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由无穷小量究竟是不是零的问题引起了极大的 争论，从而引发了第二次数学危机。
牛顿的“无穷小”
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牛顿的「无穷小量」
无穷小量在牛顿的微积分中的 主要运用。
无穷小量的数学推导过程在逻 辑上自相矛盾。
也正因为他的逻辑上不严格， 而遭到责难。
牛顿 (IsaccNewton,1642 — 1727)英国数学家、天文
ຫໍສະໝຸດ Baidu
应当承认，贝克莱的责难是有道理的。
“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基
础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上
严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，
只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结
果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞
人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大
威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这
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线索
一、危机的出现和实质 二、危机的解决 三、危机的影响 四、危机的启示
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第二次数学危机
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十七世纪微积分诞生后，由于推敲 微积分的理论基础问题，数学界出 现混乱局面，即第二次数学危机。
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• 这使得数学家在将近200年的时间里，不能彻底 反驳贝克莱的责难。
• 直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克 莱的责难。
• 直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，
才彻底地反驳了贝克莱的责难。
实践是检验真理的唯一标准
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达朗贝尔（法） 波尔查诺
分析学的奠基人，公认是法国的 多产的数学家柯西，柯西在数学分析 和置换群理论方面作了开拓性的工作， 是最伟大的近代数学家之一。柯西在 1821～1823年间出版的《分析教程》 和《无穷小计算讲义》是数学史上划 时代的著作，在那里，他给出了数学 分析一系列基本概念的精确定义。例 如，他给出了精确的极限定义，然后 用极限定义连续性、导数、微分、定 积分和无穷级数的收敛性。
终于在数学家们的共同努力
下，到19世纪末，分析的严格化问
题得到了解决。
第一个为补救第二次数学危机 提出真正有见地的意见的是达 朗贝尔。他在1754年指出，必 须用可靠的理论去代替当时使 用的粗糙的极限理论。
到了19世纪，出现了一批杰出 的数学家，他们积极为微积分 的奠基工作而努力。首先要提 到的是捷克的哲学家和数学家 波尔查诺，他开始将严格的论 证引入到数学分析中。1816年， 他在二项展开公式的证明中， 明确提出了级数收敛的概念， 同时对极限、连续和变量有了
其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷 小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说 法本身就是不明确的，是含糊的。
当然，牛顿也曾在他的著作中说明， 然提出和 使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词 的意思。
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德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，
但是也没有明确给出极限的定义。
正因为如此，此后近二百年间的数学家，
都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学
危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理
论作为微积分学的基础。
二、危机的解决
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进入19世纪，历史要求给微
积分以严格的基础。
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柯西
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接着，魏尔斯特拉斯建立了实数系，创
造了精确的“ ”语言。
戴德金，康托尔等又将实数理论严密化。
分析有了严密的基础和完整的体系微积分学。
无论是基本概念，还是在逻辑严密性、形式严
谨性上，都有欧氏几何学一般的令人赞叹！
表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真
理的唯一标准。”
危机的实质
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第二次数学危机的实质是什么？是数学思
想的不严密的、直观的、强调形式的计算，而不
管基础的可靠与否，也就是说，微积分理论缺乏
逻辑基础。
第二次数学危机的实质是方法论的变革。
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。 学家和物理学家
微积分受到攻击与责难
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十八世纪的数学家对待微积分发展的态度。对 这些基础问题的讨论不感兴趣。认为所谓的严 密化就是烦琐。
在微积分的发展过程中，出现了两种不荣乐观 的局面。
微积分的基础问题受到一些人的批判和攻击， 其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击 。
贝克莱 1685年3 月12日出生于 爱尔兰基尔肯 尼郡1753年1月
14日卒于牛津。
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• 他指责牛顿 “依靠双重错误得到了不科学却正 确的结果”。
• 因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零， 一会儿又说不是零。
• 因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的鬼魂”。 贝克莱的攻击真正抓住了牛顿理论中的缺陷， 是切中要害的。
贝克莱的发难
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贝克莱，18世纪英国哲学家， 西方近代主观唯心主义哲学 的主要代表。他对微积分强 有力的批评，在数学界产生 了最令人震撼的撞击。
1734年，贝克莱以“渺小的 哲学家”之名出版了一本针 对微积分基础的书——《分 析学家》。在这本书中，贝 克莱对牛顿的理论进行了攻 击。
而这次的危机是由牛顿学派的外 部、贝克莱大主教提出的，是对牛 顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。
一、危机的出现
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17世纪数学史上出现了一个崭新的数学分支— —数学分析，或称微积分。
微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微 积分基础的问题也越来越严重。
由贝克莱悖论所引发的第二次数学危机
宣告彻底解决了。在微积分创建200余年后，
数学家们终于赢来了胜利凯旋之日。
三、危机的影响
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第二次数学危机的产生，使数学家们更深入地 探讨了数学分析的基础——实数论问题。这不 仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的 无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题， 而这正是20世纪数学基础中分理论的基础上建 设起来的高楼大厦，就再也无需有基础倒塌之 忧虑了。因此，进入20世纪以后，这些学科得 到了长足的发展。
