三角函数与平面向量专题

三角函数与平面向量专题

考情分析

1.对三角函数图像的考查主要是平移、伸缩变换，或由图像确定函数的解析式，如2013年福建T9，四川T6等．

2.三角函数的性质是考查的重点，可以单独命题，也可与三角变换交汇，综合考查三角函数的单调性、周期性、最值等．另外由性质确定函数的解析式也是高考考查的重点，如2013年天津T6，浙江T6等.

3.对三角变换公式注重基础考查，并在综合试题中作为一种工具考查，主要考查利用各种三角公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．如2013年新课标全国卷ⅡT6，江西T13等．

4.正弦定理和余弦定理及解三角形问题是高考考查的重点，单独命题的频率较高，主要涉及以下几个问题：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)有关范围的问题．如2013年北京T5，山东T7等.

5.对平面向量的概念及线性运算主要考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的条件，或以向量为载体求参数的值，如2013年辽宁T3等．

6.对平面向量的基本定理及坐标运算的考查主要侧重以下两点：(1)以平面向量的基本定理为基石，利用一组基底表示相关向量；(2)利用坐标运算解决平行、垂直问题，如2013年山东T15等．

7.数量积的运算是每年必考的内容，主要涉及：(1)向量数量积的运算；(2)求向量的模；

(3)求向量的夹角，如2013年浙江T17等.

要点归纳

1．三角函数的概念、基本关系式和诱导公式

这一类题型主要是选择题与填空题，解决问题的方法是熟知各个公式，且能熟练运用，要注意角与角的统一，角与角的线性关系。

2. y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与解析式

解决这类问题在于熟知各图像，在利用图像求三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、ω，然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．

3. 三角函数的奇偶性、周期性、单调性与最值

掌握三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断公式就能进行此类型的解决。

4. 三角函数图像变换

本类题目主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．解决问题的一般步骤是：（1）审条件（2）审结论（3）建联系.

5. 三角变换与求值

（1）三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同角)，化简求值．（2）解决条件求值应关注的三点：a 分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．b 正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．c 求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．

6. 利用正弦、余弦定理解三角形

(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；

(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．

7．平面向量的概念及线性运算

(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线

8. 平面向量的数量积

解决数量积问题要注意选择合适的计算公式，要注意向量共线与垂直的结论。

热点一 三角函数的概念、基本关系式和诱导公式

[例1] (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6

，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π6

(2)若3cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12

sin 2θ的值是________． [自主解答] (1)∵sin 5π6>0，cos 5π6

<0， ∴α为第四象限角．

又tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－3212

＝－3， ∴α的最小正值为5π3

. (2)∵3cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos(π＋θ)＝0，∴3sin θ－cos θ＝0，从而tan θ＝13

. ∴cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋⎝⎛⎭⎫132＝ 43 109＝65

. [答案] (1)C (2)65

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应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点

(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．

(2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．

相关练习

1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45

，则m 的值为________． 解析：由点P (－8m ，－6sin 30°)在角α的终边上且cos α＝－45

，知角α的终边在第三象限，则m >0，又cos α＝ －8m

(－8m )2＋9

＝－45，所以m ＝12. 答案：12

热点二 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像与解析式

[例2] (1)(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M ，ω，φ是常数，M >0，ω>0,0≤φ≤π)的部分图像如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1)＝( )

A ．－2

B ．－1