关于五枚硬币两两相交问题的一个解释
三年级枚举法
枚举法（一）课前预习胖子的枚举法几个人又坐回到自己的座位上，都是唉声叹气，我让他人省点力气，其实这样盲目的试验，反而会导致思维的中断。
接着事情又回到我睡觉前，我们又开始毫无意义的讨论起来。
讨论中总是有人睡过去，但是好在一个人睡觉，其他几个人都能继续思考。
就这样，我们东一个想法，西一个想法，提出来，然后否决掉，一开始说法还很多，后来几个人话就越来越少，时间不知不觉就过去了六七个小时，我们的肚子又开始叫起来。
最后胖子点起一只烟，想了想，对我们说：“不行，咱们这么零散的想办法是很浪费时间的，我们把所有的可能性全部都写出来，然后归纳成几条，之后直接把这条验证，不就行了。
”我点点头，其实说到最后很多的问题我们都在重复的讨论，几个人都进入到一种混乱状态了胖子在金器铺满的地面上整理出一块石头面，然后写下来几个数字：1、2、3、4，然后说：“我们想想我们现在有几种假设，你们都回忆一下，不要具体的，要大概的方向就行了。
”潘子就道：“最有可能就是有机关。
”胖子在1那个地方写了机关。
然后顺子就说道：“你的想法，可能有东西在影响我们的感觉，比如说心理暗示或者催眠，让我们自己不知不觉的走回来。
”胖子对他道：“不用说这么详细。
”按着在2的后面写了错觉，然后看向我。
我道：“要说理论上，也有可能是空间折叠。
”“你这个不可能，太玄乎了。
”潘子道。
胖子道：“不管，有万分之一地可能性，我们就承认，我们只是列一个备忘录而已。
”说着也写了上去，在3后面写了空间折叠。
然后自己说：“也可能是有鬼。
”说着写了个4，有鬼。
“你这样写出来有什么意义？”潘子不理解的问。
胖子道：“你们念的书多，不懂，我读书少，凡事都必须用笔写下来，但是这样有个好处，比如说有几件事情，你可以一起做，你事先一理就能知道，可以节省不少时间。
咱们不是只有两天了吗？还是得省点，对了，还有5吗？谁还有5？”我看了看这四点，这确实己经是包括量子力学到玄学到心理学到工程学四大学科都齐了，第五点一时半会儿还真想不出来。
小学奥数数学原理汇总
组合模块很多人认为所谓组合就是排列组合，其实排列组合只是组合模块中很小的一部分内容。
很多人说组合是考智力的，没有特定方法可循，灵感很重要。
我不否认这种看法，做组合题确实需要学生有更加活跃的思维，但是有许多方法和思路还是可以总结出来的，在这里呢，我就以我个人的一点点经验，简单聊聊如何备考组合模块。
首先，我们还是得先搞清楚，组合到底包括哪些内容。
从大方向来说的话，组合基本可以用三组词语概括：排列与组合、归纳与递推、构造与论证。
除此之外还有：枚举法、几何计数、加乘原理、容斥原理、抽屉原理、概率等等。
可以看出来，内容还是挺多的，而且这里面每一块内容拿出来都可以讲个一整天。
那么备考杯赛的时候，我们需要注意些什么呢？一、枚举法和几何计数。
这是各大杯赛都常考的内容，而枚举法也可以算是计数问题的万能解法（但未必是最好的方法），不过，学生特别容易做错这类题目，因为计数问题本身就容易考虑不全面，容易数重或数漏。
要想避免这种情况，务必注意做到以下两点：1、分类。
分类的好处就是把大问题变成几个小问题，而且很可能你搞定了其中一类，就可以发现一些规律，很快搞定其他几类。
那么怎么分类呢？具体情况具体分析，总之，记住一点：抓住所要计算的东西的特点（属性）！比如几何图形的大小、形状、方向等等。
2、有序。
枚举的时候最怕杂乱无章，想到一个算一个。
最好是能像英文字典排单词一样，有一个固定的顺序，比如说列举数字从小到大。
这样才不会乱，才能轻松做到不重不漏。
二、加乘原理。
加乘原理本身并不难，最最关键的就是分清何时用加法，何时用乘法。
一个原则：类类相加，步步相乘。
说的通俗一点，如果做一件事既可以这么做又可以那么做，用加法；如果做一件事必须先这么做，再那么做，缺一不可，那么用乘法。
三、排列组合。
这一部分小学考得并不多，但如果能熟练运用的话，可以“秒杀”一些题目，做一些难题也是可以体现出不小的优势的。
当然，想学好这部分内容可不是一朝一夕的事，这里有非常多的技巧，在这里我概括出如下6条解题技巧，最重要的是找到题目特点，进而使用相应的解题方法：1、元素相邻，捆绑为一；2、元素不相邻，插空处理；3、特殊优先，一般在后；4、元素定序，只选不排；5、相同元素分组，用隔板法；6、正难则反，间接作答。
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第十一章 概率 11.2 古典概型课件 文 苏教版
题型三 古典概型与统计的综合应用 例3 (2015·安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况， 随机访问50名职工.根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直 方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…， [80,90)，[90,100].
(1)求频率分布直方图中a的值；
掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果， 其中点数相同的结果共有6个， 所以点数不同的概率 P＝1－6×6 6＝56.
题型分类 深度剖析
题型一 基本事件与古典概型的判断 例1 (1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做 投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四 面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出： ①试验的基本事件； 解答
跟踪训练2 (1)(2016·全国乙卷改编)为美化环境，从红、黄、白、紫4
种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花 2
坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是_3__. 答案 解析
从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛， 有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)，(黄紫))，((黄紫)，(红 白))，((红紫)，(黄白))，((黄白)，(红紫))，共6种种法，其中红色和紫 色不在一个花坛的种法有((红黄)，(白紫))，((白紫)，(红黄))，((红白)， (黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P＝46＝23 .
§11.2 古典概型
内容索引
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知识梳理
有关于最难的逻辑思维题目及答案
有关于最难的逻辑思维题目及答案从思维的操作运行上分析,逻辑思维基本上借助于归纳和演绎两种手法。
最难的逻辑思维题你会答对吗？下面为大家介绍的有关于最难的逻辑思维题，希望对您有帮助哦。
有关于最难的逻辑思维题【经典篇】问题一：你面前有两扇门，其中一扇门内藏着宝藏，但如果你不小心闯入另一扇门，只能痛苦地慢慢死掉这一听就是那种经典的最令人头痛的一类问题，但其实与其他问题相比，这只是个热身。
在这两扇门后面，有两个人，这两个人都知道哪扇门后有宝藏，哪扇门擅闯者死，而这两个人呢，一个人只说真话，一个人只说假话。
谁说真话谁说假话?那就要看你有没有智慧自己找出来了，游戏规则是，你只能问这两个人每人一个问题。
那么，你问什么问题?问哪个人?根据他们的回答，你又该怎么做?最佳答案：随便问其中一个人：如果我问另一个人，他会跟我说哪扇门后是宝藏?如果你问的恰好是讲真话的那个人，那他指给你的答案就是那扇通向死亡的门，因为他会诚实地告诉你那个说谎的人会怎么说。
如果你问的是那个只说谎话的，你得到的也是错误的答案，因为另一个人是讲真话的，说谎话的人会告诉你与讲真话的人相反的答案。
所以你只要随便问一个人上述问题，然后选择与他们说的相反的门就行了。
问题二：你前面站了5个人，他们中间只有一个人讲真话这个问题比上个问题难就难在，你只知道他们五个中有一个只讲真话，但其余四个，他们有时候讲真话，有时候讲假话，只有一点可以确定，这四个人将真话和假话有个规律：如果这次讲了真话，下次就会讲假话，如果这次讲假话，下次就讲真话。
你的任务是，把五个人中那个只讲真话的人找出来。
你可以问两个问题，两个问题可以向同一个人发问，也可以分别问两个人。
你该问什么问题?小提示：你可以这样安排两个问题承担的任务：首先你可以先问一个问题，不管得到的答案是什么，你都能从中知道下一个问题你将得到的答案是真是假。
最佳答案：随便找一个人，首先问：你是那个只讲真话的吗? 如果答案是肯定的，你再问这个人：谁是只讲真话的? 如果第一个问题你得到的答案是否定的，你就再问对方谁不是只讲真话的?正如这个问题给出的提示，第一个问题的价值在于，如果你得到的答案是我是，那么你问的人要么是那个只讲真话的，要么是那个这一轮讲假话的半真话半假话者，不管是谁，他下一轮一定会说真话。
假设法解应用题(附答案)
1、小红有1角、5角的硬币共35枚，一共是9元5角，问两种硬币各多少枚？2、某玻璃杯厂要为商店运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这一个不但不给运费，而且要赔偿4元。
结果运到目的地结算时，玻璃杯厂共得运费895元，求打碎了几个玻璃杯？3、小张、小李两进行射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发则扣12分，两人各打了10发，共得208分，其中小张比小李多得64分，问小张、小李两人各中几发？4、一个化肥厂原计划14天完成一项任务，由于每天多生产15吨，结果9天就完成任务。
原计划每天生产化肥多少吨？5、买来2角邮票和5角邮票共100张，总值41元。
求2角邮票、5角邮票各多少张？6、甲、乙两车间共加工同样零件393个，包装时，把甲车间加工的16个零件并入乙车间的零件中，这时甲车间加工的零件仍比乙车间多5个，问两个车间各加工零件多少个？7、某校举行的数学竞赛共15道题，规定每做对一题得10分，每做错一题倒扣4分，小明在这次竞赛中共得66分，问他错、对了几道题？8、甲、乙、丙、丁四人上山摘桃子，已知他们共摘了80个桃子，甲比乙少摘8个，丙比甲少摘14个，丁和丙摘的一样多，问他们每人摘了多少个桃子？9、某厂工人，白班补助4元，夜班另加6元，某工人工作24天，共得补助费144元，问他上了几天夜班？【试题答案】1、分析与解：9元5角＝95角假设这35枚都是1角的，那么总钱数就应该是()135⨯=35角，比实际95角少了()9535-=60角，这是因为把其中5角的硬币都当成1角了，有一枚5角硬币，少算了()51-=4角，少算的60角中有几个这样的4角，就有几个5角硬币。
