一课一练25：开普勒定律与万有引力定律及其应用—2021届高中物理一轮基础复习检测

C．月球的质量为
s3 Gt 2
D．月球的密度为
3 2 4Gt 2
9．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕
太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．太阳对各小行星的引力大小相等
太阳
地球 小行星带
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
10．【答案】AD
【解析】卫星绕地球做匀速圆周运动时其向心力由万有引力提供，若地球质量为 M，卫星质量为 m，
则有 G
Mm r2
= m v2 r
，G
Mm r2
=m
42 T2
r
，由此可得 v =
GM 和 T = 2
r
r 3 ，这里 RA>RB，则 vA<vB， GM
TA>TB，而动能 Ek
=
1 mv 2 2
R2
T2
R2
R
半径越大则环绕速度越小，故选项 B 错；如果测出周期 T，则有 M = 4 2 R3 ,如果测得张角，则该 GT 2
星球的半径为 r = R sin ,所以 M = 4 2 R3 = 4 r 3 = 4 ( R sin )3 ,
2
GT 2
3
3
2
可定到星球的平均密度，选项 C 正确，而选项 D 无法计算星球的半径，因而 D 错。
8．【答案】BC
【解析】根据几何关系可得 s ，故 A 项错误；经过时间 t，航天器与月球的中心连线扫过的角度为 θ，
则 t = ，得 T = 2 t ，故 B 项正确；航天器由万有引力提供向心力而做匀速圆周运动，所以
T 2
Mm 4 2 G r2 = m T2 r
，得
M
=
4 2r3 GT 2
=
4 2 ( s )3
C 正确；若 OA=0.5R，则 OB=1.5R，那么，v′＝ 2GM ，所以，vB＜ 2GM ，故 D 错误。
3R
3R
8/8
x=v
2h 可得： g行
= x地2
7
=
。由 G mM
=mg，可得 R2= GM 。 R行
=
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M行
g
g地 x行2 4
R2
g
R
M地
7 · 2 =2，即该行星的半径为 2R，选项 C 正确。 7
g地 = g行
6．【答案】D
【解析】根据题述，飞船在短时间 Δt 内速度的改变为 Δv，和飞船受到的推力 F，由牛顿第二定律，
A． Fv ， v2R t G
B． Fv ， v3T t 2 G
C． Ft ， v2R v G
D． Ft ， v3T v 2 G
7．（多选）如图所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的角度为θ，下列说法正 确的是（ ）
A．轨道半径越大，周期越长 θ
B．轨道半径越大，速度越大 P
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
r2
r
r
那么，轨道半径越大，线速度越小；设卫星以 OB 为半径做圆周运动的速度为 v'，那么，v'＜v0；又
有卫星Ⅱ在 B 点做向心运动，故万有引力大于向心力，所以，vB<v'<v0，故 B 正确；卫星运动过程
只受万有引力作用，故有：
GMm r2
＝ma
，所以加速度
a
=
GM r2
；又有
OA＜R，所以，a0＜aA，故
，而星球表面物体所受的重力等于万有引力即 N
=
mg
=
GMm R2
；
结合两式可解的星球质量为 M = v 4m ，所以选 B。 GN
5．【答案】C
5/8
【解析】根据平抛运动规律，x=vt，h= 1 gt2，解得 x=v 2h 。根据题述在某行星和地球上相对于
2
g
各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛，在水平方向运动的距离之比为 2∶ 7 ，由
乙的 1/2
2
，选项
B
错误；由
F
=
G
Mm r2
可知，甲的向心力是乙的
1 4
，选项
C
正确；由开普勒定
律 r3 T2
=
k
可知，甲的周期是乙的 2
2 倍，选项 D 正确。
4．【答案】B
【解析】设星球半径为 R，星球质量为 M，卫星质量为 m1，卫星做圆周运动向心力由万有引力提供
即
GMm1 R2
=
m1
v2 R
D．
R
3 A
TA2
=
R
3 B
TB2
A
地球
B
11．如图所示为一卫星绕地球运行 椭圆轨道示意图，O 点为地球球心，已知地球表面重力加速度
的 为 g，地球半径为 R，OA=R，OB=4R，下列说法正确的是（
A．卫星在 A 点的速率 vA > gR
B．卫星在 A 点的加速度 aA >g
C．卫星在 B 点的速率 vB =
D．若 OA=0.5R，则卫星在 B 点的速率 vB＞ 2GM 3R
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一课一练 25：开普勒定律与万有引力定律及其应用答案
1．【答案】C
【解析】太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，故 A 错；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行 速度的大小不等，根据开普勒第二定律，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太 阳连线扫过的面积，故 B、D 错；根据开普勒第三定律，火星与木星公转周期之比的平方等于它们 轨道半长轴之比的立方，故 C 对。
2．【答案】C
【解析】从 P 到 M 到 Q 点的时间为T0 / 2 ，因 P 到 M 运动的速率大于从 M 到 Q 运动的速率，可知 P 到 M 的时间小于T0 / 4 ，选项 A 错误； 海王星在运动过程中只受到太阳的引力作用，故机械能守 恒，选项 B 错误；根据开普勒行星运动第二定律可知，从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小，选项 C 正确； 从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项 D 正确。故选 C、D。
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
2．如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M，N 为轨道短轴的两个端点，
运行的周期为T0 ，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经过 M，Q 到 N 的
A．由 v = gR 可知，甲的速度是乙的 2 倍
B．由 a = 2r 可知，甲的向心加速度是乙的 2 倍
C．由
F
=
G
Mm r2
可知，甲的向心力是乙的
1 4
D．由
r T
3 2
=
k
可知，甲的周期是乙的 2
2倍
1/8
4．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v0 假设宇航员在该行星表面上用 弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为 N0，已知引力常量 为 G，则这颗行星的质量为（ ）
