高中必修1-5错误解题分析系列-《12.3平均数、方差与标准差》
高中数学必修三北师大版 平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差 课件(51张)
【规律总结】对平均数、中位数、众数描述一组数据的数字特
征的分析
描述数据集中趋势的统计量；中位数更实际地描述了数据
的中心，它不受极端数据的影响；众数作为一组数据的代表， 可靠性较差，但由于其求法较简便，所以在现场检查中常被用 到.
主题二
方差、标准差
【解题指南】1.根据所给数据按平均数、众数和中位数的含义 来求解.
2.根据各种数字特征的定义及意义解决问题.
【解析】1.该歌手得分为(9.5+9.4+9.5+9.6)÷4=9.5.
9.5在这组数据中出现2次,出现次数最多,故评分的众数是9.5.
将这组数据按从小到大顺序排列后最中间的两个数都是 9.5,故 中位数是9.5. 答案：9.5 9.5 9.5
2.(1)由平均数公式得 x 1 (82×27+80×21)≈81.13(分).
48
(2)∵男生的中位数是75分,∴至少有14人得分不超过75分.
又∵女生的中位数是80分,∴至少有11人得分不超过80分，
∴全班至少有25人得分不超过80分.
(3)男生的平均分与中位数的差别较大,说明男生中两极分化 现象严重,得分高的和低的相差较大.
2.极差、方差、标准差
最大值 与_______ 最小值 的差. (1)极差：一组数据中_______
(2)标准差为 s= . n _____________________________
1 2
x
x
x
2
x
2
x n x
2
(3)方差是
n . s 2= 1 2 n __________________________
人教课标版(B版)高中数学必修3方差、标准差知能阐释
方差、标准差知能阐释一、要点剖析1．样本方差一般地，样本中各数据与样本平均数的差的平方的平均数222212()()()n x x x x x x S n -+-++-=叫做样本方差。
（1）样本方差越大，说明样本的差异和波动性大；（2）当样本容量较大时，样本方差很接近反映总体差异和波动大小的特征数——总体方差，我们通常都是用样本方差去估计、推断总体方差的。
（3）两个简化公式①22222121()n S x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦； ②22/2/2/2/121()n S x x x nx n ⎡⎤=+++-⎢⎥⎣⎦。
其中/11x x a =-，/22x x a =-，…，/nn x x a =-，a 是接近原数据的平均数的一个常数。
2．样本标准差（1）样本标准差：方差的算术平方根(n S x x =++-叫做样本的标准差。
它是一个用来衡量一组数据波动大小的重要的量。
（2）标准差的计算步骤：①算出样本数据的平均数x ； ②算出每个样本数据与平均数的差i x x -（1i =，2，3，…，n ）；③算出②中的i x x -（1i =，2，3，…，n ）的平方；④算出③中n 个平方数的平均数；⑤算出④中平均数的算术平方根，即为样本标准差。
（3）标准差的应用标准差反映了数据对平均数的离散程度，标准差越大，数据的离散程度越大，标准差越小，数据的离散程度越小。
在实际应用中，标准差通常被理解为稳定性，标准差越小，说明产品的质量越稳定。
3．样本方差与标准差的异同二、范例剖析例1 计算下面这组数据的方差和标准差（结果精确到0.1）：423，421，419，420，421，417，422，419，423，418分析：方差有三个计算公式，计算方差时要灵活选用，以便减轻运算量。
解析：方法1：222221423421418(423421418)101010S ⎡⎤+++⎛⎫=+++-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2140231766559101010⎡⎤⎛⎫=-⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦[]117665591766520.910=- 138.110=⨯ 3.8≈。
