《固体物理·黄昆》第六章

v k0
dx dt
1 h
dE dk
k0
布里渊区的宽度：2/a
条件：k很小
k 2 即 2 a a k
uk0 x 2以a为周期，并不会改变波包的形状
三维情况： 电子速度为
r v
1
ur E
hk
1.
电子速度的方向为
ur k
空间中能量梯度的方向，即
等能面的法线方向，电子的运动方向决定于等能
面的形状
献相互抵消。所以，无宏观电流，I＝0
在有外电场作用时，电子受到的作用力
F qE
所有电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动
dk
1
qE
dt
满带的情形中，电子的运动不改变布里渊区中电子 的分布, 满带中的电子不产生宏观的电流。
二、 导带中的电子对导电的贡献
当没有外加电场时ur ，在一定ur 温 度下，电子占据 k 态和 k 态 的概率相同，这两态的电子对 电流的贡献相互抵消。所以，
无宏观电流I＝0。
当有外加电场时，所有的电子 状态以相同的速度沿着电场的 反方向运动，但由于能带是不 满带，逆电场方向上运动的电 子较多。所以，产生宏观电流 I≠0。
导体、绝缘体和半导体
非导体：电子刚好填满能量最低的一系列能带，而能 量再高的各能带都是没有电子填充的空带
导 体：电子除填满能量最低的一系列能带外，在满 带和空带间还有部分填充的导带
第六章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
对第二类问题： 讨论晶体中的电子在外加场的作用下的运动规律。外 加场包括： 电场、磁场、杂质势场等。通常外场与晶 体的势场相比弱许多，可用电子在晶体周期性势场中 的本征态为基础进行讨论。 方法一 ：求解在外加势场 U 时电子的薛定谔方程 方法二：满足一定条件下将电子的运动近似当作经典粒
在能带底k=0和能带顶k=/a处，电子速度v(k)=0 在k=/2a处， v(k)分别为极大和极小；而m*
一、在k空间（波矢空间）中的运动图
若沿-x方向加一恒定电象场 ，电子受力：F=e
沿+x方向
由 h dk eE
dt
dk eE const. dt h
这表明电子在k空间中做匀速运动
在准经典运动中，电子在同一能带中运动。 电子在k空间中的匀速运动意味着电子的能 量本征值沿E(k)函数曲线周期性变化，即电 子在k空间中做循环运动
晶体中电子的动量
v
[d (hk ) dt
v F]
vvk
0
k 赝动量 ，准动量
注意：
布洛赫波不是动量的本征态，k 不是动量算符的
本征值。
在处理晶体中电子的输运问题，引入电子的有效 质量和赝动量对于处理问题会带来很大方便
ur
由于 F 外只是外场对电u子r 的作用力，它并不是电子所 受的合外力，因此，hk并不是电子的真实动量，而
第六章 晶体中电子在电场和磁场中的运动
人们对晶体中电子的关注主要分为两大块： 1）已知电子在周期性势场中的本征态和本征值，根据
统计物理的一般规律，讨论有关电子统计的问题： 电子热容，半导体热激发问题，电子跃迁问题，光 吸收，散射问题等。
2）讨论晶体中电子在外场中的作用下的运动规律。 外场：电场，磁场，杂质散射势场。
2. 一个能带底部附近，电子的有效质量总是正的， 能带顶部附近，有效质量总是负的。
原因：晶体中电子运动同时受外力和晶体周期性势场力 的作用，将周期性势场力的作用归并到晶体中电子的质 量中，得到有效质量。所以它可以与电子质量有很大差 别。电子通过与原子散射交换动量。
当电子从晶格获得的动量大于付出给晶格的动量时，有 效质量大于零；电子从晶格获得的动量小于付出给晶格 的动量时，有效质量小于零。
电子振荡周期：
T
布里渊区宽带 ＝2 / a
电子在k空间运动速度 qE /
2
qEa
2 qEa
T
为了观察到电子振荡的全过程，要求 >>1
在晶体中： 10-12－10-13 s，a 3×10-10 m
满足要求所需加的电场E： 104 105 V/cm 对金属：无法实现高电场; 对绝缘体：将被击穿。
如－Al2O3： Eg~ 8 eV；NaCl： Eg~ 6 eV
空带
导带
}Eg
空带
} Eg
价带
价带
非导体
绝缘体
： 1014 ~1022 (cm)
半导体
10－2 ~109 (cm)
导体
10－6~10－5 (cm)
能带填充的细节
N个原胞构成的晶体，每一条能带能容纳的电子数为
