高等数学II(电子)12-2 常数项级数的审敛法

莱不尼茨判别法
如果交错级数满足条件:
(1) un un1 ( n 1, 2, );
(2)
lim
n
un
0,
那么级数收敛,且其和 s u1 ,其余项 rn的绝对值 rn un1.
例7 讨论下列交错级数的敛散性:
(1) (1)n 1 (2)
n 1
n
(1)n 1
n1
n!
(3)
n1
(1)
n
n 10n
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
定理
对任意项级数
若
定义
对任意项级数
收敛 , 则
若
收敛 , 则称
绝对收敛;
收敛.
若
发散 , 而
收敛 则称
条件收敛.
注
若
发散 ,
不一定发散.
但若用达朗贝尔判别法或柯西判别法判定
则因 un 0,
必发散.
发散 ,
例7 讨论下列级数的敛散性:
sin n
(1)
n1
n4
(2)
(1)n
n1
n2 en
(3)
n1
(1)n
1 2n
1
1 n
n2
绝对收敛级数的性质
(1) 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛,
且与原级数有相同的和(即绝对收敛级数具有可交换性)
（一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
比较判别法 设
是两个正项级数,
且存在 则有
(1) 若
对一切
有
收敛 , 则 收敛 ;
( k > 0 ),
(2) 若
发散 , 则 发散 .
例1 讨论
p
级数 1
1 2p
1 3p
1 np
(常数
p
>
0)
的敛散性.
例2讨论 下列级数的敛散性:
n1
n
一、正项级数及其审敛法
（一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
一、正项级数及其审敛法
（一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
达朗贝尔(d’Alembert)判别法(比值审敛法)
设
为正项级数,
且
lim
n
un1 un
,
则
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(1)
1
nn
n 1
(2) 3 (1)n
n1
2
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
交错级数
设 un 0 , n 1, 2,, 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 .
(1)
n2
1 n
百度文库
1
(2) 1 n(n 1)
p-判别法
设正项级数 (1) 若 0 < l <∞
满足
lim
n
n pun
l,
则
p>1
收敛
0<p<1
发散
(2) 若 l = 0 p>1
收敛
(3) 若 l =∞ 0<p<1
发散
例4 讨论下列级数的敛散性:
(1)
sin
n1
1 n
(2)
ln1
n1
1 n2
(3) n 1(1 cos )
(2) 当 1或 时, 级数发散 .
注
若 lim un1 1 级数可能收敛也可能发散. n un
例5 讨论下列级数的敛散性:
(1)
n!
n1 10n
(2)
1
n1 n!
(3)
1
n1 (2n 1)2n
(4) nxn1 ( x 0)
n 1
(5) xn
n1 n p
(x 0, p 0)
(2) 设级数
与 都绝对收敛, 其和分别为 s 和 ,
则它们的柯西乘积
u1v1 (u1v2 u2v1 ) (u1vn u2vn1 unv1 )
也是绝对收敛的,且其和为s .
柯西(Cauchy)判别法(根植审敛法)
设
为正项级数,
且 lim n
n
un
,
则
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1时, 级数发散 .
注
若
lim n
n
un
1
级数可能收敛也可能发散.
柯西判别法比达朗贝尔判别法更有效.
达朗贝尔判别法比柯西判别法更实用.
例6 讨论下列级数的敛散性:
一、正项级数及其审敛法
（一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
若 un 0, 则称 un为正项级数 . n1
定理1
正项级数
收敛
部分和序列
有界 .
一、正项级数及其审敛法
（一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
一、正项级数及其审敛法
第二讲 常数项级数的审敛法
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
（一）收敛的充要条件 （二）比较判别法 （三）达朗贝尔判别法与柯西判别法
(1)
n2
1 n
1
(2)
1 n(n 1)
比较判别法的极限形式
设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 若 0 < l <∞ , 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 若 l = 0 ，则 vn 收敛 n1
(3) 若 l =∞，则 vn 发散 n 1
收敛 发散
例3 讨论 下列级数的敛散性: