第二次数学危机 优质课件
数学小讲师--三次数学危机
学
小
讲
师
三次数学危机
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第一次数学危机
公元前六世纪，在古希腊学 术界占统治地位的毕达哥拉斯 学派，其思想在当时被认为是 绝对权威的真理。其主要奉献 之一就是证明了毕达哥拉斯定 理，也就是勾股定理。
当时，毕达哥拉斯倡导的是一 种称为“唯数论〞的哲学观点，他 们认为宇宙的本质就是数的和谐。 他们认为万物皆数〔数字神化〕， 而数只有两种，就是正整数和可通 约的数〔即分数，两个整数的比〕， 除此之外不再有别的数，即是说世 界上只有整数或分数。
有理数 无理数
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第二次数学Байду номын сангаас机
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第三次数学危机
危机：既是危险，也是机遇。数学史上的每 一次危机都极大地推动了数学的开展。每一 次开展都是人们认识这个世界的更进一步。 数学也有着自己独特的文化与韵味。
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数学悖论与三次数学危机省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
柯西
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到十九世纪，批判、系统化和严密论 证必要时期降临了。 使分析基础严密化 工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大 步。柯西于1821年开始出版了几本含有划 时代意义书与论文。其中给出了分析学一 系列基本概念严格定义。如他开始用不等 式来刻画极限，使无穷运算化为一系列不 等式推导。
欧多克
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二百年后，大约在公元前370年，才华横溢欧 多克索斯建立起一套完整百分比论。他本人著作 已失传，他结果被保留在欧几里德《几何原本》 一书第五篇中。欧多克索斯巧妙方法能够避开无 理数这一“逻辑上丑闻”，并保留住与之相关一 些结论，从而处理了由无理数出现而引发数学危 机。但欧多克索斯处理方式，是借助几何方法， 经过防止直接出现无理数而实现。这就生硬地把 数和量肢解开来。在这种处理方案下，对无理数 使用只有在几何中是允许，正当，在代数中就是 非法，不合逻辑。或者说无理数只被看成是附在 几何量上单纯符号，而不被看成真正数。
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如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论信后难 过地说：“一个科学家所碰到最不合心意事 莫过于是在他工作即将结束时，其基础瓦解 了。罗素先生一封信恰好把我置于这个境 地。”戴德金也所以推迟了他《什么是数本 质和作用》一文再版。能够说，这一悖论就 象在平静数学水面上投下了一块巨石，而它 所引发巨大反响则造成了第三次数学危机。
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一直到18世纪，当数学家证实了基本常数如 圆周率是无理数时，拥护无理数存在人才多 起来。到十九世纪下半叶，现在意义上实数 理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清， 无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理 数在数学中正当地位确实立，首先使人类对 数认识从有理数拓展到实数，另首先也真正 彻底、圆满地处理了第一次数学危机。
三次数学危机及其影响ppt课件
一. 第一次数学危机
一. 第一次数学危机
1.危机的起因：
第一次数学危机是由 不 能写成两个整数 2 之比引发的。
毕达哥拉斯（约公元前580-前500） 古希腊哲学家、数学家、天文学家
例：如边长为1的正方形，对角线的 长度就不能以整数之比表示。
危机的实质： 是无理 2
数，全体整数之构成的
最后，这些既属于自己而又不属于自己
的集合 (Set)，便成了集合论的矛盾， 引发起第三次数学危机。
危机的消除
危机出现以后，包括罗素本人在内的许多 数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消 除悖论的选择有两种，一种是抛弃集合论， 再寻找新的理论基础，另一种是分析悖论产 生的原因，改造集合论，探讨消除悖论的可 能。
到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使 几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现 使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算 术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索： 整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现 了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。
1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了
由7条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。 1922年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条公理，还 把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的ZF-系统。再 后来，还有改进的ZFC-系统。
这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过
是有理数系，有理数系
需要扩充，需要添加无
理数.