2N，为原胞数目的二倍。
（1）原胞中只有一个价电子的固体，如Li(3)、Na(11)、 K(19)、Cu(29)、Ag(47)。只填充半条能带，是导体
1
k
E
根据功能原理
F
vk dt
dk
vk
d
(k )
vk
( dk dt
F ) vk
0,
d(
k
)
F
dt
k 具有动量的性质 —— 准动量
三、 加速度和有效质量
电子准经典运动的两个基本关系式
vk
1 kE
dk
F
dt
电子的速度分量
1 E(k )
v k
电子的加速度分量
dv
d
1 (
E(k ) )
2 2a 2J1
1
0
0
0 0
1 0
0
1
能带顶部
k
(
,
,
)
aaa
m
* x
m
* y
m
* z
2
2a 2J1
0
布里渊区侧面中心的X点
k
(
,
0,
0)
a
m
* x
2 2a 2J1 ,
m
* y
m
* z
2 2a 2J1
有效质量含义
1. 晶体中共有化电子的有效质量一般是一个张量， 它是波矢的函数。
隧道效应
准经典运动中，当电子运动到能隙时，将全部 被反射回来。
根据量子力学，电子遇到势垒时，将有一定概 率穿透势垒，而部分被反射回来。电子穿透势 垒的概率与势垒的高度（即能隙Eg）和势垒的 长度（由外场决定）有关。
穿透概率
E
exp[
2
(2mE
g
)1/ 2 (
Eg qE
)]
§6.3 导体、绝缘体和半导体能带论解释
（2）原胞中含有偶数个价电子，可以填满一个能带。是 绝缘体。例外：
➢ 二价金属：Be(4)、Mg(12)、Zn(30)，原胞中有2个价 电子。由于能带存在交叠，所以也是导体。导电性 差于一价金属。
➢ 半金属：V族元素Bi、Sb、As: 三角晶格结构，原胞 有偶数个电子。导电能力远小于金属，能带交叠较 小，对导电有贡献的载流子数远远小于普通的金属
可以验证
2 E 0, k k 0,
m
* x
2
/
2E
k
2 x
2 2a 2J1 cos k xa
m
* y
2
/
2E
k
2 y
2 2a 2J1 cos k ya
m
* z
2
/
2E
k
2 z
2 2a 2J1 cos kza
能带底部 k (0, 0, 0)
m
* x
0
0
0
m
* y
0
0 0 m *z
k
2 y
2E
kzk y
2 E
k xkz 2E
k ykz 2E
Fx Fy Fz
k
2 z
倒有效质量张量的分量为：
1 2E 2 k k
倒有效质量张量对角化
若选kx, ky, kz在张量主轴方向上，则倒有效质量张量 可对角化。
2 E
1
k
2 x
0
2
0
0
0
2E
0
k
2 y
0
2
E
k
2 z
假设近满带中有一个
ur k
态中没有电子，设
一、 满带电子不导电 时间反演对称性：
En(k) En(k)
电子的速度：
r
v
ur k
1 h
ur k
En
ur k
r
v
ur k
1 h
ur k
En
ur k
1 h
ur k
En
ur k
r v
ur k
ur
当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据
ur
k
态和 k 态的概率相同，这两态的电子对电流的贡
2. 在因一此般，情的况方vr下向，一在般kur并空不间是中，的等方ku能r 向面并不是球面， 3. 只与有kur 当的等方能向面相为同球面，或在某r 些特殊方向上，vr 才
ky v ur
k
kx
ur 4 . 电子运动速度的大小与 k 的关系
以一维为例： 在能带底和能带顶，E(k)取极值， dE 0
对于一确定的k ，含时的Bloch函数为
k x,t eikxtuk x
k
1 h
E
k
波包表达式
x, t
e u k0
k 2
k0
k 2
i kx t
k
x dk
uk x uk0 x
uk0 x
e dk k0
k 2
i kx t
k0
k 2
令 k k0
k
0
d
dk
k0
半导体：禁带宽度一般较窄：Eg介于0.2 ~ 3.5 eV之间 常规半导体：如 Si：Eg ~ 1.1eV； Ge： Eg ~ 0.7 eV；
GaAs： Eg ~ 1.5 eV 宽带隙半导体：如 －SiC： Eg ~ 2.3 eV；
4H－SiC： Eg~ 3 eV 绝缘体：禁带宽度一般都较宽， Eg >几个eV
§6.2 在恒定电场作用下电子的运动
一维紧束缚近似： Ei k i J0 2J1 cos ka
i：某原子能级
