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计数原理综合习题(有答案)

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计数原理测试题(含答案)

计数原理测试题(含答案)

圆梦教育中心 高中数学选修2-3计数原理第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （ ）A ．20m AB ．21m AC ．2020+m AD ．2120+m A2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 （ ） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数 （ ） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是 （ ） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．1226. 在(a-b)99的展开式中，系数最小的项为( )A.T 49B.T 50C.T 51D.T 52 7. 数11100-1的末尾连续为零的个数是( )A.0B.3C.5D.78. 若425225+=x x C C ，则x 的值为 （ ）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ ） A ．34CB ．3718C CC ．3718C C -6D ． 1248-C10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于（ ） A ．101B ．51 C ．103 D ．52第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，S的值为___________．则T12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为．13．在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为.14．六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是．三、解答题（共计76分）15．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线?（2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条?（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量?16．（11分）在二次项12)(n mbx ax (a ＞0,b ＞0,m,n ≠0)中有2m+n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项? 17．（12分）由1，2，3，4，5，6，7的七个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？18．（12分）2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（1）先平均分成8个小组，在每组内进行单循环赛（即每队之间轮流比赛一次），决出16强（即取各组前2名）。

苏州市选修三第一单元《计数原理》测试(有答案解析)

苏州市选修三第一单元《计数原理》测试(有答案解析)

一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．254．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．15．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C6．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A ．-250B ．250C ．-500D ．5007．甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有( ) A ．84种B ．100种C ．120种D ．150种8．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．1659．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．525 B ．1050C ．432D ．86410．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或611．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种12．若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-=，则012020a a a +++=（ ）A ．1B ．0C ．20202D ．20212二、填空题13．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）14．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中4x 的系数为___________.15．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n取最大值时，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为______．16．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______．17．已知()()()()()23n2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么n的展开式中的常数项为______．18．已知33210n n A A =，那么n =__________．19．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为_______．20．设S 为一个非空有限集合，记||S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A 、B 满足：||A B k =并且A B S =，则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”（其中0||k S ≤≤），若||S n =，则S 的“k —覆盖”个数为________三、解答题21．已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项.22．已知在n 的展开式中第5项为常数项.（1）求n 的值；（2）求展开式中含有2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项. 23．设()52501252x 1a a x a x a x -=++++，求：（1）015a a a +++；（2）015a a a +++；（3）135a a a ++；（4）()()22024135a a a a a a ++-++．24．记2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b . （1）求m b 的表达式； （2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项. 25．已知()23*23n n A C n N =∈.（1）求n 的值；（2）求12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数. 26．已知4530nnA C =，设()nf x x ⎛= ⎝． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求()f x 的展开式中的常数项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．C解析：C 【分析】利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简2008!!可判断②的正误；由2008!!能被10整除可判断③的正误；由2009!!能被5整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，由双阶乘的定义得2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯，2008!!2462008=⨯⨯⨯⨯，所以，()()2009!!2008!!1234200820092009!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，命题①正确；对于命题②，()()()()2008!!246200821222321004=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯100421004!=⨯，命题②错误；对于命题③，2008!!2468102008=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则2008!!能被10整除，则2008!!的个位数为0，命题③正确； 对于命题④，2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯能被5整除，则2009!!的个位数为0或5，由于2009!!为奇数，所以，2009!!的个位数为5，命题④正确.故选：C. 【点睛】本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()x x a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=， 解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．5．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250故答案选A 【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.7．C解析：C 【分析】由分步乘法计数原理先由5种食物中选择3种，共35C 种情况; 第二步，将3种食物编号，用列举法列举所有情况即可； 【详解】由分步乘法计数原理：第一步：由5种食物中选择3种，共35C 种情况； 第二步：将3种食物编号为A,B,C ，则甲乙选择的食物的情况有：()AB C ，，()AB AC ，，()AB BC ，，()AC B ，，()AC BC ，，()BC A ，，()A BC ，，()BC AC ，，()B AC ，，()BC AB ，，()AC AB ，，()C AB ，共12种情况，因此他们一共吃到了3种不同食品的情况有3512C 120=种.故选C【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，按定义逐步计算，最后求乘积即可，属于常考题型.8．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．B解析：B 【分析】由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果． 【详解】由题意知本题是一个分步计数原理， 第一位取法3种为0，1， 2，第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ， 第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6， 第四为有5种为0，1，2， 3，4根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个 故选：B. 【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．10．D解析：D 【解析】因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.11．D解析：D 【详解】最前排甲，共有55A 120=种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选D ．考点：排列及计数原理的应用．12．C解析：C 【分析】 由()202011x x =+-⎡⎤⎣⎦结合二项式定理可得出2020kk a C =，利用二项式系数和公式可求得012020a a a +++的值.【详解】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)x x a x a x x a x x a x +-+-++-=⎡⎤⎣⎦+-=，当02020k ≤≤且k ∈N 时，2020kk a C =，因此，01220202020202020202020012202020202a a a C C a C C =++++=+++⋅⋅⋅+.故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式0122nn n n n n C C C C ++++=，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由题意可得一个盒子里有2个球一定为1红1黄其余盒子每个盒子放一个根据分步计数原理可得【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球且同色球不能放在同一个盒子中则一个盒子里有 解析：144【分析】由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得． 【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中，则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，故有11134233144C C C A =种，故答案为：144. 【点睛】本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..14．-48【分析】令x=1解得a=1再利用的通项公式进而得出【详解】令x=1=2解得a=1又的通项公式令5−2r=35−2r=5解得r=1r=0∴该展开式中的系数为=−80+32=−48故答案为：−48解析：-48 【分析】令x =1，解得a =1，再利用512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式，进而得出． 【详解】令x =1,()()5112a +-=2，解得a =1.又512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式()5521512r r rr r T C x --+=-⋅，令5−2r =3，5−2r =5. 解得r =1，r =0.∴该展开式中4x 的系数为()()141505512+12C C --=−80+32=−48， 故答案为：−48. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.15．240【分析】首先利用约束条件得到可行域结合的几何意义求出其最大值然后对二项式的通项求常数项【详解】作出可行域如图：由变形为当此直线经过图中时直线在轴的截距最大最大所以的最大值为所以二项展开式中的通解析：240 【分析】首先利用约束条件得到可行域，结合z 的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项． 【详解】 作出可行域如图：由22n x y =+-变形为22y x n =-++，当此直线经过图中(2,4)B 时，直线在y 轴的截距最大，n 最大， 所以n 的最大值为22426⨯+-=，所以12n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的通项为6362661(22rr rr rrC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =此项为常数项， 所以常数项为4462240C =； 故答案为：240． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出n ，然后由二项展开式通项求常数项．16．【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案即可求解得到答案【详解】由题意先在4位同学中选2人选地理学科共种选法再将剩下的2人在政治化学生物3门活动课任选一门报名共3×3＝9种选法故地 解析：54【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C =种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝54种选法， 故答案为54． 【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．17．-20【分析】由题意令x ＝1可得n ＝6再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项【详解】∵已知且∴令可得∴那么的展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项为故答案为﹣20【点睛】本题主要考查二解析：-20 【分析】由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【详解】∵已知()()()()()232*0121111nnn x x x x a a x a x a x n N++++++⋯++=+++⋯+∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得()210122122222212612n n n n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n =的展开式的通项公式为()3161r rr r T C x -+=⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3620C -=-，故答案为﹣20． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．18．8【详解】分析：利用排列数公式展开解方程即可详解：解得即答案为8点睛：本题考查排列数公式的应用属基础题解析：8 【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=-- ()()22152,n n -=-解得8n =. 即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.19．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项解析：61 【解析】分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)n x x++展开式中常数项为61. 详解：(12)n x +的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3n C 最大，3234n n n nC C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*,6n N n ∈∴=， 则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为02266261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.20．【分析】当时共有种情况当时共有种情况由此可计算得到答案【详解】由题意当时即中有个元素所以共有种情况此时集合中剩下个元素其子集个数为个即共有种情况所以的—覆盖个数为故答案为：【点睛】本题主要考查组合数解析：2k n kn C -⋅【分析】 当||A B k =时，共有k n C 种情况，当A B S =时，共有2n k -种情况，由此可计算得到答案. 【详解】 由题意，当||AB k =时，即A B 中有k 个元素，所以共有kn C 种情况，此时集合S 中剩下n k -个元素，其子集个数为2n k -个， 即AB S =共有2n k -种情况，所以S 的“k —覆盖”个数为2k n kn C -⋅. 故答案为：2k n kn C -⋅【点睛】本题主要考查组合数的应用和集合子集个数的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）3；（2）70x 或1220412x - 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为256，可得2256n =，解出8n =，再由通项公式163418k k k k Ta C x-+=，0,1,2,,8k =，分析即得；（2）根据各项系数的和均为256，可得()81256a +=，解出3a =-或1a =，再由通项公式分情况进行计算即得. 先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256求出n .【详解】（1）n的二项展开式的各二项式系数的和为2n，各项系数的和为()1n a +，由已知得2256n =，故8.n =此时n展开式的通项为：163418k k k k T a C x -+=，0,1,2,,8k =，当0,4,8k =时，该项为有理项，故有理项的个数为3. （2）由()81256a +=，得3a =-或 1.a = 当1a =时，展开式通项为163418k kk TC x-+=，0,1,2,,8k =，故二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==；当3a =-时，163418(3)k kk k TC x-+=-，0,1,2,,8k =，展开式系数最大的项是奇数项，其中41T x =，523252T x =，55670T x =，12720412T x-=，296561T x -=，故展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为12720412T x-=.综上，展开式中系数最大的项为70x 或1220412x -. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题. 22．（1）8；（2）4-；（3）24x -，358，2116x- 【分析】（1）先写出展开式的通项公式2311()2n rr r r nT C x -+=-，由展开式中第5项为常数项，则当4r =时，有203n r-=，从而求出n 出的值. （2）由（1）中得到8n =，则含有2x 项，即8223r-=，得到1r =，从而求出答案. （3）展开式中所有的有理项,则82308r r r Z -⎧∈Z ⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，可得r 可取1，4，7，可得到答案.【详解】（1）展开式的通项公式为2311(()2n rr n rrr r r nnT C C x --+==-.因为第5项为常数项. 所以4r =时，有203n r-=，解得8n =. （2）令223n r-=，由（1）8n =，解1r =， 故所求系数为181()42C -=-（3）有题意得，82308r r r Z -⎧∈Z ⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令82()3r k k Z -=∈，则833422k r k -==- 所以k 可取2,0,2-，即r 可取1，4，7它们分别为24x -，358，2116x -. 【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式应用，求展开式中某项的系数，属于中档题. 23．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解. 【详解】∵()52501232x 1a a x a x a x -=++++， （1）令1x =，可得015a a a 1+++=；（2）在521x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；（3）令f(x)=()5250125 2x 1a a x a x a x -=++++,f(1)=015 a a a 1+++=,所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．（4）22024135a a a a a a ++-++（）（）012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-()()1?11243243f f =-=⨯-=-．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）112m m m n b C --=；（2）5；（3）160【分析】（1）先求出其通项公式，进而求出结论； （2）结合通项公式以及组合数的性质即可求解； （3）先求出其通项公式，令指数为零，进而求出结论． 【详解】（1）2()nx x+的展开式中第m 项为11111222()2m n m m m m n m n n C x C x x--+----+=；112m m m n b C --∴=．（2）由3412b b =，得22331222n n C C =；即23n n C C =；5n ∴=．（3）当6n =时，2()nx x+展开式中的通项公式6621662()2r r r r rr r T C x C x x--+==，依题意得620r -=，3r =，所以展开式中的常数项是33462160T C ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．25．（1）6n =；（2）240. 【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出2x 系数为()4462C -，即可得到答案；【详解】解：（1）因为2323n n A C =所以()()()3122132n n n n n ---=⨯即42n =- 所以6n =（2）由（1）得12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中6n =， 所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，()()626166122kkkk kk k T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以262k -=，所以4k =，所以2x 系数为()4462240C -=.【点睛】本题考查排列数和组合数公式的计算、二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别. 26．（Ⅰ）8n =；（Ⅱ）728T ．【分析】（Ⅰ）利用排列数，组合数公式化简4530n n A C =即可得n 的值.（Ⅱ）写出()f x 的展开式的通项公式，令x 的指数为0即可得到常数项. 【详解】（Ⅰ）由已知4530n n A C =得：!30!4!5!5!n n n n ，!30!45!1205!n n n n n解得:8n =．（Ⅱ）8x ⎛⎝展开式的通项为488318831kk kkkk k T C xCxx由4803k 得6k =，即()f x 的展开式中的常数项为728T ．【点睛】本题考查排列数组合数公式的应用，考查求解二项展开式中的常数项，考查计算能力，属于基础题.。

福州市选修三第一单元《计数原理》测试(包含答案解析)

福州市选修三第一单元《计数原理》测试(包含答案解析)

