生活中的函数问题
生活中函数的例子
生活中函数的例子一、函数的传统定义：设有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域,和x对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.函数的近代定义：设A,B都是非空集合,f：x→y是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数,记作y=f(x),其中x∈A,y∈B,集合A叫做函数f(x)的定义域.若集合C是函数f(x)的值域,显然有C⊆B.符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示,应理解为：x是自变量,它是法则所施加的对象；f是对应法则,它可以是一个或几个解析式,可以是图象、表格,也可以是文字描述；y是自变量的函数值,当x为允许的某一具体值时,相应的y值为与该自变量值对应的函数值,当f用解析式表示时,则解析式为函数解析式.y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定是解析式. 对函数概念的理解函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。
二、实际生活中的应用问题1、商品定价问题例1 某种品牌的彩电降价30%以后,每台售价为a元,则该品牌的彩电每台原价为多少？2、商品降价问题例2 某商品进价是1000元,售价是1500元.由于销售情况不好,商店决定降价出售,但又要保证利润为5% ,求商店应降价多少元出售. 3、存款利率问题例3 国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20% ,储户取款时由银行代扣代收.若银行一年定期储蓄的年利率为2.25% ,某储户取出一年到期的本金及利息时,扣除了利息税36元,则银行向该储户支付的现金是多少元?4、支付稿酬问题例4 国家规定个人发表文章或出书获得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的,不纳税；（2）稿费高于800元又不高于4000元的应交超过800元那一部分稿费的14% 的税；（3）稿费高于4000元的应交全部稿费的11% 的税.王老师曾获得一笔稿费,并交税280元,算一算王老师这笔稿费是________ 元.5、股票问题例5 下表是某一周甲、乙两种股票每天的收盘价（每天交易结束时的价格）星期一星期二星期三星期四星期五甲12 12.5 12.9 12.45 12.75乙13.5 13.3 13.9 13.4 13.75某人在该周内持有若干甲、乙两种股票,若按两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等）,该人帐户上星期二比星期一多获利200元,星期三比星期二多获利1300元,试问该人持有甲、乙两种股票各多少股?6、人员考核问题例6 某企业对应聘人员进行英语考试,试题由50道选择题组成,评分标准规定：每道题的答案选对得3分,不选得0分,选错倒扣1分.已知某人有5道题未作,得了103分,问这人选错了多少道题?7、货物运费问题例7 一批货物要运往某地,货主准备租用运输公司得甲、乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：第一次第二次甲种货车辆数 2 5乙种货车辆数 3 6累计运货吨数15.5 35现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车,一次刚好运完这批货物.如果按每吨付运费30元计算,问货主应付运费多少元?8、小康生活问题例8 改革开放以来,某镇通过多种途径发展地方经济.1995年该镇国民生产总值2亿元.根据测算,该镇年国民生产总值为5亿元,可达到小康水平.若从1996年开始,该镇年国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元,该镇经过几年可达到小康水平?9、校舍建设问题例9 光明中学现有校舍面积20000平方米,为改善办学条件,计划拆除部分旧校舍,建造新校舍,使新建校舍的面积是拆除旧校舍的3倍还多1000平方米.这样,计划完成后的校舍总面积可比现有校舍面积增加20% .已知拆除旧校舍每平方米需费用80元,建造新校舍每平方米需费用700元,问完成该计划需多少费用?10、水资源问题例10 某地现有人口500万,水资源120亿米 .若该地人口每年增加4万,水资源每年减少1.2亿米 .试问：经过多少年后,每万人拥有的水资源是0.2亿米?11、水土流失问题例11 目前,包括长江、黄河等七大流域在内,全国水土流失面积达到367万平方千米,其中长江与黄河流域的水土流失总面积占全国的32.4% ,而长江流域的水土流失问题更为严重,它的水土流失面积比黄河流域的水土流失面积还要多29万平方千米,问长江流域的水土流失面积是多少?12、飞机票价问题例12 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津,按民航规定,旅客最多可免费携带20千克行李,超重部分每千克按飞机票价的1.5% 购买行李票.现该旅客购了120元的行李票,则他的飞机票价应是多少元?三、其他实例1、《中华人民共和国所得税法》规定,公民全月工资,薪金所得不超过800元的部分不纳税,超过800元的为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累计计算:全月应纳税所得额税率不超过500的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%…………某人一月份应交纳此项款26.78元,则他们当月工资,薪金所得等于( )A、800～900元 B 、900～1200元C、1200～1500元 D 、1500～2800元分析:本题的关键词语为"全月应纳税所得额解:由表格可知全月应纳税所得额为500元时应纳税500×5%=25(元) 由题可知某人一月份纳税26.78元,26.78-25=1.78(元)为超过500元的全月应纳税所得额所上交纳款,依表格这部分薪金所得为1.78÷10%=17.8元,故此月份工资为800+500+17.8=1317.8元故选C。
生活中的二次函数例子5个
