立体几何中线面平行的经典方法+经典题(附详细解答)

D

B A 1

A

高中立体几何证明平行的专题(基本方法)

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；

分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边

形

*

2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；

分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形

-

3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：

（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.

…

分析：连EA ，易证

C 1EA

D 是平行四

是

（第1题图）

P

E

D

C

B

A

MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F

G M AD CD BD BC AM EFG 求证：AB 1ABEF ⊥ABCD ABEF

ABCD 090,BAD FAB BC

∠=∠=//=

1

2

AD BE //=

12

AF ,G H ,FA FD BCHG ,,,C D F E ） 利用平行四边形

的性质

9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O

2

1

中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ； &

分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

#

（I ）证法一： 因为

EF

90ACB ∠=︒90,EGF ABC

∠=︒∆.EFG ∆BC FG 21=ABCD BC AM 21=FA ⊂GM ⊄SM AM ND

BN

ABC P -PB ⊥ABC 90BCA ∠=E PC

M AB F PA 2AF FP =（1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；

分析: 取AF 的中点N ，连CN 、MN ，易证平面CMN1

!

A

F

E

B

C

D M

。

A

B

C

D

E

F G M

D

C

A

B

B 1

A 1

C 1

C ,a b c ，αβ，//a b //,a b αα⊂//,//a b αα//,//a c b c //,a b

αα

β=α

⊄ααα

αα

α

3

C

ABCD

,M N

,AB CD

()1

2

MN AC BC ≥+()1

2

MN AC BC ≤+()1

2

MN AC BC =

+()12

MN AC BC <

+8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，

能得到

AB

1C 1

图，正三棱柱

的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.

1

11C B A ABC -求证：//1C B 平面BD A 1.

|

11.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M ，N ，G 分别是AA 1，CD ，CB ，CC 1的中点， 求证：（1）MN

参考答案

一、选择题 1．D

【提示】当l =⋂βα时，α内有无数多条直线与交线l 平行，同时这些直线也与平面β平行.故A ，B ，C 均是错误的 2．C

【提示】棱AC ，BD 与平面EFG 平行，共2条. 3．C

【提示】//,,a b αα⊂则//a b 或,a b 异面；所以A 错误；//,//,a b αα则//a b 或,a b 异面或,a b 相交，所以B 错误；//,,a b αα

β=则//a b 或,a b 异面，所以D 错误；

//,//a c b c ，则//a b ，这是公理4，所以C 正确.

'

4．B

【提示】若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则直线m 于平面α相交，α内不存在与m 平行的直线. 5．B

【提示】②③④错误.②过平面外一点有且只有一个平面和这个平面平行，有无数多条直线与它平行.③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行④平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行或其中一条在平面上. 6. D

【提示】本题可利用空间中的平行关系，构造三角形的两边之和大于第三边. 二、填空题

7．平面ABC ，平面ABD

【提示】连接AM 并延长，交CD 于E ，连结BN 并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由

MA EM =NB EN =2

1

得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD . 8. ①③

【提示】对于①，面MNP 于③，MP9．平行

【提示】连接BD 交AC 于O ，连OE ，∴OE ∥B D 1，OEC 平面ACE ，∴B D 1∥平面ACE. 三、解答题

10.证明：设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，

D 为AC 中点，∴PD C B 1 ⊂B A 1∴C B 1B A 1明：（1） M 、N 分别是CD 、CB 的中

点，∴MN //∴

所以BDMN 1C 1C 1C 1C ∴∆1CAC 1⊄面EB 1D 1 ，EO ⊂面EB 1D 1，所以AC 1//// ⋂∴AC 1⊂面AHC 1，所以AC 1//// //∴ 所以BD BD ⋂DG=G ，∴面EB 1D 1//面BDG