一、选择题1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A ．60B ．72C ．96D ．1502．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种3．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定从3名男性党员、2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有（ ） A ．7种B ．6种C ．5种D ．4种4．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．255．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．16．已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，则至少应抽出的产品个数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．107．从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A ．24B ．27C ．30D ．368．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．969．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中二项式系数之和是64，含6x 项的系数为a ，含3x 项系数为b ，则a b -=（ ） A ．200B ．400C ．-200D ．-40010．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．4011．()6232x x ++展开式中x 的系数为（ ） A ．92B ．576C ．192D ．38412．设（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，当a 0+a 1+a 2+…+a n =254时，n 等于（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题13．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 14．()()6122x x --的展开式中5x 的系数为________．15．甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是____；若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是_____.（用数字作答）16．设122012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____17．若423401234(3x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为____．18．若()*212nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________.19．若251(3)(2)x a x x--的展开式中3x 的系数为80，则a =_______.20．高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选3个科目构成“选考科目组合”参加高考.已知某班37名学生关于选考科目的统计结果如下：为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人；③在选考化学的所有学生中，最多出现10种不同的选考科目组合；④选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的.其中所有正确结论的序号是_______.三、解答题21．已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项. 22．已知)23nx展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中,2n N n +∈≥．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．23．在n的展开式中，前3项的系数成等差数列， （1）求n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中含2x -的项的系数.24．已知二项式()*2nx n N ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题： （1）求n 的值；（2）求展开式中常数项；（3）计算式子0615243342516066666662222222C C C C C C C ++++++的值.25．已知(1n -的展开式中，所有项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中的有理项；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和.26．（1）求(-x +12x)6的展开式的各项系数之和及展开式的常数项. （2）4位男同学与3位女同学任意排成一排照相. ①求3位女同学站在一起的概率； ②求4位男同学互不相邻的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出． 【详解】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．2．C解析：C 【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果. 【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.3．B解析：B 【分析】根据题意可得选出的2人必为一男—女，分别求出选出1名男性党员和1名女性党员的选法数目，由分步乘法计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，选出的2人中既有男性又有女性，必为一男一女，在3名男性党员中任选1人，有3种选法，在2名女性党员中任选1人，有2种选法，则既有男性又有女性的不同选法有3×2=6种， 故选：B 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题.4．B解析：B 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．5．D解析：D 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()x x a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=， 解可得：1a =， 故选：D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．6．C解析：C 【分析】根据题意，设至少应抽出x 个产品，由题设条件建立不等式3337100.6x xC C C -≥，由此能求出结果. 【详解】解：要使这3个次品全部被抽出的概率不小于0.6，设至少抽出x 个产品，则基本事件总数为10xC ，要使这3个次品全部被抽出的基本事件个数为3337x C C -，由题设知：3337100.6x xC C C -≥， 所以()()12310985x x x --≥⨯⨯，即()()12432x x x --≥，分别把A ，B ，C ，D 代入，得C ，D 均满足不等式， 因为求x 的最小值，所以9x =. 故选：C. 【点睛】本题考查概率的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理的进行等价转化.7．C解析：C 【分析】分两种情况讨论：选0或2，4，分别求出组成无重复数字的三位奇数的个数，再求和即可. 【详解】第一类，从0，2，4中选一个数字，若选0，则0只能排在十位，故有236A =个奇数，第二类，从0，2，4中选一个数字，若不选0，先把奇数排个位，再排其它，故有2112322224C C C A =个奇数，综上可得，从0，2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为62430+=个， 故选C ． 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.8．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.9．B解析：B 【分析】由展开式二项式系数和得n ＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a 和b 的值，从而得到答案. 【详解】由题意可得二项式系数和2n ＝64，解得n ＝6．∴212n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的通项公式为：()()6261231661212rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴当r=2时，含x 6项的系数为()2262612240C a --==， 当r=3时，含x 3项的系数为()3363612160C b --=-=，则400a b -=, 故选B ． 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．10．B解析：B 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题．11．B解析：B 【解析】()6232xx ++展开式中含x 的项为15565(3)26332576C x C x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576；故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用；求三项展开式的某项系数时，往往有两种思路： （1）利用组合数公式和多项式乘法法则，如本题中解法；（2）将三项式转化成二项式，如本题中，可将26(32)x x ++化成66(1)(2)x x ++，再利用两次二项式定理进行求解.12．C解析：C 【解析】试题分析：观察已知条件a 0+a 1+a 2+…+a n =254，可令（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n 中的x=1，可得254=2n+1﹣2，解之即可．解：∵（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ∴令x=1得2+22+23+…+2n =a 0+a 1+a 2+…+a n ， 而a 0+a 1+a 2+…+a n =254==2n+1﹣2，∴n=7 故答案为C考点：数列的求和；二项式定理的应用．二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．【分析】本题首先可确定二项式展开式的通项然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取两种情况进行讨论即可得出结果【详解】二项式展开式的通项为当第一个因式取1时第二个因式应取含的项则对应系数为：；当第一个 解析：132-【分析】本题首先可确定二项式()62x -展开式的通项，然后分别对第一个因式取1以及第一个因式取2x -两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】二项式()62x -展开式的通项为6162kk kkT C x ，当第一个因式取1时，第二个因式应取含5x 的项，则对应系数为：()55612112C ⨯⨯⨯-=-；当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含4x 的项，则对应系数为：()()42622120C -⨯⨯=-；则()()6121x x -+的展开式中5x 的系数为12120132--=-， 故答案为：132-. 【点睛】本题考查展开式中特定项的系数，考查二项式展开式的通项的应用，二项式()na b +展开式的通项为1C k n k kk n T a b -+=，考查推理能力与计算能力，是中档题.15．24330【分析】由分步乘法原理可知每个同学可以自由选择的种数根据题意可分两类221和311安排参加竞赛根据组合与排列即可求解【详解】若每个同学可以自由选择由乘法原理可得不同的选择种数是；因为甲和乙解析：243 30 【分析】由分步乘法原理可知每个同学可以自由选择的种数，根据题意可分两类2、2、1和3、1、1安排参加竞赛，根据组合与排列即可求解. 【详解】若每个同学可以自由选择，由乘法原理可得，不同的选择种数是53243=；因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案.当分配方案为2、2、1时，共有233318C A =种；当分配方案为3、1、1时，共有132312C A =种；所以不同的选择和数是181230+=. 【点睛】本题考查排列组合的实际应用，分类加法计数原理与分步乘法计数原理，考查逻辑推理能力，属于中档题.16．9【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9 【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++，利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++，021222(12)(21)212n nn f a a a a -=++++++=-=+， 即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9 【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.17．【分析】先化简=再分别求和的值即得解【详解】由题得=令x=1则令x=-1则所以=故答案为16【点睛】（1）本题主要考查二项式定理考查二项式展开式的系数问题意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计 解析：16【分析】先化简()()2202413a a a a a ++-+=0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（）， 再分别求01234a a a a a ++++（）和01234a a a a a -+-+（）的值即得解.【详解】由题得()()2202413a a a a a ++-+=0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（），令x=1,则4(3=01234a a a a a ++++（），令x=-1,则4(3-+=01234a a a a a -+-+（），所以0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（）=4444(3(3[(33216+-+=+-+==故答案为16 【点睛】（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)与二项式定理展开式系数有关的问题，一般利用赋值法解答.18．240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项详解：的展开式中所有二项式系数和为则；则展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项是故答案为240点解析：240 【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．详解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有二项式系数和为264n =，，则6n = ； 则6221122n x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式的通项公式为626631661212r r r r r rr r r T C x x C x ----+=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅（）（）（），令630r -=，求得2r ，可得展开式中的常数项是224612240C ⋅-⋅=（）， 故答案为240．点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．19．【解析】分析：中的系数与的积加上中的系数与的系数的积就是展开式的系数详解：展开式通项为令则令则∴解得故答案为－2点睛：二项式的展开式的通项为由此通项公式可求展开式中的特定项如果是两个（或多个）式子相 解析：2-【解析】分析：31(2)x x -中3x 的系数与a -的积，加上31(2)x x-中x 的系数与23x 的系数的积就是展开式3x 的系数．详解：51(2)x x-展开式通项为55521551(2)()2r rr r r r r T C x C x x---+=-=， 令523-=r ，则1r =，令521r -=，则2r，∴41325523280a C C -⨯+⨯=，解得2a =-，故答案为－2.点睛：二项式()n a b +的展开式的通项为1C r n r rr n T a b -+=，由此通项公式可求展开式中的特定项．如果是两个（或多个）式子相乘，可在第个式子中取一项相乘，只要未知数的次数满足要求，这时要注意不能遗漏.20．①②③【分析】①根据所有选的总数来确定即可；②需要一定的推理能力由化学人数有人来断定选考科目组合为历史+地理+政治的学生一定不超过9人；③五选二可据组合知识求解；④根据政治地理人数都不确定无法判断结解析：①②③ 【分析】①根据所有选的总数来确定b 即可；②需要一定的推理能力，由化学人数有28人，来断定选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人； ③五选二，可据组合知识求解；④根据政治，地理人数都不确定，无法判断结论. 【详解】①所有学生选的科目总数为373111⨯=，则1112428141530a b +=----=，若19=a ，则11b =，故①对；②选化学的学生有28人，37289-=人，则选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过9人，故②对；③在选考化学的所有学生中，学生还须选另外两科，则从五种里面选两种，共有2510C =，最多出现10种不同的选考科目组合，故③对；④因为地理，政治人数不确定，选考科目组合为“生物+历史+政治”的学生人数不一定比 选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数多.故④错. 故答案为：①②③ 【点睛】该题不仅考查了组合知识，还需要学生具备一定的常识和逻辑推理能力. 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．三、解答题21．（1）3；（2）70x 或1220412x - 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为256，可得2256n =，解出8n =，再由通项公式163418k kk k Ta C x-+=，0,1,2,,8k =，分析即得；（2）根据各项系数的和均为256，可得()81256a +=，解出3a =-或1a =，再由通项公式分情况进行计算即得. 先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256求出n .【详解】（1）n的二项展开式的各二项式系数的和为2n，各项系数的和为()1n a +，由已知得2256n =，故8.n =此时n展开式的通项为：163418k k k k T a C x -+=，0,1,2,,8k =，当0,4,8k =时，该项为有理项，故有理项的个数为3. （2）由()81256a +=，得3a =-或 1.a = 当1a =时，展开式通项为163418k kk TC x-+=，0,1,2,,8k =，故二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==；当3a =-时，163418(3)k kk k TC x-+=-，0,1,2,,8k =，展开式系数最大的项是奇数项，其中41T x =，523252T x =，55670T x =，12720412T x-=，296561T x -=，故展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为12720412T x-=.综上，展开式中系数最大的项为70x 或1220412x -. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题. 22．（Ⅰ）5n =；（Ⅱ）690x 、10243x . 【分析】 （Ⅰ）由题意)23nx展开式中二项式系数和为2n 、各项系数和为()134nn +=，列方程即可得解；（Ⅱ）写出展开式的通项公式4103153r r rr T C x++=⋅⋅，分别令2r 、=5r 即可得解.【详解】 （Ⅰ）由题意可得)23nx展开式中二项式系数和为2n ，令1x =，可得)23nx展开式中各项系数和为()134nn +=，则由题意可得42992n n -=，化简得()()2322310nn-+=， 由2310n +>可得2320n -=， 所以5n =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得))52233nxx=，则其展开式的通项公式()5241023315533rr rr r rr T C x xC x-++⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，要使4103r +为有理数，则2r 或=5r ，当2r时，41022663553390r r r C xC x x +⋅⋅=⋅⋅=；当=5r 时，41055101035533243r r rC xC x x +⋅⋅=⋅⋅=；所以其展开式中的有理项为690x 、10243x . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 23．（1）8n =（2）358x （3）1256【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得n 的值； （2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（3）在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于2-，求出r 的值，即可求得含2x -的项的系数． 【详解】解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为0121124n n n C C C ，，，所以1214n n n C C C =+，即2980n n -+=， 所以1n =（舍去）或8n =.（2）因为8n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即44458358T Cx ==.（3）通项公式：38441881,082r rr rr r r T C C x r r N --*+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭， 由3424r-=-，8r ∴=， 可得含x 的项的系数为88811()2256C =. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质． 24．（1）6；（2）60；（3）63.【分析】（1）依题意，12:2:5n n C C =，即可求n 的值；（2）写出通项，令x 的指数为3，即可求展开式中含3x 的项；（3）令1x =得061524366662222C C C C +++3425160666222C C C +++．【详解】（1）依题意，12:2:5n n C C =，即5(1)n n n =-，解得6n =；（2）由（1）知6n =，∴622n x x⎛⎛+=+ ⎝⎝，36662166(2)2r rrr r rr T C x C x ---+∴==， 由3602r -=，得4r =，∴展开式中常数项2646260C -=⋅． （3）令1x =得061524366662222C C C C +++342516066662223C C C +++=．【点睛】本题主要考查二项式定理的项与系数，同时还考查赋值法求值，体现一般与特殊的数学思想．25．(1) 11T =，384T x =，25560T x =，37448T x = (2) 2187【解析】分析：（1）根据题意，求的7n =，写出二项展示的通项，即可得到展开式的有理项；（2）由题意，展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为7(1+展开式中各项系数之和，即可求解.详解：根据题意，n2128,n=7=得， （1）展开式的通项为r r r2r 17TC 2x ,r 0,1,2,,7+==.于是当r 0,2,4,6=时，对应项为有理项，即有理项为00017T C 2x 1,== 2237T C 2x 84x,== 442257T C 2x 560x ,== 66377T C 2x .=（2）(71-展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为(71+展开式中各项系数之和，在(71+中令x ＝1得展开式中所有项的系数和为（1＋2）7＝37＝2 187．所以(71-展开式中所有项的系数和为2187.点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 26．（1）各项系数之和为：164，常数项为：52- ；（2）①17；②135 . 【分析】（1）根据二项式定理的通项公式以及系数之和的性质进行求解即可． （2）利用古典概型的概率公式以及排列公式进行计算即可． 【详解】解：（1）令1x =得各项系数之和为611(1)264-+=，展开式的通项公式666216611()()(1)()22k kk kk k k k T C x C x x ---+=-=-， 由620k -=得3k =，则常数项为333615(1)()22C -=-．（2）①把3位女生当作一个元素，则有5353A A 种排法，则对应的概率53537717A A P A ==． ②4位男同学互不相邻，则先排女生，女生之间有4个空隙，然后在空隙中排男生有3434A A ．则对应概率343477135A A P A ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用以及古典概型的计算，利用二项式定理的通项公式以及排列公式是解决本题的关键．难度不大．。

上海市选修三第一单元《计数原理》测试题(有答案解析)

上海市选修三第一单元《计数原理》测试题(有答案解析)

一、选择题1．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（ ） A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种2．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．403．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种B ．48种C ．60种D ．72种4．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定从3名男性党员、2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有（ ） A ．7种B ．6种C ．5种D ．4种5．在1032x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，系数的绝对值最大的项为（ ） A ．10532B ．56638x -C ．531058xD ．5215x -6．在二项式()12nx -的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ ） A ．960-B ．960C ．1120D ．16807．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．420D ．4808．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6B ．7C ．8D ．99．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种 B ．150种 C ．96种 D ．114种10．如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数和是( )A ．0B ．256C ．64D ．16411．()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ） A ．-5B ．7C ．-11D ．13 12．899091100⨯⨯⨯⨯可表示为（ ）A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．13100A第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．若二项式（xn 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数为__．14．已知[0,3]a ∈，若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的值不大于15，则a 取值范围为________.15．同宿舍的6个同学站成一排照相，其中甲只能站两端，乙和丙必须相邻，一共有_____种不同排法（用数字作答）16．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为_______．17．设n 为正整数，32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________．18．已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.19．6名同学站成一排，甲、乙两人相邻，丙与丁不相邻，则共有______种不同的排法（用数字作答）.20．将A ，B ，C ，D 四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A ，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有______种．三、解答题21．已知nx ⎛⎝的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于128. （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求展开式中所有的有理项.22．已知()*3n x n N ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3， （1）求n 的值；（2）求二项展开式中各项二项式系数和以及各项系数和； （3）求展开式中系数的绝对值最大的项． 23．设2012(21)n n n x a a x a x a x -=++++展开式中只有第1010项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求012n a a a a ++++;（3）求.312232222nna a a a ++++. 24．（1）解不等式：222213A 12A 11A x x x +++≤； （2）已知2*012(21)(N )n n n x a a x a x a x n -=++++∈，且284a =-．求0246a a a a +++的值．25．有7本不同的书：（1）全部分给6个人，每人至少一本，有多少种不同的分法？ （2）全部分给5个人，每人至少一本，有多少种不同的分法？．26．在n的展开式中，前3项的系数的和为73. （1）求n 的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的有理项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶， 先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种， 故选：C. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法； （2）之后就相当于三个元素的一个全排； （3）利用分步乘法计数原理求得结果.2．B解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.3．A解析：A 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲在最中间，将剩余的4人全排列，②乙在中间，分析可得此时的排法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，中间只能排甲或乙，分2种情况讨论：①甲在中间将剩余的4人全排列，有4424A =种情况，②乙在中间，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的三个位置，此时有33318A ⨯=种情况，则一共有241842+=种排法。