生活中的二次函数例子5个1.某种小商品的销量Y件与售价X元成一次函数关系。
某商场以每件4元的单价进了一批这种商品第一天以每件8元试销，结果售出60件，第二天以每件10元试销，结果售出50件。
（1）求销量Y与售价X的函数关系式。
（2）每件商品的售价定位多少元时，才能每天获得最大利润？每天的最大利润是多少元？2.某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？3.某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件调查表明：这种衬衣售价每上涨1元其销售量将减少10件．(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．4.一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出该专卖店当一次销售x（时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？5. 为了提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形ABCD是矩形，分别以AB、BC、CD、DA边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为628米，设矩形的边长AB＝y米，BC＝x 米．（注：取π＝3.14）（1）试用含x的代数式表示y；（2）现计划在矩形ABCD区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428 元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；（3）设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；（4）若该工程政府投入1千万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案，若不能，请说明理由？。
函数在日常生活中的应用
函数在日常生活中的应用函数不仅在我们的学习中应用广泛，日常生活中也有充分的应用。
在此举出一些例子并作适当分析。
当人们在社会生活中从事买卖活动或其他生产时，其中常涉及到变量的线性依存关系，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。
总之，函数渗透在我们生活中的各个方面，我们也经常遇到此类函数问题，这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，用函数解决。
如：1.一次函数的应用：购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。
此类问题非常基本，却也运用最为广泛。
2.二次函数的应用：当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。
如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。
二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。
如增加的速度、增加的起点等。
3.反比例函数的应用:反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。
如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。
还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。
所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。
4.三角函数的应用：实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。
如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。
在日常生活中，我们往往需要将各种函数结合起来灵活运用，以解决复杂的问题。
要时刻将函数的解析式与其图形联系起来，以得到最简单的解决办法。
生活中函数关系的实例
生活中函数关系的实例
生活中函数关系的实例包括多种情况，比如：
1. 温度和水的沸点：水的沸点受温度的影响，当温度达到100摄氏度时，水的沸点就会达到100摄氏度。
这是一个典型的函数关系，温度是自变量，水的沸点是因变量。
2. 体重和身高的关系：体重和身高有一定的关联，身高越高，则体重越重。
这也是一个函数关系，身高是自变量，体重是因变量。
3. 价格和数量的关系：在市场经济中，价格和数量有一定的关系，当数量增加时，价格往往会降低。
这同样是一个函数关系，数量是自变量，价格是因变量。
4. 风速和风力的关系：风速是测量风力的一项指标，风力与风速的平方成正比。
这也是一个函数关系，风速是自变量，风力是因变量。
5. 距离和时间的关系：在匀速直线运动中，距离与时间成正比。
这同样是一个函数关系，时间是自变量，距离是因变量。
这些实例都是我们生活中常见的函数关系，通过这些例子我们可以更好地理解函数关系的概念。
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函数最值问题在生活中的应用
函数最值问题在生活中的应用
函数最值问题在生活中的应用非常广泛，例如：
1. 购物优惠：在购物时，商家会通过函数来计算不同的优惠方案，以便让消费者获得最大的优惠。
2. 股票投资：股票价格的波动可以用函数来描述，通过对股票价格的函数进行最值分析，可以帮助投资者做出更明智的投资决策。
3. 交通规划：交通规划中需要考虑最短路径、最小成本等问题，这些问题都可以通过函数最值来求解。
4. 生产计划：生产企业需要考虑如何最大限度地节约成本，通过函数最值的方法可以确定最优的生产计划。
5. 能源管理：能源管理涉及到如何在最短的时间内使用最少的能量来完成任务，这也可以通过函数最值来求解。
因此，函数最值问题在生活中的应用非常广泛，对于我们的日常生活和工作都具有重要的意义。
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生活中的函数关系举例
生活中的函数关系举例
