高中必修1-5错误解题分析系列-《12.3平均数、方差与标准差》

12．3平均数、方差与标准差

一、知识导学

1．n 个数据1a ，2a ，…….n a 的平均数或平均值一般记为-

a =

n

a a a n

+++........21.

2．一般地，若取值n x x x ,......,,21的频率分别为n p p p ,......,,21，则其平均数为

n n p x p x p x +++......2211.

3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.

4． 一般地，设一组样本数据n x x x ,......,,21，其平均数为-

x ，则称2

1

2

)(1∑=--=n i i x x n s 为这

个样本的方差，算术平方根21

)(1∑=--=n

i i x x n s 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差. 二、疑难知识导析

1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数.

2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响.

3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略.

4.样本方差也可以用公式21

2

2

1x x n s n i i -=∑=计算.

三、经典例题导讲

[例1]（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.9,11,10,,y x 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4

解：由平均数公式为10，得105

1

)91110(=⨯

++++y x ，则20=+y x ，又由于方差为2，则()()()()()[]

25

11091011101010102

2222=⨯-+-+-+-+-y x 得

20822=+y x 1922=xy

所以有()42222

=-+=-=

-xy y x y x y x ，故选D.

[例2]数据n x x ,,1 是一名运动员的n 次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.

A ．样本平均数均值∑==n

i i x n x 11 B ．样本极差),,m in(),,m ax (11n n x x x x R -=

C ．样本方差2

12

)(1x x n s n i i -=∑= D ．样本平均差AD=∑=-n i i x x n 1

1

错解：C.

错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计. 正解：A.

[例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？

解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为

11

85

.11074.1+⨯=1.75.即这11个人的平均身高为1075米

[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数

解：年平均收入为12%511%253%70=⨯+⨯+⨯（万）；中位数和众数均为1万

（1）计算所有人员的月平均收入；

（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？

（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？ （4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析 解：（1）平均收入7

1

1=

-

x （3000+450+350+400+320+320+410）=750元 （2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员

（3）去掉老板后的月平均收入6

1

2=

-

x （450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平

（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之 四、典型习题导练

A ．4 B.4.4 C.8 D.8.8

2．8名新生儿的身长（cm ）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .

3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：

用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值-

x = ，病人等待时间的标准差的估计值s =

4．样本1021,......,,x x x 的平均数为5，方差为7，则3()()()13,......,13,11021---x x x 的平均数、方差，标准差分别为

5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况

男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94

女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97

6．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min 抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110. （1）这样的抽样是何种抽样方法？

（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.