当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一
危机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个 量之比”的新说法，回避了它是无理数的实 质，而是用几何的方法去处理不可公度比。 这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何 从全部数学中脱颖而出。欧几里得的《几何 原本》中也采用了这一说法，以致在以后的 近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数 学的基础。
《数学史上的三次危机》课件
Three crises in Mathematics
第一次危机 first
出现
1
希帕索斯发 现：两直角边都 为1的等腰直角三 角形，其斜边的 长度是上帝都不 知道的数。这是 人类数学史上发 现的第一个无理 数。
2 a ？ b
2 因为这一背
经离道的发现， 希帕索斯被扔 到海里淹死了。
4 毕达哥拉斯认定类似于“根号
2
第一个图形 反比例函数图形
第二个图形 双曲线的图形
Three crises in Mathematics
第二次危机 Second
背景 2、无穷小与0
3 中国庄周所著《庄子》
一书的《天下篇》中， 也记有“一尺之棰，日 取其半，万世不竭”。
5
而现在，我们高中生都 知道，无穷小不是一个实数， 而是一个以0为极限的变量。 无穷小不一定是0，但0是 无穷小，不仅如此，0还是 实数内唯一一个无穷小。
Three crises in Mathematics
第二次危机
Second
出现
2 无穷小量的概念对于
微积分理论乃至高等数学 的发展有着基石性的作用， 当时人们的认知是不严谨 和不完整的，牛顿和莱布 尼兹纷纷采用“先用了再 说”的方式进行研究，才 照成了第二次数学危机。
1
1734 年 ， 英 国 哲 学 家 、 大 主 教贝克莱把矛头指向微积分的基 础--无穷小的问题。他指出微积分 理论在推导过程中存在逻辑上的 自相矛盾：“无穷小量是一个幽 灵，说它是0吧，又可以做为分母， 不是0吧，又可以舍去。总之看起 来是0又不是0。与其相信无穷小 的灵魂，还不如相信上帝”。微 积分的合理性就这样遭到严重质 疑，险些要把整个微积分理论推 翻
4
第二次数学危机
第二次数学危机十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。
从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论)，出现了这样那样的问题，被一些别有用心的人钻了空子。
事实往后百多年亦没有人能清楚回答这些问题。
这就是历史上的第二次数学危机，而这危机的引发和牛顿有直接的关系。
四悖论早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。
古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。
这造成数与量的长期脱离。
古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。
他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：运动不存在第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。
跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。
因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。
这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。
飞矢不动与游行队伍悖论而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。
第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。
第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。
这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。
当然他们无法解决这些矛盾。
希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。
它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。
他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。
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第二次数学危机
十七世纪微积分诞生后，由于推敲 微积分的理论基础问题，数学界出 现混乱局面，即第二次数学危机。 而这次的危机是由牛顿学派的外部、 贝克莱大主教提出的，是对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。
一、危机的出现
• 17世纪数学史上出现了一个崭新的数学 分支——数学分析，或称微积分。
由无穷小量究竟是不是零的问题引起了极大的争论，从而引发了第二次数学危机。
了解决。 实践是检验真理的唯一标准
直至魏尔斯特拉斯创立“
”语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。
柯西在1821～1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作，在那里，他给出了数学分析一系列基本
概念的精确定义。
的 。 缺”语陷书 在言，—这，是—本才切书《彻中中分底要，析地害反的贝学驳。克家了莱》贝克
对 莱的牛责顿难的。理论进行了攻 击。
贝克莱 1685年3 月12日出生于 爱尔兰基尔肯 尼郡1753年1月 14日卒于牛津
。
实践是检验真理的唯一标准
应当承认，贝克莱的责难是有道理的。 “无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基 础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上 严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它， 只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结 果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞 人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大 威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这 表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真 理的唯一标准。”