953560-=（角） 605115÷-=()（枚） 351520-=（枚） 答：5角硬币有15枚，1角硬币有20枚。
如果假设都是5角硬币，该怎样解呢？同学们试一试。
2、 分析与解：假设1000个玻璃杯全部运到并完好无损，应得运费：110001000⨯=（元）实际上少得运费：1000895105-=（元）这说明在运输过程中打碎了玻璃杯，每打碎1个，不但不给1元的运费，还要赔偿4元，即打碎一个玻璃杯要从总钱数1000元中扣除()14+=5元，一共扣除105元，所以打碎的玻璃杯数为：105521÷=（个）综合算式：()()110008954121⨯-÷+=（个） 答：打碎了21个玻璃杯。
关于一道排列组合题错解的分析及思考
关于一道排列组合题错解的分析及思考我校在高二下学期的一次考试中，有这样一道排列组合题：将一枚硬币抛掷10次，至少连续5次出现正面的不同情况有多少种？一、错解错解1、利用联想抛掷情景，可将抛掷的结果分为6类。
第一类:恰有5个连续正面，共有6个不同情况，即1--5，2--6，3--7，4--8，5--9，6--10;第二类:恰有6个连续正面，共有5种不同情况，即1--6，2--7，3--8，4--9，5--10;第三类:恰有7个连续正面，共有4种不同情况，即1--7，2--8，3--9，4--10;第四类:恰有8个连续正面，共有3种不同情况，即1--8，2--9，3--10;第五类:恰有9个连续正面，共有2种不同情况，即1--9，2-10;第六类:恰有10个连续正面，共有1种不同情况，即1--10。
按照分类计数原理，共有21种不同的情况。
错解2、用捆绑法，分两步：第一步，将连续正面的5次抛掷捆绑成一个元素，其余5次的抛掷之间产生6个空，选一个空将捆绑的元素插入，有6种不同的插法;第二步，余下5次抛掷，每一次都有正反两种不同的结果，共有2 种不同的结果。
按照分步计数原理，共有6×2 =192种不同的结果。
二、错因分析错解1、只考虑连续正面的情况，未从本题要求10次抛掷进行整体思考，忽略了其余五次的不同结果。
例如，第一类:恰有5次连续正面，如果是1--5连续正面，那么应继续考虑第6，7，8，9，10次抛掷的结果。
而第6次必须为正面，其余几次都有正反两种不同的结果，所以，1--5连续正面应有2 种不同的结果。
错解2、在捆绑插入中没有进一步考虑是否有重复情况发生。
例如：捆绑在一起的5次正面在插空时，如果插在第一个空(不妨设左边第一个空为六个中的第一个空，其他依次类推)，此时连续6次，7次，8次，9次，10次连续正面都会发生;如果插在第二个空，则这个空前面的抛掷也可能为正面，后面的抛掷也可能为正面，故6次，7次，8次，9次，10次连续正面又会发生，即连续6、7、8、9、10次连续正面被重复。
掷硬币 数学问题
掷硬币数学问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：掷硬币是一种简单常见的游戏，也是一种用于解决数学问题的工具。
在数学领域中，掷硬币问题被广泛应用于概率论、统计学、随机过程等方面。
掷硬币问题的简单性与直观性使其成为许多数学问题的起点，通过分析掷硬币的结果，我们可以得出许多重要的数学结论。
我们来看一些关于掷硬币的基本概念。
通常情况下，硬币有两个面，分别是正面和反面。
掷硬币的结果只有两种可能性，即正面或反面。
如果我们假设硬币是公平的，也就是说正反两面出现的概率相等，那么在无限次掷硬币的情况下，正面和反面出现的次数会趋向于平均分布。
掷硬币问题最常用的一个应用领域就是概率论。
通过掷硬币，我们可以得出一些概率相关的结论。
我们可以计算出在掷一次硬币时正面朝上的概率是多少。
如果硬币是公平的，那么正面朝上的概率就是1/2。
同样，如果我们掷两次硬币，那么正面朝上的次数可能是0次、1次或2次，每种情况出现的概率也都可以通过概率计算得出。
掷硬币问题还可以用来解决一些实际生活中的问题。
假设有一个有趣的游戏规则：每次掷硬币，如果正面朝上，则你得到1美元，如果反面朝上，则你失去1美元。
在这个游戏中，我们可以通过分析掷硬币的次数和结果来计算得出你在游戏中可能的获胜概率和期望收益。
这可以帮助我们理解概率在实际生活中的应用。
除了概率论之外，掷硬币问题还可以应用于统计学领域。
在统计学中，我们经常需要进行随机实验来获取数据，并通过对数据的分析来做出推断。
掷硬币可以模拟这种随机实验，通过掷硬币多次得到的结果可以帮助我们研究样本的分布特性、方差等统计量。
通过对掷硬币的结果进行分析，我们可以更好地理解数据的分布规律。
掷硬币问题还可以应用于随机过程的研究中。
在随机过程中，一个事件的发生通常是随机的，而掷硬币是一个典型的随机事件。
通过掷硬币的结果，我们可以了解随机过程中事件的演化规律和概率分布。
这对于研究各种随机过程，如布朗运动、马尔可夫链等，具有重要意义。
二年级数学《除法的初步认识》练习题
二年级数学《除法的初步认识》练习题二年级数学《除法的初步认识》练习题数学作为小学教育的一门基础学科，对于学好其它课程也起着至关重要的作用，我们整理了二年级数学除法的初步认识练习题，希望大家能够合理的使用!二年级数学《除法的初步认识》练习题 1一、填空把10个○平均分成5份，每份是( )个。
列出算式：( )÷( )=( )二、填空24÷4=( )读作( )除以( )，表示把( )平均分成( )份，每份是( )，也就是( )里面有( )个( )。
三、填空算式：□÷□=□表示：把( )平均分成( )份，每一份是( )。
四、填空(1)10除以5等于2。
□○□=□(2)被除数是12，除数是6，商是2。
□÷□=□五、应用题加法算式：________________乘法算式：________________除法算式：________________二年级数学《除法的初步认识》练习题 2一、有多少种可能性？小明从他的存钱罐里拿出了1角2分的硬币，要把这1角2分前平均分成2份，有多少种不同的分法？二、猜一猜盒子里有多少颗巧克力？兰兰过生日，请来了她的3个好朋友，兰兰把爸爸买的一盒巧克力打开，把这盒巧克力平均分给4个小朋友（包括兰兰在内）。
当每个人吃完2颗巧克力以后，剩下的总数正好是原来2个小朋友分得的巧克力的颗数。
兰兰打开的.这盒巧克力有多少颗巧克力呢？三、分别需要几次？有16个小朋友一起去公园里玩，他们先去玩“旋转飞轮”。
座舱里让坐4人，16个人每个人都玩一次“旋转飞轮”，需要几次？然后他们又去了“冒险岛”，在一条小河上有一条小船，船上一次可以坐4人，这16个小朋友全部到河对岸，需要几次？四、一名老师带着16名学生进行“夏令营”活动，这些人要坐缆车上山，每辆缆车可乘坐4人，这些人都要上山，至少要租多少辆缆车？你能写出几种不同的坐缆车的方案？参考答案一、分析：本题适用于中等和中等偏上的学生。
推理题附答案
推理题附答案【篇一：关于逻辑推理题及答案】积分别为5升和6升。
问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。
【2】一个球、一把长度大约是球的直径2/3长度的直尺.你怎样测出球的半径？方法很多，看看谁的比较巧妙【3】五个大小相同的一元人民币硬币。
要求两两相接触，应该怎么摆？【4】1=5 2=15 3=215 4=2145 那么5=?【5】一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。
问他赚了多少?【6】一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。
你乘坐电梯从一楼到十楼，每层楼电梯门都会打开一次，只能拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？【7】一个家庭有两个小孩，其中有一个是女孩，问另一个也是女孩的概率（假定生男生女的概率一样）【9】有7克、2克砝码各一个，天平一只，如何只用这些物品三次将140克的盐分成50、90克各一份？【10】话说有十二个鸡蛋，有一个是坏的（重量与其余鸡蛋不同），现要求用天平称三次，称出哪个鸡蛋是坏的！【11】陈奕迅有首歌叫十年吕珊有首歌叫3650夜那现在问,十年可能有多少天?【13】有一个大西瓜,用水果刀平整地切,总共切9刀,最多能切成多少份,最少能切成多少份?主要是过程，结果并不是最重要的【14】有三个桶，两个大的可装8斤的水，一个小的可装3斤的水，现在有16斤水装满了两大桶就是8斤的桶，小桶空着，如何把这16斤水分给4个人，每人4斤。
没有其他任何工具，4人自备容器，分出去的水不可再要回来。
【15】两个空心球，大小及重量相同，但材料不同。
一个是金，一个是铅。
空心球表面图有相同颜色的油漆。
现在要求在不破坏表面油漆的条件下用简易方法指出哪个是金的，哪个是铅的。
【16】屋里三盏灯,屋外三个开关,一个开关仅控制一盏灯,屋外看不到屋里怎样只进屋一次,就知道哪个开关控制哪盏灯?四盏呢~【17】2+7-2+7全部有火柴根组成，移动其中任何一根，答案要求为30说明：因为书写问题作如下解释，2是由横折横三根组成，7是由横折两根组成【18】“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。
国际标准智商测试(题)-带答案
指导语：本测验共有60个题目，你应在45分钟内做完，不要超时。
1、五个答案中哪一个是最好的类比？工工人人人工人对于2211121相当于工工人人工人人工对于工=2，人=11)221221122)221121223)221121124)112212215)212211212、找出与众不同的一个：钢是合金，其他是纯金属①铝②锡③钢④铁⑤铜3、五个答案中哪一个是最好的类比？（a）都是顶角平分线交于一点并将多变形等分415名，问全班共有学生多少人？③29④30 ⑤316、一个立方体的六面，分别写着A B C D E F 六个字母，根据以下四张图，推测B的对面是什么字母？5）从图2可知，B的对面就是A的尖头所指的方向，从图1可知其为E7、找出与“确信”意思相同或意义最相近的词：①正确②明确③信心④肯定⑤真实8、五个答案中哪一个是最好的类比？脚对于手相当于腿对于___________3）脚和手分别与褪和臂相连。
