高中数学：割补是立体几何解题的重要方法

高中数学：割补是立体几何解题的重要方法

理论根据是“将某些直观图割补成另一些直观图，以显露原直观图的一些隐含条件”。

一、割成锥

例 1. 从空间一点O出发的四条射线两两所成的角都是θ，则θ一定是（）

A. 锐角

B. 直角

C. 钝角

D. 锐角或钝角

图1

分析：如图1，在射线OA、OB、OC、OD上分别截取OA1、OB1、OC1、OD1，使。由四条射线两两所成的角都是θ，得三棱锥是正四面

体，O是正四面体的中心。设，使用勾股定理及射影定理计算得。

即θ为钝角。故选C。

例2. 从空间一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两所成的角都是60°，求二面角B-OA-C的余弦值。分析：如图2，在射线OA、OB、OC上分别截取，使。由OA、OB、OC两两所成的角都是60°，得三棱锥是正四面体。从而二面角的余弦值是。

图2

二、补成柱

例3. 在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MN⊥AM，侧棱长，则正三棱锥的外接球的表面积为（）。

A. 12π

B. 32π

C. 36π

D. 48π

分析：因为MN⊥AM，MN//SB，所以SB⊥AM。

又SB⊥AC，所以SB⊥平面SAC，则SB⊥SA，SB⊥SC。易得SC⊥SA。

由此可将正三棱锥S-ABC补成正方体，使SA、SB、SC是正方体的三条棱，从而正三棱锥S-ABC的外接球也就是正方体的外接球，其半径等于3，表面积等于。故选C。

例4. 正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高之比是（）

A.

B.

C.

D.

分析：如图3，将正四面体A-BCD补成正方体，使正四面体A-BCD的棱为正方体的面对角线。设正方体的棱长为6，中心为O。连接AE，交面BCD于O1，易证平面BCD。则。故选C。

图3

例5. 在三棱锥A-BCD中，AB=CD=p，AD=BC=q，AC=BD=r，求三棱锥A-BCD外接球的半径。

分析：将三棱锥A-BCD补成长方体，使其棱为长方体的面对角线，从而三棱锥A-BCD的外接球也就是长方体的外接球。设长方体的三棱长分别为x，y，z，

则，所以

从而外接球的半径