圆周角定理-圆周角定理的证明,应用

∵OA=OB， ∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
你可要理 解并掌握 这个模型. B
C ●O
即 ∠ABC = 12∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
你200能7.4.写5 出这个命题吗?
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
• 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?
• 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A
老师提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O B
∠ABD
= 12∠AOD,∠CBD
= 1 ∠COD,
2
∴ ∠ABC = 12∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
你200能7.4.写5 出这个命题吗?
圆周角定理
• 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角
的一半.
即 ∠ABC = 12∠AOC.
A C
A C
A C
●O
●O
●O
B
B
老师提示:圆周角定理是承B上启下的知识点,要予以重视. 2007.4.5
证题方法：化归方法
分割
问题
问题1 问题2 ……
解答
组合
解答1 解答2
……
化归指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解
决的问题，转化归结到某个已解决或比较容易解决 的200问7.4.题5 ，最终求得原问题的解的方法。
练习:
1.(07年深圳一模）AB 是半圆O的直径，
C在半圆上，CD AB于D且AD 3BD，
设COD ，
A
求证： AB• AC AE• AD
证明:连接BE.
●O
ADC ABE 900 ,
B
C E.
D
C
E
ADC ~ ABE.
AC AD. AE AB
AB • 2007.4.5 AC AE • AD.
例2。如图，AB与CD相交于圆内一点P，
求证 AD弧的度数与BC弧的度数和的一半
等于 APD的度数。
圆周角定理
中山华侨中学高二数学组
主讲:罗志泉
2007.4.5
问题探究:
在⊙o中作一个顶点为A的圆周角∠BAC, 连接OB.OC,得圆心角∠BOC.度量∠BAC和 ∠BOC的度数,它们之间有什么关系?
改变圆周角的大小,这12 种关系会改变吗?
A
A
结论：
∠BAC=1/2∠BOC
2007.4.5
●O
A
C
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A D
老师提示:能否转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∠ABD = 1∠AOD,∠CBD = 1∠COD,
2
2
∴ ∠ABC = 12∠AOC.
B
一条弧所对的圆周角等于它所
你200能7.4.写5 出这个命题吗? 对的圆心角的一半.
圆周角和圆心角的关系
2007.4.5
圆心角定理：
圆心角的度数等于它所对弧的度数
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同 圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 的圆Βιβλιοθήκη Baidu9角0o 所对的弦是直径。
●O
●O
2007.4.5
例1.如图，AD是三角形 ABC的高，AE是三 角形 ABC的外接圆直径，
B
问题：圆心角与圆周角的位置关系.
A C
●O
B
2007.4.5
A C
A C
●O
●O
B
B
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况：
• 当圆心(o)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AoC的大小关系.
A
∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A.
老师期望:
则tan2
1
__3____
2
连AC， 可得CAD
A
2
C OD B
CD= 3
2007.4.5
2.(07年佛山一模） 如图.四边形ABCD 内接于圆O.BC是直径。MN 切圆O于A，
MAB 250， 则D ___
连OA,AC
AOB 2MAB 500 B 650
M
A
B
N
D O
C
D 1150
求证: AE BE
A
E
BD
F C
2007.4.5
小结:
1.圆周角定及证明. 2.圆心角定理. 3.化归方法的证题思路.
作业 • P28:习题1，2，3题 • 祝你成功! 2007.4.5
证明:过点C作CE//AB交 D 圆于E.
则有APD C。
AE
BC ，
A
DAE DA AE AD BC
又 C的度数等于DAE的度数
的一半，
B
P
●O
C
E
APD的度数等于
A2D00的7.4.度5 数与BC的度数和的一半。
如图, BC为圆O的直径, AD BC.
AF
AB,
BF和AD相交于E,