高中数学《平均数、中位数、众数、极差、方差 标准差》课件
检测学业达标
课后梯度测评
答案
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是 80 分，其中，甲组成绩在 80 分以上(含 80 分)的有 33 人，乙组成绩在 80 分以上(含 80 分)的有 26 人，从 这一角度来看，甲组的成绩总体较好．
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩高于 90 分(含 90 分)的人数为 14＋6 ＝20(人)，乙组的成绩高于 90 分(含 90 分)的人数为 12＋12＝24(人)，所以乙 组成绩集中在高分段的人数多，同时乙组得满分的比甲组得满分的多 6 人， 从这一角度来看，乙组的成绩较好．
课前新知预习
课堂师生共研
规范答题思维
检测学业达标
课后梯度测评
2．方差、标准差 n 个数据 x1，x2，…，x3，我们把x1＋x2＋n …＋xn记为－x ，则方差可以用 s2＝1n[(x1－－x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－－x )2]来表示，将方差的算术平方根 s＝ n1[x1－－x 2＋x2－－x 2＋…＋xn－－x 2]称为标准差．
(2)因方差与原始数据单位不同，且平方后可能夸大了偏差程度，所以虽 然标准差与方差在体现数据分散程度上是一样的，但解决问题时一般用标准 差；
(3)标准差与方差的取值范围是[0，＋∞)．
课前新知预习
课堂师生共研
规范答题思维
检测学业达标
课后梯度测评
课堂师生共研
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
－
80)2
＋
13×(80
－
80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172(分 2)．
s
2
乙
＝
1 50
平均数 方差 标准差
平均数方差标准差
平均数、方差和标准差是统计学中常用的三个概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述数据的特征。
本文将分别介绍这三个概念，并说明它们在实际应用中的意义和作用。
首先，我们来谈谈平均数。
平均数是一组数据的总和除以数据的个数所得到的值。
它是最常用的描述数据集中趋势的统计量之一。
在实际应用中，平均数可以帮助我们了解数据的集中程度，比如一组考试成绩的平均数可以反映出这个班级的整体水平。
另外，平均数也可以用来比较不同数据集之间的差异，比如不同产品的平均销售额。
接下来，让我们来看看方差。
方差是衡量一组数据离散程度的统计量，它可以告诉我们数据集中的值与平均值之间的差异程度。
方差越大，说明数据的离散程度越高；方差越小，说明数据的离散程度越低。
在实际应用中，方差可以帮助我们评估数据的稳定性和可靠性，比如在质量控制中，方差可以用来衡量产品的质量稳定程度。
最后，让我们来介绍标准差。
标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的一个重要指标。
与方差相比，标准差更容易理解和解释，因为它的单位与原始数据的单位相同。
在实际应用中，标准差可以帮助我们更直观地理解数据的分布情况，比如在投资领域，标准差可以用来衡量投资组合的风险水平。
综上所述，平均数、方差和标准差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述数据的特征。
在实际应用中，我们可以根据这三个概念来进行数据分析、决策和预测，从而更好地指导我们的工作和生活。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用这些概念，提升数据分析能力，谢谢阅读！。
【优】高二数学方差与标准差PPT资料
一组数据的 最大值与最 小值的差
❖ 由图可以看出，乙样本的最小值100低于甲样本的最 小值100，最大值145高于甲样本的最大值135，这说明 乙种钢筋没有甲种钢筋的抗拉强度稳定.