综合练习-分类加法计数原理与分步乘法计数原理

综合练习-分类加法计数原理与分步乘法计数原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合练习一．选择题1．有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种2．完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种3．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种 C．6种 D．9种4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种5．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种6．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．307．现有A B C D E、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( )A．120种B．5种C．35种D．53种8．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2 9．已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b∈∈，则方程22()()4x a y b-+-=可表示不同的圆的个数为（）A．7 B．9 C．12 D．1610．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243 B．252 C．261 D．279二．填空题11．要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答）12．5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________．13．从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.14．从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)；15．已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A，B，C，D，E这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）.16．某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________.17．联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种．三．解答题18．某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱?19．设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?20．集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？21．用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？22．用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.分类加法计数原理与分步乘法计数原理一．选择题1．（2019·湖南高二月考）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种B．20种C．25种D．32种【答案】C【解析】每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有：5525⨯=种选法故选：C2．（2019·陕西高二期末（理））完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．5种B．4种C．9种D．20种【答案】C【解析】会用第一种方法的有5个人，选1个人完成这项工作有5种选择；会用第二种方法的有4个人，选1个人完成这项工作有4种选择；两者相加一共有9种选择,故选C.3．（2019·重庆高二月考（理））小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有( )A．7种 B．8种C．6种 D．9种【答案】A【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC 卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．4．（2019·吉林省实验高二期末（理））有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种，选一本语文书一本英语书有9×5=45种，∴共有63+45+35=143种选法.故选D.5．（2019·辽宁实验中学高三月考（理））高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种B．18种C．37种D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，故选：C．6．（2019·陕西高二期末（理））某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法， 一是可以用分析法来证明，有3种方法， 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果， 故选A ．7．（2019·湖北高二期末（理））现有A B C D E 、、、、五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种数有( ) A ．120种 B ．5种C ．35种D ．53种【答案】D 【解析】A 同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择. 同理BCDE 四位同学也各有3种选择,乘法原理得到5333333⨯⨯⨯⨯= 答案为D8．（2020·全国高三专题练习）从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（ ） A ．6 B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法. 故选：B.9．（2020·全国高三专题练习）已知{1,2,3},{4,5,6,7}a b ∈∈，则方程22()()4x a y b -+-=可表示不同的圆的个数为（ ） A ．7 B ．9C ．12D ．16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定a 有3种选法；第二步：确定b 有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）. 故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 【答案】B 【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252． 二．填空题11．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）要把四封信投入3个信箱，共有___________种不同的投法（用数值作答） 【答案】81 【解析】把四封信投入3个信箱,每封信都有3种选择,根据分步计数原理共有43=81种不同的投法. 故答案为：8112．（2018·吉林高二期中（理））5名工人分别要在3天中选择一天休息，不同方法的种数是____________． 【答案】243【解析】每个人都有3种选择方法，根据分步计算原理可知方法有53243=种.13．（2020·全国高三专题练习）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.【答案】12 【解析】（1）分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12（种）方法. 故答案为：12.14．（2020·北京高二期末）从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者，要求男、女生各1人，那么不同的安排有________种(用数字做答)； 【答案】24 【解析】先选一名男生，有3种方法；再选一名女生，有4种方法，根据分步计数原理求得选取男、女生各1名，不同的安排方案种数为 4×3×2＝24， 故答案为： 24．15．（2019·江苏高二期末（理））已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组成，且英文字母在前，数字在后.已知英文字母是A ，B ，C ，D ，E 这5个字母中的1个，数字是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中的一个，则共有__________个不同的编号（用数字作答）. 【答案】45 【解析】对于英文字母来说，共有5种可能，对于数字来说，共有9种可能，按照分步乘法原理，即可知道共有5945⨯=个不同的编号.16．（2019·河北高二期中（理））某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每人只报名参加一项，且甲乙不参加同一项，则不同的报名方法种数为_____________. 【答案】54 【解析】甲有三个培训可选，甲乙不参加同一项，所以乙有二个培训可选，丙、丁各有三个培训可选，根据乘法计数原理，不同的报名方法种数为3233=54⨯⨯⨯.17．（2018·浙江高考模拟）联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资，每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助，则不同的援助方案有__________种． 【答案】25.【解析】分析：按照每个国家都要有物资援助，分类型，求解即可． 详解：联合国际援助组织计划向非洲三个国家援助粮食和药品两种物资， 每种物资既可以全部给一个国家，也可以由其中两个或三个国家均分，若每个国家都要有物资援助， 需要分为：粮食和药品都有，方法1种； 一个国家粮食，两个国家药品，有3种方法； 一个国家药品，两个国家粮食，有3种方法； 两个国家粮食，三个国家药品，有3种方法； 两个国家药品，三个国家粮食，有3种方法；一个国家粮食和药品，另两个国家各一种，有3×（2+2）=12种方法； 方法总数是：25． 故答案为：25． 三．解答题18．（2016·全国高二课时练习（理））18．（2016·全国高二课时练习（理））某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花多少钱? 【答案】8640元【解析】第一步：从01至10中选3个连续的号码有01,02,03；02,03,04；…；08,09,10，共8种不同的选法；第二步：同理，从11至20中选2个连续的自然数有9种不同的选法；第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法；第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法.共可组成8×9×10×6=4320注，所以需要花费2×4320=8640元钱.19．（2018·海林市朝鲜族中学高二单元测试）设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求:(1)P可以表示多少个平面上的不同的点?(2)P可以表示多少个第二象限的点?(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?【答案】（1）36；（2）6；（3）30【解析】(1)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b也有6种方法，根据分步乘法计数原理共有6×6＝36(个)不同的点．(2)分两步，第一步确定a，有3种方法，第2步确定b，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有3×2＝6(个)．(3)分两步，第一步确定a，有6种方法，第二步确定b，有5种方法，根据分步乘法计数原理不在直线y＝x上的点共有6×5＝30(个)．20．（2018·上海市第二工业大学附属龚路中学高三月考）集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a，b，c}的不同分拆种数为多少？【答案】27种【解析】当A1=φ时，A2=A，此时只有1种分拆；当A1为单元素集时，A2=∁A A1或A，此时A1有三种情况，故拆法为6种；当A1为双元素集时，如A1={a，b}，A2={c}、{a，c}、{b，c}、{a，b，c}，此时A1有三种情况，故拆法为12种；当A1为A时，A2可取A的任何子集，此时A2有8种情况，故拆法为8种；综上，共27种拆法．21．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的（1）四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？【答案】（1）120（个）；（2）96个；（3）36（个）.【解析】（1）可组成N=5×4×3×2=120（个）.（2）依次确定千、百、十、个位，有N=4×4×3×2=96（个）.（3）依次确定个位、首位、百位、十位，有N=2×3×3×2=36（个）22．（2017·湖北省松滋市第一中学高二课时练习）用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，（如图甲、乙），要求在A，B，C，D四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为甲图着色时共有多少种不同的方法；（2）若为乙图着色时共有120种不同方法，求n.【答案】（1）480（种）；（2）n=5.【解析】（1）对区域A,B,C,D按顺序着色，共有6×5×4×4=480（种）(2) 对区域A,B,C,D按顺序着色，依次有n种、n-1种、n-2种和n-3种，由分布乘法计数原理，不同的着色方法共有n(n-1)(n-2(n-3)=120,整理得(n2-3n)(n2-3n+2)=120，(n2-3n)2+2(n2-3n)-120=0n2-3n-10=0或n2-3n+12=0（舍去），解得n=5.。

计数原理综合习题(有答案)

计数原理综合习题(有答案)

选修2-3第一章计数原理单元质量检测时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法一共有( )A ．7种B ．8种C ．6种D ．9种2．设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法种数是( )A ．360B ．480C ．720D ．2403.设P ＝1＋5(x ＋1)＋10(x ＋1)2＋10(x ＋1)3＋5(x ＋1)4＋(x ＋1)5，则P 等于( )A ．x 5B ．(x ＋2)5C ．(x －1)5D ．(x ＋1)54.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．205．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一个格子中，则不同的拿法一共有( )A ．C 510种B ．C 520种 C ．C 510C 12种D ．C 510·25种 6．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －5＝0，则n 的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．107．7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有( )A．120种B．240种C．48种D．24种8．(2＋33)100的展开式中，无理项的个数是()A．83 B．84 C．85 D．869．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．16810．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．2411．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45 B．60 C．120 D．21012．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝() A．5 B．6 C．7 D．8第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种(用数字作答)．14．(x＋a)6的展开式中含x2项的系数为60，则实数a＝________.15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．16.设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)4位学生与2位教师坐在一起合影留念，根据下列条件，求各有多少种不同的坐法：(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．18．(12分)从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法有多少种？19.(12分)已知⎝⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 2n ，i 是虚数单位，x >0，n ∈N ＋. (1)如果展开式的倒数第三项的系数是－180，求n 的值；(2)对(1)中的n ，求展开式中的系数为正实数的项．20.(12分)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求a 1＋a 2＋…＋a n 的值．21.(12分)已知(a 2＋1)n的展开式中的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．22.(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)可组成多少个无重复数字的自然数？(2)可组成多少个无重复数字的四位偶数？(3)组成无重复数字的四位数中比4 023大的数有多少？答案1．C 要完成“至少买一张IC 电话卡”这件事，可分三类：第一类是买1张IC 卡；第二类是买2张IC 卡；第三类是买3张IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，买2张IC 卡有3种方法，买3张IC 卡有1种方法．不同的买法共有2＋3＋1＝6(种)．2．C 由分步乘法计数原理，得N ＝30×24＝720(种)．3．B P ＝[1＋(x ＋1)]5＝(x ＋2)5，故选B.4．A 由已知，得T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r (－2y )r ＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ·(－2)r x 5－r y r (0≤r ≤5，r ∈Z)，令r ＝3，得T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫122(－2)3x 2y 3＝－20x 2y 3.故选A.5．D 分两步：第一步先从10个格子中选中5个格子，有C 510种方法；第二步从每个格子中选一个球，不同的拿法有2×2×2×2×2＝25(种)．由分步乘法计数原理共有C 510·25种不同的拿法． 6．B T r ＋1＝C r n (－1)r x r ，则a 2＝C 2n ，a n －5＝(－1)n －5C n －5n ，因为2a 2＋a n －5＝0，a 2>0，所以a n －5＝－C 5n ，所以2C 2n ＝C 5n 且n 为偶数，将各选项代入验证知n＝8，故选B.7．C由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有2种排法，再排其他4人，有A44种不同的排法，故不同的排法总数为A44·2＝48(种)．8．B先求展开式中的有理项．∵T r＋1＝C r100(2)100－r·(33)r＝C r100·2100－r2·3r3，∴要使展开式中的项为有理项，r必为6的倍数．又∵0≤r≤100，且r∈N，∴r的取值为0,6,12，…，96，它构成了以0为首项，6为公差，96为末项的等差数列，设它有n项，则96＝6(n－1)．∴n＝17.∵展开式中共有101项，其中有17项是有理项，∴无理项有84项．9．B解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A33，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A33·2A33＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A33，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有C12A22A22，故不同的排法有A33A22A22C12＝48，故共有120种不同排法，故选B.10．D插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空当中选出3个插入3人即可．故排法种数为A34＝24.故选D.11．C因为(1＋x)6展开式的通项公式为T r＋1＝C r6x r，(1＋y)4展开式的通项公式为T h＋1＝C h4y h，所以(1＋x)6(1＋y)4展开式的通项可以为C r6C h4x r y h.所以f(m，n)＝C m6C n4.所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36＋C26C14＋C16C24＋C34＝20＋60＋36＋4＝120.故选C.12．B由题意可知，a＝C m2m，b＝C m2m＋1，又因为13a ＝7b ，所以13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！， 即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B. 13．30解析：方法1：可分以下两种情况：(1)A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 13C 24种不同的选法；(2)A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 23C 14种不同的选法．所以不同的选法共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)．方法2：C 37－C 33－C 34＝30(种)．14．±2解析：通项T r ＋1＝C r 6(x )6－r a r ＝a r C r 6x 3－r 2， 令3－r 2＝2，得r ＝2.故a 2C 26＝60，解得a ＝±2. 15．60解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有C 23A 24＝36(种)；二是有三人各获得一张奖券，共有A 34＝24(种)．因此不同的获奖情况有36＋24＝60(种)．16.3解析：由题意得a 1＝1a ·C 1n ＝n a ＝3，所以n ＝3a ；a 2＝1a 2C 2n ＝n (n －1)2a 2＝4，所以n 2－n ＝8a 2.将n ＝3a 代入n 2－n ＝8a 2得9a 2－3a ＝8a 2，即a 2－3a ＝0，解得a ＝3或a ＝0(舍去)．所以a ＝3.17．解：(1)分步完成：教师先坐中间，有A22种方法，学生再坐其余位置，有A44种方法．根据分步乘法计数原理，不同的坐法共有A22·A44＝48(种)．(2)将2名教师看作一个元素，问题变为5个元素排列的问题．先将教师排好，有A13·A22种方法，再排学生，有A44种方法，故不同的坐法共有A13·A22·A44＝144(种)．(3)插空法：先排学生，有A44种方法，教师从4名学生之间的3个空位选2个进行排列，有A23种方法，故不同的坐法共有A44·A23＝144(种)．18．解：若从1,2,3，…，97,98,99,100中取出1，有1＋100>100，有1种取法；若取出2，有2＋100>100,2＋99>100，有2种取法；取出3，有3种取法；…；若取出50，有50＋51>100,50＋52>100，…，50＋100>100，有50种取法；所以取出数字1至50，共有不同的取法N1＝1＋2＋3＋…＋50＝1 275(种)．若取出51，有51＋52>100,51＋53>100，…，51＋100>100，有49种取法；若取出52，则有48种取法；…；若取出99，只有1种取法．所以取出数字51至100(N1中取过的不再取)，有不同取法N2＝49＋48＋…＋2＋1＝1 225(种)．故总的取法共有N＝N1＋N2＝2 500(种)．(2i)2＝－180，即4C2n＝180，19.解：(1)由已知，得C n－2n化简得n2－n－90＝0，又n∈N＋，解得n＝10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 210展开式的通项为 T r ＋1＝C r 10(2x i)10－r x －2r ＝C r 10(2i)10－r x 10－5r 2， ∵展开式中的系数为正实数，且r ∈{0,1,2，…，10}，∴r 的取值为10,6,2，故所求的项为T 11＝x －20，T 7＝3 360x －10，T 3＝11 520.20．解：T 6＝C 5n (x 2)n －5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 5n x 2n －15， 令2n －15＝1，则n ＝8，令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a n ＝(－2)8＝256，令x ＝0，则a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝255.21.解：⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项是 T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，解得r ＝4，故常数项T 5＝C 45×165＝16，又(a 2＋1)n 的展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，解得n ＝4，由二项式系数的性质可知，(a 2＋1)4的展开式中系数最大的项是中间项，即第三项， 由C 24a 4＝54，解得a ＝±3.22．解：(1)组成无重复数字的自然数共有C 15A 55＋C 15A 45＋C 15A 35＋C15A25＋C15A15＋C16＝1 631(个)．(2)无重复数字的四位偶数中个位数是0的有A35＝60(个)，个位数是2或4的有2C14A24＝96(个)，所以无重复数字的四位偶数共有60＋96＝156(个)．(3)无重复数字的四位数中千位数字是5的共有A35＝60(个)，千位数字是4的有A35＝60(个)，其中不大于4 023的有5个，故比4 023大的数共有60＋60－5＝115(个)．。

