单元测试(文科数学) 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用

一、选择题(每小题5分，共25分)

1.过直线y=2x+3上的点作圆x2+y2-4x+6y+12=0的切线，则切线长的最小值为

( ) A. B.2 C. D.

【解析】选A.在直线y=2x+3上任取一点P(x，y)，作圆的切线，设切点为M.圆x2+y2-4x+6y+12=0即(x-2)2+(y+3)2=1，圆心为C(2，-3)，半径为r=1，切线

长为=，|PC|min==2，

所以切线长的最小值为=.

2.已知动点P(x，y)在椭圆+=1上，若A点坐标为(3，0)，||=1，且

·=0，则||的最小值是( )

A. B. C.2 D.3

【解析】选B.由||=1可知点M的轨迹为以点A为圆心，1为半径的圆，

过点P作该圆的切线PM，则|PA|2=|PM|2+|AM|2，得|PM|2=|PA|2-1，

所以要使得||的值最小，则要的值最小，而的最小值为a-c=2，

此时||的值最小为.

3.(2019·赣州模拟)已知方程+=1表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )

A.(-2，2)

B.(-∞，-2)∪(2，+∞)

C.(-∞，-2)

D.(2，+∞)

【解析】选D.由题意，

n+2m2>n-2m2>0，

则n>2m2，

且a2=n+2m2，b2=n-2m2，

所以c2=a2-b2=4m2，得c=2|m|，

由椭圆两焦点间的距离为4，得2|m|=2，

即|m|=1.

所以n>2m2=2.

所以n的取值范围是(2，+∞).

4.(2018·秦皇岛模拟)设P是椭圆+=1上一点，M，N分别是两圆：(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为( )

A.9，12

B.8，11

C.8，12

D.10，12

【解析】选C.如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|+|PB|=2a=10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|+|PN|最小，最小值为|PA|+|PB|-2R=8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|+|PN|最大，最大值为|PA|+|PB|+2R=12，即最小值和最大值分别为8，12.

一、解答题

1.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T20)设圆x 2+y 2+2x-15=0的圆心为A,直线l 过点B(1,0)且与x 轴不重合, l 交圆A 于C,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程.

(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

【解析】(1)圆A 整理为(x+1)2+y 2=16,点A 坐标为(-1,0),如图,

∵BE ∥AC,则∠ACB=∠EBD,由|AC|=|AD|,则∠ADC=∠ACD, ∴∠EBD=∠EDB,则|EB|=|ED|, ∴|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.

所以E 的轨迹为一个椭圆,方程为2x 4+2

y 3=1(y ≠0);

(2)C 1: 2x 4 +2

y 3

=1;设l :x=my+1,

因为PQ ⊥l ,设PQ:y=-m(x-1),联立l 与椭圆C 1,

2

2

x my 1,

x y 1,43

⎧=+⎪⎨+

=⎪⎩得(3m 2+4)y 2+6my-9=0; 则

|MN|=M -y N |

=

()

2

2

12

m1 3m4

+

+

;

圆心A到PQ距离d=

,

所以|PQ|=2

=

∴S MPNQ=1

2

|MN|·|PQ|=1

2

·

(

)

2

2

12m1

3m4

+

⋅

+

=

=24

[12,8).

2.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T20)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线

C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.

(1)求

OH

ON

.

(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.

【解析】(1)由已知得M(0,t),P

2

t

,t

2p

⎛⎫

⎪

⎝⎭

,又N为M关于点P的对称点,故N

2

t

,t

p

⎛⎫

⎪

⎝⎭

,故直线ON的

方程为y=p

t

x,将其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=

2

2t

p,因此H2

2t

,2t

p

⎛⎫

⎪

⎝⎭

,所以N为OH的中点,即

OH

ON

=2.

(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.理由如下: