江苏省南通市2015届高三第一次调研考试数学试题(一模)

江苏省南通市2015届高三第一次调研测试

数学I

一、填空题

1. 已知集合{2,1},{1,2,3}A B =--=-，则A

B = .

2. 已知复数z 满足()341(i z i +=为虚数单位)，则z 的模为 .

3. 某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分

层抽样

的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 .

4. 函数2()lg(23)f x x x =-++的定义域为 .

5. 有图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 .

6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6

个点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为 .

7. 底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积

为 . 8. 在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线2

4y x =焦点的双曲线的方程是

9. 在平面直角坐标系xOy 中，记曲线2(,2)m

y x x R m x

=-

∈≠-1x =处的切线为直线l .若直线l 在

两坐标轴上的截距之和为12，则m 的值为 . 10. 已知函数

()

s i n 26f x x π⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭.若()(0)2y f x πϕϕ=-<<是偶函数，则ϕ= .

11. 在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >.若122360,100a a a a +≤+≤，则155a a +的

最大值为 .

12. 已知函数(0)x

y a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则

41

1a b

+-的最小值为 .

13. 如上图，圆O 内接∆ABC 中，M 是BC 的中点，3AC =.若4AO AM ⋅=，则

AB = .

14. 已知函数()f x 是定义在[)1,+∞上的函数，且1|23|,12(),11

(),222

x x f x f x x --≤<⎧⎪

=⎨≥⎪⎩则函数2()3y x f x =-

在区间 ()12015，上的零点个数为 . 二、解答题

15. 在∆ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 已知cos cos 2cos .b C c B a A +=

()1求角A 的大小； ()2若3,AB AC ⋅=

，求∆ABC 的面积.

16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，

1,4,A C B C C C M ⊥

=是棱1CC 上的一点.

()1

求证：BC AM ⊥；

()2若N 是AB 的中点，且CN ∥平面1AB M .

17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，顶

点B 的坐标为()0,b ，且∆12BF F 是边长为2的等边三角形.

()1求椭圆的方程；

()2过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于,A C 两点，记∆2ABF ，∆2BCF 的面积分别为12,S S .若

122S S =，求直线l 的斜率.

18. 在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点)C ，展厅入口位于长方

形的长边的中间，在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(如图阴影所示).

()

1若圆盘半径为，求监控摄像头最小水平视角的正切值；

()2过监控摄像头最大水平视角为60

，求圆盘半径的最大值.

(注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角.)

19.若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点. 已知函数3

()3ln 1().f x ax x x a R =+-∈

()1当0a =时，求()f x 的极值；

()2若()f x 在区间1(,)e e

上有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围.

20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .若

()*1122n n

a n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. ()1若数列{}n a 的前n 项和为()()2*1

34n S n n n N =+∈，证明：{}n a 是“紧密数列”； ()2设数列{}n a 是公比为q 的等比数列.若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求.q 的取值范

围.

数学Ⅱ 附加题部分

注意事项

1．本试卷共2页，均为解答题（第21题～第23题，共4题）．本卷满分为40分，考试时间为30

分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．

2．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．选修4-１：几何证明选讲

（本小题满分10分）如图，已知AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，分别延长AB ，CD 相交于点M ，N 为圆O 上一点，AN ＝AC ，证明：∠MDN ＝2∠OCA