高考数学《计数原理》综合复习练习题(含答案)

高考数学《计数原理》综合复习练习题(含答案)

高考数学《计数原理》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．62．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则不同的排列顺序有（ ）种 A ．6B ．4C ．3D ．23．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有 A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种5．若2228n n n A C --=，则n =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ） A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种7．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） A ．－5B ．5C ．－10D ．108．我国拥有包括民俗、医药、文学、音乐等国家级非物质文化遗产3000多项，下图为民俗非遗数进前10名省份排名，现从这10个省份中任取2个，则这2个省份民俗非遗数量相差不超过1个的概率为（ ）A ．215B ．15C ．415 D ．259．()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．0B ．20C ．10D ．3010．某旅行社有A 、B 、C 、D 、E 共五条旅游线路可供旅客选择，其中A 线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（ ） A ．720种B ．360种C ．320种D ．288种11．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（ ） A ．18个 B ．15个 C ．10个D ．9个12．设100210001210032)x a a x a x a x -=++++（， 若02410012a a a a m k +++++=()k ∈Z ，则实数m 可能是（ ） A ．3B ．9C ．10D ．11二、填空题13．若2110n P =，则n =______．14．6432⎭的展开式中系数为有理数的各项系数之和为________. 15．412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是___________．16．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有__________种.三、解答题17．（1）求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94．求常数a 的值．18．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式1nx ⎫⎪⎭，若______，求：(1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项．19．已知()2nn N x *⎫∈⎪⎭的展开式中前三项的二项式系数之和为46，(1)求n ；(2)求展开式中系数最大的项．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项；(3)展开式中所有有理项.21．在二项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．(1)求展开式中各项的系数和； (2)求展开式中的有理项．22．求()2123x -的展开式中： (1)各项系数之和； (2)各项系数的绝对值之和； (3)系数最小的项.23．已知二项式()23nx x +．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项； （2）若3,2020x n ==，求二项式的值被7除的余数．24．已知函数()()20121nn n n f x x a a x a x a x λ=+=++++，其中R λ∈．（1）若2,2020n λ=-=，求0242020a a a a ++++的值；（2）若78,1024n a ==，求()0,1,2,3,,8i a i =的最大值；（3）若1λ=-，求证：()0nkknn k k k Cx f x x n -==∑参考答案1．B2．A3．D4．D5．C6．C7．D8．A9．B10．D11．C12．D 13．11 14．117 15．70 16．3617．（1）由题意，二项式9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()9218319911C C 22r rrrr r r T x xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1830r -=，可得6r =， 6679121C 216T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以展开式的常数项为2116． （2）由二项式9a x ⎛ ⎝展开式为93992199C C rrrr r r r r a T a x x ---+⎛⎛⎛⎫==⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎝， 令3932r -=，解得8r =，因为9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94，可得88994(C a ⋅=⋅，解得4a =. 18．(1)解：选①，由012C C C 22n n n ++=，得6n =（负值舍去）．选②，令1x =，可得展开式中所有项的系数之和为0．由010264n n n n n C C C +++-==，得6n =．选③，设第1r +项为常数项，()321C 1n r r r r nT x-+=-，由2302r n r =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得6n =．由6n =得展开式的二项式系数最大为36C ，则展开式中二项式系数最大的项为()33332246C 120T xx --=-=-．(2)解：设第1r +项为有理项，()63216C 1r rr r T x-+=-，因为06r ≤≤，r ∈N ，632rZ -∈，所以0,2,4,6r =，则有理项为03316C T x x ==，2036C 15T x ==，43356C 15T x x --==，66676C T x x --==．19．(1)由题意得：()01211462n n n n n C C C n -++=++=，解得：9n =或10-，因为n N *∈，所以10n =-（舍去），从而9n = (2)二项式的展开式通项为：()9192rrr r T C x x -+⎛⎫==⎪⎝⎭，则系数为92r rC ⋅，要求其最大值，则只要满足119911992222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即，解得：172033r ≤≤，因为r N ∈，所以6r =，所以系数最大项为693627925376T C x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭ 20．（1）32nx x 展开式的通项公式为13C 2kn kkk n T x x -+=⋅3561C 2n kk n k x -=， 依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以832x x 的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x .（3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．(1)恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴ 8n =，∴ 二项式812x ⎫⎪⎭中，令1x = ，展开式中各项的系数和为81112256⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)通项为 848318811()()22r r rr r r r T C C x x --+=-=- ，r=0，1，2，…，8. 当843r-为整数，即2,5,8r =时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即22038172T C x ⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭；5544681724T C x x --⎛⎫=-⋅⋅=- ⎪⎝⎭；888898112256T C x x --⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭.22．（1）解：设()21201901212122...3a x a x a x a x =++++-， 令1x =，得()2122110.213..1a a a a ++++⨯-==-； 所以()2123x -的展开式各项系数之和为-1； （2）令=1x -，得()210122211...5213a a a a --+-++==-⨯-， 两式相减得：()0220211 (152)a a a +++=-+， 两式相加得：()1321211 (152)a a a +++=--， 所以()2123x -的展开式各项系数的绝对值之和为()()012102201321.........a a a a a a a a a +++=+++-+++，()()221112111515522=-+---=； （3）()2123x -的展开式的通项公式为：()()()212121212112233rrrr rr r r x T x C C ---+=-=-，系数的绝对值为212123rr r C -，设第r +1项的系数绝对值最大，则2112012121211221212123232323r r r r r r r r r r r r C C C C -+-+----⎧≥⎨≥⎩，解得616655r ≤≤， 则13r =，即系数的绝对值的最大值为131321823C ， 因为13为奇数，所以()131313132181822323C C -=-，即第14项的系数最小， 所以系数最小的项为1313821823x C -23．（1）二项式2(3)n x x +的二项式系数之和为512，2512n ∴=，9n ∴=．由1999119133,1,2,,933r r r r r r r r C C r C C --++⎧⋅⋅=⎨⋅⋅⎩，解得：7r =，展开式中系数最大的项为第8项，为6777789922161(3)787323T C x x C x x ⋅===．（2）若3x =，2020n =， 220202020(3)30(282)n x x +==+202012019201920192020202020202020282822822282C C K =+⋅++⋅+⋅+⋅=问题转化为20202被7除的余数，202067367306731672267167267367367367367236732282(71)2[77771]C C C C C ⋅⋅⋅=⋅=+=⋅++⋯++⋅⋅+272k =⨯+，即余数为2．24．（1）2λ=-，2020n =时，()()2020220202020012202012f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+， 令1x =，得()2020012320192020121a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++=，令=1x -，得()20202020012320192020123a a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅-+=，两式相加可得202002420182020312a a a a a ++++⋅⋅⋅++=． （2）()()828801281f x x a a x a x a x λ=+=+++⋅⋅⋅+，777810242a C λλ==⇒=，不妨设t a 为i a (0,1,2,3,,8)i =⋅⋅⋅中的最大值，则11t t t t a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，118811882222t t t t t t t t C C C C --++⎧≥∴⎨≥⎩，解得：65t t ≤⎧⎨≥⎩，5t ∴=或6， i a 中最大值为55665688221792a a C C ====．（3）若1λ=-，()()1nn f x x =-，()()()()()12000112200121111nn n n kk n n nn k n n n n k k n Cx f x C x x C x x C x x C x x n n n n n---==-+-+-+⋅⋅⋅+-∑， 因为()()()()()()()()111!1!!!!1!!1!11!kk nn n n k n k C C n k n k n k n k k n k ----=⋅===--⋅-----⎡⎤⎣⎦所以()()()()1200122111100111nn n kk n nnn k n n n k k C x f x C x x C x x C x x n-------==+-+-+⋅⋅⋅+-∑． ()()()120001111111111n n n n n n n x C x x C x x C x x -------⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦()11n x x x x -=+-=⎡⎤⎣⎦．。

数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）

数学选修2-3第一章计数原理习题集（附答案解析）

第 1 页 共15 页 选修2-3 第一章章节习题集1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 一、课时过关·能力提升1.某校举办了一次教师演讲比赛,参赛的语文老师有20人,数学老师有8人,英语老师有4人,从中评选出一个冠军,则可能的结果种数为( ) A.12B.28C.32D.640解析:由分类加法计数原理得,冠军可能的结果种数为4+8+20=32. 答案:C2.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A .60B .48C .36D .24解析:长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个,另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个,共36+12=48个,故选B . 答案:B3.某人有3个不同的电子邮箱,他要发5封电子邮件,不同发送方法的种数为( )A.8B.15C.35D.53 解析:每封电子邮件都有3种不同的发送方法,共有35种不同的发送方法. 答案:C4.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A ,B 的值,则可表示出的不同直线的条数为( ) A.19B.20C.21D.22解析:当A 或B 中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB ≠0时,A 有5种选法,B 有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线. 答案:D5.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( ) A.60种B.40种C.20种D.10种解析:设五名护士分别为A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共10 种情况,假设A,B 两人拿到自己的外衣,则C,D,E 三人不能拿到自己的外衣,则只有C 取D,D 取E,E 取C,或C 取E,D 取C,E 取D 两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×10×2=202=20种情况. 答案:C6.将4位老师分配到3个学校去任教,共有分配方案( ) A .81种B .12种C .7种D .256种解析:每位老师都有3种分配方案,分四步完成,故共有3×3×3×3=81种. 答案:A7.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、人分别从事翻译、导游、导游、导游、导购、导购、导购、保洁四项不同的工作保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有( ) A .280种 B .240种 C .180种D .96种解析:由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种,故选B 答案:B8.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数,比3 542大的四位数的个数是( ) A .360B .240C .120D .60解析:因为3 542是能排出的四位数中千位为3的最大的数,所以比3 542大的四位数的千位只能是4或5,所以共有2×5×4×3=120个比3 542大的四位数. 答案:C9.圆周上有2n 个等分点(n 大于2),任取3点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .解析:先在圆周上找一点,因为有2n 个等分点,所以应有n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有2n 个,所以一共有2n (n-1)个符合题意的直角三角形. 答案:2n (n-1)10.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为 .解析:由题图可知,从A 到B 有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19. 答案:1911.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传给甲,则共有种不同的传递方法.解析:分两类:第一类,若甲先传给乙,则有:甲→乙→甲→乙→甲,甲→乙→甲→丙→甲,甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法;同理,第二类,甲先传给丙,也有3种不同的传法.共有6种不同的传递方法. 答案:612.如图,一只蚂蚁沿着长方体的棱,从顶点A 爬到相对顶点C 1,求其中经过3条棱的路线共有多少条?解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.13.用n种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.当n=6时,该板报有多少种书写方案?解:第一步选英语角用的彩色粉笔,有6种不同的选法;第二步选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角用的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩色粉笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法.共有6×5×4×5=600种不同的书写方案.14.用0,1,0,1,……,9这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.解:由于0不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有9种选择,十位和个位各有10种选法由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有9种选择,十位数字也有9种选择,但个位数字仅有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.(4)小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择,个位数字也有9种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是10+81=91.1.2 排列与组合1.2.1 排列一、课时过关·能力提升1.从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素,①相加可得多少个不同的和?②相除可得多少个不同的商?③作为椭圆=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?④作为双曲线=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是( )A.①②③④B.②④C.②③D.①④解析:∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,如,∴②是排列问题;若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小一定;在双曲线=1中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线.故③不是排列问题,④是排列问题.答案:B2.某年级一天有6节课,需要安排6门课程,则该年级一天的课程表的排法有( )A.66种B.36种C.种D.12种解析:本题相当于对6个元素进行全排列,故有种排法.答案:C3.设m∈N*,则乘积m(m+1)(m+2)2)……(m+20)可表示为 ( )A. B. C. D.解析:由排列数公式,=(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m.答案:D4.某会议室共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,则不同的坐法有( )A.12种B.16种C.24种D.32种解析:将三个人插入五个空位中间的四个空当中,有=24种坐法.答案:C5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )A.8B.24C.48D.120解析:个位数字有种排法,十位、百位、千位有种排法,从而共=48个不同的四位偶数答案:C6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单,如果舞蹈节目不排在开头,并且任意两个舞蹈节目不排在一起,则不同的排法种数是( )A. B. C. D.解析:第一步先排5个独唱节目共种;第二步排舞蹈,不相邻则用插空法,且保证不放到开头,从剩下5个空中选3个插空共有种,故一共有种.答案:C7.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有( )A.48种B.192种C.240种D.288种解析:(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有种排法,而女生可互换位置,所以共有种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为=192.答案:B8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有 ( )A.120个B.80个C.40个D.20个解析:由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有个;第二类,十位数字取6,有个;第三类,十位数字取5,有个;第四类,十位数字取4,有个.所以一共有=40个.答案:C9.张先生和王先生两对夫妇各带1名小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两名小孩一定要排在一起,则这6人的入园排法共有 .解析:分三步完成:第1步,将两位爸爸排在两端,有种排法;第2步,将两名小孩看作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置,有种排法;第3步,两个小孩之间还有种排法.因此,这6人的入园排法共有=24种.答案:24种10.某校在高二年级开设选修课,其中数学选修班开了4个,选课结束后,有四名选修英语的同学甲、乙、丙、丁要求改修数学,为照顾各班平衡,数学选修班每班只接收1名改修数学的同学.那么甲不在(1)班,乙不在(2)班的分配方法有 .解析:先分甲,第一类,当甲在(2)班时,分配乙、丙、丁有种方法.第二类,当甲不在(2)班时,则甲有种分法,再分乙有种分法,分配丙、丁有种分法.因此,总共有=14种分法.答案:14种11.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解:(1)用插空法,共有=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有种排法,再排奇数有种排法共有=576个.(3)1和2排列有种方法,在1和2之间放一个奇数有种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有种排法,故共有=720个.12.一条铁路线上原有n个车站,为适应客运需要,新增加了m个车站(m>1),客运车票增加了62种,则原有多少个车站?现在有多少个车站?解:∵原有n个车站,∴原有客运车票种.又现有(n+m)个车站,∴现有客运车票种.由题设知:=62,∴(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,∴2mn+m2-m=62,∴n=(m-1)>0,∴(m-1),∴62>m(m-1),即m2-m-62<0.又∵m>1,∴1<m<,∴1<m≤8.当m=2时,n=15.当m=3,4,5,6,7,8时,n均不为整数.∴n=15,m=2.∴原有车站15个,现有车站17个.1.2.2 组合一、课时过关·能力提升1.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( )A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C3.有15盏灯,要求关掉6盏,且相邻的灯不能全关掉,两端的灯不能关掉,则不同的关灯方法有( )A.28种B.84种C.180种D.360种解析:将9盏灯排成一排,关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中,有=28种方法.答案:A4.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为( )A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A5.中小学校车安全引起社会的关注,为了彻底消除校车安全隐患,某市购进了50台完全相同的校车,准备发放给10所学校,每所学校至少2台,则不同的发放方案种数为( )A. B.C. D.解析:首先每个学校配送一台,这个没有顺序和情况之分,剩下40台;将剩下的40台像排队一样排列好,则这40台校车之间有39个空,对这39个空进行插空,比如说用9面小旗隔开,就可以隔成10部分.所以是在39个空中选9个空进行插空.故不同的方案种数为.答案:D6.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为 ( )A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成2条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成3条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成2条曲线,有组.故共有=14组相互平行的切线.答案:D7.5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类,一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法,另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有 .(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:140种9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 .(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:324个10.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种的菜.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备 种不同的素菜(结果用数值表示)解析:在5种不同的荤菜中选出2种的选择方式的种数是=10.若选择方式至少为200种,设素菜为x种, 则有≥200,即≥20,化简得x(x-1)≥40,解得x≥7.所以,至少应准备7种素菜.答案:711.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,不同的取法种数为 .解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:5612.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息 由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.13.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=1911.3 二项式定理1.3.1 二项式定理一、课时过关·能力提升1.的展开式中倒数第3项的系数是( )A.·2B.·26C.·25D.·22解析:的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6=·(2x)2··22·x-8.该项的系数为·22.答案:D2.的展开式中的常数项为-220,则a的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:T k+1=·a k.∵T k+1为常数项,∴-k=0,∴k=3.∴·a3=-220,∴a=-1.答案:B3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是( )A.3B.6C.9D.21解析:由已知x3=[2+(x-2)]3=·23+·22·(x-2)+·2·2·((x-2)2+(x-2)3.所以a2=·2=6.答案:B4.的展开式中含x3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5解析:T k+1=·x 5-k=(-1)k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1故x3项的二项式系数为=5答案:D5.若(1+)5=a+b(a,b为有理数),则a+b等于 ( )A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+)5=1+·()2+·()3+·()4+·()5=1+5+20+20+20+4=41+29,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C6.(1-)6(1+)4的展开式中x的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1-)6的展开式的通项为(-)m,(1+)4的展开式的通项为)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令=1,得m+n=2,于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数等于·(-1)0··(-1)1··(-1)2·=-3.方法二:(1-)6(1+)4=[(1-)(1+)]4(1-)2=(1-x)4(1-2+x).于是(1-)6(1+)4的展开式中x的系数为·1+·(-1)1·1=-3.答案:B7.若x>0,设的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为 .解析:由T3=x,T4=,则M+N=≥2.当且仅当,即x=时,等号成立答案:8.二项式的展开式中,常数项的值为 .答案:0,1,2,……,n)的部分图象如图,则a= .9.已知(ax+1)n=a n x n+a n-1x n-1+…+a2x2+a1x+a0(x∈N*),点A i(i,a i)(i=0,1,2,解析:由展开式得T k+1=(ax)n-k=a n-k·x n-k,由题图可知a1=3,a2=4,即a=3,且a2=4,化简得na=3,且=4,解得a=.答案:10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(·8n+1+·8n+…+·8+1)-24n+37=3×64(·8n-1 +·8n-2+…+)+24-24n+40=64×3(·8n-1+·8n-2+…+)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除11.(1)求(1+x)2(1-x)5的展开式中x3的系数;(2)已知展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.解:(1)(1+x)2的通项为T r+1=·x r,(1-x)5的通项为T k+1=(-1)k·x k,其中r∈{0,1,2},k∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x3的系数为-=5.(2)展开式的通项为T k+1=(x)n-k·=·2k·(k=0,1,2,…,n),由题意,得20+2+22=129所以1+2n+2n(n-1)=129,则n2=64,即n=8.故T k+1=·2k·(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则=0,解之,得k=∉Z,所以展开式中没有常数项若展开式中存在一次项,则=1,即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T7=26x=1 792x.1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质一、课时过关·能力提升1.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中含的项是( )A. B.C. D.解析:由的展开式中各项系数之和为128可得2n =128,n=7.其通项T k+1=(3x )7-k =(-1)k ·37-k,令7-=-3,解得k=6,此时T 7=.答案:C 2.的展开式中第8项是常数项,则展开式中系数最大的项是( )A.第8项B.第9项C.第8项、第9项D.第11项、第12项 解析:展开式中的第8项为)n-7为常数,即=0,解得n=21.故展开式中系数最大的项为第11项、第12项.答案:D 3.若(x+3y )n展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5B.8C.10D.15解析:(7a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.答案:A4.已知+2+22+…+2n =729,则的值等于( )A.64B.32C.63D.31解析:由已知(1+2)n =3n=729,解得n=6.则=32.答案:B5.(1+x )n(3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A .8B .9C .10D .11解析:由题意知(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9. 答案:B6.若(1-2x )2 015=a 0+a 1x+…+a 2 015x2 015(x ∈R ),则+…+的值为( ) A.2 B.0C.-1D.-2 解析:令x=0,则a 0=1,令x=,则a 0++…+=0,故+…+=-1.答案:C7.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A .第4项和第5项 B .第5项 C .第5项和第6项 D .第6项解析:展开式中共有10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大. 答案:C8.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .解析:在(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=a 5(-b )5=-252a 5b 5.答案:-252a 5b 59.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= . 解析:∵(x-1)21的展开式的通项为T k+1=x 21-k (-1)k ,∴a 10+a 11=(-1)11+(-1)10=-=-=0.答案:0 10.若(2x+)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .解析:令x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·)·((a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+)4(-2+)4=1. 答案:111.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求:(1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.解:(1)各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,①令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9))=11-5510,则偶数项系数的和为12.已知(+3x 2)n 展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.解:令x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n展开式二项式系数和为+…+=2n ,由题意有4n -2n=992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n+31)=0,解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=)2(3x 2)3=270.(2)设展开式中第k+1项的系数最大.由T k+1=)5-k ·(3x 2)k =3k,得⇒⇒≤k≤.因为k∈Z,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T5=34=405.13.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般的有这样的结论:第m斜列中(从右上到左下)前k个数之和,一定等于第m+1斜列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N*)的数字公式表示上述结论,并给予证明.解:(1)=1 140(2)+…+,证明如下:左边=+…++…+=…==右边.。