①肘②膝③臂④手指⑤脚趾9、五个答案中哪一个是最好的类比？正方形变为三角形，阴影与亮处对换10、如果所有的甲是乙，没有一个乙是丙，那么，一定没有一个丙是甲。
这句话是：所有的狗都是动物，没有动物是植物，那么，没有植物是狗。
①对的②错的③既不对也不错11、找出下列数字中特殊的一个：除15之外都是质数1 3 5 7 11 13 15 1712（c）完全由直线构成，而其它则由直线和曲线构成15、五个答案中哪一个是最好的类比：予=8，页=3，木=2，彡=6“预杉”对于“须抒”相当于8326对于________.①2368 ②6238 ③2683 ④6328 ⑤362816、沃斯有12枚硬币，共3角6分钱。
其中有5枚硬币是一样的，那么这五枚一定是：5分的5枚，2分的4枚，1分的3枚是唯一的解①1分的②2分的③5分的17、找出与众不同的一个：①公里②英寸③亩④丈⑤米18、经过破译敌人密码，已经知道了“香蕉苹果大鸭梨”的意思是“星期三秘密进攻”；“苹果甘蔗水蜜桃”的意思是“执行秘密计划”；“广柑香蕉西红柿”的意识是“星期三的胜利属于我们”；那么，“大鸭梨”的意思是：①秘密②星期三③进攻④执行⑤计划19、五个答案中哪个是做好的类比？爱对于恨相当于英勇对于_______.①士气②安全③怯懦④愤怒⑤恐怖20、一本书的价格低了50%。
2023年思维100STEM应用能力活动春季3年级
2023年“思维100”STEM应用能力活动（春季）三年级参考内容1.计算机内部存储信息都是用二进制表示数字，而不是十进制。
理解二进制对理解计算机原理至关重要。
十进制的0写成二进制是0；十进制的1写成二进制是1；十进制的2写成二进制是10；十进制的3写成二进制是11；十进制的4写成二进制是100；十进制的5写成二进制是101。
总结以上规律，十进制的8写成二进制是______，十进制的10写成二进制是______。
【答案】1000；10102.有时，计算机存储信息还会用到四进制。
十进制的0写成四进制是0；十进制的1写成四进制是1；十进制的2写成四进制是2；十进制的3写成四进制是3；十进制的4写成四进制是10；十进制的5写成四进制是11。
总结以上规律，十进制的100写成四进制是______。
【答案】12103.根据以下流程图，当输入的数值a=60，b=100时，输出的结果为______；当输入的数值a=473，b=789时，输出的结果为______。
【答案】P，F4.桥梁工程的设计中，为了安全考虑，需要避免共振现象的发生，于是部分数据要避免成倍数出现。
对于一组数据，如果其中有两个正整数a、b，形成2倍数的关系，即a=2b或b=2a，那么这组数据就产生了“强力共振”，可能具有破坏性。
对于1～3这3个整数，最多能取出2个数字{1,3}，而不出现强力共振。
对于1～4这4个整数，最多能取出3个数字{1,3,4}，而不出现强力共振。
那么对于1～10这10个整数，最多能取出______个数字，而不出现强力共振。
【答案】65.有一种修图软件可以对人像照片添加装饰元素。
你现在要对妈妈的照片进行修图，可以在5款眼镜中选择1种也可以不选眼镜，可以从6款帽子中选择1种也可以不选帽子，可以从3种颜色的口红中选1种也可以不选口红。
那么一共有______种搭配的可能方案。
【答案】1686.有一款计算机软件可以自动生成集体照。
有一个摄影兴趣小组由n人组成，n为奇数，他们的身高各不相同，且每个人都有单独的个人照片。
沪教版第23章概率初步教材分析 (1)
第23章概率初步教材分析【知识要点1】确定事件和随机事件在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件（certain event）例如：地球绕太阳公转.在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件（impossible event）例如：有人把石头孵出了小鸡.必然事件和不可能事件统称为确定事件.而在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件（random event），也称为不确定事件，例如过马路时恰好遇到红灯.【习题精选】1．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？①在十进制中1+1=2 ；②1+2>3；③在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有4张A；④ 10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只；⑤平面上任何一个三角形的三个内角和都是180度；⑥明天太阳从西边出来.2．判断下列说法是否正确①“从地面往上抛的硬币会落下”是随机事件；（）②“软木塞沉到水底”是不可能事件；（）③“买一张彩票中大奖”是必然事件；（）④“明天会下雨”是随机事件. （）【思维误区】本知识在理解和运用中常见的错误是没有正确理解确定事件的概念，忽略不可能事件也是确定事件。
【例】下列事件中，确定事件的个数是（）(1)东边日出西边雨；(2)抛出的篮球会下落；(3)没有水分，种子发芽；(4)367人中至少有２人出生日期相同。
(Ａ)１个;(Ｂ)２个;(Ｃ)３个;(Ｄ)４个【错解】Ｂ。
【正解】Ｃ【错解分析】本题错误原因是没有准确把握确定事件的概念，错误认为确定事件就是必然事件，(１)是随机事件，(２)(３)是确定事件中的必然事件，而(３)也是确定事件，它是确定事件中的不可能事件。
另外：对于本题中的(４)，教参中指出不要和学生提出“抽屉原理”，其实这本是抽屉原理最容易解决的问题。
通过给学生例举“三个苹果放入两个抽屉中，则至少有两个苹果在一个抽屉中”，才能让学生更进一步理解，更好的把握“13个人中至少有2人出生月份相同”，“13张扑克牌中，至少有四张扑克牌的花色相同”这类事件属于必然事件。
(必考题)初中数学七年级数学下册第六单元《概率初步》检测卷(有答案解析)(5)
一、选择题1．投掷一枚质地均匀的硬币4次，其中3次正面向上，1次反面向上，则第5次掷出反面向上的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．152．下列说法正确的是（ ）A ．一颗质地硬币已连续抛掷了5次，其中抛掷出正面的次数为1次，则第6次一定抛掷出为正面B ．某种彩票中奖的概率是2%，因此买100张该种彩票一定会中奖C ．天气预报说2020年元旦节紫云下雨的概率是50%，所以紫云2020年元旦节这天将有一半时间在下雨D ．某口袋中有红球3个，每次摸出一个球是红球的概率为100% 3．下列事件中，确定事件是（ ）A ．向量BC 与向量CD 是平行向量B 40=有实数根；C ．直线()20y ax a =+≠与直线23y x =+相交D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形4．下列事件为必然事件的是（ ） A ．打开电视，正在播放新闻B ．买一张电影票，座位号是奇数号C ．任意画一个三角形，其内角和是180°D ．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上5．下列说法正确的是（ ） A ．明天会下雨是必然事件 B ．不可能事件发生的概率是0C ．在水平的桌面上任意抛掷一枚图钉，一定针尖向下D ．投掷一枚之地近月的硬币1000次，正面朝下的次数一定是500次 6．下列词语所描述的事件是必然事件的是（ ） A ．拔苗助长B ．刻舟求剑C ．守株待兔D ．冬去春来7．下列说法正确的是（ ）A ．要了解我市居民的低碳生活状况，适宜采用抽样调查的方法B ．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2C ．“掷一枚硬币正面朝上的概率是12”，表示每抛硬币2次就有1次正面朝上 D ．随机抽取甲乙两名同学的5次数学成绩，平均分都是90分，方差分别是S 甲2＝5，S 乙2＝10，说明乙的成绩较为稳定8．从-5，-1，0，83，π这五个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．459．下列事件中，属于不可能事件的是（）A．明天会下雨B．从只装有8个白球的袋子中摸出红球C．抛一枚硬币正面朝上D．在一个标准大气压下，加热到100C水会沸腾10．一个不透明的袋中有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小林在袋中放入10个与红球形状大小完全相同的白球，每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在，则袋中的红球个数约为( )A．6 B．16 C．22 D．2411．某校开设了文艺、体育、科技和学术四类社团，要求每位学生从中任选一类社团参加.现统计出八年级（1）班40名学生参加社团的情况，如下图：如果从该班随机选出一名学生，那么该生是体育类社团成员的可能性大小是（）A．15B．25C．14D．32012．已知一组数据：10，8，6，10，8，13，11，12，10，10，7，9，8，12，9，11，12，9，10，11，则频率为0.2的范围是()A．6～7 B．10～11 C．8～9 D．12～13二、填空题13．在不透明的口袋里装有4个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外完全相同．从口袋里随机摸出一个棋子，摸到黑球的概率是25，则白色棋子个数为________________________．14．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是________．15．写出一个你认为的必然事件_________．16．某商场为消费者设置了购物后的抽奖活动，总奖项数量若干，小红妈妈在抽奖的时候，各个奖项所占的比例如图，则小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性为__________.17．在一只不透明的袋子中装有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后，从袋子中任意摸出1个球，摸出白球可能性_________摸出红球可能性.（填“等于”、“小于”或“大于”)18．在一个不透明的袋子中共装有红球、黄球和蓝球320个，这些球除颜色外都相同.小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是25 %，则估计这只袋子中有红球________.19．