一课一练 25：开普勒定律与万有引力定律及其应用
分析：计算万有引力提供做圆周运动的向心力时，注意区分距离与圆周半径；计算万有引力与重力 相等时，也应注意距离对应高度的重力加速度，在地表时还得注意题干要求需不需要考虑地球自转 的影响。
1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行,根据开普勒行星运动定律可知（ ）
Mm r2
=
v2 m
r
=
ma ，
计算的出 v =
GM r
，a
=
GM r2
，
g
=
GM R2
，卫星经过椭圆轨道的 A 点时， r = R ，但是万有引力
小于向心力，故做离心运动 vA
GM = R
gR ，故 A 正确；B．根据牛顿第二定律，卫星在 A 点
的加速度 aA
=
GM R2
=
g ，故 B 错误；C．卫星经过椭圆轨道的 B 点时 r = 4R ，万有引力小于向心力，
G( s )2
=
s3 Gt 2
，故
C
项正确；月球的体积
6/8
s3
V = 4 r3 = 4 ( s )3 ，月球的密度 = M = Gt2 = 3 2 ，故 D 项错误。
3
3
V 4 ( s )3 4 Gt2
3
9．【答案】C
【解析】根据行星运行模型，离地越远，线速度越小，周期越大，角速度越小，向心加速度等于万 有引力加速度，越远越小，各小行星所受万有引力大小与其质量相关，所以只有 C 项对。
，故 EkA<EkB，选项 A 正确，选项 B 错误；卫星在单位时间 t 内通过的圆
弧长 l=vt，扇形面积 S = 1 Rl = 1 Rvt = Rt
22
2
GM = t R2
GMR ，这里 RA>RB，则 SA>SB，选项 C 错误；
由开普勒第三定律可知， 选项 D 正确。
11．【答案】A
【解析】A．卫星在圆轨道运行时万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有 G
F=ma=m
v t
， 解 得 飞 船 质 量 m = Ft v
。
飞
船
绕
星
球
做
圆
周
运
动
，
由
G
Mm r2
=
m
v2 r
，
G
Mm r2
=
m 2 r
，=
2 T
联立解得： M = v3T ，选项 D 正确。 2 G
7．【答案】AC
【解析】据 G Mm = m 4 2 R, 可知半径越大则周期越大，故选项 A 正确；据 GMm = mv 2 ,可知轨道
运动过程中（ ）
A．从 P 到 M 所用的时间等于T0 / 4
海王星 M
P 太阳
Q
B．从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大
N
C．从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小
D．从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功
3．（多选）甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的 2 倍。下列 应用公式进行的推论正确的有（ ）
gR 4
）
D．卫星在
B
点的加速度
aB
=
g 4
12．（多选）如图所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动卫星轨道的示意图，其半径为 R；曲线Ⅱ是 一颗绕地球椭圆运动卫星轨道的示意图，O 点为地球球心，AB 为椭圆的长轴，两轨道和地心都 3/8
在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为 G，地球质量为 M， 下列说法正确的是（ ） A．椭圆轨道的半长轴长度为 R B．卫星在Ⅰ轨道的速率为 v0，卫星在Ⅱ轨道 B 点的速率为 vB， 则 v0＞vB C．卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为 a0，卫星在Ⅱ轨道 A 点加速度大小为 aA，则 a0＜aA
3．【答案】CD
【解析】卫星绕地球运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律和万有引力定律知
GMm r2
=
m
v2 r
，解得：线速度
v=
GM ，由此可知，甲的速度是乙的 1/ r
2 ，选项 A 错误；根据
牛顿第二定律和万有引力定律知 G Mm =mrω2，解得角速度 ω= r2
GM ，由此可知，甲的角速度是 r3
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
8．（多选）某人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间 t（t 小于航天器的绕行
周期），航天器运动的弧长为 s，航天器与月球的中心连线扫过的角度为 θ，引力常量为 G，则 2/8
（）
A．航天器的轨道半径为 s
B．航天器的环绕周期为 2 t
故做向心运动，故
P入
=
P出
=
U
2 R
R
，故
C
错误；D．根据牛顿第二定律，卫星在
B
点的加速度
aB
= GM 16R2
=g 16
，故 D
错误。故选 A。
12．【答案】ABC
7/8
【解析】由开普勒第三定律可得：
T2 a3
＝k
，圆轨道可看成长半轴、短半轴都为
R
的椭圆，故
a=R，
即椭圆轨道的长轴长度为 2R，故 A 正确；根据万有引力做向心力可得：GMm＝ mv2 ，故 v＝ GM ，
6．20 世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行 的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间 Δt 内速度的改变为 Δv，和飞 船受到的推力 F（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球 时，飞船能以速度 v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为 T 的匀速圆周运动。已知星球的 半径为 R，引力常量用 G 表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ）
A． mv2 GN
B． mv 4 GN
C． Nv2 Gm
D． Nv4 Gm
5．若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在
水平方向运动的距离之比为 2∶ 7 。已知该行星质量约为地球的 7 倍，地球的半径为 R，由此
可知，该行星的半径为（ ）
A．
B．
C．2R
D．
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
10．（多选）如图所示，两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动，用 R、T、Ek、S 分别表示 卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有（ ）
A．TA>TB C．SA=SB
B．EkA>EkB