专题02 计数原理(同步练习)(人教A版选修2-3)(解析版)

专题02 计数原理(同步练习)(人教A版选修2-3)(解析版)

专题02 计数原理（同步练习）一、计数原理例1-1．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？【解析】从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法， 第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是623=⨯=M 。

例1-1．给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母G A ~或Z U ~，后两个要求用数字9~1。

问最多可以给多少个程序命名？【解析】先计算首字符的选法。

由分类加法计数原理，首字符共有1367=+种选法，再计算可能的不同程序名称。

由分步乘法计数原理，最多可以有10539913=⨯⨯个不同的名称， 即最多可以给1053个程序命名。

例1-3．核糖核酸(RNA )分子是在生物细胞中发现的化学成分一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据。

总共有4种不同的碱基，分别用A 、C 、G 、U 表示。

在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。

假设有一类RNA 分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？【解析】100个碱基组成的长链共有100个位置，从左到右依次在每一个位置中，从A 、C 、G 、U 中任选一个填入， 每个位置有4种填充方法，根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA 分子数目有1004个。

例1-4．电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。

因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制。

为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。

(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)

(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-3．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．254．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12965．已知（x a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．26．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则0CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n +B ．C 2n mmC ．2C nmnD ．2C m mn7．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种9．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C10．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．9611．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -12．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．二项式261(2)x x -的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．()3621()x x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）15．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.16．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)17．若二项式nx x ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.18．622x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）19．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）20．已知关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数为n ，若1101(1)(1)(3)n x x a a x +++=++2101121011(3)(3)(3)a x a x a x +++++++，则1a 的值为______.三、解答题21．已知二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？ 22．设函数(,)(1)(0,0)x f x y my m y =+>>.（1）当3m =时，求()9,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知(2,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和大4032，若01(,)nn f n y a a y a y =++⋅⋅⋅+，且2135a =，求1i ni a =∑23．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.24．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.25．已知二项式10x⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值．26．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知()123012321nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），若()21nx -的展开式中，______. （1）求n 的值；（2）求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2rr rr r r r rx T C x C x---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.3．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.4．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．D解析：D 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和. 【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n knm kn mn k n n C Cn m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()012mmn m k m k m m m m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.7．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．9．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立.令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.10．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.11．D解析：D 【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案. 详解：()()()()()()829999!181920...9917!k k k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解.有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kkkk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=，解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.15．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.16．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60( 解析：60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.17．15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64令得的通项为令常数项为故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项系数及各项系数和的求法属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项解析：15【解析】二项式nx ⎛+ ⎝展开式中各项系数的和为64，∴令1x =，得6264,8,n n x ⎛== ⎝的通项为36622166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=，令360,42r r -==，常数项为4615C =，故答案为15.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222xrr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6019．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.20．【分析】利用图象法判断出关于的方程的实数根的个数由此求得利用结合二项式展开式求得【详解】当时画出和的图象如下图所示由图可知两个函数图象有个交点所以关于的方程的实数根个数为1所以所以所以故答案为：【点 解析：11265【分析】利用图象法判断出关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数，由此求得n ，利用132x x +=+-，结合二项式展开式求得1a . 【详解】当01a <<时，画出x y a =和log ay x =的图象如下图所示，由图可知两个函数图象有1个交点，所以关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根个数为1，所以1n =.所以()()()()11111113232n x x x x +++=+-++-，所以10101111(2)11265a C =+-=.故答案为：11265【点睛】本小题主要考查方程的根的个数判断，考查二项式展开式，属于中档题.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥， 可得021212123111,,222nn n nn n T C x T C x T C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）4511206T y =，5633618T y =；（2）4095. 【分析】（1）根据二项式的性质知二项式系数最大项为第5、第6项，代入通项计算；（2）利用展开式中各项的二项式系数和公式列出等式求解n ，代入(,)f n y 由2135a =列等式求解m ，即可利用赋值法求1i ni a =∑.【详解】（1）9(9,)(13)f y y =+，二项式系数最大项为第5、第6项，44459(3)11206T C y y ==，55569(3)33618T C y y ==.（2）由题意：2224032n n -=，即()()2642630nn-+=，解得6n =，6260126(6,)(1)f y my a a y a y a y =+=+++⋅⋅⋅+，则2226135a C m ==，29m =，解得3m =或3-（舍去），则6(6,)(13)f y y =+，令1y =可得601264a a a a =+++⋅⋅⋅，所以661260126011414095n i ii i a aa a a a a a a a ====++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅-=-=∑∑.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数最大项、展开式中二项式系数和、赋值法求展开式中项的系数和，属于中档题. 23．（1）12；（2）466. 【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算． 【详解】（1）由2490n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =；（2）由题意383321n nn n -≤⎧⎨≤+⎩，*n N ∈，解得10n =．∴383321n n n n C C -++283021303130313029314662C C C C ⨯=+=+=+=. 【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标． 24．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10iii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即10024*******a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 25．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 26．（1）10；（2）1031- 【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出； （2）令0x =和1x =-可求出. 【详解】（1）选择条件①，若()21nx -的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52n=， 10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37n n C C =，10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n，10n ∴=；（2）由（1）知10n =，则()101231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+， 令0x =，得01a =，令1x =-，则100123101012331a a a a a a a a a +=-+-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++=+，101231031a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-.【点睛】本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.。

高中数学计数原理综合检测试题及答案

高中数学计数原理综合检测试题及答案

高中数学计数原理综合检测试题及答案第一章计数原理综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知C7n＋1－C7n＝C8n(nN*)，则n等于()A．14 B．12C．13 D．15[答案] A[解析] 因为C8n＋C7n＝C8n＋1，所以C7n＋1＝C8n＋1. 7＋8＝n＋1，n＝14，故选A.2．设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)等于()A．(2x＋2)5 B．2x5C．(2x－1)5 D．(2x)5[答案] D[解析] f(x)＝C05(2x＋1)5(－1)0＋C15(2x＋1)4(－1)1＋C25(2x＋1)3(－1)2＋C35(2x＋1)2(－1)3＋C45(2x＋1)－1(－1)4＋C55(2x＋1)0(－1)5＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5. 3．(2019济南高二期末)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A．18 B．24C．30 D．36[答案] C[解析] 本题主要考查排列组合的知识．不同分法的种数为C24A33－A33＝30.4．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(nN*)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于() A．5 B．3C．4 D．7[答案] C[解析] 令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30得n＝4.5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有() A．20种 B．30种C．40种 D．60种[答案] A[解析] 由题意，从5天中选出3天安排3位志愿者的方法数为C35＝10(种)，甲安排在另外两位前面，故另两位有两种安排方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方法数共有20种，故选A.6．(2019全国Ⅱ理，6)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种 B．18种C．36种 D．54种[答案] B[解析] 把标号为1,2的卡片作为一个整体，放入同一信封有C13种放法，然后将剩下的4个卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．7．某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生数为()A．2 B．3C．4 D．5[答案] A[解析] 由题意可用排除法，设有女生x人，则有男生6－x 人，于是有C36－C36－x＝16，即(6－x)(5－x)(4－x)＝24，将各选项逐个代入验证可得x＝2.8．(2009陕西理9)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为() A．300 B．216C．180 D．162[答案] C[解析] 本小题主要考查排列组合的基础知识．由题意知可分为两类，(1)选“0”，共有C23C12C13A33＝108，(2)不选“0”，共有C23A44＝72，由分类加法计数原理得72＋108＝180，故选C.9．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()A．252种 B．112种C．20种 D．56种[答案] B[解析] 每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人、3人、4人、5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定．有C27＋C37＋C47＋C57＝112种．10．从集合{1,2,3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中任何两个数的和不等于11，则这样的的子集共有()A．10个 B．16个C．20个 D．32个[答案] D[解析] (1,10)(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)．C12C12C12C12C12＝32.11．(2019全国Ⅰ理，6)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种 B．35种 C．42种 D．48种[答案] A[解析] 可分以下2种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C13C24种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C23C14种不同的选法．所以不同的选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30种．12．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有()A．66条 B．72条C．74条 D．78条[答案] B[解析] 先考虑x0，y0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5)(7,1)，依圆的对称性知，圆上共有34＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C212＝66(条)，过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72(条)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．[答案] 11[解析] 因为good有两个相同字母，所以可能出现错误为A44－3A22A22－1＝11种．14．(21010四川理，13)2－13x6的展开式中的第四项是________．[答案] －160x[解析] 2－13x6的展开式中第4项为T4＝C3623－13x3＝－160x.15．如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对．[答案] 24[解析] 由六棱锥图形分析可知，一条侧棱所在直线与底面上不和该直线相交的四条棱所在的四条直线中的一条才能构成异面直线，故完成这件事分两步：第一步从六条侧棱中任取一条，有六种方法；第二步从底面上不与此侧棱相交的四条棱中任取一条，有四种方法．根据乘法原理，有64＝24(对)．16．(2019江西文，14)将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)[答案] 90种[解析] 本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组C25C23C11A22，再把三组分配乘以A33得：C25C23C11A22A33＝90种．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设32＋133的展开式的第7项与倒数第7项的比是1：6，求展开式中的第7项．[解析] T7＝C6n(32)n－61336，Tn－7＋2＝Tn－5＝C6n(32)6133n－6.由C6n(32)n－61336C6n(32)6133n－6＝16，化简得6n3－4＝6－1，所以n3－4＝－1，所以n＝9.所以T7＝C69(32)9－61336＝C39219＝563.[点评] (1)本题是应用二项式定理的通项公式的典型问题，要能熟练地应用通项公式写出所需的各项．(2)本题的解题思路实质是利用方程思想列出方程，解出n，这是解本题的关键．18．(本题满分12分)已知A＝{x|1log2x3，xN*}，B＝{x||x －6|3，xN*}，试问：从集合A和B中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？[解析] A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有55＝25(个)，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有55＋5＋4＝34个不同的点；(2)AB＝{3,4,5,6,7,8}，C36＝20(个)；(3)A 中取3，则3不能作为首位有C35C13A33＝180(个)；A中不取3，相当于从4,5,6,7,8中取4个数的全排列有A45＝120(个)，共有300个符合要求的自然数．[点评] 注意A，B两集合中相同的元素在组合为点的坐标时无顺序之分．19．(本题满分12分)求(x－3x)9的展开式中的有理项．[解析] Tr＋1＝Cr9(x)9－r(－3x)r＝(－1)rCr9x27－r6.因为27除以6的余数为3，要使27－r6为整数，r必为3的奇数倍．因为09，所以需检验当r＝3和9时27－r6的值．当r为3和9时，27－r6分别为4和3，所以展开式中的有理项为T4＝(－1)3C39x4＝－84x4，T10＝(－1)9C99x3＝－x3. [点评] 要求展开式中的有理项，必须观察展开式通项公式中x的指数，当r取什么值时，能使x的指数为整数．[拓展] 在求使27－r6为整数的r值时，一方面要注意r的取值范围是09，另一方面还要尽可能观察、分析r需要满足的条件，以减少检验的次数，例如，若仅注意到r为3的倍数，则需检验r分别为0,3,6,9时，27－r6的4个值，然后再进行取舍．有时题中不是求出有理项，而是问第几项是有理项，这时应注意，求出的r表示第r＋1项是有理项．20．(本题满分12分)把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放．(1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？(2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？[解析] (1)∵小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，把7个小球分成三份，比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)、(3,3,1)、(3,2,2)．共计有8种不同的放置方法．(2)设三个盒子中小球的和分别为x1，x2，x3，显然有：x1＋x2＋x3＝7，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，若令yi＝xi＋1(i＝1,2,3)由y1＋y2＋y3＝0，问题又成为求不定方程y1＋y2＋y3＝10的正整数解的组数的问题，在10个1中间的9个空档中，任取两个空档作记号，即可将10分成三组，不定方程的解有C29＝36组．21．(本题满分12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额有多少不同的分配方法？[解析] 解法一：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部给某一个班级，有C16种分法；(2)4个名额分给两个班级，每班2个，有C26种分法；(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A26种分法；(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C16C25种分法；(5)分给四个班，每班1个，共有C46种分法．故共有N＝C16＋C26＋A26＋C16C25＋C46＝126种分配方法．解法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)．这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法．这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，共有N＝C59＝126种放法．故共有126种分配方法．22．(本题满分12分)已知3a－3an(nN*)的展开式的各项系数之和等于43b－15b5的展开式中的常数项，求3a－3an的展开式中a－1项的二项式系数．[解析] 对于43b－15b5：Tr＋1＝Cr5(43b)5－r－15br＝Cr5(－1)r45－r .若Tr＋1为常数项，则10－5r＝0，所以r＝2，此时得常数项为T3＝C25(－1)2435－1＝27.令a＝1，得3a－3an展开式的各项系数之和为2n.由题意知2n＝27，所以n＝7.对于3a－3a7：Tr＋1＝Cr73a7－r(－3a)r＝Cr7(－1)r .若Tr＋1为a－1项，则5r－216＝－1，所以r ＝3.所以3a－3an的展开式中a－1项的二项式系数为C37＝35.。