在甲，乙两个不透明口袋中各装有10个和3个形状大小完全相同的红色小球，则从中摸到红色小球的概率是P甲_____P乙（填“＞”，“＜”或“＝”）；20．一个口袋中装有8个黑球和若干个白球，现从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中．不断重复上述过程，若共摸了200次，其中有50次摸到黑球，因此可估计口袋中大约有白球________个．三、解答题21．遵义市举行中学生“汉字听写大赛”，某校100名学生参加学校选拔赛根据成绩按A、B、C、D四个等级进行统计，绘制了如下不完整的频数分布表和扇形图根据图表中的信息，解答下列问题：成绩等级频数分布表成绩等级频数（人数）频率A5B m0.6C nD合计1001（1）频数分布表中m=______，n=______；（2）在扇形图中，求成绩等级“C”所对应的圆心角度数；（3）已知成绩等级“A”的5名同学中有3名男同学和2名女同学，现从中挑选2名同学进行答辩培训，请用树状图或列表法列举所有可能，并求挑选出的2名同学恰好是“1男1女”的概率.22．一个不透明袋中装有红、黄、绿三种颜色的球共36个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是绿球个数的2倍，已知从袋中摸出一个球是红球的概率为13．（1）分别求红球和绿球的个数．（2）求从袋中随机摸出一球是绿球的概率．23．某校团委计划在元且期间组织优秀团员到敬老院去服务，现选出了10名优秀团员参加服务，其中男生6人，女生4人．()1若从这10人中随机选一人当队长，求选中女生当队长的概率；()2现决定从甲、乙中选一人当队长，他们准备以游戏的方式决定由谁担任，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为2，3，4，5的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取2张，若牌面数字之和为偶数，则选甲为队长；否则，选乙为队长.试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．24．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率,对该地区这种树苗移植成活的情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计图,根据统计图提供的信息解决下列问题:(1)这种树苗成活的频率稳定在___________,成活的概率估计值为___________.(2)该地区已经移植这种树苗5万棵.①估计这种树苗成活___________万棵.②如果该地区计划成活18万棵这种树苗,那么还需移植这种树苗约多少万棵?25．小颖和小红两位同学在做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．（2）小颖说：“根据实验得出，出现5点朝上的机会最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小颖和小红的说法正确吗？为什么？26．小明和妹妹做游戏：在一个不透明的箱子里放入20张纸条（除所标字母外其余相同），其中12张纸条上字母为A，8张纸条上的字母为B，将纸条摇匀后任意摸出一张，如果摸到纸条上的字母为A，则小明胜；如果摸到纸条上的字母为B，则妹妹胜。
运用枚举法解题
运用枚举法解题【问题一】小华有1个5分币，4个2分币，8个1分币，要拿出8分钱，你能找出几种拿法？想：只能运用“凑”的方法。
为了不重复、不遗漏地凑出所有可能的拿法，“凑”就要按照一定的规则进行解：先找只拿一种硬币的拿法，有两种：①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；②2＋2＋2＋2＝8（分）．再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；④1＋1＋1＋5＝8（分）．最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：①1＋2＋5＝8（分）．答：共有7种不同的拿法．【试一试】小军有这样几种邮票：1角票、2角票、5角票、8角票，并且每种票的张数都有足够多。
他要从中选取8角的邮资寄信，问有多少种不同的选取方法？【问题二】用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的重量有多少种？想：共有三个重量各不相同的砝码，可以取出其中的一个、二个或三个来，一一列举这三种情况。
解：取一个的有：1克、3克、9克；取二个的有：4克、10克、12克；取三个的有：13克【试一试】、假设有A、B、C三个城市，从A到C必须经过B．已知从A到B可以坐汽车或坐火车到达，而从B到C则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达．问：从A到C可以有多少种不同的旅行方式【问题三】用0、2、4、6这四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数？想：有时枚举的对象或可能性较多，如果兼用一些推理，可变逐一列举为逐类分析，简化解题过程。
解：2在千位上的有：2046、2064、2406、2460、2604、26404与6在千位上的情况与2在千位上的情况一样。
所以6×3=18（种）答：可以组成18个没有重复数字的四位数。
【试一试】、0、1、2、3这四个数码可以组成多少个没有重复数字的三位数？【练一练】1、用3张10元和2张50元一共可以组成多少种币值？2、把7支相同的铅笔分成3份，那么有多少种不同的分法？3、有一位小学生，从无锡出发，到a、b、c三个城市去游览．他今天到这个城市，明天就到另一个城市．现在知道这位小学生第一天到a城，第四天仍回到a城，你能知道这位小学生有多少种旅行路线吗？4、从A城到B城可乘火车、汽车、轮船；从B城到C城可乘火车、汽车、轮船、飞机；某人从A城开始游览，经B城到C城共有多少种走法？5、甲、乙、丙、丁与小强5位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1盘．问小强已经赛了几盘？6、“甲、乙、丙三人的年龄都是大于0的自然数，年龄的和是27岁。
应用概率统计课后习题答案详解pdf版
P( B | A)
P( AB) P( B) 0.5 P( A) P( A)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 18．由长期统计资料表明，某一地区 6 月份下雨（记为事件 A）的概率为 4/15，刮风（记 为事件 B）的概率为 7/15，既下雨又刮风的概率为 1/10，求 P( A | B), P( B | A), P( A B) 解：由条件概率公式知
1 P AB 10 3 P A | B 0.2143 7 14 P B 15 1 P AB 10 3 P B | A 0.375 4 8 P A 15 4 7 1 19 P A B P A PB P AB 0.6333 15 15 10 30
(2) X ＞ 20 与 X＜ 18 ； (3) X ＞ 20 与 X ≤ 25 ； (4) 5 粒种子都出苗与 5 粒种子只有一粒不出苗； (5) 5 粒种子都出苗与 5 粒种子至少有一粒不出苗． 解： （1）对立; (2)互斥； （3）相容； （4）互斥； （5）对立 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― (古)７. 抛掷三枚均匀的硬币，求出现“三个正面”的概率． 1 1 解： p 3 0.125 8 2 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）８. 在一本英汉词典中，由两个不同的字母组成的单词共有 55 个，现从•26 个英文 字母中随机抽取两个排在一起，求能排成上述单词的概率． 55 解： p 0.0846 26 25 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― （古）９. 把 10 本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率是多少？ 解：首先将指定的三本书放在一起，共 3! 种放法，然后将 7 (1) 8 进行排列，共有 8! 种不
猜硬币有诀窍
猜硬币有诀窍作者：竹林风来源：《数学大王·趣味逻辑》2019年第04期出门在外，你和朋友正无聊，干点儿什么好呢？来几局三国杀？嗯，是个不错的提议，但没带牌啊。
翻翻口袋，咦，有几枚硬币。
哈哈，有硬币就不会无聊了，随随便便就能玩一整天。
不过，要想在猜硬币游戏中获胜，没点数学知识储备可不行哟。
一枚硬币，随便猜先来个简单的，猜一枚硬币的正反情况。
你把硬币抛掷出正反，对方猜。
如果对方猜对了，你给他一颗巧克力豆，否则，他给你一颗巧克力豆。
于是，你们的游戏结果将是这样的：由上表可看出，不管是对方获胜还是你获胜，概率都是1/2。
有策略可以提高游戏的获胜概率吗？没有。
因为硬币只有正反面，对方只有两种猜测结果，所以猜对猜错就全凭运气了。
互猜，别小看自己的信息猜一枚硬币的正反玩腻了，我们来个稍复杂的——互猜对方硬币的正反情况。
游戏前，两人手中各有一枚硬币和一张纸条，先同时抛起手中的硬币，然后各自在纸条上写下“正”或“反”，猜测对方抛掷硬币的结果。
如果双方都猜对了，则共赢，否则都输。
由于不知道对方硬币的正反，因此两人只能盲猜。
要想赢，必须两人都猜对对方硬币的正反情况。
两人各有一半的概率猜中对方的硬币，所以同时猜对的概率为1/2×1/2=1/4;反之，输的概率为1-1/4=3/4。
如果双方都瞎猜，那么情况就是这样的。
但你发现了吗？双方都遗忘了自己手里的硬币信息。
其实，有时利用好自己手中的信息也许能改变整个局势。
有人就纳闷了，知道自己硬币的正反，这对局势有影响？当然，让人意想不到的是，共赢的概率升高了——从原来的1/4上升到了1/2！两位游戏参与者的策略就是：都猜测对方的硬币正反情况和自己的相同。
也就是说，他们只需要在纸上写下自己硬币的抛掷结果。
这样一来，如果双方的硬币抛掷结果正好一致，他们就共赢了。
两人的抛掷结果只有“正正、反反、正反、反正”四种情况，其中有两种情况下双方的硬币抛掷结果都是一样的。
因此，利用这种策略，两人就有1/2的概率共赢。
当掷五枚硬币时.已知至少出现两个...
当掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面向上，则正好出现3个正面向上的概
率为（）
A、513
B、613
C、126
D、14
考点：互斥事件的概率加法公式
专题：概率与统计
分析：本题是一个等可能事件的概率，先求出至少出现两个正面向上种数，再求出正好出现3个正面向上的种数，根据对立事件的概率公式得到结果
解答：解：至少出现两个正面向上的种数为（所有的总数家去全是反面的和只有1个事正面向上的）25-1-5=26种，
正好出现3个正面向上，先排三个正面向上的，把两个反面插入所形成的4个间隔中，当两个反面的相邻时有C14=4种，当两个反面的不相邻时有C24=6种，故有4+6=10种，
故至少出现两个正面向上，则正好出现3个正面向上的概率为1026=513，
故选：A．
点评：本题考查古典概型以及排列组合及其概率计算公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题。
人教版六年级下学期小升初数学预测题含答案解析
人教版小升初考试数学试题一．选择题(共11小题)1．同时抛出若干枚硬币，确保至少有5枚硬币朝上的面相同，最少要拿()枚硬币去抛．A．5B．7C．9D．112．10以内质数的和是()A．16B．17C．183．把一个圆锥的底面半径和高都扩大3倍，则它的体积扩大()A．6倍B．9倍C．18倍D．27倍4．行完一段路，甲用5小时，乙用4小时，甲乙两人的速度比是()A．5：4B．4：5C．5：9D．不能确定5．如下图，已知校门的位置用数对(2，2)表示，那么实验楼的位置用数对表示是()A．(4，4)B．(4，3)C．(3，3)6．把7克糖溶解在100克水中，水占糖水的()A．B．C．7．9.保留两位小数是()A．10B．9.99C．10.008．一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆柱的高是圆锥的3倍，圆锥的体积是5立方分米，圆柱的体积是()立方分米．A．5B．15C．459．一个三角形，三个内角度数的比是2：5：3，则这个三角形是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形10．苹果和雪梨的质量比是3：2，如果苹果有180kg，那么雪梨有()kg．A．72B．108C．120D．27011．一块试验田，今年预计比去年增产10%，实际比预计降低了10%．实际产量与去年产量比()A．实际产量高B．去年产量高C．产量相同二．判断题(共5小题)12．两个质数的和一定是偶数．．(判断对错)13．两个等底等高的三角形一定能拼成一个平行四边形．(判断对错)14．一本书原价18元，现打九折出售，现价比原价便宜了1.8元．(判断对错)15．把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书．(判断对错)16．一个圆柱的体积是一个圆锥体积的3倍，那么它们一定等底等高．(判断对错)三．填空题(共10小题)17．一个数由6个亿，7个百万，20个万和5个十组成，这个数写作，读作．18．△+△+△+△＝〇〇+△＝30△＝〇＝19．一个书法小组有学生20人，其中女生有7人，女生人数占小组总人数的，男生有人，男生人数占小组总人数的．20．6和8的最小公倍数是，8和16的最大公因数是．21．盒子里有同样大小、同样质量的红、黄、绿、蓝四种颜色的球各6个，要想摸出的球一定有2个相同颜色的，至少要摸出个球．22．6名学生分一堆苹果，总有一名学生至少分到5个苹果，耶么这堆苹果至少有个．23．8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有只鸽子要飞进同一个鸽舍里．24．一根木头长9米，把它锯成5段，要锯次，每锯一次需要4分钟，锯完这根木头一共花分钟．25．把一个高16厘米的圆柱体截成两个体积相等的小圆柱体后，表面积增加了24平方厘米．现把其中一个小圆柱体削成体积最大的圆锥体，圆锥体的体积是．26．一个比的后项是，比值是，前项是．四．计算题(共3小题)27．直接写得数．1.5×2＝5.4÷1.8＝ 5.16+4.84＝ 3.6﹣2.9＝2.8÷2＝8.2×0.4＝ 1.75﹣0.7＝ 5.2+4.6＝28．用你喜欢的方法计算．(1)5.28﹣0.44﹣(2.56﹣1.72)(2)21÷[×(1﹣)](3)7.5×83﹣2.5×9(4)÷[(﹣)÷]29．解方程4x﹣1.2＝7.613x﹣10x＝0.92x+0.6＝4.8五．解答题(共6小题)30．受非洲猪瘟的影响，2019年下半年全国各地猪肉价格大幅上涨．小云家所在地区2019年11月的猪肉零售价达到了60元/千克，而上一年同期价格为20元/千克．猪肉价格的大幅上涨也导致了其它肉类价格的上涨，增加了人们食品的开支．如图是小云家2018年和2019年家庭各项开支的统计图．(1)2019年11月小云家所在地区猪肉零售价比上一年同期增长了百分之几？(2)如果小云家2018年和2019年的总开支分别为4万元和4.5万元．小云家2019年哪项开支比上一年增加最多？增加了多少万元？31．阳光小学计算机教室原来有电脑120台，本学期增加了30%，现在有电脑多少台？32．将一块圆锥形糕点沿着高垂直于底面切成两半，表面积比原来增加了36cm2，测得圆锥形糕点的高是9cm．原来这块圆锥形糕点的体积是多少立方厘米？33．有一个长方体鱼缸装有一些水，没有满，空着，现在把长方体鱼缸里的水全部倒进方体鱼缸里，正方体鱼缸还空着，已知长方体鱼缸比正方体鱼缸大25升，长方体正方体鱼缸的容积各是多少升？34．一个转盘被均匀的分成6份，随意转动圆盘，①指针停留在各区域的可能性各是多少？②如果转动圆盘120次，估计约会有多少次指针停留在白色区域？35．某企业去年耗煤量比前年增加25%，预计今年比去年减少25%，预计今年该企业的耗煤量比前年增加还是减少？并求增加或减少的百分比．参考答案一．选择题(共11小题)1．【分析】考虑最差情况：假设正、反两种情况都出现4了次，共需投掷2×4＝8枚硬币，那么再任意投掷1枚硬币，落地后只能是正、反两种情况中的任意一种情况，所以至少：8+1＝5(枚)．【解答】解：2×4+1＝8+1＝9(枚)答：最少要拿9枚硬币去抛．故选：C．【点评】本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况．2．【分析】质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和它本身外，再也没有其它的因数．先找出10以内的质数，再进一步求得它们的和．【解答】解：10以内的质数有：2、3、5、7，它们的和：2+3+5+7＝17．故选：B．【点评】此题考查质数的认识及运用．3．【分析】圆锥的体积＝πr2h，其中π是一个定值，半径r扩大3倍，则r2就扩大9倍，高h扩大3倍，由此根据积的变化规律即可解答．【解答】解：圆锥的体积＝πr2h：半径r扩大3倍，则r2就扩大9倍，高h扩大3倍，根据积的变化规律可得：圆锥的体积就扩大了：9×3＝27倍；故选：D．【点评】此题考查了积的变化规律在圆锥的体积公式中的灵活应用．4．【分析】要求甲、乙二人的速度比，把全程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”，得出甲一小时走全程的，乙一小时走全程的，然后进行比即可得出．【解答】解：：＝4：5答：甲乙两人的速度比是4：5；故选：B．【点评】此类题属于行程问题，解答的关键是把全程看作单位“1”，然后分别计算出两人的速度，进而比，得出结论．5．【分析】用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可用数表示出实验楼的位置．【解答】解：已知校门的位置用数对(2，2)表示，那么实验楼的位置用数对表示是(4，4)故选：A．【点评】本题是考查用数对表示点的位置，属于基础知识，要记住：第一个数字表示列，第二个数字表示行．6．【分析】把7克糖溶解在100克水中，就形成了7+100＝107克的糖水，要求水占糖水的几分之几，也就是求100占107的几分之几，用除法计算．【解答】解：100÷(7+100)＝100÷107＝，答：水占糖水的．故选：C．【点评】此题考查求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，要注意：求的是水占糖水的分率，就要用水的质量除以糖水的质量，不能带单位名称．7．【分析】运用“四舍五入”法取近似值：要看精确到哪一位，从它的下一位运用“四舍五入”取值．【解答】解：9.保留两位小数是10.00；故选：C．【点评】此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数．8．【分析】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱和圆锥的底面直径相等(底面积相等)时，圆柱的高是圆锥高的3倍，那么圆柱的体积就是圆锥体积的(3×3)倍，据此解答即可．【解答】解：5×3×3＝45(立方分米)答：圆柱的体积是45立方分米．故选：C．【点评】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用．9．【分析】因为一个三角形三个内角的度数比是2：5：3，则最大的角的度数占内角和度数的，根据三角形的内角和等于180°列式求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类解答即可．【解答】解：由题意得，三角形的最大的内角度数为：180°×＝90°，所以这个三角形是直角三角形；故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，基础题，求出最大的内角的度数是解题的关键．10．【分析】已知苹果和雪梨的质量比是3：2，苹果有180千克，也就是苹果的质量是3份、雪梨的质量是2份，根据“等分”除法的意义，用除法求出1份是多少千克，再用乘法解答即可．【解答】解：180÷3×2＝60×2＝120(千克)，答：雪梨有120千克．故选：C．【点评】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用，根据是求出1份是多少千克．11．【分析】今年预计比去年增产10%，是把去年的产量看作单位“1”，今年预计的产量相当于去年产量的(1+10%)；实际比预计降低了10%，是把今年预计的产量看作单位“1”，今年实际产量是预计产量的(1﹣10%)，根据一个数乘百分数的意义，用乘法求出今年的实际产量与去年的产量进行比较即可．【解答】解：1×(1+10%)×(1﹣10%)＝1×1.1×0.9＝0.99＝99%所以今年的实际产量是去年产量的99%100%＞99%答：实际产量与去年产量比去年产量高．故选：B．【点评】此题解答关键是明确：两个10%所对应的单位“1”不同．二．判断题(共5小题)12．【分析】根据质数、偶数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数．在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数．据此解答．【解答】解：如：2+3＝5，5是奇数，2+5＝7，7也是奇数；所以，两个质数相加的和一定是偶数．此说法错误．故答案为：×．【点评】此题考查的目的是理解质数、偶数的意义．13．【分析】两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，而两个等底等高的三角形不一定能拼成一个平行四边形，据此解答．【解答】解：两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，而两个等底等高的三角形不一定能拼成一个平行四边形，如下图：故答案为：×．【点评】本题考查了学生平行四边形是由两个完全一样的三角形拼成的知识．重点是完全一样．14．【分析】九折是指现价是原价的90%，把原价看成单位“1”，现价就比原价便宜了(1﹣90%)，用原价乘上这个分率就是便宜的钱数．【解答】解：18×(1﹣90%)＝18×10%＝1.8(元)答：现价比原价便宜了1.8元．故答案为：√．【点评】本题关键是理解打折的含义：打几折，现价就是原价的百分之几十；打几几折，现价就是原价的百分之几十几．15．【分析】把7本书放进3个抽屉中，7÷3＝2本…1本，即平均每个抽屉放入2本后，还余一本书没有放入，即至少有一个抽屉里要放进2+1＝3本书．【解答】解：7÷3＝2(本)…1(本)2+1＝3(本)答：总有一个抽屉至少会放进3本书．故答案为：√．【点评】把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里至少有m+1个或者m+1个以上的元素．16．【分析】因为等底等高的圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍，所以如果圆柱体积是圆锥体积的3倍，那么它们的底和高度的乘积是相等的，但是底和高不一定相等．据此解答即可．【解答】解：因为等底等高的圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍，所以如果圆柱体积是圆锥体积的3倍，那么它们的底和高度的乘积是相等的，但是底和高不一定相等．所以本题错误．故答案为：×．【点评】本题要结合圆柱的体积和圆锥的体积计算公式进行判断．三．填空题(共10小题)17．【分析】根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数；根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位连续几个0都只读一个零，即可读出此数．【解答】解：一个数由6个亿，7个百万，20个万和5个十组成，这个数写作607200050，读作六亿零七百二十万零五十；故答案为：607200050，六亿零七百二十万零五十．【点评】本题是考查整数的读、写法，关键是弄清位数及每位上的数字．18．【分析】4个△相等于1个〇，把〇+△＝30中的圆用4个△代换，解关于未知数△的方程即可求出△＝？