❖ 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差 （range）。由图可以看出，乙的极差较大，数据点 较分散；甲的极差小，数据点较集中，这说明甲比 乙稳定。运用极差对两组数据进行比较，操作简单 方便，但如果两组数据的集中程度差异不大时，就 不容易得出结论。
灯泡数 1
11
18
20
25
16
7
2
分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。
解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均 数约为165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345 ×7%+375×2%=267.9≈268(天)这些组中值的方差为 1/100×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2 +25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128.60(天2). 故所求的标准差约 212.8646（天）
甲 9.8 用 9-1样0本）平2+均（数10估. 计总体平均数。
有夸甲大、 了乙离两差种的钢程筋度，现我从们中将各方抽差取的一算个术标平本方根称
9.9
方差和标准差和平均数的关系
方差和标准差和平均数的关系关于“方差和标准差和平均数的关系”，我们来聊聊这个数学话题，但别担心，不会让你觉得枯燥乏味，咱们轻松点，像喝茶聊天一样。
1. 平均数：我们的基准线首先，咱们得先明白什么是平均数。
简单来说，平均数就是把一组数字加起来，然后平均分配给每一个数字。
比如说，你和你的朋友们一起吃饭，花了300块钱，四个人一平摊，那每个人就是75块。
这个75块就是平均数，大家心里都明白了吧？但是，平均数就像一个表面功夫，掩盖了背后的故事。
有人可能花了100块，有人只花了50块。
明白这点非常重要，因为它能帮助我们深入理解数据的分布。
1.1 方差：看得见的波动接下来，我们得说说方差。
方差是用来衡量一组数据与平均数之间的差距有多大的。
就像你和朋友一起打篮球，有的人投篮准，有的人总是空心球。
方差就像是在告诉你，大家的水平差距到底有多大。
计算方差时，我们会先找出每个数字与平均数之间的差，然后平方，再求个平均值。
听起来可能有点复杂，但其实就是告诉你，数据的“起伏”有多大。
1.2 标准差：方差的“翻译”说到这里，标准差就登场了。
标准差其实就是方差的平方根，简单易懂，就是把方差的“复杂性”变得通俗易懂。
用标准差来描述数据时，就像在告诉你“大家的表现差不多，没啥大问题”还是“哎呀，有的人真是牛逼轰轰”。
比如，一个班的数学成绩，如果标准差小，那就意味着大家的分数都差不多；如果标准差大，那就说明有些人特别优秀，而有些人……呃，可能需要多加练习了。
2. 平均数、方差和标准差的关系这三者之间可不是孤立存在的。
平均数就像一家之主，而方差和标准差就是他的两个孩子，虽然性格不同，但总是围绕着他转。
比如说，如果你知道了平均数，你可以通过方差和标准差了解数据的整体波动情况。
就像在学校，班级的平均分可能是80分，但如果标准差是20分，那说明有的人得了90分，有的人得了60分，大家的差距就非常大。
2.1 实际应用：看数据的真面目在实际生活中，这些概念有多重要呢？假设你在分析一家公司员工的薪水，平均薪水看起来不错，但如果标准差很大，说明公司内部的薪水差距非常明显，有可能导致员工的不满情绪。
湘教版高中数学必修第五册 12.1.3方差和标准差_教案设计
方差和标准差【教材分析】本节课是在学习了如何抽样与抽样调查中所涉及到的概念，和用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。
【学情分析】本节课的授课对象是八年级学生，他们正处于形象思维向抽象思维的过渡阶段，注意力水平不高，在教学中需要采用启发式教学。
在知识上，我们已经接触过统计方面的知识，有助于本节课的学习。
【教学目标】知识与技能：2．了解方差，标准差的公式的产生过程。
2．掌握方差和标准差的计算方法及其运用。
3．能通过实例学会用样本方差分析总体方差，用方差公式来分析数据离散程度。
情感态度价值观：1．通过合作交流，以面对面的互动形式，培养良好的团队合作精神，感受集体的力量。
2．以具体的例子出发，体会数学来源于生活，生活离不开数学，从来增加学习数学的兴趣。
【教学重难点】重点：方差和标准差的概念、计算及其运用。
难点：方差和标准差的计算及运用。
方差是各变量值相对于平均数的离差平方的平均数。
【教学方法】采用情景探究、小组合作，实施启发式教学。
教学手段以“教师为主导，学生为主体，探索为主线，思维为核心”的教学思路，采用矛盾冲突教学方法，充实了教学内容，通过师生合作，生生合作以及学生自身的独立思考，探索获得方差的公式和标准差的合理出现。
【教学过程】一、创设情景引出课题师：同学们，谁看过射击实况转播？相信绝大多数同学都看过，今天老师要让你们自己想办法解决有关射击的问题。
问题一、为了从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，学校决定对选拔方案进行招标。
