图像盲复原

一、图像复原的变分方法

图像在形成传输和存储的过程中都会产生失真，造成图像质量的退化，图像复原就是解决这些问题。

（1）图像复原的变分方法

一般来讲，图像的退化过程一般可描述为：f=Ru+n 1-（1） 其中n 表示加性Gauss 白噪声，R 表示确定退化的线性算子，通常是卷积算子。

图像复原就是要尽可能的降低或消除观察图像f （x ）的失真，得到一个高质量图像，根据最大似然原理，通过求解如下变分问题可以得到真实图像u 的一个最小二乘逼近：

{}

2inf (x)(x)u f Ru dx Ω-⎰ 1-（2） 但该问题是一个典型的病态问题，解决该问题的常用的方法是正则化方法，其中最典型的模型是全变差（TV ）模型，该模型在2001年被法国数学家完善，提出了卡通-纹理分解的变分模型。

TV 模型的正则化模型为：()

222()()inf L u H f Ru u dx λΩΩ∈Ω-+∇⎰ 1-（3） 第一项是残项，或称忠诚项，保证恢复图像u 保留观察图像f 的主要特征，第二项是正则项，保证恢复图像的光滑，以去除噪声，同时保证极小化问题是良态的，λ>0是尺度参数，平衡忠诚项和正则项的作用，该模型的唯一解满足以下方程:

*(f Ru)u 0R λ-+∆= 1-（4） 该模型对均匀区域来讲，能很好的去除噪声，但同时磨光了边缘的重要特征，对1-（3）的方程加上适当的初、边值条件，可构成最速下

降法来求解。

该方法可以去除光滑部分的噪声，但同时边缘和纹理也被模糊了，此模型对图像的光滑性要求高，不允许图像中出现不连续或奇异特征，由此改进了有界变差函数或分布空间-BV 空间将图像的梯度看成一种测度而不是函数，允许图像存在边缘、纹理等重要的不连续特征 ，用BV 空间刻画全局正则性更合适。

在图像复原中，为了在去噪的同时能够有效的保留边缘，提出如下正则化模型：2

2()()1inf 2L TV u BV f Ru u λΩ∈Ω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 1-（5） 它利用了BV 空间的半范数—全变差来作为正则项，加上同样的初、值条件，用最速下降法求解，它是Sobolev 空间的一种改进。

（2）变换域变分模型

上述TV 模型只利用了图像的空域信息，没有利用图像的频域或其他变换域信息，另一方面需要大量的迭代，而且没有一个好的停止准则，而变换域变分模型，其求解简单，无需迭代。

DT 模型：

112()1,1()22,inf (v,u)(v u)2f L H B u v F f v u γα-ΩΩΩ=-+++ 1-（6）

利用该模型和Besov 半范数和小波系数的等价关系可以建立基于小波变换的快速算法，避免了求解非线性偏微分方程。

图像的复原也可在基于Besov 和负hilbert-sobolev 空间进行，以及在基于Besov 和齐次Besov 空间进行。

二、 基于Besov 空间的图像盲复原

依然采用退化模型g=h*f+n

由于图像随机噪声的存在，图像的盲复原一般是一个病态问题，通常是引入正则化项来克服病态，you 和kaveh 提出能量最小化模型：

222

212(f,h)1min (f,h)*2L J h f g f dx h dx ααΩΩΩ⎫⎧=-+∇+∇⎨⎬⎩⎭⎰⎰ 第一项是忠诚项，希望复原图像继承模糊图像的主要特征，后两项分别是对复原图像和点扩散函数的二次正则化，这种二次正则项过光滑，会导致图像模糊，因此chan 和wang 将二次正则项改为一次正则项，即TV 模型：

2212(f,h)1min (f,h)*2L J h f g f dx h dx ααΩΩΩ⎫⎧=-+∇+∇⎨⎬⎩⎭

⎰⎰ 1α和2α分别是两个正则项的调节参数，该方程可以通过euler 方程来

求解，但这种基于全变差正则化的盲复原计算量大，并且会引起阶梯效应，产生虚假边缘，由此提出了改进的算法

（1） 基于besov 空间的图像盲复原模型和算法

定义(f)*H h f ∆=，F(H)*h f ∆

=是两个线性卷积算子，其共轭算子分别是

**(f)*H h f =，**F (H)*h f =。根据Daubechies 关于Besov 空间11,1B 和BV

空间的关系，用11,1B 正则化代替TV 正则化，则有如下模型： 2111,1()1,1()212(f,h)1min (f,h)*2L B B J h f g f h ααΩΩΩ⎫⎧=-++⎨⎬⎩⎭

采用交替最小化方法来求解恢复图像f 和系统模糊函数h 。首先固定h ，极小化来求解f ，然后对得到的f ，极小化求解h 。具体求解时，利用Besov 半范数的小波等价模和小波能量守恒性质将能量转化到小波域求解，就可以通过小波域阈值处理来实现，此算法有效的降低

了复杂度。

（2）同样，也可以采用基于曲线波的图像恢复和卡通纹理分解，具体模型为：

12()1,1()22,inf (v,u)(v u)2s f L H B u v F f v u γα-ΩΩΩ=-+++

γ和α是调整两个正则项的权参数，此式也可以利用小波等价模型转换到小波域来求解，但是利用小波对图像进行多分辨表示时，存在着两个问题：1，无法精确地表示边缘方向2，用二维小波逼近图像中的奇异曲线是通过电来逼近线，为满足一定的精度，必须采用较多的小波系数来表示奇异曲线，candes 提出的curvelet （第一代curvelt ）可以克服小波的不足，用这种各向异性的curvelet 变换能更稀疏的表示图像的边缘，用更少的系数就可以逼近奇异曲线，但第一代有些复杂，由此，又提出了第二代curvelet 变换，比第一代形式更简单更容易实现。

三、通过查阅文献了解到的其他算法模型

由于盲复原问题中有用的信息太少，所以用迭代法求解，但会造成解不唯一的病态问题，其核心是建立准确的先验信息模型。目前，基于小波变换的图像复原方法主要有：

小波域 EM 算法，傅里叶小波规整化法，Crouse 等人提出了基于小波域隐Markov 树模型的图像复原算法，娄帅等人提出了一种结合平稳小波ForWaRD 反卷积与传统小波域隐Markov 树(HMT)的算法。2006 年Bioucas-Dias 将贝叶斯框架与小波变换相结合提出了一种广义期望最大化(Generalized ExpectationMaximization ，GEM)算法。