，再把求出的△的值代入△+△+△+△＝〇或〇+△＝30即可求出〇＝？【解答】解：把△+△+△+△＝〇代入〇+△＝30△+△+△+△+△＝30即5△＝305△÷5＝30÷5△＝6把△＝6代入〇+△＝30即〇+6＝30〇+6﹣6＝30﹣6〇＝24．故答案为：6，24．【点评】把把△+△+△+△＝〇代入〇+△＝30，解关于△的方程即可求出△的值，再把三角形的值代入△+△+△+△＝〇或〇+△＝30即可求出〇的值．19．【分析】把这个小组的学生人数看作单位“1”，其中女生有7人，那么男生有20﹣7＝13人，然后根据求一个数是另一个数的几分之几用除法解答．【解答】解：20﹣7＝13(人)7÷20＝13÷20＝答：女生人数占小组总人数的，男生有13人，男生人数占小组总人数的．故答案为：、13、．【点评】此题属于分数除法应用题中的一个基本类型：已知两个数，求一个数是另一个数的几分之几，关键是确定单位“1”作除数．20．【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；当两个数是倍数关系时，较大的数是它们的最小公倍数，较小的数是它们的最大公因数，据此解答即可．【解答】解：8＝2×2×2，6＝2×3，最小公倍数是2×2×2×3＝24；因为16是8的倍数，所以8和16的最大公因数是8．故答案为：24，8．【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．21．【分析】盒子里有同样大小红、黄、绿、蓝四种颜色的球各6个，最坏的情况是，当摸出4个球的时候，每种颜色的各一个，此时只要再任意摸出一个球，摸出的球一定有2个同色的，即至少要摸出4+1＝5个．【解答】解：4+1＝5(个)；答：要保证摸出的球一定有2个同色的，最少要摸出5个球．故答案为：5．【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．22．【分析】把6个人看作6个“抽屉”，把这堆苹果数“看作物体的个数”，根据抽屉原理考虑最差情况：每个人都分得4个苹果，此时再多出1个苹果，无论分给哪一个人，都能保证一个人分到5个苹果，由此即可解答．【解答】解：4×6+1＝25(个)，答：这堆苹果至少有25个．故答案为：25．【点评】此题属于抽屉原理的应用习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可．23．【分析】鸽舍数即抽屉；鸽子数即物体个数；根据抽屉原理进行解答即可．【解答】解：因为8÷3＝2(只)…2(只)，2+1＝3(只)；答：至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍里．故答案为：3．【点评】解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”．24．【分析】木头锯成5段，需要锯5﹣1＝4(次)，由此用锯1次需要的时间乘锯的次数，解答即可．【解答】解：5﹣1＝4(次)4×4＝20(分钟)答：把它锯成5段，要锯4次，每锯一次需要4分钟，锯完这根木头一共花16分钟．故答案为：16．【点评】锯木头问题中，抓住锯的次数＝锯出的段数﹣1，由此即可解答．25．【分析】根据题干分析可得，平均切成2个同样大小的圆柱体后，表面积是增加了2个圆柱的底面的面积，利用表面积增加24方厘米，即可求出圆柱的底面积，因为圆柱内最大的圆锥是与圆柱等底等高的，据此利用圆锥的体积公式即可解答．【解答】解：24÷2＝12(平方厘米)，所以圆锥的体积是：×12×(16÷2)＝32(立方厘米)，答：这个最大的圆锥的体积是32立方厘米．故答案为：32立方厘米．【点评】此题考查了圆柱内最大的圆锥的特点以及圆锥的体积公式的计算应用，抓住圆柱的切割特点得出圆柱的底面积是解决本题的关键．26．【分析】比的前项除以后项所得的商，叫做比值，求前项，可以用后项和比值相乘，据此列式计算即可解答．【解答】解：×＝答：前项是．故答案为：．【点评】本题主要考查比值的意义，熟练掌握：比的前项＝比的后项×比值是解答本题的关键．四．计算题(共3小题)27．【分析】根据小数加减乘除法的计算方法进行计算．【解答】解：1.5×2＝3 5.4÷1.8＝3 5.16+4.84＝10 3.6﹣2.9＝0.72.8÷2＝1.48.2×0.4＝3.28 1.75﹣0.7＝1.05 5.2+4.6＝9.8【点评】口算时，注意运算符号和数据，然后再进一步计算．28．【分析】(1)先根据去小括号的性质，再用加法交换律和减法的性质简算；(2)先算小括号的减法，再算乘法，最后算除法；(3)先算乘法，再算减法；(4)先算小括号的减法，再算中括号除法，最后算括号外的除法．【解答】解：(1)5.28﹣0.44﹣(2.56﹣1.72)＝5.28﹣0.44﹣2.56+1.72＝5.28+1.72﹣(0.44+2.56)＝7﹣3＝4(2)21÷[×(1﹣)]＝21÷[×]＝21÷＝48(3)7.5×83﹣2.5×9＝622.5﹣22.5＝600(4)÷[(﹣)÷]＝÷[]＝÷＝【点评】此题考查分数四则混合运算顺序和灵活运用运算定律，分析数据找到正确的计算方法．29．【分析】(1)首先根据等式的性质，两边同时加上1.2，然后两边同时除以4即可．(2)首先化简，然后根据等式的性质，两边同时除以3即可．(3)首先根据等式的性质，两边同时减去0.6，然后两边再同时除以2即可．【解答】解：(1)4x﹣1.2＝7.64x﹣1.2+1.2＝7.6+1.24x＝8.84x÷4＝8.8÷4x＝2.2(2)13x﹣10x＝0.93x＝0.93x÷3＝0.9÷3x＝0.3(3)2x+0.6＝4.82x+0.6﹣0.6＝4.8﹣0.62x＝4.22x÷2＝4.2÷2x＝2.1【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数(0除外)，两边仍相等．五．解答题(共6小题)30．【分析】(1)把2018年猪肉的价格看作单位“1”，先求出2019年猪肉的价格比2018年增长多少元，再根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答．(2)分别把小云家2018年、2019年的总支出看作单位“1”，根据一个数乘百分数的意义，用乘法分别求出2018年、2019年各项支出，然后进行比较即可．【解答】解：(1)(60﹣20)÷20＝40÷20＝2＝200%答：2019年11月小云家所在地区猪肉零售价比上一年同期增长了200%．(2)4×32%＝1.28(万元)4×25%＝1(万元)4×15%＝0.6(万元)4×11%＝0.44(万元)4×12%＝0.48(万元)4×5%＝0.2(万元)4.5×30%＝1.35(万元)4.5×15%＝0.675(万元)4.5×10%＝0.45(万元)4.5×5%＝0.225(万元)1.35﹣1＝0.35(万元)1.35﹣1.28＝0.07(万元)0.675﹣0.6＝0.075(万元)0.45﹣0.44＝0.01(万元)0.225﹣0.22＝0.005(万元)0.35＞0.07＞0.01＞0.075＞0.005答：小云家2019年食品开支比上一年增加最多，增加了0.35万元．【点评】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题．31．【分析】把原来的电脑台数看成单位“1”，本学期的台数是原来的(1+30%)，用原来的台数乘这个分率就是今年的台数．【解答】解：120×(1+30%)＝120×1.3＝156(台)答：现在有电脑156台．【点评】本题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的量求它的几分之几是多少用乘法．32．【分析】根据圆锥的切割特点可得，切割后增加的两个面是以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形，据此再运用三角形的面积公式求出圆锥的底面直径，据此求出圆锥的半径，最后运用圆锥的体积公式求出圆锥形糕点的体积．【解答】解：36÷2×2÷9÷2＝2(厘米)×3.14×22×9＝×3.14×4×9＝37.68(立方厘米)答：原来这块圆锥形糕点的体积是37.68立方厘米．【点评】本题考查了三角形面积公式、圆锥体积公式的运用，考查学生知识综合运用的能力．33．【分析】有一个长方体鱼缸装有一些水，没有满，空着，说明水的体积是长方体鱼缸容积的(1﹣)；把长方体鱼缸里的水全部倒进方体鱼缸里，正方体鱼缸还空着，说明水的体积是正方体鱼缸的(1﹣)．水的体积不变，即长方体鱼缸容积的(1﹣)＝正方体鱼缸容积的(1﹣)．把长方体(或正方体)鱼缸的容积看作单位“1”，求出相当对应的正方体(或长方体)的容积．根据分数除法的意义，用长方体鱼缸比正方体鱼缸大的升数除以长方体与正方体容积的分率之差就是长方体的容积，进而即可求出正方体鱼缸的容积．【解答】解：设长方体的容积为“1”则正方体鱼缸的容积为：1×(1﹣)÷(1﹣)＝1×÷＝25÷(1﹣)＝25÷＝100(升)100×＝75(升)答：长方体鱼缸的容积是100升，正方体鱼缸的容积是75升．【点评】此题主要是考查分数除法的意义及应用．求出长方体、正方体容积所占的分率是关键，也是难点．34．【分析】①根据题意可知，把整个转盘平均分成6份，指针停留在每个区域的可能性都是：1÷6＝．②由①可知，指针停留在白色区域的可能性为，所以转120次，指针停在白色区域的次数大约是：120×＝20(次)．【解答】解：①1÷6＝答：指针停留在各区域的可能性都是．②120×＝20(次)答：约会有20次指针停留在白色区域．【点评】本题主要考查可能性的求法，即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答．35．【分析】把前年的耗煤量看作单位“1”，去年耗煤量比前年增加25%，去年的耗煤量是前年的(1+25%)，预计今年比去年减少25%，由此可以求出今年预计耗煤量相当于前年耗煤量的百分之几，据此解答．【解答】解：1×(1+25%)×(1﹣25%)＝1×1.25×0.75＝0.9375＝93.75%1﹣93.75%＝6.25%答：预计今年该企业的耗煤量比前年减少了，减少了6.25%．【点评】此题解答关键是明确：题中的两个“25%”所对应的单位“1”不同．。
2022-2023学年上海市延安中学高二下学期期中数学考试卷含详解
2023年延安中学高二年级下学期期中试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.抛物线22x y =的焦点F 到准线l 的距离是__________.2.已知事件A 发生的概率为0.3，则A 的对立事件发生的概率为________．3.已知函数()ln f x x =，则()()022lim x f x f x →+∆-=∆ _______.4.同时抛掷5枚均匀的硬币，恰有1枚反面朝上的概率为________．5.函数()21f x x x =+的驻点为x ＝_____________6.已知n 为正整数，且332P 10P nn =，则n =________．7.已知抛物线24y x =的AB 弦过它的焦点，直线AB 的斜率为1，则弦AB 的长为______.8.从0，1，2，3，4，5六个数字中任取三个组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为________．9.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________．10.已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，且()()321113f x x f x '=++，则()y f x =的图象在3x =处的切线方程为________．11.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，且点P 到直线y x a =+的距离的最小值是，则实数a 的值是__________.12.若P ，Q 分别是抛物线2x y =与圆()2231x y -+=上的点，则PQ 的最小值为________．二、选择题（每小题3分，共12分）13.若函数()y f x =的定义域为R 且可导，则“()y f x =在2x =处的导数为0”是“当2x =时，()y f x =取到极值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.已知实数x ，y 满足2246120x y x y +-++=，则22x y --的最小值是（）A.1-+B.4C.5-D.15.设定义在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上的函数()sin cos f x x x x =+，则不等式()()21f x f x <-的解集是（）A.π1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.1π,34⎛⎤ ⎥⎝⎦C.π11,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1π,32⎛⎤⎥⎝⎦16.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()e x f x a x =-为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）A.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.(],1-∞ D.(],e -∞三、解答题（共52分）17.柜子里有2双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为l a ，r a ，记第2双鞋左右脚编号为l b ，r b ，如果从中随机取出2只；（1）写出试验的样本空间；（2）求事件D “取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率；18.