如果你参与竞标，那么你将设计什么方案？生：让甲、乙二人在相同的条件下各射靶10次，选拔平均环数较多的学生。
师：这个方案不错。
可是如果两人的平均环数一样，怎么办？生：再比一次。
师：如果再比一次结果还是一样，难道要一直比下去？47①比较上述数据，你将选择谁参赛？②通过计算可知，X甲= ，X乙= ，并根据计算的结果验证你选择的正确性。
尽管平均环数相同，但二人的水平还是有差距的，经过观察分析数据，我们发现：甲最多10环，最少4环，波动范围较大；而乙最多9环，最少5环，波动范围较小。
《平均数标准差》PPT课件
90 81.82
126 10 9.09
100 90.91
128 4
3.64
104 94.55
130 3
2.73
107 97.27
132 2
1.82
109 99.09
134136 1
0.91
110 100
合计
110 100
-
-
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5
身高(cm)
某市1995年110名7岁男童的身高分布直方 图 精选ppt
利用频数表，计算组中值（为本组段的 下限与相邻较大组段的下限的均值）， 各组段频数与组中值的乘积，近似等于 该组变量值之和，各乘积之和除以总频 数，所得的商，就是均数。
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11
加权法计算算数均数的公式
X fiXi f1X1f 2X2...fnXn
fi
f1f 2...fn
fi 某组段的频数，Xi 某组段的组中值
分为两部分，理论上有r%的观察值 比它小，有（100-r）%的观察值比 它大。
如有含n量5%为个n的观样察本值，比PP55即小表，示有：n9理5%论个上 观察值比P5大。
常用的百分位数：5，25，75，95 分
位数。
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30
百分位数频数表法计算：
W Pr L (n.r%C)
f
Pr:百分位数； L:该百分位数所在组段的下限； W: 组距； f:该百分位数所在组段的频数； C: 小于L的各组段的累积频数； n:样本数 中位数是特殊的百分位数。
33 30
55 50
76 69.09
90 81.82
100 90.91
104 94.55
107 97.27
高中必修1-5错误解题分析系列-《12.3平均数、方差与标准差》
12．3平均数、方差与标准差一、知识导学1．n 个数据1a ，2a ，…….n a 的平均数或平均值一般记为-a =na a a n+++........21.2．一般地，若取值n x x x ,......,,21的频率分别为n p p p ,......,,21，则其平均数为n n p x p x p x +++......2211.3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.4． 一般地，设一组样本数据n x x x ,......,,21，其平均数为-x ，则称212)(1∑=--=n i i x x n s 为这个样本的方差，算术平方根21)(1∑=--=ni i x x n s 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差. 二、疑难知识导析1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数.2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响.3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略.4.样本方差也可以用公式21221x x n s n i i -=∑=计算.三、经典例题导讲[例1]（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.9,11,10,,y x 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4解：由平均数公式为10，得1051)91110(=⨯++++y x ，则20=+y x ，又由于方差为2，则()()()()()[]25110910111010101022222=⨯-+-+-+-+-y x 得20822=+y x 1922=xy所以有()42222=-+=-=-xy y x y x y x ，故选D.[例2]数据n x x ,,1 是一名运动员的n 次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.A ．样本平均数均值∑==ni i x n x 11 B ．样本极差),,m in(),,m ax (11n n x x x x R -=C ．样本方差212)(1x x n s n i i -=∑= D ．样本平均差AD=∑=-n i i x x n 11错解：C.错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计. 正解：A.