函数关系是数学中的重要概念，它描述了一种输入和输出之间的关系。
在我们的日常生活中，也有很多例子可以用函数关系来描述。
1. 温度和时间的关系：在冬天，当我们打开暖气时，房间的温度会逐渐升高。
这里的温度就是输入，时间是输出。
这可以用一个函数关系来表示。
2. 身高和体重的关系：我们通常认为，身高越高的人体重也会更重。
这里的身高就是输入，体重是输出。
这也可以用一个函数来表示。
3. 油门和车速的关系：当我们开车时，踩油门越深，车速就会越快。
这里的油门就是输入，车速是输出。
这也可以用一个函数来表示。
4. 体积和重量的关系：在化学实验中，当我们加入固体物质时，溶液的体积会增加，而重量也会随之增加。
这里的体积就是输入，重量是输出。
这也可以用一个函数来表示。
5. 价格和销量的关系：在市场上，当商品价格下降时，销量通常会增加。
这里的价格就是输入，销量是输出。
这也可以用一个函数来表示。
总的来说，函数关系在我们的生活中随处可见。
通过对这些关系的深入研究，我们可以更好地了解世界，并且更好地掌握数学知识。
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浅析函数在现实生活中的应用
浅析函数在现实生活中的应用
函数在现实生活中的应用非常广泛，从我们日常生活中的交通、购物、娱乐等方面都可以看到函数的身影。
1、交通：函数可以用来解决交通运输问题，比如汽车行驶的路程和时间，船舶的航线设计，飞机的路线规划等。
2、购物：函数可以用来计算商品的价格，比如折扣、积分、优惠券等。
3、娱乐：函数可以用来设计游戏，比如用函数来模拟游戏中的物理运动、游戏角色的行为等。
4、科学研究：函数可以用来解决物理、化学、生物等科学问题，比如用函数来模拟物质的变化和运动，用函数来解决力学、热力学等问题。
5、社会研究：函数可以用来解决社会科学问题，比如经济学的供求曲线、社会学的社会关系等。
生活中简单的函数例子
生活中简单的函数例子
函数是生活中经常用到的一种解决问题的方式，下面我们一起来看一些生活中的函数例子。
比如在开车过程中，你可以使用车载GPS，它就是一个简单函数，它通过良好的路线和路
况给出最佳行车路线。
它把每一条路线化成函数，提供最简单短暂的路线给用户，让他们
可以尽快到达目的地。
在家里，我们可以使用智能家居控制系统来控制家里的灯，空调等家电设备。
这个系统是
由复杂的函数组成的，它允许用户指定家里的电器应该以什么样的方式运行，并且会自动
根据时间和室温变化等条件，按照用户指定的设置来调整电器的运行方式，从而达到节省
能源的目的。
在学校，我们会用数学中的函数理论来解决科学上的问题。
数学函数可以用来描述任何自
变量和因变量之间的关系，从而可以计算出因变量在任何情况下的变化值，这样就可以轻
松地解决各种复杂的理论问题并验证和推导新的理论。
人类可以利用函数来解决生活中的各种问题，从而达到节省时间或节约精力、提高效率的
目的。
函数是一种很好的工具，可以通过合理的分解和组合，让各个复杂任务变得容易理解，从而更好的解决问题。
生活中的一次函数
根据①可知，汽车总数不能小于______ 6 ；根据②可知，汽车 总数不能大于_____ 6 。
6 综合起来可知汽车总数为______ 。
(2)租车费用与所租车的种类有关，可以看出，汽车总数a确 定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车 可以节省费用。 设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x 的函数， 即：y = 400x + 280 ( a-x ) 将（1）中确定的a值代入上式，化简这个函数，
总计 14 14 28
A
B 总计
解 设从A库往甲地调水X吨，总调运量为y. 则从A库往乙地调水（14-X）吨，从B库往甲地 调水（15-X)吨， 从B库往乙地调水[13-(14-X)]吨。
问题3 怎样调水
从A、B两水库向甲、乙两地调水,其中甲地需水15 万吨,乙地需水13万吨,A、B两水库各可调出水14万 吨.从A地到甲地50千米,到乙地30千米;从B地到甲 地60千米,到乙地45千米.设计一个调运方案使水的 调运量最小.
用白炽灯的总费用为：y2 =_____________ 0.5×0.06x + 3
②
①
例1、一种节能灯的功率为10瓦（即0.01千瓦），
售价为60元；一种白炽灯的功率为60瓦（即0.06
千瓦），售价为3元。两种灯的照明效果一样，使 用寿命也相同（3000小时以上）。如果电费价格为 0.5元/（千瓦时）消费者选用哪种灯可以节省费用？ 解：设照明时间为x小时， 则用节能灯的总费用为：y1 =_____________ 0.5×0.01x+60 用白炽灯的总费用为：y2 =_____________ 0.5×0.06x + 3 根据两个函数，考虑下列问题：
函数在实际生活中的应用
对数函数模型: y k log a x b(k 0, a 0且a 1) 幂函数模型: 分段函数模型
y k xn b(k 0, x 0)
想一想
1.小王是某房地产开发公司的一名工程师，该房地产 公司要在荒地ABCDE（如图所示）上划出一块长方 形地面建造一幢公寓，你认为小王要怎样设计才能 使建造公寓的面积达到最大的吗？如果知道，那最 大面积是多少呢？（尺寸如图，单位：米）
当x>400时，f(x)=60 000-100x是减函数，
f(x)<60 000-100×400<25 000.
所以，当x=300时，有最大值25 000. 所以，当月产量为300台时，公司所获利润最大，最 大利润是25 000元.
3. 为了预防冬季流感，某学校对教室用药熏消毒法进行 消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含 药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕 后，y与t的关系式为
E 100 B
100
D
E
100
D
80
60 A1 A
80
70
C
图①
E P 60 A O M Q B 70 N 100
B
70
C
图②
D
80
C
图③
解：设计长方形公寓分三种情况：
（1）当一端点在BC边上时（如图①所示），
只有在B点时长方形BB1DC面积最大，
所以
t 2 24 t 100 , 0 t 10 , f ( t ) 240 , 10 t 20 , 7 t 380 , 20 t 40 .
