第六章(1) Z变换

F (z)
k
f (k )z

k
和 F ( z ) f (k )z k
k 0

是z的幂级数，所以，仅当该幂级数收敛，即
k


f (k )z
k

序列 f ( k ) 的z变换 存在的充要条件。 绝对可和条件。
序列 f k 的z变换才有意义。
例6.1-1求以下有限长序列的z变换：
第六章 离散系统的z域分析
第五章中我们讨论了离散时间系统的时域分析法,重 点介绍了差分方程的求解方法。在连续时间系统中,为避 免解微分方程的困难,可以通过拉氏变换把微分方程转换 为复频域的代数方程。基于同样的理由,在离散时间系统 中,为了避开解差分方程的困难,也可以通过一种称为Z变 换的方法,把差分方程转换为Z域的代数方程。 因此,Z变换和拉氏变换在变换的性质上及利用它们 来做系统分析上,都有很多相似之处。 Z变换可以直接从数学角度进行定义,也可以利 用拉普拉斯变换引出。
常用序列的z变换：a为正实数 z k a (k ) z a za z k (a ) (k ) z a za 令a=1，则单位阶跃序列的z 变换： z (k ) z 1 z 1 令
在反因果序列中，令b 为正实常数，则有
z b ( k 1) zb z k ( b ) ( k 1) zb
k 0
称为序列f(k)的单边z变换。
还可以写成
F (z)
k


f ( k ) ( k ) z k
可见，如果f(k)是因果序列，则单、双边z变换相等。
Z变换简记为：
f (k ) F ( z )
三、收敛域 和拉氏变换一样,Z变换也有一个收敛区间的问题. 对任意序列 f k 的Z变换 F z ,使 F z 存在的Z值 的取值范围称为 F z 的收敛域.
Im[z]
|b| 0
|a|
Re[z]
双边序列的收敛域
z a (k ) z a za z k b ( k 1) z b zb
k
z b ( k 1) zb
k
z b
若已知 F z ,则其原函数不唯一.如:
z F z z2
f k 2k k 或
(1) (k ), (2) f (k ) {1 2 3 2 1}
k0
解（1）单位序列的z变换

F (z)
即
k
(k )z

k
(k )z
k 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
1
(k ) 1
可见，其单边、双边z变换相等。由于其z变 换是与z无关的常数1，因而在z的全平面收敛。
(2) f (k ) {1 2 3 2 1}
k0 序列f(k)的双边z变换为：
F (z)
k

f (k )z

k
2 1 z 2z 3 2 z z
2
k k 0
其单边z变换为： F ( z ) f ( k ) z
2 1 3 2 z z
F (z)

k
k
f (kT )e

ksT
令z e
sT
k
f (kT )z
序列f(kT)的双边z变换
F ( z ) z e sT F ( s )
取样信号fs(t)的双边拉氏变换
ze 复变量z与s的关系是： 1 s ln z T
sT
为了简便，序列仍用f(k)表示，如果序列是由连续信号 f(t)经取样得到的，那么
k k
取上式的双边拉普拉斯变换，考虑到：
Lb [ ( t kT )] e ksT 其双边拉普拉斯变换为：
F ( s ) Lb [ f s ( t )]
k


f ( kT )e
ksT
令z e
sT
上式将成为复变量z的函数，用F(z)表示，即
F ( s ) Lb [ f s ( t )]
f (k ) f (kT ) f (t ) t kT
其中T为取样周期（或间隔）。
二、z变换
如有离散序列 f ( k )( k 0,1,2,)z为复变量，则函数
F (z)
k


f (k )z k
称为序列f(k)的双边z变换。
如果求和只在k的非负值域进行，即
F ( z ) f (k )z k
可见：*单边与双边z变换不同； *对双边z变换，除z=0，和∞外对任意z， F(z)有界，故其收敛域0＜|z|＜∞； *对单边z变换，其收敛域|z|＞0。
F (z)
k
f (k )z

k
2 1 z 2z 3 2 z z
2
可见，如果序列f(k)是有限长的，即当k＜K1 和k＞K2（K1，K2为整常数，且K1＜K2）时f(k)=0, 那么其象函数F(z)是z的有限次幂z-k(K1≤k≤K2) 的加权和，除z=0，∞外，F(z)有界，因此，有 限长序列z变换的收敛域一般为0＜|z|＜∞，有 时它在0和∞也收敛。
解：F2 ( z )
k k
k k k k k b k 1 z b z b z k k 1
1 1 b z 1 1 1 1 b z 1 b z z zb zb
Im[z]
|b| 0
Re[z]
在z平面上，|z|<|b|是半径为 |b|的圆内区域，如图所示。
k
z b z b
令b=1，则有
ae
j k
j
则有
z e (k ) j ze z j k e (k ) j ze
z ( k 1) z 1 z 1 z 1
z 1
本节小结
• 1、Z变换的确定 • 2、收敛域的确定
f k 2k k 1
因此,Z变换必须标明收敛域,才和它的原函数一一对应.
***对于有限长序列，其双边z变换在整个z平面 （可能除z=0或∞外）收敛。 ***因果序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为 z 的圆外区域。z 的圆称为收敛圆。 ***反因果序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为 z 的圆内区域。 z 的圆也称为收敛圆。 ***双边序列f(k)的象函数F(z)的收敛域为环状区 域 z 。 ***不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其 双边Z变换不是一一对应的。序列的双边Z变换连同 收敛域一起与序列才是一一对应的。
因果序列的收敛域
za
在z平面上， |z|>|a|是一个半径为|a|的圆 外区域，称其为象函数F(z)的收敛域，如图所示。
显然它也是单边z变换的收敛域。
例6.1-3 求反因果序列
k b k f 2 ( k ) b ( k 1) 0
k0 k0
1
的z变换（式中b为常数）。

k1
k2
k
例6.1-2求因果序列
0 f1 ( k ) a ( k ) k a
k
k0 k0
Im[z]
的z变换（式中a为常数）。
解： F1 ( z )
|a|
0
k
a (k )z
k

k
(az )
k 0

Re[z]
1 k
1 z 1 az 1 z a
6.1 z变换
一、从拉普拉斯变换到z变换
由教材第三章可知，对连续时间信号进行均匀冲激 取样后，就得到离散时间信号。 取样信号可写为： f s ( t ) f ( t ) T ( t ) f ( t ) ( t kT ) f ( kT ) ( t kT )
反因果序列的收敛域
如有双边序列 f (k ) f 2 (k ) f1 (k ) b k ( k 1) a k (k )
z z 其双边z变换 F ( z ) F2 ( z ) F1 ( z ) zb za
|a|<|z|<|b| （1）当|b|>|a|时，双边z变换 在该域存在； （2）当 b a 时，F1(z)和F2(z) 没有共同收敛域，f(k)的双边z 变换不存在； （3）对于双边z变换必须标 明收敛域，否则其对应序列 将不是唯一的。