[例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为1185.11074.1+⨯=1.75.即这11个人的平均身高为1075米[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数解：年平均收入为12%511%253%70=⨯+⨯+⨯（万）；中位数和众数均为1万（1）计算所有人员的月平均收入；（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？ （4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析 解：（1）平均收入711=-x （3000+450+350+400+320+320+410）=750元 （2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员（3）去掉老板后的月平均收入612=-x （450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之 四、典型习题导练A ．4 B.4.4 C.8 D.8.82．8名新生儿的身长（cm ）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值-x = ，病人等待时间的标准差的估计值s =4．样本1021,......,,x x x 的平均数为5，方差为7，则3()()()13,......,13,11021---x x x 的平均数、方差，标准差分别为5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，976．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min 抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110. （1）这样的抽样是何种抽样方法？（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.。
【完整】高一数学必修三标准差与方差资料PPT
【预习自测】
B 1．设 x1 4, x2 5, x3 6 ，则该样本的标准差为(
)
A. 3 3
B. 6 3
C. 5 3
D. 7 3
2．甲、乙两射击运动员在一次连续10 次的射击中，
C 所射中环数的平均数一样，但方差不同，则( )
A、他们水平相同
B、方差较大的，潜力较大
例平1均、数甲对乙数两据人有同“时取生齐产”内的径作为用2，4m代m表的一一组种数零据件的。平均水平。 乙（的1）数分学别平求均出分这比两的名甲同高学好的多数，学但成稳绩定的性平稍均差数一及点标. 准差；
为若了B样对本两数人据的恰生好产是质A量样进本行数评据比都，加从2他后们所生得产数的据零，件则中A，各B抽两出样5件本，的测下得列其数内字径特尺征寸对如应下相(同单的位是：（mm )）：(A)众数 (B)平均数 (C)中位
甲数 (D)标乙准差
为 例了1、对甲两乙人两的人生同产时质生量产进内行径评为比2，4m从m他的们一生种产零的件零。件中各抽出5件，测得其内径尺寸如下(单位：mm )：
1去1掉0一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为_________、_________。
7 7 7 2、( 山东文4)在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.
从__生__产__的__零__件_内__径_”尺．寸看，谁生产的质量较高？ 5即，4 甲3 、2 乙9生产3 的8 零8件9内径的平均数相等，但乙的稳定程度高，
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 (甲C：)中2位2，数25，23，(D2)标3，准2差7 乙：25，24，22，25，24
《均值、方差、标准差》PPT课件
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12
(2)加减常数法：数据 x1，x2，…，xn 都比较大或比 较小，且 x1，x2，…，xn 在固定常数附近波动， x ＝x1＋x2＋n …＋xn，a 为接近 x 的常数，则 x1±a， x2±a，…，xn±a 的平均数为 x ±a.
(3)若 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为 x ， 那么 mx1﹢a， mx2﹢a，mx3﹢a，…，mxn﹢a 的平
离差分别为 x-a1,x-a2,…,x-an
读作：a 平均
a1 a2 an
a=
n
1n
=
n
ai
i1
平均数最能代表一个样本数据的集中趋势， 也就是说它与样本数据的离差最小。
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4
例1 某校高一年级的甲乙两个班级（均为50人）的 数学成绩如下（总分150），试确定这次考试中，哪 个班的数学成绩更好一些 .
• 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平 均数叫做样本方差；
• 样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
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18
设一组样本数据 x1, x2,，其xn平均数为 ，则 x
s2 1 n (x 1 x )2 (x 2 x )2 (x n x )2
即
s2
1 n
n i1
(xi
x)2
称s2为这个样本的方差，它的算术平方根
总体月平均数不能反映工人的月工资总体月平均数不能反映工人的月工资水平因为公司中少数人的月工资额与大多水平因为公司中少数人的月工资额与大多数人的月工资额差别较大这样导致平均数人的月工资额差别较大这样导致平均数与中位数的偏差较大所以月平均数不数与中位数的偏差较大所以月平均数不能反映这个公司工人的月工资水平而应能反映这个公司工人的月工资水平而应该应用中位数或众数来反映工人的月工资该应用中位数或众数来反映工人的月工资水平水平在这个问题中总体月平均数能客观地反映工人的月工资水平吗
高中数学平均数中位数众数极差方差标准差讲义共68页文档
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
标准差讲义
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【原创精品资料】12.3《平均数、方差与标准差》错误解题分析
12.3《平均数、方差与标准差》错误解题分析一、知识导学1、n 个数据1a ，2a ，……。
n a 的平均数或平均值一般记为-a =na a a n +++........21。
2、一般地，若取值n x x x ,......,,21的频率分别为n p p p ,......,,21，则其平均数为n n p x p x p x +++......2211。
3、把一组数据的最大值与最小值的差称为极差。
4、一般地，设一组样本数据n x x x ,......,,21，其平均数为-x ，则称212)(1∑=--=ni i x x n s 为这个样本的方差，算术平方根21)(1∑=--=ni i x x n s 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差。
二、疑难知识导析1、平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数。
2、方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响。
3、分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略。
4、样本方差也可以用公式21221x x n s n i i -=∑=计算。
三、经典例题导讲[例1]（江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.9,11,10,,y x 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4解：由平均数公式为10，得1051)91110(=⨯++++y x ，则20=+y x ，又由于方差为2，则()()()()()[]25110910111010101022222=⨯-+-+-+-+-y x 得 20822=+y x 1922=xy 所以有()42222=-+=-=-xy y x y x y x ，故选D 。
高一数学必修三课件第章方差与标准差
极差、四分位数间距应用
01
02
03
极差
一组数据中最大值与最小 值之差，反映数据的波动 范围。
四分位数间距
上四分位数与下四分位数 之差，反映中间50%数据 的离散程度。
应用
在数据分析中，极差和四 分位数间距常用于初步了 解数据的分布情况和离散 程度。
平均差、方差和标准差比较
平均差
所有数据与平均数之差的绝对值的平 均数，反映数据离散程度的另一种方 法。
04
概率论中方差与标准差应用
随机变量及其分布概述
随机变量定义
随机变量是描述随机试 验结果的变量，常用大
写字母表示。
离散型随机变量
取值可数的随机变量， 如抛硬币试验中的正面
、反面次数。
连续型随机变量
取值充满某个区间的随 机变量，如测量误差、
气温等。
随机变量的分布
描述随机变量取值的概 率分布，包括离散型分
的平均数。
性质
01
02
03
方差非负。
方差反映了一组数据与其平 均数的偏离程度。
04
05
如果一组数据中的每一个数 都加上或减去一个常数，方
差不变。
标准差定义及性质
定义：标准差是方差的算术平方根，用s 表示。
对于同一组数据，标准差越小，说明数 据越集中；标准差越大，说明数据越分 散。
标准差反映了数据与平均数的偏离程度 ，但与方差相比，它提供了更直观的度 量单位。
标准差
标准差是方差的算术平方根，用s表示。标准差用s表示。标 准差在数学上定义为方差的平方根，标准差与方差一样，表 示的也是数据点的离散程度。
样本波动大小描述方法
样本方差
样本方差是各样本数据与其平均 数差的平方和的平均数，用s^2 表示。样本方差用于描述样本数 据的离散程度。
平均值、方差、标准差
平均值(Mean)、方差(Variance)、标准差(Standard Deviation) 对于一维数据的分析，最常见的就是计算平均值(Mean)、方差(Variance)和标准差(Standard Deviation)。
平均值平均值的概念很简单：所有数据之和除以数据点的个数，以此表示数据集的平均大小；其数学定义为：以下面10个点的CPU使用率数据为例，其平均值为。
14 31 16 19 26 14 14 14 11 13方差、标准差方差这一概念的目的是为了表示数据集中数据点的离散程度；其数学定义为：标准差与方差一样，表示的也是数据点的离散程度；其在数学上定义为方差的平方根：为什么使用标准差？与方差相比，使用标准差来表示数据点的离散程度有3个好处：表示离散程度的数字与样本数据点的数量级一致，更适合对数据样本形成感性认知。
依然以上述10个点的CPU使用率数据为例，其方差约为41，而标准差则为；两者相比较，标准差更适合人理解。
表示离散程度的数字单位与样本数据的单位一致，更方便做后续的分析运算。
在样本数据大致符合正态分布的情况下，标准差具有方便估算的特性：%的数据点落在平均值前后1个标准差的范围内、95%的数据点落在平均值前后2个标准差的范围内，而99%的数据点将会落在平均值前后3个标准差的范围内。
贝赛尔修正在上面的方差公式和标准差公式中，存在一个值为N的分母，其作用为将计算得到的累积偏差进行平均，从而消除数据集大小对计算数据离散程度所产生的影响。