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能
生活中函数的例子
生活中函数的例子
在生活中，函数无处不在。
从简单的日常活动到复杂的科学研究，函数都扮演
着重要的角色。
让我们来看看生活中函数的一些例子。
首先，让我们来谈谈日常生活中的函数。
想象一下，当你在烹饪一道菜时，你
需要按照特定的比例混合食材。
这个混合比例就可以看作是一个函数，根据不同的食谱和食材的数量，你可以得到不同的混合比例，从而制作出不同口味的菜肴。
另一个生活中的函数例子是交通信号灯。
交通信号灯根据不同的时间段和车辆
流量来调整红绿灯的时间，以确保交通顺畅。
这就是一个根据特定条件来调整输出的函数。
在医学领域，我们也可以找到函数的例子。
例如，心脏的跳动可以看作是一个
函数，它根据身体的需求来调整心跳的速度和节奏。
另外，药物的吸收和代谢也可以用函数来描述，根据药物的剂量和身体的情况，我们可以预测药物在体内的作用。
在科学研究中，函数也扮演着重要的角色。
例如，物理学中的运动方程描述了
物体在不同时间和空间下的运动状态，这就是一个函数。
化学反应速率也可以用函数来描述，根据反应物的浓度和温度，我们可以预测化学反应的速率。
总之，函数在生活中无处不在，它们帮助我们理解和描述世界的运行规律。
无
论是简单的日常活动还是复杂的科学研究，函数都是不可或缺的工具。
希望通过这些例子，你能更好地理解函数在生活中的重要性和应用价值。
函数模型在实际生活中的应用
函数模型在实际生活中的应用函数应用题涉及的题型比较多，下面谈谈函数模型在实际生活中的应用：一、一次函数模型例1 假如你计划买一部手机，而你的朋友给你推荐手机消费有三种可供选择，如下表：从经济角度考虑，哪一种手机卡更为合适？分析：这道题目的背景是消费问题，用表格的形式给出了已知条件，其中存在的数学等量关系为：月消费金额=月租费+每分钟通话费×月通话时间，从而建立月通话时间与月消费金额之间的一次函数关系式．解：设月通话总时间为x 分钟，则三种手机卡的月消费金额分别:连通卡：36.012+=y （)0≥x神州卡：x y 6.0=)0(≥x都市卡：x y 2.024+=)0(≥x 由 ⎩⎨⎧=+=x y x y 6.036.012 解得： ⎩⎨⎧==3050y x 由 ⎩⎨⎧+==x y x y 2.0246.0 解得： ⎩⎨⎧==3660y x 由 ⎩⎨⎧+=+=x y x y 36.0122.024 解得：⎩⎨⎧==3975y x 由图可知：①当500<≤x 时，选用神州行卡；② 当50=x 时，选用神州行卡或连通卡更为经济合适；③ 当7550<<x 时，选用连通卡更为经济合适；④ 当75=x 时，选用都市卡或连通卡；⑤ 当75>x 时选用都市卡更为经济合适．评注：在求解该问题时要注意找出其中数学量之间的关系，从而建立一定的函数关系式来求解．二、分段函数模型例2：某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；（2）每团人数为多少时，旅行设可获得最大利润？分析：注意价格与人数之间的关系，从而确定函数的解析式．解：（1）设旅行团人数为x 人，由题得075x <≤飞机票价格为y 元，则90090010(30)y x ⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤即900120010y x ⎧=⎨-⎩0303075x x <≤<≤ （2）设旅行社获利S 元则90015000(120010)15000x S x x -⎧=⎨--⎩0303075x x <≤<≤ 即29001500010(60)21000x S x -⎧=⎨--+⎩0303075x x <≤<≤故当60x =时，旅行设可获得最大利润． 评注：在对分段函数进行求最值时，一定要注意分析自变量的范围．三、二次函数模型二次函数是出现的比较多的函数模型，求解此类问题常常通过对其单调区间的讨论来求解．例3：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（I ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)； （II ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天）分析：这是一个分段函数与二次函数相结合的应用题，可以根据函数图象写出解析式，从而利用二次函数来确定函数的最值问题．解：（1）由图可得市场售价与时间的函数关系为： f （t ）＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-;300200,3002,2000,300t t t t 由图2可得种植成本与时间的函数关系为：g （t ）＝2001（t －150）2＋100，0≤t ≤300． （2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）＝f （t ）－g （t ），即h （t ）＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －50）2＋100，所以，当t ＝50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）＝－2001（t －350）2＋100， 所以，当t ＝300时，h （t ）取得区间（200，300］上的最大值87.5．综上，由100＞87．5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．评注：求本题的最值时一定要注意先求出每一定义域中每一段上的最值，然后来加以比较．四、函数()xb ax x f +=()0,>b a 模型 这类函数的模型常常是通过均值定理或者函数的单调性求最值，此时要注意等号能否取到．例4：甲、乙两地相距120千米，汽车从甲地以速度v （千米／时）匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米／时.