班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单；（1）3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？（2）相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？19.求函数()e sin x f x x =，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调区间和极值；20.某公园有一块如图所示的区域OACB ，该场地由线段OA ，OB ，AC 及曲线段BC 围成；经测量，90AOB ∠=︒，100OA OB ==米，曲线段BC 是以OB 为对称轴的抛物线的一部分，点C 到OA ，OB 的距离都是50米；现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D 在线段AC 或曲线段BC 上，点E ，F 分别在线段OA ，OB 上，且该游乐场最短边长不低于25米；设DF x =米，游乐场的面积为S 平方米；（1）以点O 为原点，试建立平面直角坐标系，求曲线段BC 的方程；（2）求面积S 关于x 的函数解析式()S f x =；（3）试确定点D 的位置，使得游乐场的面积S 最大（结果精确到0.1米）；21.已知抛物线2:2Γ=y px 的焦点为F （2，0）；（1）求抛物线Γ的方程；（2）若动点P 在抛物线Γ上，线段PF 的中点为Q ，求点Q 的轨迹方程；（3）过点()(),00T t t >作两条互相垂直的直线1l ，2l ；直线1l 交抛物线Γ于A ，B 两点，直线2l 交抛物线Γ于C ，D 两点，且点M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点，求△TMN 的面积的最小值；2023年延安中学高二年级下学期期中试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1.抛物线22x y =的焦点F 到准线l 的距离是__________.【答案】1.【分析】写出焦点坐标与准线方程即可得到答案.【详解】由已知，抛物线的焦点为1(0,)2，准线为=1x -，故抛物线22x y =的焦点F 到准线l 的距离是1.故答案为：1.【点睛】本题考查抛物线的定义，注意焦点到准线的距离为p ，本题是一道基础题.2.已知事件A 发生的概率为0.3，则A 的对立事件发生的概率为________．【答案】0.7##710【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式计算作答.【详解】依题意，A 的对立事件发生的概率为10.30.7-=.故答案为：0.73.已知函数()ln f x x =，则()()022limx f x f x →+∆-=∆ _______.【答案】12##0.5【分析】由导数的定义与导数的运算公式可得结果.【详解】∵()ln f x x=∴1()f x x '=∴0(2)(2)1lim (2)2x f x f f x ∆→+∆-'==∆故答案为：12.4.同时抛掷5枚均匀的硬币，恰有1枚反面朝上的概率为________．【答案】532##0.15625【分析】求出抛掷5枚均匀硬币的试验的基本事件总数，再求出恰有1枚反面朝上的事件所含基本事件数，利用古典概率计算作答.【详解】抛掷5枚均匀的硬币的试验，有52个基本事件，它们等可能，恰有1枚反面朝上的事件A 含有的基本事件数为5，所以恰有1枚反面朝上的概率555()232P A ==.故答案为：5325.函数()21f x x x=+的驻点为x ＝_____________【答案】【分析】导数为0的点为驻点，求导计算即可.【详解】()321f x x '=-，令()3210f x x x'=-=⇒=.6.已知n 为正整数，且332P 10P n n =，则n =________．【答案】8【分析】利用排列数公式，列式求解作答.【详解】依题意，n 为正整数，3n ≥，因为332P 10P n n =，则有2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，解得8n =，所以8n =.故答案为：87.已知抛物线24y x =的AB 弦过它的焦点，直线AB 的斜率为1，则弦AB 的长为______.【答案】8【分析】由抛物线以及直线的方程，联立方程组，由韦达定理结合抛物线的定义求解即可．【详解】设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，抛物线2:4C y x =的焦点为点()1,0F ，准线方程为=1x -，则直线AB 方程为1y x =-如图：由方程组241y x y x ⎧=⎨=-⎩得：2610x x -+=，则：126x x +=；设A ，B 到准线的距离分别为1d ，2d ；由抛物线定义可知121228AB AF BF d d x x =+=+=++=；即弦AB 的长为8．故答案为：8．8.从0，1，2，3，4，5六个数字中任取三个组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为________．【答案】52【分析】分个位为0和个位为2或4，再由分步计数原理计算可得答案．【详解】①个位为0，有25A 5420=⨯=种方法，②个位为2或4，则有12C 2=种方法，百位不能排0有14C 4=种方法，十位有14C 4=种方法，故有24432⨯⨯=种方法.一共有:203252+=种方法.故答案为：52.9.两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________．【答案】512【分析】根据独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式求概率.【详解】两个零件中恰有一个一等品的概率为23235(1)(1)343412⨯-+-⨯=故答案为：512【点睛】本题考查独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10.已知函数()y f x =的导函数为()y f x '=，且()()321113f x x f x '=++，则()y f x =的图象在3x =处的切线方程为________．【答案】38y x =-【分析】对给定的函数求导，并求出参数值，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.【详解】函数()()321113f x x f x '=++，求导得：()()221f x x f x ''=+，则()()1121f f ''=+，解得(1)1f '=-，因此()32113f x x x =-+，()22f x x x '=-，则(3)1,(3)3f f '==，所以所求切线方程为13(3)y x -=-，即38y x =-.故答案为：38y x =-11.点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，且点P 到直线y x a =+的距离的最小值是，则实数a 的值是__________.【答案】2-【分析】首先确定点线距离最小时P 点的位置，再由导数的几何意义求P 点坐标，最后应用点线距离公式表示出最小距离，列出方程即可求解.【详解】由题设12y x x '=-且0x >，令0y >' ，即22x >；令0'<y ，即202x <<，所以函数2ln y x x =-在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，且12|ln 022x y ->，如图所示，当P 为平行于y x a =+并与曲线2ln y x x =-相切直线的切点时，距离最近.令1y '=，可得12x =-（舍）或1x =，所以1|1x y ==，则曲线上切线斜率为1的切点为(1,1)P ，=，即2a =（舍去）或2-，故答案为：2-.12.若P ，Q 分别是抛物线2x y =与圆()2231x y -+=上的点，则PQ 的最小值为________．1-##1-【分析】设点()200,P x x ，圆心()3,0C ，PQ 的最小值即为CP 的最小值减去圆的半径，求出CP 的最小值即可得解．【详解】依题可设()200,P x x ，圆心()3,0C ，根据圆外一点到圆上一点的最值求法可知，PQ 的最小值即为CP 的最小值减去半径．因为()()222242000003069CP x x x x x =-+-=+-+，x ∈R ，设()4269f x x x x =+-+，()()()3242621223f x x x x x x =+-=-++'，由于22152232022x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以函数()f x 在(),1-∞上递减，在()1,+∞上递增，即()min 15f f ==，所以min 1CP =>，即PQ 1-．1．二、选择题（每小题3分，共12分）13.若函数()y f x =的定义域为R 且可导，则“()y f x =在2x =处的导数为0”是“当2x =时，()y f x =取到极值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先验证充分性，不妨设()3()2f x x =-，在2x =处有(0)0f '=，但()f x 为单调递增函数，2x =不是极值点；再验证必要性，即可得结果．【详解】充分性：不妨设()3()2f x x =-，则()2()32f x x '=-，在2x =处有(2)0f '=，但是()0f x '≥，()f x 为单调递增函数，故2x =不是极值点，故充分性不成立；必要性：由当2x =时，()y f x =取到极值，得(2)0f '=，即()y f x =在2x =处的导数为0，故必要性成立．所以“()y f x =在2x =处的导数为0”是“当2x =时，()y f x =取到极值”的必要不充分条件.故选：B14.已知实数x ，y 满足2246120x y x y +-++=，则22x y --的最小值是（）A.1-+B.4C.5-D.【答案】C【分析】把给定方程化成标准形式，再利用圆的意义借助三角代换求解作答.【详解】方程2246120x y x y +-++=化为：22(2)(3)1x y -++=，表示以()2,3-为圆心，1为半径的圆，设2cos 3sin x y θθ-=⎧⎨+=⎩，02πθ≤<，即cos 2sin 3x y θθ=+⎧⎨=-⎩，因此cos 2)(sin 3)22cos sin 5)5222(x y θθθθθϕ+---=---+=++=，其中锐角ϕ由1tan 2ϕ=确定，显然2πϕθϕϕ≤+<+，于是当πθφ+=，即πθϕ=-时，)5θϕ++取得最小值5-，所以22x y --的最小值是5-故选：C15.设定义在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上的函数()sin cos f x x x x =+，则不等式()()21f x f x <-的解集是（）A.π1,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1π,34⎛⎤ ⎥⎝⎦C.π11,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1π,32⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解.【详解】对于函数()sin cos f x x x x =+，()()()()sin cos sin cos f x x x x x x x f x -=--+-=+=，并且定义域ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦关于原点对称，()f x 是偶函数，()'sin cos sin cos f x x x x x x x =+-=，当π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 0,0x x ≥> ，∴()0f x '≥，()f x 是增函数，∴对于()()21f x f x <-有：21ππ222ππ122x x x x ⎧⎪<-⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩ ①②③，由①得113x -<<，由②得ππ44x -≤≤，由③得ππ1122x -≤≤+，ππ1ππ11142342-<-<-<<<+ ，1123x π-≤< ；故选：C.16.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数()e x f x a x =-为“不动点”函数，则实数a 的取值范围是（）A.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.(],1-∞ D.(],e -∞【答案】B【分析】根据题意列出关于0x 和a 的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.【详解】题意得若函数()e x f x a x =-为不动点函数，则满足()0000e x f x a x x -==，即00e 2x a x =，即002e x x a =设()2ex x g x =，()()22e 2e 22e e x x xx x x g x --'==令()0g x '=，解得1x =当(),1x ∈-∞时，()0g x '>，所以()g x 在(),1-∞上为增函数当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上为减函数所以()max 2(1)e g x g ==当(),0x ∞∈-时，()0g x <当()0,x ∞∈+时，()0g x >所以()g x 的图象为：要想002e x x a =成立，则y a =与()g x 有交点，所以()max 2ea g x ≤=，对应区间为2,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故选：B.