不过，使用N 所计算得到的方差及标准差只能用来表示该数据集本身(population)的离散程度；如果数据集是某个更大的研究对象的样本(sample)，那么在计算该研究对象的离散程度时，就需要对上述方差公式和标准差公式进行贝塞尔修正，将N替换为N-1：经过贝塞尔修正后的方差公式：经过贝塞尔修正后的标准差公式：公式的选择是否使用贝塞尔修正，是由数据集的性质来决定的：如果只想计算数据集本身的离散程度(population)，那么就使用未经修正的公式；如果数据集是一个样本(sample)，而想要计算的则是样本所表达对象的离散程度，那么就使用贝塞尔修正后的公式。
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12．3平均数、方差与标准差
一、知识导学
1．n 个数据1a ，2a ，…….n a 的平均数或平均值一般记为-
a =
n
a a a n
+++........21.
2．一般地，若取值n x x x ,......,,21的频率分别为n p p p ,......,,21，则其平均数为
n n p x p x p x +++......2211.
3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.
4． 一般地，设一组样本数据n x x x ,......,,21，其平均数为-
x ，则称2
1
2
)(1∑=--=n i i x x n s 为这
个样本的方差，算术平方根21
)(1∑=--=n
i i x x n s 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差. 二、疑难知识导析
1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数.
2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响.
3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略.
4.样本方差也可以用公式21
2
2
1x x n s n i i -=∑=计算.
三、经典例题导讲
[例1]（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为.9,11,10,,y x 已知这组数据的平均数为10，方差为2，则y x -的值为（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4
解：由平均数公式为10，得105
1
)91110(=⨯
++++y x ，则20=+y x ，又由于方差为2，则()()()()()[]
25
11091011101010102
2222=⨯-+-+-+-+-y x 得
20822=+y x 1922=xy
所以有()42222
=-+=-=
-xy y x y x y x ，故选D.
[例2]数据n x x ,,1 是一名运动员的n 次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.
A ．样本平均数均值∑==n
i i x n x 11 B ．样本极差),,m in(),,m ax (11n n x x x x R -=
C ．样本方差2
12
)(1x x n s n i i -=∑= D ．样本平均差AD=∑=-n i i x x n 1
1
错解：C.
错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计. 正解：A.
[例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？
解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为
11
85
.11074.1+⨯=1.75.即这11个人的平均身高为1075米
[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数
解：年平均收入为12%511%253%70=⨯+⨯+⨯（万）；中位数和众数均为1万
（1）计算所有人员的月平均收入；
（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？
（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？ （4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析 解：（1）平均收入7
1
1=
-
x （3000+450+350+400+320+320+410）=750元 （2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员
（3）去掉老板后的月平均收入6
1
2=
-
x （450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平
（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之 四、典型习题导练
A ．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm ）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 .
3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值-
x = ，病人等待时间的标准差的估计值s =
4．样本1021,......,,x x x 的平均数为5，方差为7，则3()()()13,......,13,11021---x x x 的平均数、方差，标准差分别为
5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况
男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94
女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97
6．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min 抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110. （1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.。