已知汽车每小时的运输成本（单位:元）由可变部分和固定部分组成：固定部分为64元；可变部分与速度 v 的平方成正比，比例系数为0.01. (1)求汽车每小时的运输成本w(元)(2)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数，并指出函数的定义域；(3)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可以先根据题意写出全程的运输成本，观察函数式的特点可以知道结合基本不等式来求解． 解：（（1）分析可以得到6401.02+=v w ； (2)全程运输成本y （元）表示为速度v （千米／时）的函数关系式是：vv y 120)6401.0(2⋅+=，其中函数的定义域是]100,0(∈v ； (3)整理函数有)6401.0(120120)6401.0(2vv v v y +⋅=⋅+=, 根据基本不等式， 1926401.02120)6401.0(120=⋅⋅≥+⋅=v v v v y ， 当且仅当]100,0(806401.0∈==v vv 即时，取等号成立， 故汽车应以80千米／时的速度行驶，全程运输成本最小为192元．评注：对基本不等式的应用要注意“一正二定三相等”的特点．当然，涉及函数的应用问题还有很多，关键是确定用哪种类型的函数．。
生活中常见的函数关系
生活中常见的函数关系咱在生活中啊，那函数关系可真是无处不在呢！就说每天咱出门上班或者上学吧，你看时间和路程不就是一种函数关系嘛。
你走得快，花的时间就少；走得慢呢，时间就长，这多像一个正比例函数呀！再想想咱做饭的时候，水和米的比例那也是有讲究的哟！水放多了，那煮出来的可能就是粥啦；水放少了，说不定就煮出一锅夹生饭。
这就好像一个一次函数，得找到那个最合适的点，才能煮出香喷喷的米饭呢。
还有啊，咱购物的时候，价格和数量不也是函数关系嘛。
你买的东西多，花的钱自然就多；买得少，钱也花得少。
这不就跟函数图像上的点一样嘛，随着数量的变化，总价也在变化呢。
咱平时锻炼也是呢。
你锻炼的时间和你的身体素质提升也有着函数关系呀。
你坚持锻炼，身体素质就会越来越好；要是三天打鱼两天晒网，那效果可就不明显啦。
这多像一个递增的函数呀，只要你持续投入，就会有收获。
想想看，咱的生活不就是由这些各种各样的函数关系组成的嘛。
就好像一部电影，每个场景每个情节都是相互关联的。
咱得学会找到这些关系中的规律，才能把生活过得顺顺当当的呀。
你说要是没有这些函数关系，那生活得多乱套呀。
咱就没法准确地把握时间去做事情，也没法知道怎么才能做出好吃的饭菜，更没法合理地安排购物预算和锻炼身体啦。
所以呀，咱得好好重视这些生活中的函数关系，它们就像是生活的密码，解开了就能让咱的生活更美好。
咱可不能小瞧了它们，得像对待好朋友一样，和它们好好相处呢。
这生活中的函数关系呀，真的是妙不可言，让咱的生活变得丰富多彩又有规律可循呢！咱可得好好珍惜和利用它们，让咱的生活更加精彩呀！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
生活中的函数
生活中的函数
生活例子1：
“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．
（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；
（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A、B两种型号车的进货和销售价格如表：
题干分析：
（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题；
（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题。
解题反思：
不同考查一次函数的应用、分式方程等知识，解题的关键是设未知数列出方程解决问题，注意分式方程必须检验，学会构建一次函数，利用一次函数性质解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型。
函数的应用举例 (经济生活类)
假设国家收购某种农产品的价格是120 例 2 假设国家收购某种农产品的价格是 元征8元 元/担，其中征税标准为每 担 其中征税标准为每100元征 元（叫做 元征 税率为8个百分点 个百分点， ），计划可收购 税率为 个百分点，即8%），计划可收购 ），计划可收购m 万担。为了减轻农民负担，决定税率降低x个 万担。为了减轻农民负担，决定税率降低 个 百分点，预计收购量可增加2x个百分点 个百分点。 百分点，预计收购量可增加 个百分点。 （1）写出税收 （万元）与x的函数关系式； 的函数关系式； ）写出税收y（万元） 的函数关系式 2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划 的范围。 的78%，试确定 的范围。 ，试确定x的范围
3m 2 ( x + 42 x − 400 )( 0 < x ≤ 8 ) 答：税收y= − 125
,
x的范围是（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，2]。
例3 某工厂今年1月、2月、3月生产某产 品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估 计以后每月的产量，以这三个月的产量为依 据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月 份x的关系，模拟函数可选用二次函数或 x y = a ⋅ b + c (a,b,c为常数)，已知四月份 该产品的产量为1.37万件，请问：用以上 哪个函数作模拟函数较好？说明理由。
