _________． 4.函数x x x f -=3)(的图像关于点__________对称．5.函数1sin )(3++=x b ax x f ，若(3)2f =，则(3)f -的值为___________．6.已知函数)(x f 是定义在R 的奇函数，则函数)()()(x f x f x g --=的奇偶性是________． 二、课堂活动：【例1】填空题：（1）函数()11f x x x =++-是_________函数．（填奇偶性）（2）已知函数b a bx ax x f +++=3)(2，其定义域为[]a a 2,1-，则)(x f 为偶函数的充要条件为_________________．（3）已知()f x 是R 上的奇函数,且当(0,)x ∈+∞时,3()(1)f x x x =+,则()f x 的解析式为____________________．（4）若函数xx k k x f 212)(⋅+-=是奇函数，则=k ___________．【例2】判断下列各函数的奇偶性：（1）1()(1)1x f x x x +=--；（2）22lg(1)()|2|2x f x x -=--；（3）22(0)()(0)x xx f x x xx ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩【例3】（1）已知函数)(x f 是偶函数，当[)1,0∈x 时，x x f -=1)(，又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)(x f 在[)1,2--上的解析式；（2）若函数()f x 是偶函数，定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数，解关于x 不等式)3()15(x f x f <-．课堂小结三、课后作业1.下列函数中，是偶函数的是____________.①2()f x x x =+ ②()1f x x =+ ③22()f x x x -=+ ④2()[2,2)f x x x x =+∈- 2.若函数22()log (2)a f x x x a =++是奇函数，则实数a = .3.奇函数()f x 的定义域是R ，当0x >时，2()22f x x x =-++，则()f x 在R 上的表达式为_______________.4.已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则)(x f 的解析式是_________. 5.若函数()()(2)(,)f x x a bx a a b R =++∈常数是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式为__________________.6.若函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，且在[]0,1-上为减函数，若2(1)(45)0f a a f a --+->，则实数a 的取值范围为________________.7.若奇函数()f x 满足(3)1,(3)()(3),f f x f x f =+=+则3()2f =_____________. 8.已知()f x 是定义R 在上的偶函数，并满足)(1)2(x f x f -=+，当32≤≤x 时，x x f =)(，则)5.5(f 的值为__________.9.函数()(0)y f x x =≠是奇函数，且当(0,)x ∈+∞时是增函数，若(1)0f =，求不等式1[()]02f x x -<的解集.10.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+. （1）求证：()f x 是奇函数； （2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f .四、纠错分析错题卡 题 号 错 题 原 因 分 析学案10 函数的奇偶性与对称性答案一、课前准备： 【自主梳理】1.任意，)()(x f x f -=-，任意，)()(x f x f =-.2.（1）原点，原点.（2）原点，y 轴.（3）0.（4）2)()()(x f x f x g --=，2)()()(x f x f x h -+=.（5）偶函数，偶函数，奇函数. 3.（1）直线a x =.（2）点()0,a . 【自我检测】 1.②.2.③，①，②④.3.2,1-=±=n m .4.()0,0 .5.0.6.奇函数.二、课堂活动：【例1】（1）偶.（2）0,31==b a .（3）33(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩.（4）1.【例2】【解析】（1）由101xx+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数．（2）由2210|2|20x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩得定义域为(1,0)(0,1)- ，∴22lg(1)()(2)2x f x x -=---22lg(1)x x -=-， ∵2222lg[1()]lg(1)()()x x f x x x ----=-=--()f x = ∴()f x 为偶函数． （3）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数．【例3】【解析】（1）∵)(x f 的图象关于直线1=x 对称，∴)1()1(x f x f -=+，即)2()(x f x f -=．当[)2,1∈x 时，1)2(1)2()(-=--=-=x x x f x f ．又()f x 为偶函数，∴[)1,2--∈x 时，1)()(--=-=x x f x f ． （2）∵函数()f x 是偶函数，定义域为[1,1]-且在区间[1,0]-上为增函数， ∴)(x f 在[]1,0上为减函数.∴由)3()15(x f x f <-得：)3()15(x f x f <-∴x x 315>-，即：81<x 或21>x ，又131,1151≤≤-≤-≤-x x ，即310≤≤x ∴不等式的解为：810<≤x ．三、课后作业 1.③. 2.22． 函数是实数R 上的奇函数 2202log 0)0(2=∴=∴=∴a a f a 3. 22220()00220x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩． 4.11)(2+=x x f ． 5.42)(2+-=x x f ．6.23331+-<≤a ． 7.21 ． 8.2.5．【解析】11(4)[(2)2]()41(2)()(5.5)(1.54)(1.5)(1.5)(1.54)(2.5)23()(2.5) 2.5(5.5) 2.5f x f x f x T f x f x f f f f f f x f x x f f +=++=-=-=∴=+-∴=+==-=-+=≤≤=∴=∴= 函数的最小正周期为时，9.【解析】111[()]00()1()-1222f x x x x x x -<∴<-<-<由题得或 ，解之得1117117{|0}244x x x +-<<<<或，所以不等式的解集为1117117{|0}244x x x +-<<<<或. 10. 【解析】（1）显然()f x 的定义域是R ，它关于原点对称．在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+，∴(0)0f =， ∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数． （2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-．。