设J1 > 0，则k＝0点为能带底；k＝/a为能带顶
电子速度： v k 1 dE 2aJ1 sin ka
h dk h
有效质量：
m*
h2
d 2E dk 2
h2 2a2J1 cos ka
是电子的准动量就不难理解了。
ur 在讨论晶体中电子的准经典运动时，rhk 是一个很有
用是的因量为， 在它kur 往空往间比中电去子理的解真电实子动的量运动m往v 往更比有在用真。实这
空间中更容易。
电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的 物理量，至少我们可以在形式上不必考虑晶格力， 而只考虑外场力对电子运动的影响。
（3）半导体 (Si：14、Ge：32)：禁带宽度较窄，约~2 eV以下
依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中，因 而具有导电能力。
热激发到导带中的电子数目随温度按指数规律变化， 半导体的电导率随温度的升高按指数形式增大。
三、 近满带和空穴
在有外场时，由于近满带中仍有少量没有电子占 据的空态，所以在外场的作用下，电子也会发生 能级跃迁，导致电子的不对称分布，所以， I0。
dk
在能带底和能带顶，电子速度v＝0
在能带中的某处， 电子速度的数值最大
d 2E dk 2 0
与自由电子的速度总是随 能量的增加而单调上升是 完全不同的
二、 在外力作用下状态的变化和准动量
外场力 F对电子作功
F vkdt
电子能量的增量 dE dk k E ,
dE dk vk
vk
k 2
x
x
d dk
d dk k0
t
k0
t
k 2
令
w
x
d
dk
k0
t
波函数主要集中在尺度为
sin
k 2
w
2
k 2
w
2 k 的范围内，
波包中心为：w＝0
2
k
0
2
k
w
准粒子速度
即
x
d
dk
k0
t
1 h
dE dk
k0
t
E k h k
若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为
子来处理。如均匀电、磁场中各种电导效应。
条件：外场较弱、恒定，不考虑电子在不同能带间的 跃迁，不涉及电子的衍射和干涉等。
§6.1 准经典运动
一、波包与电子速度 在晶体中，可以用含时间的Bloch函数来组成波包 一维情况： 设波包由以k0为中心，在k的范围内的波函数组成， 并假设k很小，可近似认为
uk x uk0 x 不随k而变
电子在k空间中的循环运动，表现在电子速 度上是v随时间作周期性振荡
二、在实空间中的运动图象
E
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=0
E
x
x
附加电势能：-eEx
eE x
电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡
A BC
电子振荡周期
由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的 散射，上述的振荡现象实际上很难观察到。若相邻两 次散射（碰撞）间的平均时间间隔τ很小，电子还来不 及完成一次振荡过程就已被散射
即有
m
* x
0
0
2
/
2E
k
2 x
0 0
m
* y
0
0
m
* z
0
0
m m
* x
* y
vx vy
Fx Fy
m
*z vz
Fz
0
2
/
2E
k
2 y
0
0
0
2
/
2E
k
2 z
有效质量的特点
紧束缚近似下，简单立方格子s能带的有效质量
E s (k ) i J 0 2J1 (cosk xa cos k ya cos kza)
dt
dt k
1 dk
dt
k
E(k )
( k )
1 2
F
2 k k
E(k)
与牛顿定律
dv dt
1 m
F 比较，可定义有效质量m*和
倒有效质量1/m* 。
加速度分量的矩阵表示
2 E
vx
vy vz
1 2
k
2 x
2E
k yk x 2E
kzk x
2E
k xk y 2E
x,t uk0 x eik0x0t
k 2
k 2
exp
i
x
d
dk
k0
t
d
uk0
2 sin x e ik0x0t
k 2
x
d
dk
k0
t
x
d
dk
t
k0
波包的运动
分析波包的运动，只需分析2，即概率分布即可
2
x,t 2
uk0
x
2
sin
k 2