练习： 我国工农业总产值从 我国工农业总产值从1980年到 年到2000年的 年 年的20年 练习：1.我国工农业总产值从 年到 年的 间 实 现 翻 两 番 的 目 标 ， 设 平 均 每 年 的 增 长 率 为 x， 则 ， （ A ） A（1+x）19=4 B (1+x)20=2 C (1+x)20=3 D (1+x)20=4 （ ） 2.由于电子技术的飞速发展 ， 计算机的成本不断降低 。 由于电子技术的飞速发展， 由于电子技术的飞速发展 计算机的成本不断降低。 1 若每隔5年计算机的价格降低 现在价格为8100元的 若每隔 年计算机的价格降低 ，现在价格为 元的 计算机经过15年的价格可降为 （ 计算机经过 年的价格可降为 3 C ） A 300元 B 900元 C 2400元 D 3600元 元 元 元 元 3.某企业生产总值的月平均增长率为 ，则年平均增长率 某企业生产总值的月平均增长率为P， 某企业生产总值的月平均增长率为 为（ D ） C (1+P)12 D (1+P)12-1 A P B P12 4.某商品零售价 某商品零售价2002年比 年比2001年上涨 年上涨25%， 欲控制 某商品零售价 年比 年上涨 ， 2003年比 年比2001年上年涨 年上年涨10%，则2003年应比 年应比2002年 年比 年上年涨 ， 年应比 年 降价（B ） 降价（ A 15% B 12% C 10% D 5%
实际生活中的分段函数问题
实际生活中的分段函数问题1、保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动。
某化工厂2009年1月的利润为200万元。
设2009年1月为第1个月，第个月的利润为万元。
由于排污超标，该厂从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，与成反比例。
到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如下图）（1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后与之间对应的函数关系式。
（2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？2、某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水龙头，后来因故障关闭一个放水龙头。
假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量与按水时间的函数图像如图所示（1）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（2）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。
”你说可能吗？请说明理由。
3、为预防“流感”，某单位对办公室进行“药熏消毒”。
已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与燃烧时间x(min)成正比例；燃烧后,y与成x反比例。
现测得药物8分钟燃烧毕，此时办公室内每立方米空气中含药量为6mg, 据以上信息：（1）分别求燃烧时和燃烧后，y与x的函数关系式；（2）研究表明，当空气中含药量低于1.6mg/m3时，工作人员才能回到办公室，那么从消毒开始，经多长时间，工作人员才可以回到办公室？4、某工厂用一种自动控制加工机械作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10L时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复。
已知机器需运行185min才能将这批工件加工完。
下图是油箱中油量y(L)与机器运行时间x(min)之间的函数图象。
生活生产中有关的一次函数
生活、生产中有关的一次函数运用函数知识解决简单的实际问题，体会函数是解决实际问题的数学模型和方法，既是新课程标准的要求，也是中考命题的热点，近几年的中考试题对一次函数的考查力度呈加大趋势，热点问题集中在一次函数的实际应用上，应该引起同学们的关注．现就应用一次函数知识在生活、生产实际中解决实际问题举几例说明．1在日常生活中的应用一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛．例如，当我们购物、租车、住宿、缴水电费时，会为我们提供两种或多种优惠方案，这些问题往往可利用一元一次函数解决．例1为加强公民的节水意识，某市制定如下的用水标准：每月每户用水未超过7 m3时，每立方米收1.0元并加收0.2元污水处理费；超过7 m3时，超过部分每立方米收1.5元并加收0.4元污水费，设某户每月的用水为x m3，应交水费y元．(1)写出y与x之间的函数关系式．(2)若某单元所在小区共有50户，某月共交水费541.6元，且每户用水均未超过10 m3，这个月用水未超过7 m3的用户最多可能有多少户？解(1)由题意可知，当0≤x≤7时，y＝1.2x．当x>7时，y＝1.9（x－7）＋7×1.2＝1.9（x－7）＋8.4．所以y与x之间的函数关系式为(2)设月用水量未超过7 m3共有x户．因为月用水7 m3的应交水费8.4元，用水10 m3的应交水费(5.7＋8.4)元，根据题意，得(50－x)(5.7＋8.4)＋8.4x＝541.6．解得x≈28. 67．若x＝29时，交费的最大额数为29×8.4＋21×14.1＝539.7<541.6．所以x＝28（户）．即月用水量未超过7 m3的用户最多有28户．2在市场经济中的应用随着市场经济体制的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩．买与卖，存款与保险，股票与债券……都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，利息与利率，统计与概率，运筹与优化等，都将在数学课程中呈现出来．例2某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100 t到外地销售．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：(1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B，种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；(2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？写出每种安排方案；(3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．