二、危机的实质
其德实国，的在莱牛布顿尼把茨瞬虽时然速也度同说时成发“明物了体微所积走分的，无但穷
是小也距没离有与明第所确用二给的次出无数极穷学限小危的时机定间义的之。比实”质的是时什候么，？这应种说 法本该正身因是就为是数如不学此明思，确想此的后的，近是不二含严百糊密年的的间。、的直数学观家的，、都强 不能调 也满当意形就然地，式是解牛的说释顿计，贝也算微克曾，积莱在而分提他出不的理的著管论悖作基缺论中础乏。说的逻明可辑，靠基然与础提否。出，和
第二次数学危机
第二次数学危机第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。
危机背景芝诺悖论这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。
——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
“阿基里斯追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。
这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。
“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。
从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。
运动是矛盾的，所以运动是不可能的。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。
前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。
芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。
它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。
其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
微积分的出现经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。
牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。
第7讲 第二次数学危机-幽灵般的无穷小
第7讲第二次数学危机-幽灵般的无穷小课时题目：第二次数学危机—微积分数学基础的重建课时目标：微积分自由发展后的回归严谨的过程教学难点：无拘束发展的微积分为什么会遇到危机，严谨的基础是如何重建的课时安排：1课时本课思考主题：数学发展周期：自由蓬勃发展-遭遇危机-回归严谨什么是数学危机?危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。
从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。
人类最早认识的是自然数。
从引进零及负数就经历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通；同样，引进分数使乘法有了逆运算——除法，否则许多实际问题也不能解决。
但是接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用整数之比来表示？于是发现无理数就导致了第一次数学危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”。
可是这种不实的数却能解决实数所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。
几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到各种非欧几何学也是如此。
在十九世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、乘方、开方求出根来；古希腊几何三大问题，即三等分任意角、倍立方体、化圆为方不能通过圆规、直尺作图来解决等等。
这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。
这种发现给这些学科带来极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。
非欧几何学的诞生欧几里得的《几何原本》是第一次数学危机的产物。
尽管它有种种缺点和毛病，毕竟两千多年来一直是大家公认的典范。
尤其是许多哲学家，把欧几里得几何学摆在绝对几何学的地位。
十八世纪时，大部分人都认为欧几里得几何是物质空间中图形性质的正确理想化。
特别是康德认为关于空间的原理是先验综合判断，物质世界必然是欧几里得式的，欧几里得几何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公设简单明白、直截了当。
第二次数学危机
达朗贝尔（法）
波尔查诺
分析学的奠基人，公认是法国的多 产的数学家柯西，柯西在数学分析 和置换群理论方面作了开拓性的工 作，是最伟大的近代数学家之一。 柯西在1821～1823年间出版的《分 析教程》和《无穷小计算讲义》是 数学史上划时代的著作，在那里， 他给出了数学分析一系列基本概念 的精确定义。例如，他给出了精确 的极限定义，然后用极限定义连续 性、导数、微分、定积分和无穷级 数的收敛性。
调形式的计算，而不管基础的可靠与否， 不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 当然，牛顿也曾在他的著作中说明， 然提出和 也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学危机， 使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词 实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微 的意思。 积分学的基础。
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牛顿的“无穷小”
• 牛顿的「无穷小量」 • 无穷小量在牛顿的微积分中的 主要运用。 • 无穷小量的数学推导过程在逻 辑上自相矛盾。 • 也正因为他的逻辑上不严格， 而遭到责难。
牛顿(IsaccNewton,1642 —1727)英国数学家、 天 文学家和物理学 家
微积分受到攻击与责难
• 十八世纪的数学家对待微积分发展的态 度。对这些基础问题的讨论不感兴趣。 认为所谓的严密化就是烦琐。 • 在微积分的发展过程中，出现了两种不 荣乐观的局面。 • 微积分的基础问题受到一些人的批判和 攻击，其中最有名的是贝克莱主教在 1734年的攻击 。
威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这