三、解答题（共52分）17.柜子里有2双不同的鞋，记第1双鞋左右脚编号为l a ，r a ，记第2双鞋左右脚编号为l b ，r b ，如果从中随机取出2只；（1）写出试验的样本空间；（2）求事件D “取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”的概率；【答案】（1）答案见解析（2）13【分析】1）利用列举法求得正确答案.（2）根据古典概型概率计算公式求得事件D 的概率.【小问1详解】记第1双鞋左右脚编号为,l r a a ，第2双鞋左右脚编号为,l r b b ，则样本空间为()()()()(){()}Ω,,,,,,,,,,,l r l l l r r l r r l ra a ab a b a b a b b b =【小问2详解】事件D 包括的基本事件为：()(),,,l r r l a b a b ，共2种，所以()6132P D ==.18.班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单；（1）3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？（2）相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？【答案】（1）144（2）408【分析】（1）利用捆绑法可求解即可；（2）根据相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数即可求解．【小问1详解】将3个唱歌节目捆绑在一起，看成1个节目有33A 种，与其余3个节目一起排44A ，则共有3434A A 624144=⨯=种不同排法．【小问2详解】若相声节目排在第一个节目，则有1525C A 种不同排法，若魔术节目排在最后一个节目，则有55A 种不同排法，若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有1424C A 种不同排法，则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，所以共有615514625524A C A A C A 72024012048408--+=--+=种不同排法．19.求函数()e sin x f x x =，,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的单调区间和极值；【答案】单调递减区间为ππ,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为ππ,42⎛⎤- ⎥⎝⎦，极小值为π4e 2--，无极大值【分析】求导，根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即可.【详解】由()e sin x f x x =，得()()πe sin cos sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得ππ3π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，令()0f x '<，得ππ044x -≤+<，即ππ24x -≤<-，令()0f x ¢>，得π3π044x <+≤，即ππ42x -<≤，所以函数()f x 单调递减区间为ππ,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，单调递增区间为ππ,42⎛⎤- ⎥⎝⎦，所以函数()f x 得极小值为π4πe 42f -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极大值.20.某公园有一块如图所示的区域OACB ，该场地由线段OA ，OB ，AC 及曲线段BC 围成；经测量，90AOB ∠=︒，100OA OB ==米，曲线段BC 是以OB 为对称轴的抛物线的一部分，点C 到OA ，OB 的距离都是50米；现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D 在线段AC 或曲线段BC 上，点E ，F 分别在线段OA ，OB 上，且该游乐场最短边长不低于25米；设DF x =米，游乐场的面积为S 平方米；（1）以点O 为原点，试建立平面直角坐标系，求曲线段BC 的方程；（2）求面积S 关于x 的函数解析式()S f x =；（3）试确定点D 的位置，使得游乐场的面积S 最大（结果精确到0.1米）；【答案】（1）20.02100(050)y x x =-+≤≤（2）()320.02100,2550100,5070x x x f x x x x ⎧-+≤≤=⎨-+<≤⎩（3）当点D 在曲线段BC 上且其到OA 的距离约为66.7米时，游乐场的面积S 最大.【分析】（1）先以O 为坐标原点，OA 、OB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；（2）分别求出D 在不同线段的解析式，然后计算面积；（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定D 的位置.【小问1详解】以O 为坐标原点，OA 、OB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()100,0A ，()50,50C ，()0,100B ，设曲线段BC 所在抛物线的方程为()20y ax b a =+<，由题意可知，点()0,100B 和()50,50C 在此抛物线上，代入可得：0.02a =-，100b =.所以曲线段BC 的方程为：20.02100(050)y x x =-+≤≤.【小问2详解】由题意，线段AC 的方程为100(50100)y x x =-+≤≤，当点D 在曲线段BC 上时，()20.02100(2550)S x x x =-+≤≤，当点D 在线段AC 上时，(100)(5070)S x x x =-+≤≤，所以()320.02100,2550100,5070x x x f x x x x ⎧-+≤≤=⎨-+<≤⎩.【小问3详解】当2550x ≤≤时，()20.06100f x x '=-+，令20.061000x -+=，得15063x =，25063x =-（舍去）.当25,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()0f x ¢>；当,503x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()0f x '<.因此当5063x =时，50610000639S f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭是极大值，也是最大值.当5070x <≤时，2()(50)2500f x x =--+，当50x =时，()502500S f ==是最大值.因为10000625009>，所以当5063x =时，S取得最大值，此时200,33D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以当点D 在曲线段BC 上且其到OA 的距离约为66.7米时，游乐场的面积S 最大.21.已知抛物线2:2Γ=y px 的焦点为F （2，0）；（1）求抛物线Γ的方程；（2）若动点P 在抛物线Γ上，线段PF 的中点为Q ，求点Q 的轨迹方程；（3）过点()(),00T t t >作两条互相垂直的直线1l ，2l ；直线1l 交抛物线Γ于A ，B 两点，直线2l 交抛物线Γ于C ，D 两点，且点M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点，求△TMN 的面积的最小值；【答案】（1）28y x=（2）244y x =-（3）16【分析】（1）根据焦点坐标可直接得到抛物线方程；（2）设点()()00,,,Q x y P x y ，由题意可得00222x x y y =-⎧⎨=⎩，因为动点P 在抛物线Γ上，代入化简即可得出点Q 的轨迹方程；（3）设:AB x my t =+，1:CD x y t m =-+，与抛物线方程联立，结合韦达定理可得中点,M N 坐标，进而表示出,TM TN ，由12TMN S TM TN =⋅ ，利用基本不等式可求得最小值.【小问1详解】抛物线2:2Γ=y px 的焦点为F （2，0）,所以22p =，解得：4p =.所以抛物线Γ的方程为：28y x =.【小问2详解】设点()()00,,,Q x y P x y ，F （2，0）,因为线段PF 的中点为Q ，则00222x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即00222x x y y =-⎧⎨=⎩，因为动点P 在抛物线Γ上，所以2008y x =，即()24822y x =-，化简可得：244y x =-.点Q 的轨迹方程为244y x =-.【小问3详解】由题意知：直线,AB CD 的斜率均存在，不妨设:AB x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则1:CD x y t m=-+；由28x my t y x=+⎧⎨=⎩得：2880y my t --=，则264320m t ∆=+>，即220m t +>；128y y m ∴+=，128y y t =-，()21212282x x m y y t m t ∴+=++=+，()24,4M m t m ∴+；同理可得：244,N t mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭TM ∴=，TN =，1162TMN S TM TN ∴=⋅==≥= （当且仅当221m m=，即1m =±时取等号），TMN ∴ 面积的最小值为16.。
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关于五枚硬币的两两相交问题的一个数学解释 （两两相交即五枚硬币的任两枚硬币均相交）
董岩
解：拼接成的图形为一个空间立体图形，我们是先保证1号硬币、2号硬币和3号硬币两两相交且4号硬币和5号硬币都各与1号硬币、2号硬币和3号硬币相交的情况下，这是很容易实现的，我们要做的就是判断4号硬币和5号硬币是否相交。
若能相交，即断定为成功（这里的“成功”是指五枚硬币可以组成硬币两两相交的空间图形）。
主视图：
左视图：
以上对硬币进行编号，可以使能联想到的立体图形更加形象化。
对于
1号硬币
关于1号硬币对称的2号、3号硬币 4号硬币
5号硬币
1号硬币
2号硬币
3号硬币
A G H B
C F E
D 交叉宽度=GH O 左视图，未画出4号硬币和5号硬币，是为了说明图形更加方便。
设硬币的直径为D ，厚度为d ；
根据左视图：
图中A 、B 两点分别为3号硬币和2号硬币的圆心，C 点为1号硬币和3号硬币在左视图上的交点。
CD 垂直于AB ，CH 垂直于AG 。
易知AE=AC=2D ，DE=2
d ， 所以AD=AE —DE=2D —2d =2
d D -， 根据勾股定理，有CD=22AD AC -=2222⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛d D D =2221d Dd - ∴CF=DF-CD=AG-CD=
22212d Dd D -- ∴GH=CF=222
12d Dd D --. 根据主视图：
P
N
如果我们在最劣情况下建立一个模型，即让4号硬币和5号硬币对称放置，这是在成功概率最小情况下建立的模型。
这是我们对模型的第一次劣化。
如果我们假定关于1号硬币对称的2号硬币和3号硬币
的下端处为平的，显然，在我们向成功逼近时，即保证4号硬币和5号硬币可以相交时，在图2情况可以成功时，在图1情况下也能保证成功。
这是对模型的第二次劣化。
（这里的劣化是指向模型成功概率减小的方向而建立一系列的模型，如果最劣化的模型成立，则原模型必然成立。
）
对于三角形OPN ，必有，OP+PN>ON
即
>I <+->+方程βtan 2232d GH D D D γ α 代入GH 得22tan d Dd D d -->
β
又由正弦定理得
γβsin sin PN OP = ∴ βγs i n 2s i n
= 易知090>α ∴0090180>--γβ βγ-<∴090
当任一角在区间00和090之间时，随着角的增加，其正弦值也随之增图1 图2
N P O
M
加，故有ββγcos )90sin(sin 0=-<
ββcos sin 2<∴ 2
1tan <∴β 2.0512122
=<∴<--∴D d d Dd D d
090>α 0cos <∴α
PN
OP ON PN OP ∙∙-+=∴2cos 2
22α<0 0222<-+∴ON PN OP 即222ON PN OP <+
当M 点和N 点重合时，在三角形OPM 中，也有090'>α
也有222OM PM OP <+
OM ON > ∴当222OM PM OP <+成立时，必有222ON PN OP <+成立。
故只需让222OM PM OP <+成立，这样做是为了减少未知量数目，因为ON=β
tan 223d GH D +
-，而OM GH D -=23，很明显这样做很方便化简。
对于222OM PM OP <+
即 22222212232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---<+⎪⎭⎫ ⎝⎛d Dd D D D D 化简得()2224d Dd D d D -∙∙<- 解得0284.02
151≈-->D d 2.00284.0<<∴D
d 即在厚径比（硬币的厚度和直径之比）在（0.0284,0.2）内时，可近似认为成功，也就是五枚硬币可两两相交。
【(*^__^*) 嘻嘻……，一元硬币我验证过了，虽然没有用尺子精确测量，但是我发现13枚硬币的厚度和与硬币的直径近似相等，故一元硬币的厚径比
0769.0131≈=D d ，在区间内。
】。