计数原理综合测试题

计数原理综合测试题

计数原理综合测试题1.设有3种不同颜色的气球，红色、蓝色和绿色，要求从中选取4个气球，问有多少种选法？解答：根据计数原理，首先确定每种颜色气球的选择数量。

对于红色气球，有3种选择：选0个、选1个、选2个、选3个、选4个，即5种；对于蓝色气球，也有5种选择；对于绿色气球，同样有5种选择。

由于每种颜色的选择是相互独立的，根据计数原理，总的选择数为5×5×5=1252.有8本不同的书，要将其中4本放在书架上，问有多少种不同的放法？解答：根据计数原理，首先确定第一本书的选择数量，有8种选择；对于第二本书，有7种选择，依此类推，对于第四本书，有5种选择。

由于每本书的选择是相互独立的，根据计数原理，总的放法数为8×7×6×5=1,680。

3.有5个人，要从中选出3个人组成一支篮球队，问有多少种不同的组队方式？解答：根据计数原理，首先确定第一个人的选择数量，有5种选择；对于第二个人，有4种选择；对于第三个人，有3种选择。

由于每个人的选择是相互独立的，根据计数原理，总的组队方式数为5×4×3=60。

4.有8个小球排成一行，其中有3个红球，问有多少种不同的排列方式？解答：根据计数原理，首先确定红球的选择数量，有8种位置可以放置第一个红球；对于第二个红球，有7个位置可供选择，依此类推，对于第三个红球，有6个位置可供选择。

由于每个红球的选择是相互独立的，根据计数原理，总的排列方式数为8×7×6=3365.有7个学生，要将其中3人安排到A班，问有多少种不同的安排方式？解答：根据计数原理，首先确定第一个学生的选择数量，有7种选择；对于第二个学生，有6种选择，依此类推，对于第三个学生，有5种选择。

由于每个学生的选择是相互独立的，根据计数原理，总的安排方式数为7×6×5=210。

6.有10个字母，如ABCDE......J，从中任选3个字母组成一个三位数，问有多少种不同的三位数可以组成？解答：根据计数原理，首先确定第一位字母的选择数量，有10种选择；对于第二位字母，有9种选择，依此类推，对于第三位字母，有8种选择。

计数原理专项练习(含详解)

计数原理专项练习(含详解)

计数原理专项练习一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）1. 从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A. 224B. 112C. 56D. 282. A ，B ，C ，D 四位妈妈相约各带一名小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一位大人和一名小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 妈妈或D 妈妈的车的概率是()A.13B.12C.59D.233. 袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是()A.B.C.D.4. 已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为A.B.C.D.5.2.5PM 是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，数0.0000025用科学计数法表示为() A. 72510-⨯ B. 62.510-⨯ C. 50.2510-⨯ D. 72.510-⨯6. 若集合1A ，2A 满足12A A A =，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合12{,}A a a =的不同分拆种数是()A. 8B. 9C. 16D. 187. 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则9a 等于()A. 10B. 10-C. 20D. 20-8. 如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前项之和为，则的值为()A. 361B. 295C. 153D. 669. 设2012(1)n x a a x a x -=+++…nn a x +，若12||||...||127n a a a +++=，则展开式中二项式系数最大的项为A. 第4项B. 第5项C. 第4项或第5项D. 第7项10. 二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则()n =A. 4B. 5C. 6D. 711. 二项式的展开式中二项式系数最大的项为()A. 第 3 项B. 第 6 项C. 第 6 、 7 项D. 第 5 、 7 项12. 甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外2位教师前面值班的概率是A.B.C.D.13. 212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，展开式中的所有项的系数和是()A. 0B. 256C. 64D.16414. 9.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A. 66种B. 65种C. 63种D. 60种15. 102012(2)x a a x a x -=+++ (10)10.a x +则123a a a +++…10()a +=A. 1B. 1-C. 1023D. 1023-16. 腾冲第八中学数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的90、91、92三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()A. 30种B. 90种C. 180种D. 270种17. 从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是()A. 590B. 570C. 360D. 21018. 若*n N ∈，且521235n n n C A ---=，则n 的值为()A. 8B. 9C. 10D. 1119. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有()A. 28个B. 21个C. 35个D. 56个20. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()种.A. 252B. 112C. 20D. 56二、单空题（本大题共10小题，共50.0分） 21. 如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行()2n 第2个数是________22. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是__________.23. 二项式51(2)x x+的展开式中3x 的系数为______.24. 已知4男3女排队，每名男生至多与一名女生相邻，共有______ 种不同的排法．(结果用数值表示)25. 被4除，所得的余数为________.26. 若22242n C A =，则!3!3!n n =-________.27. 2015年世博会在意大利米兰举行，其中某大学要从6名男生和2名女生中选出3人作为奥运会的志愿者，若男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有__________________________种(结果用数字表示).28. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为____________29. __________.30. 已知3828128(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则6a 的值为_____.答案和解析1.【答案】B试题分析：根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：.2.【答案】D解： 记A ，B ，C ，D 四位妈妈的小孩分别为a ，b ，c ，d ， 由于孩子都不坐自己妈妈的车， 假设A 与b 一辆车，则有3种情况，同理A 与c 一辆车及A 和d 一辆车，都有3种情况， 所以不同的坐车方式有3339++=种，而A 的小孩a 坐C 妈妈或D 妈妈的车的情况有336+=种情况， 所以所求概率为62.93P == 3.【答案】B解：至少有1个黑球，包括1个黑球、2个黑球，其方法数为 11205353C C C C +袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，∴共有方法数为 28C∴至少有1个黑球的概率是1120535328C C C C C +.4.【答案】A解：因为函数的最小值为，即.展开式的通项公式为，由，得，所以，即项的系数为15.5.【答案】B6.【答案】B解：12A A A =，对1A 分以下几种情况讨论：①若1A =∅，必有212{,}A a a =，共1种拆分；②11{}A a =，则22{}A a =或12{,}a a ，共2种拆分；同理12{}A a =时，有2种拆分； ③若112{,}A a a =，则2A =∅、1{}a 、2{}a ，12{,}a a ，共4种拆分；∴共有12249+++=种不同的拆分．7.【答案】D 8.【答案】A解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式.n 为偶数时，，n 为奇数时，02221c C ==，12333C C ==，246C =，325510C C ==，….然后求前21项和，偶数项和为75， 奇数项和为最后.9.【答案】C解：令0x =，可得01a =，令1x =-，可得0122n n a a a a ++++=，所以1221127n n a a a +++=-=，解得7n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，第5项.10.【答案】C因为(1)nx +的展开式中2x 的系数为2n C ，即215n C =，亦即230n n -=，解得6(5n n ==-舍).11.【答案】C解：，在二项式的展开式中二项式系数最大的项为第 6 、 7 项，12.【答案】A解：依题意，甲、乙、丙3人的相对顺序共有人种，其中甲位于乙、丙前面的共有种，因此所求的概率为，13.【答案】D解：根据21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 得展开式中项数是2417⨯-=，716n ∴=-=；令1x =，得展开式中的所有项的系数和是611(1).264-=14.【答案】A解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得4个偶数时，有1=种结果，当取得4个奇数时，有5=种结果， 当取得2奇2偶时有61060=⨯=∴共有156066++=种结果，15.【答案】D解：令1x =代入二项式102012(2)x a a x a x -=+++…1010a x +，得1001(21)a a -=++…101a +=，令0x =得1002a =，10122a a ∴+++…101a +=，12a a ∴++…101023a +=-，16.【答案】B解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215C C C A =种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案，17.【答案】A解：直接法：3名语文、1名数学和1名英语，有31134520C C C =种， 1名语文、3名数学和1名英语1名，有13134560C C C =种， 1名语文、1名数学和1名英语3名，有113345120C C C =种， 2名语文、2名数学和1名英语1名，有22134590C C C =种，1名语文、2名数学和2名英语1名，有122345180C C C =种， 2名语文、1名数学和2名英语1名，有212345120C C C =种，共计206012090180120590+++++=种18.【答案】B解：*n N ∈，且521235n n n C A ---=，()()05122(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n n n ⎧⎪--⎪∴-⎨⎪----⎪⋅=--⨯⨯⨯⎩， 即()()5(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n ⎧⎪----⎨⋅=⨯--⎪⨯⨯⨯⎩，因此5(1)(4)40n n n ⎧⎨--=⎩，即255360n n n ⎧⎨--=⎩，解得9n =， 所以n 的值为9.19.【答案】B解：因为1146++=，1236++=，2226++=，0156++=，0246++=，0336++=，0066++=， 所以可以分为7类，当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，当三个位数字为1，2，3时，三位数有336A =个，当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个， 当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个， 当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个， 当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个， 当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，根据分类计数原理得三位数共有361442121.++++++=20.【答案】B解：分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，第一种是：一组2人，另一组5人，有2721C =种分法；第二一种是：一组3人，另一组4人，有3735C =种分法；第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，第一种有222A =种分配方法，第二种也有222A =种分配方法；最后，把两步方法数相乘，共有22327272212352112C A C A +=⨯+⨯=种方法.21.【答案】222n n -+解：设第(2)n n 行的第2个数构成数列{}n a ，则有322a a -=，433a a -=，544a a -=，…，11n n a a n --=-，相加得()()2122123(1)(2)22n n n n a a n n +-+--=+++-=⨯-=， 则()()21222.22nn n n n a +--+=+=22.【答案】19400解：设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则A 、B 相互独立， 停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率13433()(1)(1)45480P P A B A =⋅⋅=-⨯-⨯=， ②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率234341()(1)(1)(1)4545100P P A B A B =⋅⋅⋅=-⨯-⨯-⨯=， 故停止射击时甲射击了两次的概率12311980100400P P P =+=+=， 23.【答案】80解：二项式51(2)x x+的展开式的通项公式为5552155(2)2r r r r r r r T C x x C x ----+=⋅⋅=⋅⋅， 令523r -=，1r =，故展开式中3x 的系数为 415280C ⋅=，24.【答案】2304解：第一类，把4男生捆绑在一起，插入到3名女生排列所形成的4个空的1个空中，故有431434576A A A =种，第二类，把4男生平均分为2组，分别插入到3名女生排列所形成的4个空的2个空中，故有232434864A A A =种，第三类，把4男生分为(3,1)两组，把把1名男生插入到3名女生排列所形成的4个空的头或尾，把在一起的3个男生插入到剩下的3个空中的1个，故有1133124333864A A A A A =种，根据分类计数原理得，5768648642304++=25.【答案】0解：显然能被4整除，余数为0.26.【答案】35解：222(1)42n C A n n =-=，解得7n =，或6(n =-舍去)，337!353!(3)!n n C C n ∴===-， 27.【答案】36解：从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，，男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有， 28.【答案】0.6解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A ，(A 共有22326C A =种不同排法)，剩下一名男生记作B ，将A ，B 插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有22233243432C A A A =种，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为664324320.6.720P A === 29.【答案】40-解：，30.【答案】28解：3(1)x +展开后不会出现6x ， 又88(2)[(1)1]x x -=--， 所以6a 表示6(1)x -的系数， 所以6268(1)28.a C =-=。

高二数学计数原理试题答案及解析

高二数学计数原理试题答案及解析

高二数学计数原理试题答案及解析1. 5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选，一间客房为3人间，其余为2人间，则5人入住两间客房的不同方法有种(用数字作答).【答案】20【解析】依题可知这5人只能入住一间3人间及一间2人间，第一步先确定在2个2人间中选择哪一间有种；第二步确定哪三个人入住3人间有，剩下的2人住2人间，故这5人入住两间空房的不同方法有种.【考点】1.分步计数原理；2.组合问题.2.二项式 (n N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】解：，r="0,1,…,8." 设，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).故选C。