表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真
理的唯一标准。”
二、危机的实质
德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但 其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷 第二次数学危机的实质是什么？应 是也没有明确给出极限的定义。 小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说
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牛顿的“无穷小”
牛顿的「无穷小量」
无穷小量在牛顿的微积分中的 主要运用。
无穷小量的数学推导过程在逻 辑上自相矛盾。
也正因为他的逻辑上不严格， 而遭到责难。
牛顿 (IsaccNewton,1642 — 1727)英国数学家、天文
终于在数学家们的共同努力
下，到19世纪末，分析的严格化问
题得到了解决。
第一个为补救第二次数学危机 提出真正有见地的意见的是达 朗贝尔。他在1754年指出，必 须用可靠的理论去代替当时使 用的粗糙的极限理论。
到了19世纪，出现了一批杰出 的数学家，他们积极为微积分 的奠基工作而努力。首先要提 到的是捷克的哲学家和数学家 波尔查诺，他开始将严格的论 证引入到数学分析中。1816年， 他在二项展开公式的证明中， 明确提出了级数收敛的概念， 同时对极限、连续和变量有了
。 学家和物理学家
微积分受到攻击与责难
十八世纪的数学家对待微积分发展的态度。对 这些基础问题的讨论不感兴趣。认为所谓的严 密化就是烦琐。
在微积分的发展过程中，出现了两种不荣乐观 的局面。
微积分的基础问题受到一些人的批判和攻击， 其中最有名的是贝克莱主教在1734年的攻击 。
由贝克莱悖论所引发的第二次数学危机
宣告彻底解决了。在微积分创建200余年后，
数学家们终于赢来了胜利凯旋之日。
三、危机的影响
第二次数学危机的产生，使数学家们更深入地 探讨了数学分析的基础——实数论问题。这不 仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的 无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题， 而这正是20世纪数学基础中分理论的基础上建 设起来的高楼大厦，就再也无需有基础倒塌之 忧虑了。因此，进入20世纪以后，这些学科得 到了长足的发展。
贝克莱的发难
贝克莱，18世纪英国哲学家， 西方近代主观唯心主义哲学 的主要代表。他对微积分强 有力的批评，在数学界产生 了最令人震撼的撞击。
1734年，贝克莱以“渺小的 哲学家”之名出版了一本针 对微积分基础的书——《分 析学家》。在这本书中，贝 克莱对牛顿的理论进行了攻 击。
线索
一、危机的出现和实质 二、危机的解决 三、危机的影响 四、危机的启示
第二次数学危机
十七世纪微积分诞生后，由于推敲 微积分的理论基础问题，数学界出 现混乱局面，即第二次数学危机。
达朗贝尔（法） 波尔查诺
分析学的奠基人，公认是法国的 多产的数学家柯西，柯西在数学分析 和置换群理论方面作了开拓性的工作， 是最伟大的近代数学家之一。柯西在 1821～1823年间出版的《分析教程》 和《无穷小计算讲义》是数学史上划 时代的著作，在那里，他给出了数学 分析一系列基本概念的精确定义。例 如，他给出了精确的极限定义，然后 用极限定义连续性、导数、微分、定 积分和无穷级数的收敛性。
而这次的危机是由牛顿学派的外 部、贝克莱大主教提出的，是对牛 顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。
一、危机的出现
17世纪数学史上出现了一个崭新的数学分支— —数学分析，或称微积分。
微积分成为解决问题的重要工具。同时关于微 积分基础的问题也越来越严重。
其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷 小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说 法本身就是不明确的，是含糊的。
当然，牛顿也曾在他的著作中说明， 然提出和 使用了“极限”这个词，但并没有明确说清这个词 的意思。
德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，
表明，在大多数人的脑海里，“实践是检验真
理的唯一标准。”
危机的实质
第二次数学危机的实质是什么？是数学思
想的不严密的、直观的、强调形式的计算，而不
管基础的可靠与否，也就是说，微积分理论缺乏
逻辑基础。
第二次数学危机的实质是方法论的变革。
• 这使得数学家在将近200年的时间里，不能彻底 反驳贝克莱的责难。
• 直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克 莱的责难。
• 直至魏尔斯特拉斯创立“ ”语言，
才彻底地反驳了贝克莱的责难。
实践是检验真理的唯一标准
贝克莱 1685年3 月12日出生于 爱尔兰基尔肯 尼郡1753年1月
14日卒于牛津。
• 他指责牛顿 “依靠双重错误得到了不科学却正 确的结果”。
• 因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零， 一会儿又说不是零。
• 因此，贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的鬼魂”。 贝克莱的攻击真正抓住了牛顿理论中的缺陷， 是切中要害的。
柯西
接着，魏尔斯特拉斯建立了实数系，创
造了精确的“ ”语言。
戴德金，康托尔等又将实数理论严密化。
分析有了严密的基础和完整的体系微积分学。
无论是基本概念，还是在逻辑严密性、形式严
谨性上，都有欧氏几何学一般的令人赞叹！
但是也没有明确给出极限的定义。
正因为如此，此后近二百年间的数学家，
都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。
所以，由“无穷小”引发的第二次数学
危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理
论作为微积分学的基础。
二、危机的解决
进入19世纪，历史要求给微
积分以严格的基础。
应当承认，贝克莱的责难是有道理的。
“无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基
础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上
严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它，
只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结
果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞
人心的例子，显示出牛顿的指责。这