牛顿的“无穷小”
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牛顿的「无穷小量」
无穷小量在牛顿的微积分中的 主要运用。
无穷小量的数学推导过程在逻 辑上自相矛盾。
也正因为他的逻辑上不严格， 而遭到责难。
牛顿 (IsaccNewton,1642 — 1727)英国数学家、天文
ຫໍສະໝຸດ Baidu
应当承认，贝克莱的责难是有道理的。
“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基
础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上
严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，
只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结
果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞
人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大
威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这
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一、危机的出现和实质 二、危机的解决 三、危机的影响 四、危机的启示
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第二次数学危机
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十七世纪微积分诞生后，由于推敲 微积分的理论基础问题，数学界出 现混乱局面，即第二次数学危机。
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• 这使得数学家在将近200年的时间里，不能彻底 反驳贝克莱的责难。
• 直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克 莱的责难。
• 直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，
才彻底地反驳了贝克莱的责难。
实践是检验真理的唯一标准
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达朗贝尔（法） 波尔查诺
分析学的奠基人，公认是法国的 多产的数学家柯西，柯西在数学分析 和置换群理论方面作了开拓性的工作， 是最伟大的近代数学家之一。柯西在 1821～1823年间出版的《分析教程》 和《无穷小计算讲义》是数学史上划 时代的著作，在那里，他给出了数学 分析一系列基本概念的精确定义。例 如，他给出了精确的极限定义，然后 用极限定义连续性、导数、微分、定 积分和无穷级数的收敛性。
终于在数学家们的共同努力
下，到19世纪末，分析的严格化问
题得到了解决。
第一个为补救第二次数学危机 提出真正有见地的意见的是达 朗贝尔。他在1754年指出，必 须用可靠的理论去代替当时使 用的粗糙的极限理论。
到了19世纪，出现了一批杰出 的数学家，他们积极为微积分 的奠基工作而努力。首先要提 到的是捷克的哲学家和数学家 波尔查诺，他开始将严格的论 证引入到数学分析中。1816年， 他在二项展开公式的证明中， 明确提出了级数收敛的概念， 同时对极限、连续和变量有了
其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷 小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说 法本身就是不明确的，是含糊的。
当然，牛顿也曾在他的著作中说明， 然提出和 使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词 的意思。
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德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，
但是也没有明确给出极限的定义。
正因为如此，此后近二百年间的数学家，
都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学
危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理
论作为微积分学的基础。
二、危机的解决
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进入19世纪，历史要求给微
积分以严格的基础。
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柯西
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接着，魏尔斯特拉斯建立了实数系，创
造了精确的“ ”语言。
戴德金，康托尔等又将实数理论严密化。
分析有了严密的基础和完整的体系微积分学。
无论是基本概念，还是在逻辑严密性、形式严
谨性上，都有欧氏几何学一般的令人赞叹！
表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真
理的唯一标准。”
危机的实质
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第二次数学危机的实质是什么？是数学思
想的不严密的、直观的、强调形式的计算，而不
管基础的可靠与否，也就是说，微积分理论缺乏
逻辑基础。
第二次数学危机的实质是方法论的变革。
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。 学家和物理学家
微积分受到攻击与责难
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十八世纪的数学家对待微积分发展的态度。对 这些基础问题的讨论不感兴趣。认为所谓的严 密化就是烦琐。
在微积分的发展过程中，出现了两种不荣乐观 的局面。
微积分的基础问题受到一些人的批判和攻击， 其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击 。
贝克莱 1685年3 月12日出生于 爱尔兰基尔肯 尼郡1753年1月
14日卒于牛津。
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• 他指责牛顿 “依靠双重错误得到了不科学却正 确的结果”。
• 因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零， 一会儿又说不是零。
• 因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的鬼魂”。 贝克莱的攻击真正抓住了牛顿理论中的缺陷， 是切中要害的。
贝克莱的发难
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贝克莱，18世纪英国哲学家， 西方近代主观唯心主义哲学 的主要代表。他对微积分强 有力的批评，在数学界产生 了最令人震撼的撞击。
1734年，贝克莱以“渺小的 哲学家”之名出版了一本针 对微积分基础的书——《分 析学家》。在这本书中，贝 克莱对牛顿的理论进行了攻 击。
而这次的危机是由牛顿学派的外 部、贝克莱大主教提出的，是对牛 顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。
一、危机的出现
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17世纪数学史上出现了一个崭新的数学分支— —数学分析，或称微积分。
微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微 积分基础的问题也越来越严重。
由贝克莱悖论所引发的第二次数学危机
宣告彻底解决了。在微积分创建200余年后，
数学家们终于赢来了胜利凯旋之日。
三、危机的影响
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第二次数学危机的产生，使数学家们更深入地 探讨了数学分析的基础——实数论问题。这不 仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的 无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题， 而这正是20世纪数学基础中分理论的基础上建 设起来的高楼大厦，就再也无需有基础倒塌之 忧虑了。因此，进入20世纪以后，这些学科得 到了长足的发展。