【考点】本题主要考查二项式展开式、等差数列知识。

点评：将二项式定理与数列综合考查，是常见题型。

3.从0，l，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）A．20个B．19个C．25个D．30个【答案】B【解析】0作被除数，1，3，5，7，9做除数，商有 1个；1作被除数，3，5，7，9做除数，商有4个；3作被除数，1，5，7，9做除数，商有4个；5作被除数，1，3， 7，9做除数，商有4个；7作被除数，1，3，5， 9做除数，商有4个；9作被除数，1，3，5，7做除数，商有4个；其中，所以去掉2个重复的商，结果共有1+4×5-2=19个，故选B。

【考点】主要考查分类、分步计数原理的应用。

点评：这是一道易错题。

要审清题意“任取两个数做除法”，这两个数应该是不同的，“不同的商”应该把重复的商去掉。

4.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）A．6种B．9种C．18种D．24种【答案】C【解析】间接法。

4节课的全排列＝4×3×2×1＝24减去体育课排第一节的情况：其他3节课的全排列 3×2×1＝6所以 24－6＝18 ，故选C。

计数原理题目及详细答案

计数原理题目及详细答案

第一章 计数原理[基础训练A 组]一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A ．81 B ．64 C ．12 D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机 各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长， 不同的选法总数是（ ）A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生2人，女生6人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生5人，女生3人 D ．男生6人，女生2人.6．在82x ⎛- ⎝的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ）A.120 B ．120- C ．100 D ．100-8．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在10(x 的展开式中，6x 的系数是 .5．在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，4r T = .6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x . 8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？ 三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。

计数原理(习题及答案)

计数原理(习题及答案)

计数原理（习题）例题示范例1：现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，若要求每辆车配1位司机和1位售票员，则车辆、司机、售票员的搭配方案共有多少种？思路分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．A=6种安排方法；第一步，把3名司机安排到3辆车中，有33A=6种安排方法．第二步，把3名售票员安排到3辆车中，有33A A⋅=36种．故搭配方案共有3333例2：5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法共有（）A．480种B．240种C．120种D．96种思路分析：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人．C种方法；第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有25A种方法．第二步：再把4本书分给4个学生，有44C A⋅=240种方法，故选B．由乘法原理，共有2454巩固练习1.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有_______种报名方法．（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有_____种可能的结果．2.已知a ∈{0，3，4}，b ∈{1，2，7，8}，r ∈{8，9}，则方程(x -a )2+(y -b )2=r 2表示__________个不同的圆．3.满足a ，b ∈{-1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2+2x+b =0有实数解的有序数对(a ，b )共有（）A ．14个B ．13个C ．12个D ．10个4.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是（）A ．222574C C C ++B ．222574C C C ⋅⋅C ．222574A A A ++D ．216C 5.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行展出，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，则不同的展出方式共有（）种．A ．4545A A ⋅B ．345345A A A ⋅⋅C ．145345C A A ⋅⋅D ．245245A A A ⋅⋅8.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种．A ．3565A A ⋅B ．863863A A A -⋅C ．3353A A ⋅D ．8486A A -9.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（）A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对10.填空：（1）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少分1个，共有__________种分配方案．（2）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数，这样的六位偶数共有__________个．（3）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．11.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备__________种不同的素菜．12.3个女生和5个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？13.某街道有十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，且在两端的灯也不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？【参考答案】1．（1）81；（2）642．243．B4．A5．A6．B7．D8．A9．C10．（1）84；（2）108；（3）48011．712．（1）4320；（2）14400；（3）14400；（4）36000 13．20。

两个计数原理练习(含答案)

两个计数原理练习(含答案)

两个计数原理练习一、填空题1.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有 6种2. ()()214321b b a a a a +⋅+++()321c c c ++⋅展开后共有不同的项数为 243.某班新年联欢原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这2个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种类为_______.424.已知A 、B 是两个非空集合,定义{}B b A a b a x x B A ∈∈+==⊕,,|为集合A 、B 的“和集”,若{},2,1,0=A {}4,3,2,1=B ,则B A ⊕中元素的个数是 6 5.人们习惯把最后一位是6的多位数叫做“吉祥数”,则无重复数字的4位吉祥数(首位不能是零)共有________个. 4486.已知三角形的三边长均为整数,其中一边长是5,但它不是最短边.这样的三角形的个数是_________.14个7.某商店失窃,警察审讯4名犯罪嫌疑人.他们当然不会承认是自己偷的,都说是其余3人中的某一个人偷的,他们的供述结果互不相同,共有________种不同的供述结果。

98.从0,1,2,3,4,5,6中任意取出三个不同的数字作为二次函数c bx ax y ++=2的系数,可有________个不同的二次函数的表达式。

1809.如图所示:小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,单位时间内传递的最大信息量是_________.19二、解答题10.有一项活动,需在3名老师,8名男同学和5名女同学中选人参加.(1)若只需一人参加,有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的选法? (3)若需一名老师,一名同学参加,有多少种不同的选法?解:(1)需一人参加,有三类:第一类选老师,有3种不同的选法;第二类选男生,有8种不同的选法;第三类选女生,有5种不同的选法.共有3+8+5=16种不同的选法.(2)需老师、男同学、女同学各一人,则分3步, 第一步选老师,有3种不同的选法;第二步选男生,有8种不同的选法;第三步选女生,有5种不同的选法.共有3×8×5=120种不同的选法. (3)第一步选老师有3种不同的选法,第二步选学生有8+5=13种不同的选法,共有3×13=39种不同的选法.11.学校举行运动会,有四位同学参加三项不同的比赛 (1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果?图1-1-1图1-1-2(2)每项比赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果? 解:(1)因每位同学都有3种不同的选法,由乘法原理共有43种不同的选法;(2)因每项比赛都有3种不同的参加方法,由乘法原理共有34种不同的选法.12.用n 种不同颜色粉笔写黑板报,版块设计如 图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔 (1)当n=6时,板报甲有多少种书写方案?(2)若板报乙有180种书写方案,求n.解:(1)先选彩笔写英语角,有6种不同的选法;再选彩笔写语文学苑,不能与英语角用的彩笔相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法,共有6×5×4×5=600种不同的方案.(2)前三步与(1)的方法类似,分别有n,(n-1),(n-2)种不同的选法,最后一步选数学天地用的彩笔,不仅与理综视界的颜色不同,也不能与英语角的颜色相同,有(n-2)种不同的选法,共有n(n-1)(n-2)(n-2)种不同的方案. 所以n(n-1)(n-2)(n-2)=180试验*∈N n ,当n=5时等式成立.英语角 语文学苑理综视界数学天地理综视界 英语角 语文学苑 数学天地板报甲板报乙。

北京市选修三第一单元《计数原理》测试(包含答案解析)

北京市选修三第一单元《计数原理》测试(包含答案解析)

一、选择题1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A ．60 B ．72 C ．96 D ．1502．两名老师和3名学生站成两排照相，要求学生站在前排，老师站在后排，则不同的站法有（ ） A ．120种B ．60种C ．12种D ．6种3．已知8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中4x 项的系数为112，其中a R ∈，则此二项式展开式中各项系数之和是（ ）A ．83B ．1或83C ．82D ．1或824．关于6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列说法中正确的是（ ） A ．展开式中二项式系数之和为32B ．展开式中各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项为第3项D ．展开式中系数最大的项为第4项 5．在二项式(1)n x +的展开式中，存在系数之比为2:3的相邻两项，则指数*()n n N ∈的最小值为（ ） A ．6B ．5C ．4D ．36．在某次体检中，学号为i （1,2,3,4i =）的四位同学的体重()f i 是集合{45,48,52,57,60}kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤，则这四位同学的体重所有可能的情况有（ ） A ．55种B ．60种C ．65种D ．70种7．()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式的常数项为（） A ．112B ．48C ．-112D ．-488．已知二项式(nx的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为 A ．－20B ．－15C ．15D ．209．有m 位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外n 位同学，但是不能改变原来的m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A ．mm n C +B ．mm n A +C ．nm n A +D ．m nm n A A +10．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x x x+⋅-的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．56011．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种12．疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种二、填空题13．()3621()x x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）14．已知[0,3]a ∈，若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的值不大于15，则a 取值范围为________.15．82x x 的展开式中常数项为_________.16．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种． 17．定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有____个．18．已知()n x y +的展开式中，只有第七项的系数最大，则n =___________ 19．已知()1121011012101112x a a x a x a x a x +=+++++ ，则12101121011a a a a -+-+=_____.20．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)的值为_____.三、解答题21．已知()()2*01212,6nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈，其中012,,,,n a a a a R ∈．（1）当6n =时，求6(12)x +的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；（2）若n 为偶数，求246n a a a a +++⋯+的值．22．记2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b . （1）求m b 的表达式； （2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项.23．已知(1)n x -的展开式中，所有项的二项式系数之和为128. （1）求展开式中的有理项；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和. 24．（1）已知()727012712x a a x a x a x -=++++.求：①127a a a +++；②0127a a a a ++++；（2）在522x x ⎫⎪⎭的展开式中，求： ①展示式中的第3项；②展开式中二项式系数最大的项.25．按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答) (1) 6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (3) 6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球； (4) 6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒.26．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；③22110n n nC C -+-=.已知在n的展开式中，________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含5x 的项.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出． 【详解】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．2．C解析：C 【分析】根据题意，分2步讨论老师、学生的安排方法，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将两名老师全排列，安排在后排，有222A =种安排方法， ②将三名学生全排列，安排在前排，有336A =种安排方法，则一共有2612⨯=种安排方法；故选：C 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题．3．B解析：B 【分析】利用二项式定理展开通项，由4x 项的系数为112求出实数a ，然后代入1x =可得出该二项式展开式各项系数之和. 【详解】8a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为882188kk k k k k k a T C x C a x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令824k -=，得2k =，该二项式展开式中4x 项的系数为222828112C a a ⋅==，得2a =±.当2a =时，二项式为82x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()88123+=；当2a =-时，二项式为82x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，其展开式各项系数和为()8121-=. 故选B. 【点睛】本题考查二项式定理展开式的应用，同时也考查了二项式各项系数和的概念，解题的关键就是利用二项式定理求出参数的值，并利用赋值法求出二项式各项系数之和，考查运算求解能力，属于中等题.4．B解析：B 【分析】直接利用二项式展开式的应用求出结果． 【详解】 解：关于621(2)x x-的展开式，根据二项式的展开式的应用：61621(2)()r rr r T C x x -+=-， 对于选项A ：展开式中二项式系数之和6264=，故错误．对于选项B ：利用赋值法的应用，当1x =时，各项的系数的和为6(21)1-=，故正确．对于选项C ：展开式中二项式系数最大的项为第4项3620C =，故错误． 对于选项D ：展开式中系数最大的项为第2项，系数为2462240C ⨯=．故错误．故选：B ． 【点睛】本题考查的知识要点：二项展开式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．5．C解析：C 【分析】利用二项式定理的展开式写出满足题意的表达式,然后即可求出指数*()n n N ∈的最小值. 【详解】解:由题意知:123k n k n C C -=或者132k n k n C C -=.即123n k k -+= 或132n k k -+= 解得,533k n -= 或522k n -=.当533k n -=时,当3k =时,min 4n =; 当522k n -=时,当2k =时,min 4n =.综上所述: min 4n =. 故选:C. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用.本题的易错点是未进行分类讨论.6．D解析：D 【分析】根据(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可. 【详解】解：当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中全部取等号时，情况有155C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有两个取等号，一个不取等号时，情况有215330C C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中有一个取等号，两个不取等号时，情况有315330C C =种；当(1)(2)(3)(4)f f f f ≤≤≤中都不取等号时，情况有455C =种；共560+60+5=70+种. 故选：D. 【点睛】本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.7．D解析：D 【分析】把51(2)x -按照二项式定理展开，可得()52112x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的常数项．【详解】 由于()()52205142332455555111111121()2()4()8()1632x x C C C C C x x x x x x ⎛⎫⎛⎫---⋅-⋅+⋅-⋅+⋅- ⎪⎭= ⎪⎝⎝⎭故展开式的常数项为3583248C -+=-，故选D ．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查了二项式展开式，属于基础题.8．C解析：C 【分析】利用二项式系数之和为64解得6n =，再利用二项式定理得到常数项. 【详解】 二项式(nx的展开式中二项式系数之和为642646n n ⇒=⇒= 36662166(((1)r r r r rr r x T C x C x --+-⇒=⋅=-当36042r r -=⇒=时，系数为15 故答案选C 【点睛】本题考查了二项式定理，先计算出6n =是解题的关键，意在考查学生的计算能力.9．C解析：C 【分析】将问题转化为将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案． 【详解】问题等价于将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，因此，所有排列的种数为n m n A +，故选C.【点睛】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．10．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x xx x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181rrrrT C x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x时，令832r-=解得2r=，则结果为288224C=，则当取12x时，令812r-=，解得6r=，则结果为6812336C=，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题11．D解析：D【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A=种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C CAA⋅=种情况.若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A=种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种.故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.12．C解析：C【分析】先分组1，2，2和1,1,3再安排得解【详解】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C CAA;分为1，1，3时安排有1133543322C C CAA所以一共有12211333542543332222150C C C C C CA AA A+=故选：C【点睛】本题考查排列组合问题，先分组再安排是解题关键.二、填空题13．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kkkk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=， 解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=．故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.14．【分析】由二项式定理及展开式通项得：又所以又时展开式无常数项即a 取值范围为得解【详解】由二项式定理可得：展开式的常数项为又展开式的常数项的值不大于15则又所以又时展开式无常数项即a 取值范围为故答案为 解析：(]0,1【分析】由二项式定理及展开式通项得：41515a ≤，又[]0,3a ∈，所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项，即a 取值范围为01a <≤，得解． 【详解】由二项式定理可得：26()ax x+展开式的常数项为422446()()15a C x a x=， 又26()a x x+展开式的常数项的值不大于15， 则41515a ≤，又[]0,3a ∈， 所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项， 即a 取值范围为01a <≤， 故答案为：(]0,1． 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．15．【分析】先根据二项式通项公式确定常数项项数再代入得结果【详解】即常数项为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项可依据条件写出第项再由特定项的特点求出值即可(2)已知 解析：35.2【分析】先根据二项式通项公式确定常数项项数，再代入得结果. 【详解】8418840,4r r r r r r r T C C x r r --+==∴-== 即常数项为44835.2C =【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.16．10【分析】分类讨论：选择两门理科学科一门文科学科；选择三门理科学科即可得出结论【详解】选择两门理科学科一门文科学科有种；选择三门理科学科有1种故共有10种故答案为10【点睛】本题考查计数原理的应用解析：10 【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论． 【详解】选择两门理科学科，一门文科学科，有2133C C 9=种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种． 故答案为10． 【点睛】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．17．14【解析】由题意得必有则具体的排法列表如下：由图可知不同的规范01数列共有14个故答案为14解析：14 【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：由图可知，不同的“规范01数列”共有14个. 故答案为14.18．12【分析】根据题意利用二项式定理二项式系数的性质得出结论【详解】的展开式中只有第七项的系数最大故展开式中有13项则故答案为：12【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理如果二项式的幂指数n 是偶数中间一解析：12 【分析】根据题意，利用二项式定理，二项式系数的性质得出结论. 【详解】()+n x y 的展开式中，只有第七项的系数最大，故展开式中有13项，则12n =故答案为：12 【点睛】结论点睛：本题考查二项式定理，如果二项式的幂指数n 是偶数，中间一项12nT +项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，中间两项12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．19．【分析】对原方程两边求导然后令求得表达式的值【详解】对等式两边求导得令则【点睛】本小题主要考查二项式展开式考查利用导数转化已知条件考查赋值法属于中档题 解析：22【分析】对原方程两边求导，然后令1x =-求得表达式的值.【详解】对等式112012(12)x a a x a x +=++10111011a x a x +++两边求导，得101222(12)2x a a x +=+91010111011a x a x +++，令1x =-，则1210112101122a a a a -+-+=.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.20．164【分析】根据图形可知从第三行起每一行取第二和第三个数字再根据组合数的性质即可计算求出【详解】由图可知这十六个数的和为故答案为：164【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用解题关键是凑出的形式反解析：164 【分析】根据图形可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，再根据组合数的性质，即可计算求出. 【详解】由图可知，这十六个数的和为2112121222334499C C C C C C C C ++++++++()()1112223493493C C C C C C =++++++++()()21113222334933491C C C C C C C C =+++++++++-2310101451201164C C =+-=+-=．故答案为：164. 【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用，解题关键是凑出1m m n n C C -+的形式，反复利用组合数性质求和，属于基础题．三、解答题21．（1）二项式系数最大的项是第4项为3160x ，系数最大的项是第5项为4240x ；（2）312n -． 【分析】（1）由二项式系数性质求解，由二项展开式通项公式得各项系数，由第k 项系数不小于前后两项系数可得系数最大的项；（2）先求出0a ，在展开式中令1x =和1x =-后可得奇数项系数和然后可得结论． 【详解】（1）()()2*01212,6nn n x a a x a x a x n N n +=++++∈中6n =时，展开式中有7项，中间一项的二项式系数最大，此项为3336(2)160C x x =， 又166(2)2r r r rr T C x C +==，设第1k +项系数最大，则116611662222k k k k k k k k C C C C ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，解得111433k ≤≤，∴4k =，即第5项系数最大，第5项为4446(2)240C x x =； 二项式系数最大的项是第4项为3160x ，系数最大的项是第5项为4240x ；（2）首先01a =，记()()2*012()12,6nn n f x x a a x a x a x n N n =+=++++∈，则012(1)3nn f a a a a ==++++，01231(1)n n f a a a a a a --=-+-+-+，所以024(1)(1)3(1)31222n n n n f f a a a a +-+-+++++===， 所以243131122n n n a a a +-+++=-=． 【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，掌握二项式定理是解题关键．赋值法是求二项展开式中某些项系数和常用方法．22．（1）112m m m n b C --=；（2）5；（3）160【分析】（1）先求出其通项公式，进而求出结论； （2）结合通项公式以及组合数的性质即可求解； （3）先求出其通项公式，令指数为零，进而求出结论． 【详解】（1）2()nx x+的展开式中第m 项为11111222()2m n m m m m n m n n C x C x x--+----+=；112m m m n b C --∴=．（2）由3412b b =，得22331222n n C C =；即23n n C C =；5n ∴=．（3）当6n =时，2()nx x +展开式中的通项公式6621662()2r r r r rr r T C x C x x--+==，依题意得620r -=，3r =，所以展开式中的常数项是33462160T C ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．23．(1) 11T =，384T x =，25560T x =，37448T x = (2) 2187【解析】分析：（1）根据题意，求的7n =，写出二项展示的通项，即可得到展开式的有理项；（2）由题意，展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为7(1+展开式中各项系数之和，即可求解.详解：根据题意，n2128,n=7=得， （1）展开式的通项为r r r2r 17TC 2x ,r 0,1,2,,7+==.于是当r 0,2,4,6=时，对应项为有理项，即有理项为00017T C 2x 1,== 2237T C 2x 84x,== 442257T C 2x 560x ,== 66377T C 2x .=（2）(71-展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为(71+展开式中各项系数之和，在(71+中令x ＝1得展开式中所有项的系数和为（1＋2）7＝37＝2 187．所以(71-展开式中所有项的系数和为2187.点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用． 24．（1）①2-；②2187；（2）①5240x -；②5240x -或580x -. 【分析】（1）①运用赋值法，令0x =，求得01a =，令1x =，求得012345671a a a a a a a a +++++++=-，由此可求得答案.②由二项式的展开式判断0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零，令1x =-，可求得答案；（2）先求出展开式的通项公式，①令2r 时，求展示式中的第3项；②令2r 或3时，求得二项式系数最大项．【详解】解：（1）令0x =，则01a =，令1x =，则()7012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-. ①∴12372a a a a ++++=-.②∵()712x -展开式中，0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零， ∴()()012702461357a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++，令1x =-，则7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=.所以01272187a a a a ++++=.（2）522x ⎫⎪⎭的展开式中第1r +项为()()551225215522r rrrrrr T C x x C x---+==⋅⋅，①当2r 时，所以展示式中的第3项为55222235240T C x x --=⋅⋅=.②2r或3时，二项式系数5rC 最大，2r时，由（1）知52340T x -=，3r =时，445545280T C x x --==．【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n 是奇数，最大的就是最中间一个，如果n 是偶数,最大的就是最中间两个；求系数的最大项时：设第r +1项为系数最大项，需列出不等式组+1+2+1r r r rT T T T ≥⎧⎨≥⎩，解之求得r .25．（1）4096（2）1560（3）10（4）2160 【解析】试题分析：解 (1)46＝4 096； 3分(2)2211346421642222C C C C C A A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1 560； 6分 (3) 24C ＋4＝10；或25C ＝10； 9分(4) 222321236426315433C C C C C C C A A ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝2 160. 12分 考点：排列组合的运用点评：主要是考查了排列组合的运用，属于中档题． 26．（1）56252x-；（2）5x . 【分析】（1）先求出二项展开式的通项，根据条件求出n ，即可知道二项式系数最大的项； （2）令x 的指数为5，即可计算出r ，求出含5x 的项. 【详解】可知3561(1)rn rr n r r r r n n T C C x --+⎛==- ⎝， 方案一：选条件①，（1）由题可知4422(1)14(1)3n n C C -=-， !2!(2)!144!(4)!!3n n n n -∴⨯=-，25500n n ∴--=，解得10n =或5n =-（舍去），所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-；（2）由（1）知56110510,(1)r r r rn T C x-+==-，令5556r -=，0r ∴=，51T x ∴=， 所以展开式中含5x 的项是第一项，为5x ； 方案二：选条件②， （1）由题可知21212552n nnnnn nC CC C -++=+==，整理得21100n n +-=，解得10n =或11n =-（舍去）， 所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-；（2）同方案一（2）； 方案三：选条件③， （1）222211110n n nn n n C C C C C -++-=-==，10n ∴=，所以展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，555566610(1)252T C x x =-=-，所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，566252T x =-；（2）同方案一（2）. 【点睛】本题考查二项展开式的相关性质，属于中档题.。