解 (1)根据题意，装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，那么装运C 种脐橙的车辆数为（20－x －y ），则有6x ＋5 y ＋4（20－x －y ）＝100．整理，得y ＝－2x ＋20．(2)由(1)知，装运A 、B 、C 三种脐橙的车辆数分别为x 、－2x ＋20、x ，根据题意，得42204x x ≥⎧⎨-+≥⎩，解得4≤x ≤8．因为x 为整数，所以x 的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种，方案一：装运A 种脐橙4车，B 种脐橙12车，C 种脐橙4车；方案二：装运A 种脐橙5车，B 种脐橙10车，C 种脐橙5车；方案三：装运A 种脐橙6车，B 种脐橙8车，C 种脐橙6车；方案四：装运A 种脐橙7车，B 种脐橙6车，C 种脐橙7车；方案五：装运A 种脐橙8车，B 种脐橙4车，C 种脐橙8车．(3)设利润为W(百元)，根据题意，得W ＝6x ×12＋5(－2x ＋20)×16＋4x ×10＝－48x ＋1 600．因为k ＝－48<0，所以W 的值随x 的增大而减小，要使利润W 最大，x 取最小值4，故选方案一．W 最大＝－48×4＋1 600＝1 408（百元）＝14.08(万元)．3 在工程问题中的应用下面这道题看似平常却是别有新意的好题，本题突破了传统的工程问题的模式，将工程问题与一次函数图像相联系，进一步加强了传统经典习题与现实生活的联系，以利于同学们在新的时代背景中更好地学习和掌握数学知识．例3 某县在实施“村村通”工程中，决定在P 、Q 两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从P 、Q 两村同时相向开始修筑．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修通．如图1是甲、乙两个工程队所修道路的长度y (m)与修筑时间x （天）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，求该公路的总长．解 由乙图像可知，A(12，840)．设y 乙＝k x (0≤x ≤12)，因为840＝12k ，所以k ＝70．解得y 乙＝70x ．当x ＝8时，y 乙＝560，所以C(8，560)．设y 甲＝m x ＋n(4≤x ≤16)，将B(4，360)、C(8， 560)代入，得43608560m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得50160m n =⎧⎨=⎩． 所以y 甲＝50x ＋160．当x ＝16时，y 甲＝50×16＋160＝960．由此可得乙修筑公路长840 m ，甲修筑公路长960 m ．故该公路全长为1800 m ．4在行程问题中的应用行程问题是一个常规的问题，而新课程下的行程问题，往往与图像、图形、表格等结合在一起，不仅考查了我们对知识的理解，而且考查了识图能力和数形结合的数学思想．例4甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程5 (km)与行驶时间t(h)之间的关系如图2所示，请根据图像所提供的信息解答下列问题：(1)甲、乙两人的速度各是多少？(2)写出甲、乙两人距A地的路程s与行驶时间t之间的函数关系式（任写一个）．(3)在什么时间段内乙比甲离A地更近？解(1)由图像知，甲2.5 h行驶50 km，所以V甲＝502.5＝20(km/h)．乙2h行驶60 km，所以V乙＝602＝30(km/h)．(2)s甲＝50－20t或s乙＝60－30t．(3)当1<t<2.5时，s乙的图像在s甲的图像的下面，说明在同一时刻，s乙<s甲，即乙离A 地距离小于甲离A地距离，乙比甲离A地更近，以上四例说明，一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛，内容十分丰富，上述题目联系实际和时代的热点，较为自然地考查了一次函数模型的实际问题，同时也考查了同学们利用函数思想和方程、不等式、最值等知识解决问题的能力，希望同学们能从中得到启示，善于运用数学去分析身边周围的现象，学会用数学知识分析和解决生产、生活中的一些实际问题．。
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生活中的函数问题
教学目标：
通过对函数知识的学习，能学会用数学的思想、方法去观察、研究和解决日常
生活中所遇到的社会问题、经济问题等。
教学难点：
对函数的意义和函数的表示法的了解。
进一步认识数形结合的思想和方法。
教学策略：
通过对函数实例的探究，对用表格、关系式和图象法所表示的函数认识有初步
的了解。
并培养学生的阅读理解能力。
教学过程：
一、知识整理：
我们学过哪几种函数？它们的解析式是怎样的？有哪些性质？
一次函数解析式：y=kx+b (k ≠0) 反比例函数解析式:y=
x
k (k ≠0) 二次函数的解析式
①一般形式y=ax 2+bx+c ②顶点式y=a(x-h)2+k ③交点式y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0）
函数性质可从函数图象上与学生交流。
二、实例引入：
我们在观看了一些风景优美的画面后，不禁有一种想亲近大自然的冲动。
我们
去旅游！那么我们找哪家旅行社呢？请同学们为老师做参谋！
例1．我们计划国庆期间组织去杭州旅游。
甲、乙两旅行社的服务质量相同，
且组织到杭州旅游的价格都是每人200元。
为促进旅游发展，甲旅行社表示可给予
每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去两位游客的旅游费用，其余游客八折
优惠。
我们应怎样选择，使支付的旅游总费用较少？
教师：根据旅行社给的条件，你会如何选择呢？
学生1：我们可以根据人数来确定选择哪家旅行社。
教师：我们将如何确定呢？
学生2：分析：设去旅游的为x 人。
则Y 甲=200×0.75×x Y 乙=(x-2) ×200×0.8
当Y 甲= Y 乙时，即200×0.75×x=(x-2) ×200×0.8 x=32 都可选；
当Y 甲＞ Y 乙时，得x ＜32 选乙； 当Y 甲＜ Y 乙时，得x ＞32 选甲