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选修2-3第一章计数原理单元质量检测时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法一共有( )A ．7种B ．8种C ．6种D ．9种2．设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法种数是( )A ．360B ．480C ．720D ．2403.设P ＝1＋5(x ＋1)＋10(x ＋1)2＋10(x ＋1)3＋5(x ＋1)4＋(x ＋1)5，则P 等于( )A ．x 5B ．(x ＋2)5C ．(x －1)5D ．(x ＋1)5 4.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．205．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一个格子中，则不同的拿法一共有( )A ．C 510种B ．C 520种 C ．C 510C 12种D ．C 510·25种 6．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －5＝0，则n 的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．107．7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有( )A．120种B．240种C．48种D．24种8．(2＋33)100的展开式中，无理项的个数是()A．83 B．84 C．85 D．869．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．16810．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．2411．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45 B．60 C．120 D．21012．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝() A．5 B．6 C．7 D．8第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种(用数字作答)．14．(x＋a)6的展开式中含x2项的系数为60，则实数a＝________.15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．16.设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)4位学生与2位教师坐在一起合影留念，根据下列条件，求各有多少种不同的坐法：(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．18．(12分)从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法有多少种？19.(12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 2n ，i 是虚数单位，x >0，n ∈N ＋. (1)如果展开式的倒数第三项的系数是－180，求n 的值；(2)对(1)中的n ，求展开式中的系数为正实数的项．20.(12分)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求a 1＋a 2＋…＋a n 的值．21.(12分)已知(a 2＋1)n的展开式中的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．22.(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)可组成多少个无重复数字的自然数？(2)可组成多少个无重复数字的四位偶数？(3)组成无重复数字的四位数中比4 023大的数有多少？答案1．C 要完成“至少买一张IC 电话卡”这件事，可分三类：第一类是买1张IC 卡；第二类是买2张IC 卡；第三类是买3张IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，买2张IC 卡有3种方法，买3张IC 卡有1种方法．不同的买法共有2＋3＋1＝6(种)．2．C 由分步乘法计数原理，得N ＝30×24＝720(种)．3．B P ＝[1＋(x ＋1)]5＝(x ＋2)5，故选B.4．A 由已知，得T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r (－2y )r ＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ·(－2)r x 5－r y r (0≤r ≤5，r ∈Z)，令r ＝3，得T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫122(－2)3x 2y 3＝－20x 2y 3.故选A.5．D 分两步：第一步先从10个格子中选中5个格子，有C 510种方法；第二步从每个格子中选一个球，不同的拿法有2×2×2×2×2＝25(种)．由分步乘法计数原理共有C 510·25种不同的拿法． 6．B T r ＋1＝C r n (－1)r x r ，则a 2＝C 2n ，a n －5＝(－1)n －5C n －5n ，因为2a 2＋a n －5＝0，a 2>0，所以a n －5＝－C 5n ，所以2C 2n ＝C 5n 且n 为偶数，将各选项代入验证知n＝8，故选B.7．C由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有2种排法，再排其他4人，有A44种不同的排法，故不同的排法总数为A44·2＝48(种)．8．B先求展开式中的有理项．∵T r＋1＝C r100(2)100－r·(33)r＝C r100·2100－r2·3r3，∴要使展开式中的项为有理项，r必为6的倍数．又∵0≤r≤100，且r∈N，∴r的取值为0,6,12，…，96，它构成了以0为首项，6为公差，96为末项的等差数列，设它有n项，则96＝6(n－1)．∴n＝17.∵展开式中共有101项，其中有17项是有理项，∴无理项有84项．9．B解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A33，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A33·2A33＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A33，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有C12A22A22，故不同的排法有A33A22A22C12＝48，故共有120种不同排法，故选B.10．D插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空当中选出3个插入3人即可．故排法种数为A34＝24.故选D.11．C因为(1＋x)6展开式的通项公式为T r＋1＝C r6x r，(1＋y)4展开式的通项公式为T h＋1＝C h4y h，所以(1＋x)6(1＋y)4展开式的通项可以为C r6C h4x r y h.所以f(m，n)＝C m6C n4.所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36＋C26C14＋C16C24＋C34＝20＋60＋36＋4＝120.故选C.12．B由题意可知，a＝C m2m，b＝C m2m＋1，又因为13a ＝7b ，所以13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！， 即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B. 13．30解析：方法1：可分以下两种情况：(1)A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 13C 24种不同的选法；(2)A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 23C 14种不同的选法．所以不同的选法共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)．方法2：C 37－C 33－C 34＝30(种)．14．±2解析：通项T r ＋1＝C r 6(x )6－r a r ＝a r C r 6x 3－r 2，令3－r 2＝2，得r ＝2.故a 2C 26＝60，解得a ＝±2. 15．60解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有C 23A 24＝36(种)；二是有三人各获得一张奖券，共有A 34＝24(种)．因此不同的获奖情况有36＋24＝60(种)．16.3解析：由题意得a 1＝1a ·C 1n ＝n a ＝3，所以n ＝3a ；a 2＝1a 2C 2n ＝n (n －1)2a 2＝4，所以n 2－n ＝8a 2.将n ＝3a 代入n 2－n ＝8a 2得9a 2－3a ＝8a 2，即a 2－3a ＝0，解得a ＝3或a ＝0(舍去)．所以a ＝3.17．解：(1)分步完成：教师先坐中间，有A22种方法，学生再坐其余位置，有A44种方法．根据分步乘法计数原理，不同的坐法共有A22·A44＝48(种)．(2)将2名教师看作一个元素，问题变为5个元素排列的问题．先将教师排好，有A13·A22种方法，再排学生，有A44种方法，故不同的坐法共有A13·A22·A44＝144(种)．(3)插空法：先排学生，有A44种方法，教师从4名学生之间的3个空位选2个进行排列，有A23种方法，故不同的坐法共有A44·A23＝144(种)．18．解：若从1,2,3，…，97,98,99,100中取出1，有1＋100>100，有1种取法；若取出2，有2＋100>100,2＋99>100，有2种取法；取出3，有3种取法；…；若取出50，有50＋51>100,50＋52>100，…，50＋100>100，有50种取法；所以取出数字1至50，共有不同的取法N1＝1＋2＋3＋…＋50＝1 275(种)．若取出51，有51＋52>100,51＋53>100，…，51＋100>100，有49种取法；若取出52，则有48种取法；…；若取出99，只有1种取法．所以取出数字51至100(N1中取过的不再取)，有不同取法N2＝49＋48＋…＋2＋1＝1 225(种)．故总的取法共有N＝N1＋N2＝2 500(种)．(2i)2＝－180，即4C2n＝180，19.解：(1)由已知，得C n－2n化简得n2－n－90＝0，又n∈N＋，解得n＝10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 210展开式的通项为 T r ＋1＝C r 10(2x i)10－r x －2r ＝C r 10(2i)10－r x 10－5r 2，∵展开式中的系数为正实数，且r ∈{0,1,2，…，10}， ∴r 的取值为10,6,2，故所求的项为T 11＝x －20，T 7＝3 360x －10，T 3＝11 520.20．解：T 6＝C 5n (x 2)n －5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 5n x 2n －15， 令2n －15＝1，则n ＝8，令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a n ＝(－2)8＝256，令x ＝0，则a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝255.21.解：⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项是 T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，解得r ＝4，故常数项T 5＝C 45×165＝16，又(a 2＋1)n 的展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，解得n ＝4，由二项式系数的性质可知，(a 2＋1)4的展开式中系数最大的项是中间项，即第三项， 由C 24a 4＝54，解得a ＝±3.22．解：(1)组成无重复数字的自然数共有C 15A 55＋C 15A 45＋C 15A 35＋C15A25＋C15A15＋C16＝1 631(个)．(2)无重复数字的四位偶数中个位数是0的有A35＝60(个)，个位数是2或4的有2C14A24＝96(个)，所以无重复数字的四位偶数共有60＋96＝156(个)．(3)无重复数字的四位数中千位数字是5的共有A35＝60(个)，千位数字是4的有A35＝60(个)，其中不大于4 023的有5个，故比4 023大的数共有60＋60－5＝115(个)．。

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