[评注]：本题的关键是要确定参加旅游的人数，从而决定选择哪家旅行社。
要分情
况讨论。
我们知道在外出旅游期间，要特别注意安全，如果找不到集合地点要及时和老
师取得联系。
我们联系的方式会常常使用手机，下面是两种不同的通讯业务，你如
何选择？
例2．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月
基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通
话1分钟，付话费0.6（这里均指市内通话）。
若一个月内通话x 分钟，两种通讯方
式的费用分别为y1元和y2元。
（1）一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？
（2）若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式教合算？
教师：我们认真了阅读了两种不同的通讯方式后，应怎样解决这个问题呢？如果我
们假设一个月内通话x 分钟，则y1与y2各是多少？
学生3：y 1=50+0.4x ； y 2=0.6x
学生4：由题意：50+0.4x= 0.6x x =250
当一个月内通话250分钟，两种通讯方式的费用相同。
教师：若某人预计一个月内使用话费200元，则应选择哪种通讯方式教合算？
学生5：我们要计算两种通讯方式的通话时间，并比较大小。
当y 1=200时，即
50+0.4x=200 x 1=375 当y 2=200时，即 0.6x=200 x 2=
全球通合算 。
例3．某城市为了尽快改善职工住房条件，积极鼓励个人购房和积累建房基金，
决定住公房的职工按工资的高低交纳建房公积金。
办法如下： 3
1000
（1）某职工每月交纳公积金330元，求他每月的工资；
（2）设每月工资为x元，交纳公积金后实得金额为y元，试写出当1000<x≤2000时，y与x之间的关系式。
教师：这显然是个分段函数，该职工每月的基本工资在哪个区间段？
学生6：3000元以上。
教师：为什么？
学生7：1000元至2000元（含2000元）需交纳50元，2000元至3000元(含3000元)需交纳50+100=150元，该职工交纳公积金330元，应该在3000元以上。
教师：让我们来计算他每月的工资。
学生8：设他每月的工资为x元；则1000×5%+（3000-2000）×10%+（x-3000）×15%=330
x=4200
答：他的工资为4200元。
[评注]：关于分段函数问题，我们首先要确定每个区间段应交纳的公积金数额，再分析该职工的工资属于哪个区间段。
例4．行使中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”。
为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140千米/时），对这种汽车进行测试，测得数据如下表：
（1）以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，
（2）观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数的解析式
（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5米，请推测刹车时的速度是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？
分析：我们可以在直角坐标系中画出相应的点。
我们发现这是抛物线的某一段图象，且图象经过原点。
可以设该抛物线的解析式：y=ax2,(0≤x≤40); 把表中任一组数据代入，不难得出a=2.2×10-6, ∴y=2.2×10-6 x2
教师：如何判断该车是超速行驶还是正常行驶？
学生9：因为现场测得刹车距离46.5 米，从而计算此时得车速。
∵y=2.2×10-6 x2∴当 y=46.5米= 0.0465千米时， x≈145千米/时
∵145＞140 超速
学生10：因为该型号车速不超过140千米/时，
∴y=2.2×10-6 x2=2.2×10-6×1402=0.04512(千米)=45.12米＜46.5米超速
[评注]：关于这类问题，应先从图象上估计函数的类型，再解决实际问题，这里要注意计算单位的统一。
例5．阅读下列南宁市中学生研究性学习某课题组的统计材料：
材料一：2000年南宁市摩托车全年排放有害污染物一览表
根据上表填空：
Ⅰ2000年南宁市区机动车（含摩托车）全年排放的有害污染物共 吨（保留两个有效数字）
材料二：2002年元月10日，南宁市人民政府下达了停止办理摩托车入户手续文件，
此时市区居民摩托车拥有量已达32万辆。
据统计每7辆摩托车排放的有害污染物
总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能
力的8%。
根据上述材料解答下列问题：
Ⅱ假设从2002年起n 年内南宁市的摩托车平均每年退役a 万辆，同时增加公交车
的数量，使新增公交车的运送能力总量等于退役的摩托车原有的运送能力总量。
（1） 求增加公交车的数量y 与时间 n （年）之间的函数关系。
填空：y =
（不要求写出n 的取值范围）
（2）若经过5年剩余的摩托车与新增公交车排放污染物的总量等于32万辆摩托车
排放污染物总量的60%。
试求a 的值（精确到0.1）
分析：Ⅰ：3.2×104
Ⅱ(1)应抓住每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的8%这一条件。
设每辆公交车运送能力为单位1，则y ×1=an ×8%×1 ∴n a y 25
2= (2)根据每7辆摩托车排放的有害污染物总量等于一辆公交车排放的污染
物，我们可以设每辆摩托车排放的有害污染物为单位1，列方程：
%6032)532(7525
2⨯=-+⨯⨯a a a ≈5.8 答：a 的值为5.8
[评注]：对于阅读信息量较大的问题，我们应逐句逐段阅读，获得已知条件，从而
解决问题。
课堂小结：
•从文字语言、图形语言中收集信息（逐句逐段阅读），获得已知条件；
•联系实际，找出量与量之间的关系（函数解析式），将已知条件转化为符号语言；
•体现函数思想、转化的思想、数形结合思想、分类讨论思想。